Примеры задач. 7-10 классы 2008–2009

Санкт-Петербургский государственный университет
информационных технологий, механики и оптики
Типовые задачи интернет-олимпиады по математике
для школьников 7 - 10 классов. 2008-2009 год.
7 класс
1. Найдите координату середины отрезка числовой оси, концами которого служат
точки A(12, 7) и B (3, 9)
[1]
2. В три коробки надо разложить 90 пакетов так, чтобы в первой коробке было вдвое
больше пакетов, чем во второй, а во второй на 2 пакета больше, чем в третьей.
Сколько пакетов будет в первой коробке?
[1]
3. Разность двух смежных углов составляет 20 . Найдите меньший угол.[1]
4. На какое наименьшее натуральное число надо умножить 7, чтобы получить число,
состоящее из одних единиц?
[2]
( x 2 y )3  ( x  y 3 ) n
5. Найдите натуральные значения m и n , если
 x6 y 7 . [2]
2 m
x y
6.
Девять папок и три альбома стоят столько же, сколько шесть папок и пять
альбомов. Сколько процентов составляет стоимость одного альбома от стоимости
одной папки?
[2]
3x  2 y
x 2  xy
1
7. Известно, что
.
  . Найдите
2
2
3x  y
9 x  xy  y
7
[3]
8. Целое число a при делении на 7 дает в остатке 4. Какой остаток при делении на 7
дает число a 2  2a ?
[3]
9. На карточках написаны цифры 0,1,2,3 и 4. Сколько пятизначных чисел,
превосходящих 21000 можно составить с помощью этих карточек?
[3]
10. При каком значении a выражение  x  2 x  4 x  6 x  8  a является полным
квадратом?
[4]
Ответы:
1) – 4,4.
2) 46.
3) 80 .
4) 15873.
5) m =2, n =2.
6) 150.
7) – 11.
8) 3.
9) 66.
10) 16.
8 класс
1.
Найдите наименьшее целое число, превосходящее 2 5  4 3 .
[1]
2. Девять папок и три альбома стоят столько же, сколько шесть папок и пять альбомов.
Сколько процентов составляет стоимость одного альбома от стоимости одной папки?
[1]
3. Решите неравенство x3  3 7 x 2  21x  7 7  0 .
[1]
4. На какое наименьшее натуральное число надо умножить 7, чтобы получить число,
состоящее из одних единиц?
[2]
5.Высота и медиана треугольника, проведенные из вершины прямого угла, равны
соответственно 4 и 5 см. Найдите меньший катет треугольника.
[2]
6. Три одинаковых трубы наполняют бассейн за 4 часа. За сколько часов наполнят
бассейн две трубы?
7. При каком значении a выражение  x  2 x  4 x  6 x  8  a является полным
квадратом?
[2]
[3]
8. При каких значениях a корни уравнения x 2  3ax  a 2  1  0 расположены на числовой
прямой по разные стороны от числа 1?
[3]
9. Найдите все натуральные n и m , которые являются решениями уравнения
5n  5m  600 .
[3]
 x  y  2a
10. При каких значениях a система уравнений 
имеет ровно два решения?
xy

a

0,5

[4]
Ответы:
1) -2.
2) 150.
3) x  7 .
4) 15873.
5) 20
6) 6.
7) 16.
8) 2  a  1 .
9) m  2; n  4 .
10) 0,25.
2
2
9 класс
1.
Найдите наименьшее целое число, превосходящее 2 5  4 3 .
[1]
2. Три одинаковых трубы наполняют бассейн за 4 часа. За сколько часов наполнят
бассейн две трубы?
[1]
3. Решите неравенство x  3 7 x  21x  7 7  0 .
3
2
[1]
4. Найдите длину промежутка, на который функция y 
x отображает интервал
4;9 .
[2]
5. Вычислите
1
1
1
.

 ... 
9  12
12  15
222  225
[2]
6. В свежих грибах содержится 90% воды. В сухих грибах содержится 4% воды. Сколько
килограммов сухих грибов можно получить из 24 кг свежих грибов?
[2]
7. В прямоугольном треугольнике сумма катетов равна 13, а радиус вписанной
окружности равен 2. Найдите длину гипотенузы.
[3]
2
2
8. Решите уравнение  x  2 y   1  8 xy  y  2 y .
[3]
9. Найдите множество значений функции y  x  3  x   x  3  x .
[3]
n
3
10. Найти все натуральные значения n , при которых число 1  4  4 является квадратом
натурального числа?
[4]
Ответы:
1) -2.
2) 6.
3) x  7 .
4) 1.
5) 4.
6) 2,5.
7) 9.
8) x  2; y  1 .
9) [0; 4,5] .
10) 2; 5.
10 класс
1.
Найдите наименьшее целое число, превосходящее 2 5  4 3 .
[1]
2. Три одинаковых трубы наполняют бассейн за 4 часа. За сколько часов наполнят
бассейн две трубы?
[1]
n
3. Упростите
100
 25  2n 1 .
2 n2
2 5
n 1
4. Найдите сумму коэффициентов многочлена
5. При каких значения x   2;4 числа cos
x
2
 x  1 x 2  2   x3  2  .
[2]
x 1
2
[1]
2
; cos  x;  1 в указанном порядке образуют
2
арифметическую прогрессию?
[2]
6. В свежих грибах содержится 90% воды. В сухих грибах содержится 4% воды. Сколько
килограммов сухих грибов можно получить из 24 кг свежих грибов?
[2]
7. В прямоугольном треугольнике сумма катетов равна13, а радиус вписанной
окружности равен 2. Найдите длину гипотенузы.
[3]
2
8. Сколько экстремумов имеет функция y  x  4 x  2 x ?
9. Найдите f
1
 2 , если
f  2 x  7   6 x  5 , где f
1
 x   обратная функция.
[3]
[3]
10. Найдите множество значений функции y  3 3 x  8  4 x .
[4]
Ответы:
1) -2.
2) 6.
3) 0.
4) – 9.
5)3; 10/3.
6) 2,5.
7) 9.
8) 3.
9) 8.
10)  48; 2 2 