6-7 класс, серия 3

6 класс, цифры.
6 класс, цифры.
1. Найдите хотя бы одно натуральное число, которое при умножении на 111 дает на конце 2012.
1. Найдите хотя бы одно натуральное число, которое при умножении на 111 дает на конце 2012.
2. Докажите, что если в числе 12008 между нулями вставить любое количество троек, то получится число, делящееся на 19.
2. Докажите, что если в числе 12008 между нулями вставить любое количество троек, то получится число, делящееся на 19.
3. В числе A цифры идут в возрастающем порядке (слева направо). Чему равна сумма цифр числа 9· A ?
3. В числе A цифры идут в возрастающем порядке (слева направо). Чему равна сумма цифр числа 9· A ?
4. В трехзначном числе цифры переставили в обратном порядке. а) Докажите, что разность нового и первоначального
числа делится на 99. б) Верно ли это для четырехзначного или
пятизначного числа? Если да – докажите, если нет – приведите контрпример.
4. В трехзначном числе цифры переставили в обратном порядке. а) Докажите, что разность нового и первоначального
числа делится на 99. б) Верно ли это для четырехзначного или
пятизначного числа? Если да – докажите, если нет – приведите контрпример.
5. Найдите семь таких идущих подряд целых чисел, что сумма трех пер-
5. Найдите семь таких идущих подряд целых чисел, что сумма трех пер-
вых равна сумме четырех последних ( надо найти ВСЕ ответы).
вых равна сумме четырех последних ( надо найти ВСЕ ответы).
6. Сумма цифр трехзначного числа равна 7. Докажите, что это
число делится на 7 тогда и только тогда, когда две его последние цифры равны.
6. Сумма цифр трехзначного числа равна 7. Докажите, что это
число делится на 7 тогда и только тогда, когда две его последние цифры равны
7. Натуральные числа M и K отличаются перестановкой
цифр. Доказать, что а) сумма цифр 2M равна сумме цифр 2K;
7. Натуральные числа M и K отличаются перестановкой цифр.
Доказать, что а) сумма цифр 2M равна сумме цифр 2K;
б) сумма цифр M/2 равна сумме цифр K/2 (если M и K чётны);
в) сумма цифр 5M равна сумме цифр 5K.
б) сумма цифр M/2 равна сумме цифр K/2 (если M и K чётны);
в) сумма цифр 5M равна сумме цифр 5K.
8. Дано несколько чисел. Каждое из них разделили на их сумму и полу-
8. Дано несколько чисел. Каждое из них разделили на их сумму и полу-
ченные результаты сложили. Чему равна такая сумма?
ченные результаты сложили. Чему равна такая сумма?
9. На доске написаны числа 25 и 36. За ход разрешается дописать
еще одно натуральное число – разность любых двух имеющихся
на доске чисел, если она еще не встречалась. Проигрывает тот, кто не может
сделать ход. Кто выиграет при правильной игре?
9. На доске написаны числа 25 и 36. За ход разрешается дописать
еще одно натуральное число – разность любых двух имеющихся
на доске чисел, если она еще не встречалась. Проигрывает тот, кто не может
сделать ход. Кто выиграет при правильной игре?
10. Каждый житель острова Невезения — либо рыцарь, который всегда говорит
правду, либо лжец, который всегда лжёт, причём лжецов на острове ровно 33.
Однажды каждый житель острова заявил: «Среди всех жителей острова, не считая меня, не меньше трети лжецов». Сколько жителей может быть на острове?
Перечислите все возможности и докажите, что других возможностей нет.
10. Каждый житель острова Невезения — либо рыцарь, который всегда говорит
правду, либо лжец, который всегда лжёт, причём лжецов на острове ровно 33.
Однажды каждый житель острова заявил: «Среди всех жителей острова, не считая меня, не меньше трети лжецов». Сколько жителей может быть на острове?
Перечислите все возможности и докажите, что других возможностей нет.
6 класс, ост ат ки, цифры и Айболит .
6 класс, ост ат ки, цифры и Айболит .
11. Найдите хотя бы одно натуральное число, которое при умножении на
11223344 дает на конце 2012.
11. Найдите хотя бы одно натуральное число, которое при умножении на
11223344 дает на конце 2012.
