Методичка по многогранникам (О.К. Огурцова)

Оглавление
Введение.............................................................................................................
Примерный тематический план изучения раздела.........................................
Тема 1: Задачи на доказательство и на нахождение различных величин,
если дана прямая или правильная призма, правильная
пирамида....................................................................................................
Основные теоретические положения......................................................
Задачи, иллюстрирующие применение основных теоретических
положений.................................................................................................
Задачи........................................................................................................
Тема 2: Виды неправильных пирамид и наклонных призм..........................
Основные теоретические положения......................................................
Задачи, иллюстрирующие применение основных теоретических
положений..................................................................................................
Задачи.........................................................................................................
Ответы................................................................................................................
Контрольная работа..........................................................................................
Список литературы...........................................................................................
3
4
5
6
6
8
10
12
12
17
25
28
30
31
Введение
Цель данного учебно-методического пособия по стереометрии –
оказание помощи студентам в усвоении курса элементарной математики, в
частности раздела «Стереометрия. Многогранники и их свойства в задачах на
доказательство и вычисление». Раздел содержит две дидактические единицы:
геометрия прямой или правильной призмы, правильной пирамиды; геометрия
неправильной пирамиды, наклонной призмы. В разработке каждой
дидактической
единицы
представлено
следующее
содержание:
систематизированный теоретический материал; задачи, иллюстрирующие
применение этого материала; комментарии к поиску и решению ключевых
задач, в которых отражены основные методы и приёмы поиска и решения
задач; список задач для аудиторной и самостоятельной работы студентов.
Для каждой дидактической единицы запланированы следующие виды
учебной деятельности студентов.
1.
Аудиторные занятия: лекции и практикумы.
2.
Самостоятельная работа студентов:
- подготовка к практическим занятиям: изучение математической
литературы по каждой теме, анализ учебников по математике для школы,
выполнение практических заданий, подготовка к выступлению (по теории или с
решением конкретных задач);
- разработка материалов для проведения микросреза (теоретического
характера) по конкретной теме;
- разработка материалов для проведения микросреза (практического
характера) по конкретной теме;
- создание «методической копилки» (подбор упражнений для конкретной
темы, наглядные пособия, дидактические материалы, творческие упражнения,
дифференцированные задания и др.);
- самостоятельное изучение отдельных тем;
- подготовка к контрольной работе.
3. Контроль самостоятельной работы студентов:
- текущий контроль (выполнение кратких письменных работ; создание
«банка» задач; решение задач из списков);
- промежуточный контроль (выполнение контрольной работы; отчет по
спискам задач);
- зачёт.
Для организации самостоятельной деятельности студентов в пособие
включены, кроме списков задач, список литературы и контрольная работа.
Список литературы содержит источники, в которых находится достаточно
теоретического и задачного материала для подготовки к практическим
занятиям, подборки заданий для микросрезов, создания собственного «банка»
задач по конкретной теме. Контрольная работа отражает уровень обязательных
4
требований к знаниям и умениям студентов по данному разделу и
предназначена для подготовки к аудиторной контрольной работе.
Задачи, представленные в пособии, частично заимствованы из
литературы, частично составлены автором. Ответы к задачам прилагаются.
Примерный тематический план изучения раздела
Раздел дисциплины
Количество часов
Раздел: Многогранники и их
свойства в задачах на доказательство и
вычисление.
Задачи на доказательство и на
нахождение различных величин, если
дана прямая или правильная призма,
правильная пирамида.
Виды неправильных пирамид и
наклонных призм.
Лекции
Практ.
занятия
Самост.
Работа
18
18
34
8
10
6
12
14
20
Итого по
разделам
дисциплины
70
28
42
Изучение раздела «Стереометрия. Многогранники и их свойства в
задачах на доказательство и вычисление» направлено на формирование у
студента следующих компетенций:
ОК-1 - владеет культурой мышления, способен к обобщению, анализу,
восприятию информации, постановке цели и выбору путей её достижения;
ОК-4 - способен использовать знания о современной естественнонаучной
картине мира в образовательной и профессиональной деятельности, применять
методы математической обработки информации, теоретического и
экспериментального исследования;
ОПК-3 - владеет основами речевой профессиональной культуры.
В результате освоения раздела студент должен:
знать:
– определения и свойства призмы, в частности, прямой, правильной;
высоты призмы;
– определения и свойства пирамиды, в частности, правильной; высоты
пирамиды; апофемы правильной пирамиды;
– равносильные свойства пирамиды (призмы), у которой вершина (одна из
вершин верхнего основания) проектируется ортогонально на плоскость
(нижнего) основания:
 в точку, лежащую на серединном перпендикуляре к одной из
сторон основания;
 в центр описанной окружности основания;
5
 в точку, лежащую на биссектрисе одного из углов основания;
 в центр вписанной (или вневписанной) окружности
основания;
 в точку, лежащую на прямой, содержащей сторону
основания;
 в вершину основания или в точку пересечения прямых,
содержащих две несмежные стороны основания;
- формулы для вычисления площади поверхности и объёма призмы,
пирамиды;
- что площадь боковой поверхности (объём) наклонной призмы можно
найти как произведение периметра (площади) перпендикулярного сечения и
длины бокового ребра;
уметь:
– доказывать свойства призмы, в частности, прямой, правильной;
правильной пирамиды;
– доказывать равносильность свойств видов наклонных призм и
неправильных пирамид;
– находить различные элементы призмы или пирамиды;
– вычислять площади фигур, являющихся элементами призмы или
пирамиды (основание, боковая грань, диагональное сечение, другие
сечения), площади их боковой или полной поверхности, объём;
владеть навыками:
– вычисления конструктивным методом расстояния между двумя точками,
от точки до прямой или плоскости, между параллельными или
скрещивающимися прямыми, параллельными прямой и плоскостью,
параллельными плоскостями, когда названные фигуры задаются
элементами призмы или пирамиды;
– вычисления конструктивным методом угла между пересекающимися
или скрещивающимися прямыми, пересекающимися прямой и
плоскостью, пересекающимися плоскостями, когда он задаётся
элементами призмы или пирамиды.
Тема 1. Задачи на доказательство и на нахождение различных величин,
если дана прямая или правильная призма, правильная пирамида
Основные теоретические положения
I. Определение:
Призмой
называется
выпуклый
многогранник,
составленный из двух равных n - угольников, расположенных в
параллельных плоскостях, и n параллелограммов, где n  3, n  N .
Равные n - угольники называются основаниями призмы, n
параллелограммов – боковыми гранями призмы.
6
Определение: Перпендикуляр (его длина), проведённый из какой-нибудь
точки одного основания призмы к плоскости другого основания, называется
высотой призмы.
Свойства призмы:
1. Основания – выпуклые равные многоугольники.
2. Соответственные рёбра оснований равны и параллельны.
3. Боковые рёбра равны и параллельны.
4. Боковые рёбра равнонаклонены к основаниям.
5. Высоты равны и параллельны.
6. S пп  S бп  2S осн , где S пп - площадь полной поверхности, S бп - площадь
боковой поверхности, S бп - площадь основания призмы.
7. V  S осн  H , где V - объём, S осн - площадь основания, H - высота призмы.
II. Определение: Призма называется прямой, если её боковое ребро
перпендикулярно к основанию.
Свойства прямой призмы:
1. Боковые рёбра перпендикулярны к основаниям.
2. Высота призмы равна боковому ребру.
3. Боковые грани перпендикулярны к основаниям.
4. Боковые грани – прямоугольники.
5. Углы основания являются линейными углами соответствующих
двугранных углов при боковых рёбрах.
6. S бп  Pосн  H , где S бп - площадь боковой поверхности, Pосн - периметр
основания, H - высота призмы.
Определение: Прямая призма называется правильной, если в её
основании лежит правильный многоугольник.
Свойства правильной призмы:
1. Боковые грани – равные прямоугольники.
2. Двугранные углы при боковых рёбрах равны.
III.
Определение: Пирамидой называется выпуклый многогранник,
составленный из n - угольника и n треугольников с общей вершиной,
где n  3, n  N .
n - угольник называется основанием пирамиды, n треугольников – боковыми
гранями пирамиды, их общая вершина – вершиной пирамиды.
Определение: Перпендикуляр (его длина), проведённый из вершины
пирамиды к плоскости основания, называется высотой пирамиды.
Свойства пирамиды:
1. Основание – выпуклый многоугольник.
2. S пп  S бп  S осн , где S пп - площадь полной поверхности, S бп - площадь
боковой поверхности, S бп - площадь основания пирамиды.
IV.
7
1
3
3. V  S осн  H , где V - объём, S осн - площадь основания, H - высота
пирамиды.
V. Определение: Пирамида называется правильной, если её основание правильный многоугольник, а отрезок, соединяющий вершину
пирамиды с центром основания, является её высотой.
Определение: Высота боковой грани правильной пирамиды, проведённая из
вершины пирамиды, называется апофемой правильной пирамиды.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Свойства правильной пирамиды:
Боковые рёбра равны.
Боковые рёбра равнонаклонены к основанию.
Боковые рёбра равнонаклонены к высоте пирамиды.
Боковые грани – равные равнобедренные треугольники.
Апофемы равны.
Боковые грани равнонаклонены к основанию.
Боковые грани равнонаклонены к высоте пирамиды.
Двугранные углы при боковых рёбрах равны.
1
2
9. S бп  Pосн  d , где S бп - площадь боковой поверхности, Pосн - периметр
основания, d - апофема пирамиды.
10. S бп 
S осн
, где S бп - площадь боковой поверхности, S осн - площадь
cos 
основания,  - двугранный угол при ребре основания пирамиды.
Задачи, иллюстрирующие применение основных теоретических
положений
Задача 1: Основанием прямой призмы является параллелограмм со
сторонами a и b . Через сторону основания, равную a , и противолежащую ей
сторону другого основания проведено сечение, составляющее угол  с
плоскостью основания. Площадь сечения равна Q . Найдите площадь полной
поверхности призмы.
Решение: S пп  S бп  2S осн . Т.к. призма прямая, то S бп  Pосн  H .
Рассмотрим сечение AB1C1 D призмы плоскостью, проходящей через
сторону основания AD  a (рис. 1). AB1C1 D - параллелограмм, т.к.
AD  B1C1 , AD B1C1 . По условию B1 ADC   , тогда S осн  S AB C D  cos   Q cos  .
Т.к. ABCD - параллелограмм, то Pосн  2a  b . Остаётся выразить высоту
призмы, которая у прямой призмы равна боковому ребру.
Построим CH - высоту параллелограмма ABCD , тогда по теореме о трёх
перпендикулярах C1 H - высота параллелограмма AB1C1 D . Значит C1 HC 1 1
8
линейный угол B1 ADC , C1 HC   .
Рассмотрим прямоугольный треугольник
C1 HC : H  CC1  CH  tg . CH можно выразить
S осн Q cos 
.