12. Из книги выпал кусок, первая страница которого
имеет номер 439, а номер последней записывается
теми же цифрами в каком-то другом порядке. Сколько
страниц в выпавшем куске?
12. Из книги выпал кусок, первая страница которого
имеет номер 439, а номер последней записывается
теми же цифрами в каком-то другом порядке. Сколько
страниц в выпавшем куске?
13. 𝑎𝑏𝑐 + 𝑏𝑐𝑑 + 𝑐𝑑𝑎 + 𝑑𝑎𝑏 делится на 9. Доказать, что
𝑎𝑏𝑐𝑑 делится на 3.
14. 𝑎𝑏𝑐𝑑𝑒𝑓 делится на 37. Доказать, что 𝑏𝑐𝑑𝑒𝑓𝑎 делится на 37.
15. 𝑎𝑏𝑐𝑑𝑒𝑓 делится на 37. Доказать, что 𝑎𝑏𝑐 + 𝑑𝑒𝑓 делится на 37. Верно ли обратное?
13. 𝑎𝑏𝑐 + 𝑏𝑐𝑑 + 𝑐𝑑𝑎 + 𝑑𝑎𝑏 делится на 9. Доказать, что
𝑎𝑏𝑐𝑑 делится на 3.
14. 𝑎𝑏𝑐𝑑𝑒𝑓 делится на 37. Доказать, что 𝑏𝑐𝑑𝑒𝑓𝑎 делится на 37.
15. 𝑎𝑏𝑐𝑑𝑒𝑓 делится на 37. Доказать, что 𝑎𝑏𝑐 + 𝑑𝑒𝑓 делится на 37. Верно ли обратное?
16. Сумма цифр числа A равна сумме цифр числа 2A.
Доказать, что число A делится на 9.
16. Сумма цифр числа A равна сумме цифр числа 2A.
Доказать, что число A делится на 9.
17. Доктор Айболит раздал нескольким заболевшим
обезьянам 2012 чудодейственных таблеток. При этом
он построил обезьян по росту, и каждой следующей
давал на одну таблетку больше, чем предыдущей.
Сколько было обезьян, если их было не больше 11?
18. Найдите остаток от деления а) 2100 на 3; б) 6100 на
7.
17. Доктор Айболит раздал нескольким заболевшим
обезьянам 2012 чудодейственных таблеток. При этом
он построил обезьян по росту, и каждой следующей
давал на одну таблетку больше, чем предыдущей.
Сколько было обезьян, если их было не больше 11?
18. Найдите остаток от деления а) 2100 на 3; б) 6100 на
7.
19. Найдите остаток от деления 32012 на 7.
19. Найдите остаток от деления 32012 на 7.
20. Докажите, что дробь
5n  4
несократима при всех натуральных n.
6n  5
20. Докажите, что дробь
5n  4
несократима при всех натуральных n.
6n  5
6-7 класс, серия 3, (без)умные дет и
6-7 класс, серия 3, (без)умные дет и
21. Над строкой можно производить следующие операции: стереть все числа, стоящие на четных местах или стереть все числа, стоящие на нечетных
местах. Над строкой 1, 2, 3, ..., 100 последовательно выполняют одну из указанных операций до тех пор, пока не останется два числа. Могут ли они оба делится на 3?
22. Найдите наименьшее натуральное число, которое
при умножении на 5 становится квадратом, а при умножении на 7 - кубом целого числа.
23. Маня и Таня получили от учителя два одинаковых
числа А и В. Маня разделила оба числа на 7, получила
два частных a и b и два остатка α и , потом сложила два частных, получив
a+b и отдельно сложила два остатка α+. Таня же сначала сложила A+B, потом разделила получившуюся сумму на 29. Верно ли, что её частное равно
a+b, а остаток равен α+?
24. Саня и Ваня делали то же самое, что и девочки в
предыдущей задаче, только искали не сумму, а произведение. Тот же вопрос.
25. Оля и Поля повторили их подвиги, но искали разность.
Тот же вопрос.
26. Коля и Толя были самыми умными. Они решили заняться делением. И, что удивительно, они как-то научились делить остатки.
Попробуйте сделать это и вы, например, А=18, B=34.