AD
a
Q cos   tg Q sin 

Тогда H 
.
a
a
2a  b   Q sin 
Итак, S бп 
,
a
2a  b   Q sin 
2Q(( a  b) sin   a cos  )

 2Q cos  
.
a
a
2Q (( a  b) sin   a cos  )
Ответ:
.
a
из площади ABCD : CH 
S пп
Рисунок-1
Комментарий к задаче
1) Типичная ошибка при решении данной задачи – рассмотрение
соответствующей диагонали боковой грани как высоты указанного сечения.
Это в общем случае безусловное ложное утверждение, т.к. в основании прямой
призмы лежит параллелограмм общего вида, а не его частный случай –
прямоугольник.
В
итоге,
построение
соответствующей
высоты
параллелограмма в основании позволяет задать высоту рассматриваемого
сечения, в результате вводится в рассмотрение линейный угол заданного
двугранного угла.
2) В задаче используется связь между площадями исходной плоской фигуры и
её проекции на некоторую плоскость, составляющую определённый угол с
плоскостью исходной фигуры.
Задача 2: Высота правильной треугольной пирамиды равна h ,
двугранный угол при боковом ребре равен 2 . Найдите объём пирамиды.
1
3
Решение: Vпирам иды  S  h . Т.к. пирамида правильная, то в её основании
осн
a2 3
. Остаётся выразить сторону
о сн
4
основания или её квадрат через высоту пирамиды h и заданный угол 2 .
лежит правильный треугольник и S

Построим линейный угол для двугранного
угла при боковом ребре AD . Для этого
проведём высоту BH в грани ADB . Тогда,
используя равенство боковых граней ADB и
ADC правильной пирамиды, получаем, что
СH является высотой грани ADС и BH  CH .
В итоге, BHС - линейный угол
двугранного угла BADС (рис. 2),
тогда BHС  2 и ( BHC )  AD , а значит
AD  HK , где K - середина ребра BC .
Рисунок-2
Т.к. BH  CH , то треугольник BHC - равнобедренный и HK - медиана,
9
биссектриса и высота, тогда BHK   . Из прямоугольного треугольника
BHK выражаем HK  BK  ctg 
a  ctg
.
2
По свойству правильного треугольника AK 
прямоугольного
треугольника
3
3
a , тогда AO 
a . Из
2
3
выражаем
AOD
3(a 2  3h 2 )
3 2
2
AD  AO  DO 
a h 
.
9
3
В треугольнике ADK применим один из приёмов метода площадей:
1
1
S ADK  DO  AK , S ADK  KH  AD , тогда DO  AK  KH  AD , получаем
2
2
2
2


2
2
3
a  ctg 3 a  3h
. Выражаем a 2 : a 2  3h 2 3tg 2  1) .
a

2
2
3
1 3h 2 3tg 2  1 3
h 3 3tg 2  1 3
h 
Тогда Vпирам иды 
.
3
4
4
h 3 3tg 2  1 3
Ответ:
.
4
h


Комментарий к задаче
1) Необычность ситуации в рассмотренной задачи состоит в том, что заданные
элементы (линейный и угловой) невозможно поместить в один треугольник, из
которого бы выражались необходимые для решения другие элементы
пирамиды. Поэтому кроме рассмотренного возможны иные подходы к
нахождению стороны основания или её квадрата, в частности, введение
вспомогательного линейного или углового элемента, который находится в
результате составления и решения соответствующего уравнения.
2) В задаче раскрыт основной способ построения линейного угла для
двугранного угла при боковом ребре правильной пирамиды: использование
высот боковых граней, проведённых к этому боковому ребру. Только в силу
того, что пирамида правильная, эти высоты сходятся в одну точку.
3) В задаче используется много теоретического материала из планиметрии:
формулы площади треугольника, в частности, правильного, свойство медиан
треугольника, свойства равнобедренного и правильного треугольников,
теорема Пифагора и тригонометрические функции в прямоугольном
треугольнике. Применяется один из приёмов метода площадей: линейные
(угловые) элементы и соответствия между ними можно найти, применяя
различные формулы для вычисления площади треугольника (многоугольника).
Задачи
3. Основанием прямой призмы является равнобедренная трапеция с
основаниями 25см и 9см , высотой 8см . Найдите двугранные углы при боковых
рёбрах призмы.
4. Стороны основания прямого параллелепипеда, равные 8см и 15см , образуют
угол в 60  . Меньшая из площадей диагональных сечений равна 130см 2 . Найдите
площадь поверхности параллелепипеда.
10
5. Основанием прямого параллелепипеда служит ромб с острым углом 2  ,
длина высоты которого равна h . Одна из диагоналей параллелепипеда образует
с одной из боковых граней угол  . Найдите объём параллелепипеда.
6. Основание прямой призмы является прямоугольный треугольник. Через
середину гипотенузы перпендикулярно к ней проведена плоскость. Найдите
площадь сечения, если катеты равны 20см и 21см , а боковое ребро равно 42см .
7. Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна d и наклонена к
плоскости основания под углом  . Угол между стороной и диагональю
основания равен  . Найдите объём параллелепипеда.
8. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1 B1C1 D1 диагональ B1 D составляет с
плоскостью основания угол в 45 , а двугранный угол A1 B1 BD равен 60  . Найдите
объём параллелепипеда, если диагональ основания равна 12см .
9. Найдите объём прямой призмы ABCA1 B1C1 , если: а) BAC  120  , AB  5, AC  3 и
наибольшая из площадей боковых граней равна 35 ; б) AB1C  60 , AB1  3, CB1  2
и двугранный угол с ребром BB1 прямой.
10. Диагональ правильной четырёхугольной призмы образует с плоскостью
боковой грани угол в 30  . Найдите угол между диагональю и плоскостью
основания.
11. Высота правильной треугольной призмы равна h . Плоскость  ,
проведённая через среднюю линию нижнего основания и параллельную ей
сторону верхнего основания, составляет с плоскостью нижнего основания
острый угол  . Найдите площадь сечения, образованного плоскостью  .
12. Диагональ боковой грани правильной треугольной призмы равна d и
составляет угол  с плоскостью другой боковой грани. Найдите объём призмы.
13. Правильная четырёхугольная призма, сторона основания которой равна a ,
пересечена плоскостью таким образом, что два смежных ребра получились
равными b , а каждое из двух других равно c . Найдите объём полученной
усечённой призмы.
14. В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна a , высота
равна H . Найдите: а) боковое ребро пирамиды; б) плоский угол при вершине
пирамиды; в) угол между боковым ребром и плоскостью основания пирамиды;
г) угол между боковой гранью и основанием пирамиды; д) двугранный угол
при боковом ребре пирамиды.
15. В правильной четырёхугольной пирамиде сторона основания равна m , а
плоский угол при вершине равен  . Найдите: а) высоту пирамиды; б) боковое
ребро; в) угол между боковой гранью и плоскостью основания; г) двугранный
угол при боковом ребре пирамиды.
16. В правильной четырёхугольной пирамиде высота равна h и составляет с
плоскостью боковой грани угол  . Найдите площадь полной поверхности
пирамиды.
17. Найдите высоту правильной треугольной пирамиды, если сторона
основания равна m , а площадь боковой поверхности вдвое больше площади
основания.
11
18. В правильной треугольной пирамиде DABC через боковое ребро DC и
высоту DO пирамиды проведена плоскость  . Докажите, что: а) ребро AB
перпендикулярно к плоскости  , б) перпендикуляр, проведённый из вершины
C к апофеме грани DAB , является перпендикуляром к плоскости DAB .
19. В правильной треугольной пирамиде DABC точки E , F и P - середины
рёбер BC , AB и AD . Определите вид сечения, проходящего через эти точки, и
найдите его площадь, если сторона основания пирамиды равна a , боковое
ребро равно b .
20. В правильной пирамиде MABCD MA  b, AD  a . а) Постройте сечение
пирамиды плоскостью  , проходящей через диагональ BD параллельно ребру
MA , и найдите площадь сечения. б) Докажите, что точки M и C равноудалены
от плоскости  .
21. В правильной четырёхугольной пирамиде плоский угол при вершине равен
60  . Докажите, что двугранный угол между боковой гранью и основанием
пирамиды вдвое меньше двугранного угла при боковом ребре.
22. В правильной треугольной пирамиде боковое ребро наклонено к плоскости
основания под углом 60  . Через сторону основания проведена плоскость под
углом 30  к плоскости основания. Найдите площадь сечения, если сторона
основания равна 12см .
23. Найдите объём правильной треугольной пирамиды с боковым ребром l ,
если: а) боковое ребро составляет с плоскостью основания угол  ; б) боковое
ребро составляет с прилежащей стороной основания угол  ; в) плоский угол
при вершине равен  .
24. Из центра основания правильной треугольной пирамиды проведён
перпендикуляр, равный d , на боковое ребро пирамиды. Найдите объём
пирамиды, если двугранный угол между боковой гранью и основанием
пирамиды равен  .
25. Найдите объём правильной четырёхугольной пирамиды, если: а) её высота
равна H , а двугранный угол при основании равен  ; б) сторона основания
равна m , а плоский угол при вершине равен  .
26. Найдите объём и площадь боковой поверхности правильной шестиугольной
пирамиды, если её боковое ребро равно 13см , а диаметр круга, вписанного в
основание, равен 6см .
Тема 2. Виды неправильных пирамид и наклонных призм
Основные теоретические положения
I. Особые свойства наклонной призмы:
1. S бп  Pсеч  l , где S бп - площадь боковой поверхности, Pсеч - периметр
перпендикулярного сечения, l - боковое ребро призмы.
2. V  S сеч  l , где V - объём, S сеч - площадь перпендикулярного сечения, l боковое ребро призмы.
12
II. Прямая или правильная призма, правильная пирамида обладают многими
интересными свойствами, т.е. элементы этих многогранников достаточно чётко
определены, т. к. определено их положение относительно друг друга. Более
сложными являются задачи, связанные с наклонными призмами и
неправильными пирамидами. Выявим связи, существующие между элементами
этих многогранников.
А) Дан треугольник ABC и точка D вне плоскости этого треугольника. Точка
D равноудалена от вершин A и B (свойство 1). Выясним, в какую точку
плоскости ABC проектируется точка D .
Т.к. точка D равноудалена от вершин A и B , то наклонные DA и DB
равны. Допустим, точка H - проекция точки D на плоскость ABC , тогда DH перпендикуляр, проведённый из точки D к плоскости ABC .
Рассмотрим прямоугольные треугольники DAH и DBH . Они равны по
гипотенузе и катету: DH – общая, DA  DB . Из равенства треугольников DAH и
DBH следует, что AH  BH , значит, точка H принадлежит серединному
перпендикуляру, проведённому в плоскости ABC к отрезку AB (рис. 3). Итак,
проекция точки D на плоскость ABC принадлежит
серединному перпендикуляру отрезка AB в плоскости
ABC (свойство 2).
Продолжим работу в данной задачной ситуации.
Из равенства треугольников DAH и DBH также
следует равенство углов: DAH  DBH (свойство
3), ADH  BDH (свойство 4). Первая пара углов –
есть углы между наклонными DA , DB и плоскостью
ABC , вторая пара углов – углы между наклонными
DA , DB и перпендикуляром DH .
Рисунок-3
В итоге, если выполняется свойство 1, тогда
выполняются и свойства 2-4. Аналогично рассуждая, получим, что если
выполняется свойство 2 (3 или 4), то выполняются и три других свойства.
Такие свойства называются равносильными.
Таким образом, получили следующие равносильные свойства:
1. Точка D равноудалена от вершин A и B .
2. Точка D проектируется на серединный перпендикуляр к отрезку AB .
3. Наклонные DA и DB равнонаклонены к плоскости ABC .
4. Наклонные DA и DB равнонаклонены к перпендикуляру DH .
Если соединить точки D и C , то можно считать, что рассмотрен тетраэдр
(треугольная пирамида) DABC . В нём отрезки DA и DB являются боковыми
рёбрами и DA  DB (свойство 5). Т.е. можно утверждать следующее:
Свойства:
1. вершина пирамиды проектируется на серединный перпендикуляр к стороне
основания,
2. вершина пирамиды равноудалена от двух вершин основания,
3. два боковых ребра пирамиды равны,
4. два боковых ребра пирамиды равнонаклонены к плоскости основания,
13
5. два боковых ребра пирамиды равнонаклонены к высоте пирамиды
являются равносильными.
Рассмотрим пирамиду, у которой вершина равноудалена от всех вершин
основания, и выделим для неё равносильные свойства. Тогда вершина
пирамиды проектируется в точку пересечения серединных перпендикуляров,
проведенных к сторонам основания, т. е. в центр описанной окружности
основания. Можно утверждать следующее:
Свойства:
1) вершина пирамиды проектируется в центр описанной окружности
основания,
2) вершина пирамиды равноудалена от всех вершин основания,
3) боковые рёбра пирамиды равны,
4) боковые рёбра пирамиды равнонаклонены к плоскости основания,
5) боковые рёбра пирамиды равнонаклонены к высоте пирамиды
являются равносильными.
На основе рассмотренного вида неправильных пирамид можно получить
соответствующий вид наклонных призм, для которого выполняется следующее:
Свойства:
1) одна из вершин верхнего основания призмы проектируется в центр
описанной окружности нижнего основания,