27. На доске написаны два 2012-значных числа. Известно, что из обоих чисел
можно вычеркнуть по 7 цифр так, чтобы получились одинаковые числа. Докажите, что в исходные числа можно вписать
по 7 цифр так, чтобы тоже получились одинаковые числа.
28. Может ли число, записываемое при помощи 100 нулей,
100 единиц и 100 двоек, быть точным квадратом?
29. p, p+2, 2p2+1 – простые числа. Найдите эти числа.
21. Над строкой можно производить следующие операции: стереть все числа, стоящие на четных местах или стереть все числа, стоящие на нечетных
местах. Над строкой 1, 2, 3, ..., 100 последовательно выполняют одну из указанных операций до тех пор, пока не останется два числа. Могут ли они оба делится на 3?
22. Найдите наименьшее натуральное число, которое
при умножении на 5 становится квадратом, а при умножении на 7 - кубом целого числа.
23. Маня и Таня получили от учителя два одинаковых
числа А и В. Маня разделила оба числа на 7, получила
два частных a и b и два остатка α и , потом сложила два частных, получив
a+b и отдельно сложила два остатка α+. Таня же сначала сложила A+B, потом разделила получившуюся сумму на 29. Верно ли, что её частное равно
a+b, а остаток равен α+?
24. Саня и Ваня делали то же самое, что и девочки в
предыдущей задаче, только искали не сумму, а произведение. Тот же вопрос.
25. Оля и Поля повторили их подвиги, но искали разность.
Тот же вопрос.
26. Коля и Толя были самыми умными. Они решили заняться делением. И, что удивительно, они как-то научились делить остатки.
Попробуйте сделать это и вы, например, А=18, B=34.
27. На доске написаны два 2012-значных числа. Известно, что из обоих чисел
можно вычеркнуть по 7 цифр так, чтобы получились одинаковые числа. Докажите, что в исходные числа можно вписать
по 7 цифр так, чтобы тоже получились одинаковые числа.
28. Может ли число, записываемое при помощи 100 нулей,
100 единиц и 100 двоек, быть точным квадратом?
29. p, p+2, 2p2+1 – простые числа. Найдите эти числа.
30. На шахматной доске 88 живет одинокая ладья. Стенкой
называется граница между ДВУМЯ клеточками (длиной в
сторону клеточки), через которую ладья пройти не может. Какое наибольшее
количество стенок можно построить на доске так, чтобы одинокая ладья
могла дойти до любой клетки?
30. На шахматной доске 88 живет одинокая ладья. Стенкой
называется граница между ДВУМЯ клеточками (длиной в
сторону клеточки), через которую ладья пройти не может. Какое наибольшее
количество стенок можно построить на доске так, чтобы одинокая ладья
могла дойти до любой клетки?
6-7 класс, серия 4, ост ат ки
6-7 класс, серия 4, ост ат ки
от т урист ов
от т урист ов
31. Илья записал некоторое 17-значное число, не делящееся на 10, а Ольга переписала это же число в обратном порядке. Ефим же не поленился, и сложил оба числа – Ильи и
Ольги. Докажите, что хотя бы одна цифра того числа, которое получилось у Ефима – четная.
31. Илья записал некоторое 17-значное число, не делящееся на 10, а Ольга переписала это же число в обратном порядке. Ефим же не поленился, и сложил оба числа – Ильи и
Ольги. Докажите, что хотя бы одна цифра того числа, которое получилось у Ефима – четная.
32. Верно ли, что а) если сумма цифр числа делится на 27. то и число делится на
27; б) если число делится на 27, то и его сумма цифр делится на 27?
32. Верно ли, что а) если сумма цифр числа делится на 27. то и число делится на
27; б) если число делится на 27, то и его сумма цифр делится на 27?
33. Докажите, что среди любых 15 чисел найдутся три таких, что все их попарные
разности делятся на 7.
33. Докажите, что среди любых 15 чисел найдутся три таких, что все их попарные
разности делятся на 7.
34. Докажите, что при любом натуральном n а) n3–n делится на 3; б) n5–n делится
на 5; ё) n7–n делится на 7; ы) n11–n делится на 11; ъ)
n13–n делится на 13
34. Докажите, что при любом натуральном n а) n3–n делится на 3; б) n5–n делится
на 5; ё) n7–n делится на 7; ы) n11–n делится на 11; ъ)
n13–n делится на 13
35. Приведите пример такого числа n, что n9–n НЕ
делится на 9.