2) одна из вершин верхнего основания призмы равноудалена от вершин нижнего
основания
являются равносильными.
Б) Дан треугольник ABC и точка D вне плоскости этого треугольника так, что
DAB  DAC  90  , т.е. наклонная DA образует равные острые углы со
сторонами AB и AC (свойство 1). Выясним, в какую точку плоскости ABC
проектируется точка D .
Введём в рассмотрение прямоугольные треугольники, содержащие
заданные углы. Для этого рассмотрим точку H - проекцию точки D на
плоскость ABC , тогда DH - перпендикуляр, проведённый из точки D к
плоскости ABC . Проведём перпендикуляры DK и DM из точки D к прямым AB
и AC (рис. 4). Тогда по теореме обратной, теореме о трёх перпендикулярах,
HK  AB и HM  AC .
Треугольники DKA и DMA равны по общей
гипотенузе DA и острым углам DAK  DAM .
Из равенства треугольников DKA и DMA
следует, что DK  DM , т.е. точка D равноудалена
от прямых AB и AC (свойство 2).
Рассмотрим прямоугольные треугольники DKH
и DMH . Они равны по гипотенузе и катету: DH –
общая, DK  DM . Из равенства треугольников DKH и
DMH следует, что HK  HM , значит, точка H принадлежит
биссектрисе CAB . Итак, проекция точки D на плоскость
Рисунок-4
ABC принадлежит биссектрисе CAB (свойство 3).
14
Отметим, что точка H оказалась внутри угла CAB на его биссектрисе
только в силу условия, что DAB  DAC  90  . Если DAB  DAC  90  , то в
результате аналогичных рассуждений получим, что точка D будет
проектироваться на продолжение биссектрисы CAB . Но в дальнейшем, нас
больше будет интересовать именно первый из рассмотренных случаев, поэтому
остановимся на нём подробнее.
Продолжим работу в данной задачной ситуации. Из равенства
DKH
DMH
треугольников
и
также
следует
равенство
углов
DKH  DMH (свойство 4), KDH  MDH (свойство 5). Первая пара углов –
есть линейные углы двугранных углов между плоскостями DAB , DAC и
плоскостью ABC ; вторая пара углов – углы между плоскостями DAB , DAC и
перпендикуляром DH .
В итоге, если выполняется свойство 1, тогда выполняются и свойства 2-5.
Аналогично рассуждая, получим, что если выполняется свойство 2 (3, 4 или 5),
то выполняются и четыре других свойства (рассматриваем случай, когда
DAB  90  , DAC  90  ).
Таким образом, получили следующие равносильные свойства
( DAB  90  , DAC  90  ):
1. Наклонная DA образует равные углы со сторонами AB и AC .
2. Точка D равноудалена от прямых AB и AC .
3. Точка D проектируется на биссектрису CAB .
4. DABC  DACB .
5. Плоскости DAB и DAC равнонаклонены к перпендикуляру DH .
Если соединить точки D и С , то можно считать, что рассмотрен тетраэдр
(треугольная пирамида) DABC . В нём отрезки DK и DM являются высотами
боковых граней DAB и DAC , проведёнными из вершины пирамиды, и
DK  DM (свойство 6). Т.е. можно утверждать следующее (рассматриваем
случай, когда боковое ребро пирамиды образует острые углы со смежными
сторонами основания):
Свойства:
1. одно боковое ребро пирамиды образует равные углы со смежными
сторонами основания,
2. вершина пирамиды равноудалена от прямых, содержащих две стороны
основания,
3. вершина пирамиды проектируется на биссектрису угла основания,
4. две боковые грани пирамиды равнонаклонены к основанию,
5. две боковые грани пирамиды равнонаклонены к высоте пирамиды,
6. две высоты боковых граней, проведённые из вершины пирамиды, равны
являются равносильными.
Рассмотрим пирамиду, у которой все боковые рёбра образуют попарно
равные острые углы со смежными сторонами основания, и выделим для неё
равносильные свойства. Тогда вершина пирамиды проектируется в точку
пересечения биссектрис основания, т. е. в центр вписанной окружности
основания. Можно утверждать следующее (рассматриваем случай, когда
15
боковые рёбра пирамиды образуют острые углы со смежными сторонами
основания):
Свойства:
1) все боковые рёбра пирамиды образуют попарно равные острые углы со
смежными сторонами основания,
2) вершина пирамиды равноудалена от всех сторон основания,
3) вершина пирамиды проектируется в центр вписанной окружности
основания,
4) боковые грани пирамиды равнонаклонены к основанию,
5) боковые грани пирамиды равнонаклонены к высоте пирамиды,
6) высоты боковых граней, проведённые из вершины пирамиды, равны
являются равносильными.
Особые свойства указанного вида пирамид:
1
2
1. S бп  Pосн d , где S бп - площадь боковой поверхности, Pосн - периметр
основания, d - высота боковой грани, проведённая из вершины
пирамиды.
2. S бп 
S осн
, где S бп - площадь боковой поверхности, S осн - площадь
cos 
основания,  - двугранный угол при стороне основания пирамиды.
Следует отметить, что не случайно напоминается, что рассматривается
случай, когда боковые рёбра пирамиды образуют острые углы со смежными
сторонами основания. В противном случае вершина пирамиды может
проектироваться в центр вневписанной окружности основания. Рассмотрим
этот случай далее более подробно на примере решения задачи 30.
На основе рассмотренного вида неправильных пирамид можно получить
соответствующий вид наклонных призм, для которого выполняется следующее:
Свойства:
1) одна из вершин верхнего основания призмы равноудалена от сторон
нижнего основания,
2) одна из вершин верхнего основания призмы проектируется в центр
вписанной окружности нижнего основания
являются равносильными.
В) У прямой (правильной) призмы все боковые грани перпендикулярны к
основанию. Сколько боковых граней могут быть перпендикулярны к
основанию у наклонной призмы или неправильной пирамиды? Очевидно, что
одна боковая грань неправильной пирамиды (наклонной призмы) может быть
перпендикулярна к основанию. Тогда можно утверждать следующее:
Свойства:
1) одна боковая грань пирамиды (призмы) перпендикулярна к основанию,
2) высота пирамиды (призмы) принадлежит плоскости боковой грани,
3) вершина пирамиды (верхнего основания призмы) проектируется на прямую,
содержащую (соответственную) сторону (нижнего) основания,
4) двугранный угол при стороне основания прямой
16
являются равносильными.
Далее, если рассматривать вопрос о перпендикулярности к основанию
двух, трёх и т.д. боковых граней наклонной призмы или неправильной
пирамиды, то приходим к выводу, что у наклонной призмы могут быть только
две параллельные боковые грани перпендикулярны к основанию. У
неправильной пирамиды получаем следующее:
I случай (смежные боковые грани)
Свойства:
1) две боковые грани пирамиды перпендикулярны к основанию,
2) боковое ребро пирамиды перпендикулярно к плоскости основания,
3) высота пирамиды совпадает с боковым ребром,
4) вершина пирамиды проектируется в вершину основания,
5) угол основания является линейным углом двугранного угла при боковом ребре
пирамиды
являются равносильными.
II случай (несмежные боковые грани)
Свойства:
1) две боковые грани пирамиды перпендикулярны к основанию,
2) высота пирамиды принадлежит линии пересечения плоскостей двух боковых
граней
K
являются равносильными.
A
Следует отметить, что пирамида,
у которой две несмежные боковые грани
B
перпендикулярны к основанию, должна
иметь в основании как минимум
H
четырёхугольник, имеющий две
С
несмежные стороны, пересекающиеся
D
в своём продолжении. Именно
Рисунок-5
точка их пересечения будет задавать проекцию вершины пирамиды на
плоскость основания. Например, на рисунке 5 изображена пирамида KABCD , у
которой две несмежные боковые грани KAB и KCD перпендикулярны к
основанию. Поэтому точка H - основание высоты данной пирамиды, есть точка
пересечения прямых AB и CD .
Задачи, иллюстрирующие применение основных теоретических
положений
Задача 27: Основанием пирамиды служит трапеция, диагональ которой
составляет с боковой стороной прямой угол, большее основание трапеции
равно a , острый угол -  . Найдите объём пирамиды, если её боковые рёбра
составляют с основанием угол  .
17
Решение: Т.к. все боковые рёбра пирамиды
составляют с основанием угол  , следовательно,
вершина пирамиды проектируется в центр
описанной окружности основания – точку O .
Т.к. около трапеции ABCD описывается
окружность, то она равнобедренная.
Диагональ BD трапеции составляет с
боковой стороной СD прямой угол,
значит BDC – прямоугольный ( BDC  90  ).
Точки B, D, C лежат на окружности,
описанной около трапеции ABCD , поэтому
Рисунок-6
BDC вписан в эту окружность и центр
окружности - есть середина гипотенузы BC , т.е. точка O - середина BC , SO высота пирамиды (рис. 6).
1
3
Объём пирамиды вычисляется по формуле Vпир  S осн  h .
Рассмотрим SOB - прямоугольный ( SOB  90  ), в нём SBO   , BO 
a
.
2
atg
.
2
Рассмотрим BDC - прямоугольный, в нём BС  a , BCD   . Тогда
BD  a sin  , DC  a cos  , а высота, проведённая из вершины прямого угла, равна
a sin   a cos 
DH 
 a sin  cos  .
a
Из CHD - прямоугольного, находим HC  DHctg  a cos 2  .
BC  AD
В равнобедренной трапеции выполняется свойство: HC 
, тогда
2
AD  BC  2 HC  a  2a cos 2  .
1
BC  AD
a 2 sin 2 sin 2 
S осн 
 DH 
. Vпир  a 3  sin 2   sin 2  tg .
12
2
2
1 3
Ответ: a  sin 2   sin 2  tg .
12
Тогда h  SO 
Комментарий к задаче
1) Условие, что боковые рёбра пирамиды равнонаклонены к плоскости
основания, в совокупности с другими данными позволило определить
расположение проекции вершины пирамиды на плоскость основания, т.е.
изобразить высоту неправильной пирамиды. Это облегчило последующее
решение задачи.
2) В задаче используется много теоретического материала из планиметрии:
критерий окружности, описанной около трапеции, особенность расположения
центра описанной окружности прямоугольного треугольника, соотношения в
прямоугольном треугольнике, в частности, формула подсчёта высоты,
проведённой из вершины прямого угла, свойство проекции боковой стороны на
большое основание в равнобедренной трапеции.
18
Задача 28: Дан параллелепипед АВСDА1 В1С1 D1 , со сторонами основания
AB  b, ВС  с . Известно, что вершина А1 удалена на расстояние a от точек
А, В, C , D . Найдите объём параллелепипеда.
А1
Решение: Т. к. А1 равноуда- В
1
лена от вершин А, В, С , D , т.е.
A1 A  A1 B  A1C  A1 D  a , то
D1
С1
А1 проектируется в O - центр
описанной окружности
параллелограмма АВСD .
Следовательно, АВСD - прямоугольник,
а O – точка пересечения диагоналей ВD В
А
и АС (рис. 7).
О
VАВСDА В С D1  S осн.  h . S осн.  S прям оуг  АВ  ВС  bc.
D
1 2
2
С
OA 
b c .
Рисунок-7
1 1 1
2
Из А1ОА - прямоугольного, находим
2
1
1 2

2
AA1  AO 2  а 2  
b  c2  
4a 2  b 2  c 2 .
2
2

1
Тогда V АВСDА1В1С1D1  bc  4а 2  b 2  c 2 .
2
1
Ответ: bc  4а 2  b 2  c 2 .
2
h  А1О 
Комментарий к задаче
Определив вид наклонной призмы, исходя из условия равноудалённости
одной из вершин верхнего основания от всех вершин нижнего основания
призмы, удалось уточнить вид четырёхугольника, лежащего в основании, и
определить расположение проекции рассматриваемой вершины на плоскость
нижнего основания, т.е. изобразить высоту наклонной призмы. Всё это
облегчило последующее решение задачи.
Задача 29: Основанием пирамиды является треугольник со сторонами
12см , 10см и 10см . Каждая боковая грань пирамиды наклонена к основанию под
углом 45 . Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
Решение: Т.к. все боковые грани пирамиды
равнонаклонены к основанию, следовательно,
вершина пирамиды проектируется в центр
вписанной окружности основания, т.е. в точку
пересечения биссектрис основания – O .
Т.к. ABC – равнобедренный, AB  AC  10см ,
то O принадлежит AL – медиане, биссектрисе,
высоте ABC (рис. 8).
Рисунок-8
По свойству данного вида неправильных пирамид S бп 
19
S осн
.
cos 
abc
 16см ,
2
48
 48 2см 2 .
тогда S осн  16(16  12)(16  10)(16  10)  48см 2 . В итоге S бп 

cos 45
2
Ответ: 48 2см .
S осн 
p( p  a)( p  b)( p  c) , p 
Комментарий к задаче
В задаче наглядно иллюстрируется на сколько определение вида
неправильной пирамиды, исходя из условия равнонаклонённости боковых
граней к основанию, и использование свойства данного вида неправильных
пирамид облегчило последующее решение задачи.
Задача 30: В основании треугольной пирамиды лежит правильный
треугольник со стороной 1 . Боковые грани наклонены к плоскости основания
под равными углами. Одно из боковых рёбер равно 7 , а два других меньше
его. Найдите объём пирамиды.
Решение: Т.к. боковые грани пирамиды наклонены к плоскости
основания под равными углами, то вершина пирамиды проектируется в центр
вписанной или вневписанной окружности. В первом случае пирамида будет
правильной, т.к. её основанием является правильный треугольник. Но этого
быть не может, т.к. одно боковое ребро пирамиды больше двух других. Значит,
вершина пирамиды проектируется в центр вневписанной окружности- точку O
(рис. 9), причём именно SC  7 .
Точка O получена как точка пересечения
биссектрис внутреннего ACB и внешних
углов при вершинах A и B .
1
S осн  h
3
a2 3
3


4
4
Vпир 
S о сн
Т.к. треугольник ABC является правильным,
то CO содержит CH - медиану, биссектрису и высоту
Рисунок-9
ABC , тогда OH - радиус вневписанной окружности.
Построим OM  CA , тогда OM также радиус вневписанной окружности
ABC . Введём обозначение: OH  OM  rc .
Пусть Q - центр вписанной окружности правильного ABC , а QH , QN радиусы вписанной окружности ABC , где BN - медиана, биссектриса и высота
1
3
1
3
3
3

.
2
6
Прямоугольные треугольники CQN и COM подобны по двум углам.
CQ QN

Тогда выполняется равенство:
.
CO OM
2
2 3
3
3
CQ  CH  

, CO  CH  rc 
 rc .
3
3 2
3
2
правильного ABC . Тогда QH  QN  BN  
20
Получаем уравнение:
3
3
3
 rc
2
3
3
.
 6 , из которого находим rc 
2
rc
3
3

 3 и h  SO  SC 2  CO2  7  3  2 .
2
2
1 3
3
Vпир  
2 
.
3 4
6
3
Ответ:
.
6
Тогда CO 
Комментарий к задаче
1) Задача наглядно иллюстрирует существование неправильной пирамиды,
вершина которой проектируется в центр вневписанной окружности основания.
Поэтому нахождение высоты такой пирамиды связано с определением радиуса
вневписанной окружности основания.
2) Следует отметить, что в данной задачной ситуации нахождение радиуса
вневписанной окружности треугольника в основании возможно несколькими
способами. Одним из таких способов является использование известных из
курса планиметрии формул rc 
S
pc
и rc 
 p  a  p  b  , где
r
rc - радиус
вневписанной окружности, касающейся стороны c треугольника в основании
пирамиды, S - площадь этого треугольника, p - полупериметр этого
треугольника, r - радиус вписанной окружности этого треугольника, a и b другие две стороны этого треугольника.
Задача 31: Основанием наклонной призмы
АВСDА1 В1С1 D1 является
параллелограмм ABCD , диагонали которого равны 6см и 8см . Вершина D1
равноудалена от сторон нижнего основания. Высота призмы равна 5см .
Найдите площадь полной поверхности призмы.
Решение: Т.к. D1 равноудалена от сторон
нижнего основания призмы, то D1
проектируется в центр вписанной
окружности параллелограмма ABCD точку O , тогда ABCD – ромб и O –
точка пересечения диагоналей BD и AC
(рис. 10).
1
AC  BD  24см 2 .
2
 S CC1D1D  S DD1 A1 A .
S пол  S бп  2S осн , S осн 
S бп  S AA1B1B  S BB1C1C
S AA1B1B  S CC1D1D , S BB1C1C  S DD1 A1 A , как
площади попарно равных противоположных
граней параллелепипеда. S CC D D  S DD A A ,
как площади равных параллелограммов,
т.к. соответствующие стороны и, исходя
1 1
1 1
21
Рисунок-10
из равноудалённости D1 от сторон нижнего основания, высоты D1 K и D1 H этих
граней равны. Тогда S бп  4S DD A A  4 D1 H  AD . По теореме, обратной теореме о
трёх перпендикулярах, OH  AD , т.е. OH - радиус вписанной окружности ABCD ,
1 1
AO  DO
3 4
12