35. Приведите пример такого числа n, что n9–n НЕ
делится на 9.
36. Докажите, что а) среди любых 6 чисел найдутся
два таких, что их квадраты оканчиваются на одну и ту же цифру; б) среди 51 целого числа найдутся два таких, что их квадраты оканчиваются двумя одинаковыми цифрами.
36. Докажите, что а) среди любых 6 чисел найдутся
два таких, что их квадраты оканчиваются на одну и ту же цифру; б) среди 51 целого числа найдутся два таких, что их квадраты оканчиваются двумя одинаковыми цифрами.
37. Доказать, что n3+5n делится на 6 при любом натуральном n
37. Доказать, что n3+5n делится на 6 при любом натуральном n
38. Найдите остаток от деления 3099+61100 на 31
38. Найдите остаток от деления 3099+61100 на 31
39. У любых двух из 20 детей в одной сельской школе есть общий дед. Докажите, что у какого-то человека в этой школе учатся не менее 14 внуков и внучек
39. У любых двух из 20 детей в одной сельской школе есть общий дед. Докажите, что у какого-то человека в этой школе учатся не менее 14 внуков и внучек
40. На берегу озера три деревни -– A , B и C . Туристы обходят озеро вдоль берега. Они вышли из деревни A двумя
группами; первая группа пошла в сторону B , вторая – в сторону C . Дойдя до этих деревень, туристы разделились: в
каждой группе несколько человек повернули обратно и вернулись в A с той же стороны, откуда вышли. Все остальные
продолжили поход и в конце концов вернулись в A с другой
стороны, обойдя озеро. Известно, что в первой группе было
100 человек, а в C побывало на 10 человек больше, чем в B .
Сколько человек прошло во время похода из C в A?
40. На берегу озера три деревни -– A , B и C . Туристы обходят озеро вдоль берега. Они вышли из деревни A двумя
группами; первая группа пошла в сторону B , вторая – в сторону C . Дойдя до этих деревень, туристы разделились: в
каждой группе несколько человек повернули обратно и вернулись в A с той же стороны, откуда вышли. Все остальные
продолжили поход и в конце концов вернулись в A с другой
стороны, обойдя озеро. Известно, что в первой группе было
100 человек, а в C побывало на 10 человек больше, чем в B .
Сколько человек прошло во время похода из C в A?
6-7 класс, серия 5, комби с повт ором
6-7 класс, серия 5, комби с повт ором
41. Имеется куча с 3N камнями. Двое играют в игру. За ход разрешается выбрать одну из имеющихся куч камней и разбить ее на две или на три
равные кучи (разумеется, если это возможно).
Проигрывает тот, кто не может сделать хода. При
каких N выиграет первый игрок?
41. Имеется куча с 3N камнями. Двое играют в игру. За ход разрешается выбрать одну из имеющихся куч камней и разбить ее на две или на три
равные кучи (разумеется, если это возможно).
Проигрывает тот, кто не может сделать хода. При
каких N выиграет первый игрок?
42. Сколькими способами можно переставить
буквы слова ЭПИГРАФ а) без доп. условий; б) так,
чтобы сначала шли гласные, а потом - согласные?
42. Сколькими способами можно переставить
буквы слова ЭПИГРАФ а) без доп. условий; б) так,
чтобы сначала шли гласные, а потом - согласные?
43. Сколькими способами можно переставить
буквы слова ЭПИГРАФ так, чтобы и гласные, и согласные шли в алфавитном порядке?
43. Сколькими способами можно переставить
буквы слова ЭПИГРАФ так, чтобы и гласные, и согласные шли в алфавитном порядке?
44. Человек имеет 10 друзей и в течении нескольких дней приглашает
некоторых из них в гости так, чтобы
компания ни разу не повторилась (в
какой-то день может не прийти никто). Какое наибольшее число дней
он может так делать?
44. Человек имеет 10 друзей и в течении нескольких дней приглашает
некоторых из них в гости так, чтобы
компания ни разу не повторилась (в
какой-то день может не прийти никто). Какое наибольшее число дней
он может так делать?
45. Пусть A = S(201220122012), В = S(А), C = S(B). Найдите S(B)
45. Пусть A = S(201220122012), В = S(А), C = S(B). Найдите S(B)
46. Докажите, что если (n-1)!+1 делится на n, то n – простое число.