 2,4см . Из D1OH - прямоугольного, находим
AD
5
32  4 2
769
769
D1 H  D1O 2  OH 2  5 2  2,4 2 
см . Тогда S бп  4 
 5  769см 2 ,
5
5
2
S пол  769  48см .
тогда OH 
Ответ: 769  48см 2 .
Комментарий к задаче
Определив вид наклонной призмы, исходя из условия равноудалённости
одной из вершин верхнего основания от всех сторон нижнего основания
призмы, удалось уточнить вид четырёхугольника, лежащего в основании, и
определить расположение проекции рассматриваемой вершины на плоскость
нижнего основания, т.е. изобразить высоту наклонной призмы. Всё это
облегчило последующее решение задачи.
Задача 32: Основанием пирамиды является треугольник со сторонами 3 ,
4 и 5 . Боковая грань пирамиды, проходящая через меньшую сторону
основания, перпендикулярна к основанию, а противоположное ей боковое
ребро образует со смежными сторонами основания углы 60  . Найдите площадь
S
боковой поверхности пирамиды.
Решение: Пусть боковая грань ASC пирамиды, проходящая через меньшую сторону
основания AC  3 , перпендикулярна к основанию, тогда высота пирамиды принадлежит
A
плоскости этой грани. С другой стороны, т.к.
B
противоположное ей боковое ребро SB обраH
зует со смежными сторонами основания AB  5
и BC  4 равные острые углы, то вершина пираРисунок-11
C
миды проектируется на биссектрису ABC . В итоге, SH - высота пирамиды
SABC (рис. 11), где BH - биссектриса ABC и H  AC .
Треугольник ABC - прямоугольный, т.к. AB 2  AC 2  BC 2 , т.е. ACB  90  .
Тогда по теореме о трёх перпендикулярах SC  BC , т.е. SC - высота боковой
грани BSC , а значит задаёт и высоту грани ASB , в силу одного из равносильных
свойств к условию «одно боковое ребро пирамиды образует равные острые
углы со смежными сторонами основания» (см. пункт Б с. 15).
1
( SH  AC  SC   AB  BC ) В прямоугольном SCB
2
SBC  60  и BC  4 , тогда SC  4 3 . Т.к. BH - биссектриса ABC , то по
AH AB

свойству биссектрисы треугольника
. Пусть HC  x , тогда имеем
HC BC
3 x 5
4
 , решая которое, получаем: x  .
уравнение:
x
4
3
S бп  S ASC  S ASB  S BSC 
22
Из прямоугольного SHC находим катет SH  SC 2  HC 2  4 26 .

1
(4 26  3  4 3  5  4 )  6 26  3 3
2
Ответ: 6 26  3 3 .
S бп 



Комментарий к задаче
1) Задача наглядно иллюстрирует существование неправильной пирамиды
смешанного вида: исходя из условия «одна боковая грань пирамиды
перпендикулярна к основанию», делается вывод, что высота пирамиды
принадлежит плоскости этой боковой грани, т.е. вершина пирамиды
проектируется на прямую, содержащую соответствующую сторону основания;
исходя из условия «одно боковое ребро пирамиды образует равные острые
углы со смежными сторонами основания», делается вывод, что вершина
пирамиды проектируется на биссектрису соответствующего угла основания.
Далее по ходу решения используется ещё одно из равносильных свойств:
вершина пирамиды равноудалена от прямых, содержащих две стороны
основания.
2) В задаче используется много теоретического материала из планиметрии и
стереометрии: теорема Пифагора и ей обратная (критерий) для прямоугольного
треугольника, соотношения в прямоугольном треугольнике, свойство
биссектрисы
треугольника,
использование
которого
приводит
к
алгебраическому способу нахождения неизвестной вспомогательной линейной
величины, теорема о трёх перпендикулярах.
Задача 33: В основании наклонной призмы ABCA1 B1C1 лежит
прямоугольный треугольник ABC с катетом BC  a и C  90  . Вершина B1
верхнего основания призмы проектируется на середину катета BC . Двугранный
угол, образованный боковыми гранями, проводящими соответственно через
катет BC и гипотенузу AB , равен  . Боковые рёбра наклонены к плоскости
основания под углом  . Найдите площадь боковой поверхности призмы.
Решение: Т.к. вершина B1 верхнего основания призмы проектируется на
середину катета BC , то боковая грань BB1C1C призмы перпендикулярна к
основанию и высота B1 D призмы принадлежит плоскости этой грани, где D середина BC (рис. 12).
C
Чтобы ввести в рассмотрение заданный
a
двугранный угол  , нужно построить его
B
A
линейный угол, проведя плоскость,
перпендикулярную к боковому ребру BB1 .
E
α
Докажем, что эту плоскость можно
C
провести через AC , т.е. AC  BB1 . Это
β
D
B
A
выполняется в силу теоремы о трёх
перпендикулярах, т.к. B1 D  ABC , BB1 Рисунок-12
наклонная к ABC , BD - проекция BB1 на
1
1
1
23
ABC , а BD  AC . Тогда проведём AE  BB1 и получаем сечение призмы
плоскостью AEC  BB1 . В итоге AEC - линейный угол двугранного ABB1C , т.е.
AEC   .
Треугольник AEC - есть перпендикулярное сечение призмы, поэтому
S бп  PAEC  BB1 .
В прямоугольном CBE EBC  ( BB1 , ABC )   , тогда CE  a sin  .
AC  BB1 и AC  BC , значит по признаку AC  BB1C , т.е. AEC -
CE
a sin 

, AC  CEtg  a sin tg . В результате
cos 
cos 




a sin   2 cos 2  2 sin cos 
1  a sin  cos   sin   1
2
2
2


PAEC  a sin  1  tg 



cos  
cos 
cos 

   



2a sin  cos (cos  sin ) 2 2a sin  cos sin  45  
2 
2
2
2
2 

.
cos 
cos 
BD
a
Из прямоугольного BB1 D находим: BB1 
. В итоге

cos  2 cos 
прямоугольный. Тогда AE 


sin  45   
a
2 
2


cos 
2 cos 
2 2a sin  cos
S бп 



sin  45   
2 
2


sin 90  
2a 2 tg cos


Ответ:
2a 2 tg cos


2a 2 tg cos

2
  
2 cos 45  
2

2 .
  
2 cos 45  
2

Комментарий к задаче
1) В данной задаче используется формула нахождения площади боковой
поверхности
наклонной
призмы
через
произведение
периметра
перпендикулярного сечения на боковое ребро призмы. Её использование было
обусловлено построением указанного перпендикулярного сечения при
нахождении линейного угла двугранного угла при боковом ребре призмы.
Примечательно, что здесь присутствует особый случай прохождения этого
сечения: через сторону основания, в силу взаимной перпендикулярности
соответствующего бокового ребра и стороны основания.
2) В задаче используется много теоретического материала из планиметрии и
стереометрии: тригонометрические функции в прямоугольном треугольнике,
понятия угла между прямой и плоскостью, линейного угла для двугранного
угла, теорема о трёх перпендикулярах, признак и определение
перпендикулярности прямой и плоскости. Проводится серьёзная работа по
преобразованию тригонометрических выражений.
24
Задачи
34. В наклонной треугольной призме две боковые грани взаимно
перпендикулярны, а их общее боковое ребро, отстоящее от других боковых
рёбер на расстоянии 12см и 35см соответственно, равно 24см . Найдите площадь
боковой поверхности призмы.
35. Площадь одной из боковых граней треугольной призмы равна m 2 . Найдите
объём призмы, если расстояние от противоположного ребра до плоскости этой
грани равно 2a .
36. Основанием пирамиды является равнобедренный треугольник с углом 120  .
Боковые рёбра образуют с её высотой, равной 16cм , углы 45 . Найдите площадь
основания пирамиды.
37. Основанием пирамиды DABC является равнобедренный треугольник ABC , в
котором стороны AB и AC равны, BC  6см , высота AH  9см . Известно также,
что DA  DB  DC  13см . Найдите высоту пирамиды.
38. В треугольной пирамиде все боковые рёбра и две стороны основания равны
между собой и равны b , угол между равными сторонами основания равен  .
Определите объём пирамиды.
39. Основание пирамиды — прямоугольный треугольник с катетами 6см и
8см . Высота пирамиды проходит через центр описанной окружности
основания и равна гипотенузе. Найдите боковые рёбра пирамиды.
40. Основание четырехугольной пирамиды – прямоугольник с диагональю b и
углом  между диагоналями. Боковые рёбра наклонены к плоскости основания
под одним и тем же углом. Найдите этот угол, если объём пирамиды равен V .
41.
Найдите
объём
треугольной
пирамиды
,
если
SABC

CAB  90 , BC  c, ABC   и каждое боковое ребро составляет с плоскостью
основания угол  .
42. Основанием треугольной пирамиды SABC является равносторонний
треугольник, сторона которого равна 4 . Известно также, что
SA  SB  19 , SC  3 . Найдите высоту пирамиды.
43. Основанием призмы ABCA1 B1C1 является прямоугольный треугольник ABC с
прямым углом A , AB  m и C   . Вершина A1 равноудалена от вершин
треугольника ABC , а ребро AA1 составляет с плоскостью основания угол  .
Найдите объём призмы.
44. Основанием наклонной призмы ABCDA1 B1C1 D1 является ромб ABCD с острым
углом A , равным  и стороной a . Известно, что вершина A1 призмы удалена
на расстоянии a от точек A, B, D . Найдите площадь диагонального сечения
BB1 D1 D и объём призмы.
45. Основанием наклонной призмы ABCDA1 B1C1 D1 является параллелограмм
ABCD со сторонами AB  7 и AD  24 . Вершина A1 равноудалена от вершин
нижнего основания, ребро AA1 составляет с плоскостью основания угол 45 .
Найти объём призмы.
46. Основанием пирамиды является ромб, сторона которого равна 5см , а одна
из диагоналей равна 8см . Найдите боковые рёбра пирамиды и площадь боковой
25
поверхности пирамиды, если высота её проходит через точку пересечения
диагоналей основания и равна 7см .
47. Высота треугольной пирамиды равна 40см , а высота каждой боковой грани,
проведенная из вершины пирамиды, равна 41см . Найдите площадь основания
пирамиды, если его периметр равен 42см .
48. Вершина пирамиды равноудалена от всех сторон основания. Основанием
пирамиды является параллелограмм, со стороной 5см и меньшей диагональю
6см . Высота пирамиды равна 3,2см . Найдите высоты всех боковых граней
пирамиды, проведенные из её вершины, площадь полной поверхности
пирамиды и объём пирамиды.
49. В основании пирамиды SABC лежит параллелограмм ABCD со стороной 4см
и одним из углов в 60  . Найдите объём пирамиды, если каждое боковое ребро
пирамиды образует равные углы со смежными сторонами основания и
SDA  SDC  45  .
50. В основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник ABC , в котором
угол C – прямой, BC  3см, АС  4см . Все боковые грани наклонены основанию
4
под одним углом, тангенс которого равен 5 . Найдите площадь боковой
поверхности пирамиды.
51. Основанием пирамиды является ромб со стороной 6см . Боковые грани
пирамиды образуют с высотой угол 45 . Найдите объём пирамиды, если её
высота равна 1,5см .
52. В основании треугольной пирамиды лежит треугольник со сторонами
12,14,16 . Боковые грани наклонены к плоскости основания под углом 60 .
Найдите объём пирамиды.
53. В основании пирамиды лежит выпуклый четырёхугольник, две стороны
которого равны 10 , а две другие равны 6 . Высота пирамиды равна 7 .
Плоскости боковых граней наклонены к плоскости основания под углом 60  .
Найдите объём пирамиды.
54. Дана призма ABCDA1 B1C1 D1 , в основании которой лежит прямоугольник
ABCD . Вершина B1 равноудалена от сторон нижнего основания, AB  a, BB1  c .
Найдите объём призмы.
55. Вершина A1 треугольной призмы ABCA1 B1C1 проектируется в центр вписанной
окружности нижнего основания. Стороны нижнего основания соответственно
равны 4,7,9 . Высота призмы равна 10 . Вычислите площадь боковой грани
AA1 B1 B призмы.
56. Основанием наклонного параллелепипеда является прямоугольник со
сторонами a и b . Боковое ребро длины c составляет со смежными сторонами
основания углы, равные  . Найдите объём параллелепипеда.
57. Все грани параллелепипеда – равные ромбы, диагонали которых равны
6см и 8см . Найдите объём параллелепипеда.
58. Основанием треугольной пирамиды является прямоугольный треугольник с
гипотенузой 6см и острым углом 60  . Боковая грань пирамиды, проходящая
26
через гипотенузу, перпендикулярна к основанию, а две другие боковые грани
наклонены к нему под углом 30  . Найдите объём пирамиды.
59. Основанием пирамиды SABC является треугольник ABC , в котором
AB  BC  a, ABC   . Боковая грань SBC перпендикулярна к основанию, а две
другие боковые грани наклонены к нему под углом  . Найдите объём
пирамиды.
60. Основанием пирамиды является квадрат ABCD со стороной a . Боковая
грань SAB перпендикулярна к плоскости основания, а двугранные углы при
ребрах BC и AD равны  . Найдите объём пирамиды и площадь её боковой
поверхности.
61. Основанием пирамиды служит прямоугольник. Одна боковая грань
пирамиды перпендикулярна к основанию, а три другие боковые грани
наклонены к основанию под углом 60  . Высота пирамиды равна 6 . Найдите
объём пирамиды.
62. Основание пирамиды – правильный треугольник со стороной a . Одна
боковая грань перпендикулярна к плоскости основания, а две другие наклонены
к нему под углом  . Найдите углы наклона боковых рёбер к плоскости
основания.
63. Основанием пирамиды MABC является треугольник ABC , в котором
AB  AC  4см, BAC  60  . Боковая грань MAC перпендикулярна к основанию, а
боковое ребро MB образует с рёбрами BA и BC углы 45 . Найдите площадь
грани AMB и объём пирамиды.
64. В основании наклонной призмы лежит правильный треугольник со
стороной, равной a . Одна из боковых граней призмы перпендикулярна
плоскости основания и представляет собой ромб, диагональ которого равна b .
Найдите объём призмы.
65. В наклонной четырёхугольной призме основании лежит квадрат. Две
противоположные боковые грани с острым углом 60  перпендикулярны к
плоскости основания. Все рёбра параллелепипеда равны 4см . Найдите площадь
каждой боковой грани.
66. Основанием параллелепипеда служит ромб со стороной a и острым углом
30  . Боковое ребро параллелепипеда составляет с плоскостью основания угол в
60  . Диагональ одной боковой грани перпендикулярна к плоскости основания.
Найдите объём параллелепипеда.
67. Основанием пирамиды SABCD является квадрат ABCD . Ребро SA
перпендикулярно к основанию. Площадь основания в m раз меньше площади
боковой поверхности. Найдите двугранные углы при рёбрах BC и CD .
68. Основанием пирамиды является квадрат. Одно из боковых рёбер
перпендикулярно к основанию. Боковая грань, не проходящая через высоту
пирамиды, наклонена к основанию под углом 45 . Наибольшее боковое ребро
пирамиды равно 12см . Найдите высоту пирамиды и площадь боковой
поверхности пирамиды.
69. Дана пирамида SABCDEF , в основании которой – правильный
шестиугольник ABCDEF со стороной 2 . Ребро SA пирамиды составляет угол
27
30  с плоскостью основания, а боковые грани SDE и SAF перпендикулярны к
основанию. Найдите объём пирамиды.
70. Основанием пирамиды SABC является треугольник ABC , в котором
C  90  . Две боковые грани, проходящие через катеты, перпендикулярны к
основанию, а третья - наклонены к нему под углом 45 . Найдите объём
пирамиды, если площадь грани SAB равна 32см 2 , а высота пирамиды равна
12см .
71. Основанием пирамиды служит прямоугольник, у которого угол между
диагоналями равен  . Одно из боковых рёбер перпендикулярно к плоскости
основания, а наибольшее из боковых рёбер равно d и составляет с плоскостью
основания угол, равный  . Найдите объём пирамиды.
72. Основание пирамиды SABCD – прямоугольная трапеция ABCD , у которой
меньшее основание BC равно 3см , меньшая боковая сторона AB равна 2см и
острый угол равен 45 . Две её боковые грани перпендикулярны к плоскости
основания. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды, если высота
пирамиды равна 4см .
73. Грани SAB и SAC пирамиды SABC - равные прямоугольные треугольники с
общим катетом, равным m . Угол между этими гранями равен  . Две другие
грани пирамиды образуют двугранный угол, равный  . Найдите площадь
полной поверхности и объём пирамиды.
Ответы
3. 45 ,135  ; 4. 2023  6 3 см 2 ; 5.
1
4
h 3 cos    cos   
; 6. 580см 2 ;
sin 2   cos   sin 
7. d 3 sin 2  sin 2  cos  ; 8. 432 3см 3 ; 9. а)
11.
75 3
; б) 1,5 2 ; 10. 45 ;
4
h 2  cos  3
1 3
a 2 b  c 
2
2
d
sin