46. Докажите, что если (n-1)!+1 делится на n, то n – простое число.
47. Натуральные числа x, y, z таковы, что x2+y2=z2. Докажите, что хотя бы
одно из чисел делится на а)3; б)5.
47. Натуральные числа x, y, z таковы, что x2+y2=z2. Докажите, что хотя бы
одно из чисел делится на а)3; б)5.
48. Сумма трех чисел a, b и c делится на 30. Докажите, что a5+b5+c5 делится на 30.
48. Сумма трех чисел a, b и c делится на 30. Докажите, что a5+b5+c5 делится на 30.
49. Найдите все пары натуральных чисел, наименьшее общее кратное которых (НОК) равно 78, а наибольший общий делитель (НОД) равен 13.
49. Найдите все пары натуральных чисел, наименьшее общее кратное которых (НОК) равно 78, а наибольший общий делитель (НОД) равен 13.
50. Докажите, что существует такое число n, что все числа n+1, n+2, n+3, …,
n+2012 – составные.
50. Докажите, что существует такое число n, что все числа n+1, n+2, n+3, …,
n+2012 – составные.
6-7 класс, серия 6, НОКи и НОДы
6-7 класс, серия 6, НОКи и НОДы
51. Лестница состоит из 10 ступенек, не считая верхней и нижней площадки.
Спускаясь, можно перепрыгивать через некоторые ступеньки (даже через все
10). Сколько существует способов спуститься по данной лестнице?
51. Лестница состоит из 10 ступенек, не считая верхней и нижней площадки.
Спускаясь, можно перепрыгивать через некоторые ступеньки (даже через все
10). Сколько существует способов спуститься по данной лестнице?
52. Лестница состоит из 10 ступенек,
не считая верхней и нижней площадки. Спускаясь, можно идти подряд или
перепрыгивать через одну ступеньку.
Сколько существует способов спуститься по данной лестнице? А если
еще ко всему прочему научиться перепрыгивать через две?
52. Лестница состоит из 10 ступенек,
не считая верхней и нижней площадки. Спускаясь, можно идти подряд или
перепрыгивать через одну ступеньку.
Сколько существует способов спуститься по данной лестнице? А если
еще ко всему прочему научиться перепрыгивать через две?
53. Можно ли так записать в строку
числа от 1 до 2012 включительно, чтобы сумма любых четырех подряд идущих чисел делилась на 3?
53. Можно ли так записать в строку
числа от 1 до 2012 включительно, чтобы сумма любых четырех подряд идущих чисел делилась на 3?
54. а) Может ли наименьшее общее кратное двух чисел равняться их сумме? б)
Может ли наименьшее общее кратное трех чисел равняться их сумме?
54. а) Может ли наименьшее общее кратное двух чисел равняться их сумме? б)
Может ли наименьшее общее кратное трех чисел равняться их сумме?
55. Докажите, что если НОК(a, a + 5) = НОК(b, b + 5 ) , то a = b.
55. Докажите, что если НОК(a, a + 5) = НОК(b, b + 5 ) , то a = b.
56. На складе лежало несколько целых головок сыра. Ночью пришли крысы и съели несколько целых головок сыра, причем все ели поровну (но не обязательно, что каждая съела целое число головок). В итоге у некоторых
крыс от обжорства заболели животы, а оставшиеся здоровыми 7 крыс пришли на следующую ночь и доели весь
сыр. При этом они опять съели поровну, но вдвое меньше, чем в предыдущую ночь. Сколько головок сыра было
на складе?
56. На складе лежало несколько целых головок сыра. Ночью пришли крысы и съели несколько целых головок сыра, причем все ели поровну (но не обязательно, что каждая съела целое число головок). В итоге у некоторых
крыс от обжорства заболели животы, а оставшиеся здоровыми 7 крыс пришли на следующую ночь и доели весь
сыр. При этом они опять съели поровну, но вдвое меньше, чем в предыдущую ночь. Сколько головок сыра было
на складе?
57. Про два натуральных числа известно, что их НОК в 16 раз больше, чем их
НОД. Докажите, что одно из этих чисел делится на другое.
57. Про два натуральных числа известно, что их НОК в 16 раз больше, чем их
НОД. Докажите, что одно из этих чисел делится на другое.
58. Докажите, что существует отрезок натурального ряда произвольной длины, в
котором не встречаются простые числа.
58. Докажите, что существует отрезок натурального ряда произвольной длины, в
котором не встречаются простые числа.
59. Докажите, что 11n+2+122n+1 делится на 133 при любом натуральном n.
59. Докажите, что 11n+2+122n+1 делится на 133 при любом натуральном n.
60. Докажите, что существует бесконечно много простых чисел.
60. Докажите, что существует бесконечно много простых чисел.
6-7 класс, серия 7, про Евклида
6-7 класс, серия 7, про Евклида
61. Найдите наибольший общий делитель чисел 12n+1 и
30n+2.
61. Найдите наибольший общий делитель чисел 12n+1 и
30n+2.
62. Докажите, что [a,b](a,b) = ab
62. Докажите, что [a,b](a,b) = ab
63. Дан прямоугольник 2012124. От него отрезают квадраты со стороной, совпадающей с меньшей стороной прямоугольника до тех пор, пока это возможно, после чего повторяют ту же операцию с получившимся меньшим прямоугольником. Это продолжается пока процесс не оборвется. Сколько квадратов и каких размеров получится в итоге?
63. Дан прямоугольник 2012124. От него отрезают квадраты со стороной, совпадающей с меньшей стороной прямоугольника до тех пор, пока это возможно, после чего повторяют ту же операцию с получившимся меньшим прямоугольником. Это продолжается пока процесс не оборвется. Сколько квадратов и каких размеров получится в итоге?
64. В прямоугольнике n×m провели диагональ. а) Через какое число узлов сетки
она проходит? б) На сколько частей эта диагональ делится линиями сетки?
64. В прямоугольнике n×m провели диагональ. а) Через какое число узлов сетки
она проходит? б) На сколько частей эта диагональ делится линиями сетки?
65. a) p, p+10, p+14 – простые числа. Найдите p.
65. a) p, p+10, p+14 – простые числа. Найдите p.
б) p, 2p+1, 4p+1 – простые числа. Найдите p.
б) p, 2p+1, 4p+1 – простые числа. Найдите p.
66. Можно ли, имея песочные часы на 69 минут и 91 минуту, отмерить ровно 2012 минут?
66. Можно ли, имея песочные часы на 69 минут и 91 минуту, отмерить ровно 2012 минут?
67. В графе степень каждой вершины не превосходит 10.
Докажите, что вершины графа можно правильно раскрасить в 11 цветов (правильная раскраска – это такая раскраска, что любое ребро соединяет вершины разных цветов).
67. В графе степень каждой вершины не превосходит 10.
Докажите, что вершины графа можно правильно раскрасить в 11 цветов (правильная раскраска – это такая раскраска, что любое ребро соединяет вершины разных цветов).
68. По окружности радиуса 40 катится колесо радиуса 18. На нем есть пометка
красным цветом, которая марает окружность, когда ее касается. Сколько отметок останется на окружности? Сколько раз прокатится колесо по окружности,
прежде чем отметка попадет в отмеченную раньше точку?
68. По окружности радиуса 40 катится колесо радиуса 18. На нем есть пометка
красным цветом, которая марает окружность, когда ее касается. Сколько отметок останется на окружности? Сколько раз прокатится колесо по окружности,
прежде чем отметка попадет в отмеченную раньше точку?
69. В графе степень каждой вершины не превосходит 11. Докажите, что ребра
этого графа можно раскрасить в N цветов так, чтобы ребра одного цвета были не
смежны. (да, кстати, сами придумайте наименьшее значение N).
69. В графе степень каждой вершины не превосходит 11. Докажите, что ребра
этого графа можно раскрасить в N цветов так, чтобы ребра одного цвета были не
смежны. (да, кстати, сами придумайте наименьшее значение N).
70. В графе степени всех вершин не превосходят 11. Докажите, что ребра этого
графа можно раскрасить в 250 цветов таким образом, что концы ребер каждого
цвета не совпадают и не смежны.
70. В графе степени всех вершин не превосходят 11. Докажите, что ребра этого
графа можно раскрасить в 250 цветов таким образом, что концы ребер каждого
цвета не совпадают и не смежны.