4
cos


1
;
12.
;
13.
; 14. а)
3
2
sin 2 
9 H 2  3a 2
;
3
3H
2 3H
3H 2  a 2
б) 2 arcsin
; в) arctg
; г) arctg
; д) 2arctg
;
a
a
3H
2 9 H 2  3a 2
3a
15. а)
m cos 

; б)

m

2
; в) arccos(tg ) ; г) 2 arcsin

2
;
2 sin
2 cos
2
2
2
ab 2
sin  (sin   1)
ab
16. 4h 2
; 17. 0,5m ; 19. прямоуголь ник , ; 20. а)
;
2
4
4
cos 
2 sin
22. 54см 2 ; 23. а)
24.
l sin 2 cos  3
l cos  3  4 cos 
; б)
; в)
8
3
3
3
2
2
l 3 sin 2

2
3  4 sin 2
3
d  ctg 2  3 12  3tg 2
m 3 cos 
4H 3
; 25. а)
; б)
; 26. 6 471см 3 , 6 498см 2 ;

8
3tg
6 sin
2
28

2
;
b 3 sin
34. 2016см ; 35. am ; 36. 64 3см ; 37. 12см ; 38.
2
2
40. arctg
a 3 sin

2
12V
c 3 sin 2tg
;
41.
; 42.
b 3 sin 
24
1  2 cos  ; 45. 2100 ; 46.
246
25,6см 3 ; 49. 8 2см 3 ; 50.
5 41

2
2 cos   1
; 39. 5 5см ;
6
33

m 3 cos   tg
; 43.
; 44. 2a 2 sin ;
2
2
2
4 sin 
58см, 65см ,74см 2 ; 47. 189см 2 ; 48. 4см , 52см 2 ,
см 2 ; 51. 9см 3 ; 52. 105 3 , или 245 3 , или 315 3 ,
4 2545
a 2 4c 2  2a 2
196 3
или 441 3 ; 53.
; 54.
; 55.
abc  cos 2 см 3 ;
;
56.
5
9
2
3
2
a sin   tg
9 3 3
a 3 tg a 2 (2  sin   1  3 cos 2  )
3
18
39
см
;
58.
59.
57.
;
;
  ; 60. 6 ;
4

4 cos 
6 2 sin  1
2 



 tg  3 
ab 12a 2  3b 2
 tg 
2
3


6
см
,
4
2
см
arctg
,
arctg
;
62.
;
63.
64.
48


61.
;
;


4
8
 2 




a3 3
2m
arccos 2
;
67.
; 68. 4 3,48 2  1 ; 69. 8 ; 70. 64 2 ;
2
m 1
d 3 sin   sin 2  cos 
10  5 5  41см 2 , или 11  5 5  4 2см 2 , или
71.
;
72.
24
10  4 2  3 5  41см 2 , или 14  3 5  57см 2 , или 11,5  4 2  2,5 41см 2 ;
65. 16 ; 8 3 ; 66.


m 2  ctg   sin   sin  m 3  tg   ctg 2 
2

2
,
73.
.

3
sin   cos
2
29
Контрольная работа
1. Основанием прямого параллелепипеда служит ромб. Найдите объём и
площадь полной поверхности параллелепипеда, если его диагонали составляют
с плоскостью основания углы  и  (    ), а его высота равна h .
2. Основанием пирамиды является прямоугольный треугольник с гипотенузой
c и острым углом  . Боковая грань пирамиды, проходящая через катет,
прилегающий к данному острому углу, перпендикулярна к основанию, а две
другие боковые грани наклонены к основанию под углом  . Найдите объём и
площадь полной поверхности пирамиды.
30
Список литературы
Основная литература:
1. Геометрия: Учебник для 10-11 классов средней школы/ Л. С. Атанасян, В. Ф.
Бутузов, С. Б. Кадомцев и др.- М., 2010.
2. Григорьева Т.П., Кузнецова Л.И. Расстояния и углы в стереометрии: Учеб.метод. пособие. – Н.Новгород, 2010.
3. Огурцова О.К. Методика изучения темы «Виды неправильных пирамид и
наклонных призм» на практических занятиях курса «Элементарная
математика»/ Современные проблемы теории и практики общеобразов. и
высшей пед. школы: Информационный бюллетень науч.-метод. отдела.
Выпуск 7.– Н. Новгород, 2005.
Дополнительная литература:
1. Аргунов Б. И., Балк М. Б. Элементарная геометрия.- М., 1966.
2. Атанасян Л.С., Денисова Н.С., Силаев Е.В. Курс элементарной геометрии Ч.
II. Стереометрия. – М., 1992.
3. В помощь учителю математики (методические рекомендации по решению
стереометрических задач на доказательство и вычисление). – Горький, 1984.
4. Гусев В. А., Литвиненко В. И., Мордкович А. Г. Практикум по элементарной
математике. Геометрия.- М., 1992.
5. ЕГЭ 2012. Математика. Типовые тестовые задания/ Высоцкий И.Р. и др./ под
ред. Семёнова А.Л., Ященко И.В. – М.: Изд-во «Экзамен», 2012.
6. ЕГЭ 2013. Математика. 30 вариантов типовых тестовых заданий и 800
заданий части 2 (С)/ Высоцкий И.Р. и др./ под ред. Семёнова А.Л., Ященко
И.В. – М.: Изд-во «Экзамен», 2013.
7. Пособие по элементарной математике: Методы решения задач. Ч. 2/
Григорьева Т.П., Кузнецова Л.И., Перевощикова Е.Н., Пыжьянова А.Н. – Н.
Новгород, 2000.
8. Справочное пособие по методам решения задач по математике для средней
школы/А.Г. Цыпкин, А.И. Пинский. – М., 1983.
9. Энциклопедия элементарной математики. Книга 1V. Геометрия.- М.-Л.,
1963. Книга V. Геометрия.- М., 1966.
10.Учебники по математике для средней школы.
11.Периодические издания: журналы «Математика в школе», «Математика для
школьников», «Квант», газета «Математика» – приложение к газете «Первое
сентября».
Базы данных, информационно-справочные и поисковые системы:
1. www.biblioclub.ru ЭБС «Университетская библиотека онлайн»
2. www.elibrary.ru Научная электронная библиотека
3. www.ebiblioteka.ru Универсальные базы данных изданий
31