развитие моделей тестирования на основе использования

РАЗВИТИЕ МОДЕЛЕЙ ТЕСТИРОВАНИЯ НА ОСНОВЕ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ СИСТЕМ
БУЛЕВЫХ УРАВНЕНИЙ
THE DEVELOPMENT OF MODEL TESTING BASED ON USING OF BOOLEAN EQUATIONS
К.К.Рыбников, О.М.Полещук
Московский государственный университет леса, Мытищи Московской обл.
Тел.: (095) 515-25-38, e-mail: [email protected]
В том случае, если тест сформулирован таким образом, что на каждый его вопрос возможны только два варианта
ответа ("да", "нет"), естественным представлением опросного листа является (0,1)-вектор. При этом, если оценка такого
опросного листа также проводится по двухбалльной системе, то при наличии нескольких таких оценок математическим
описанием такой системы тестирования является система булевых уравнений
(1)
n – число ответов (вопросов) в опросном листе, m – число оценок по одному опросному листу.
Известно, что задача (1) может быть сведена к задаче определения (0,1) точек многогранника.
Определение вершин построенного многогранника позволяет оценить структуру отобранной в результате
тестирования группы испытуемых. В качестве модели, вообще говоря, можно непосредственно использовать и систему
линейных неравенств, определяющих построенный многогранник.
В некоторых случаях можно избежать прямого определения вершин многогранника, значительно упростив задачу.
Рассмотрим, например, функцию
.
Пусть
в
системе
(1) обнаружена
вида
подсистема
или, учитывая что
уравнений
с
номерами
,
где
и обозначая
Подсистеме (2) эквивалентна система неравенств
из анализа которой вытекает, что
.
Таким образом, исходная система однозначно разрешима относительно одного из своих неизвестных.
Система булевых уравнений является универсальной моделью для анализа большого числа прикладных задач.
Такими задачами, например, являются задачи определения параметров узлов усложнения автоматов.
1
Как известно, систему булевых уравнений
где
можно представить в следующем виде
(3)
где
– конъюнкции, т.е.
Система булевых уравнений удовлетворяется тогда и только тогда, когда все конъюнкции, входящие в (3),
принимают значение 0.
Условие
эквивалентно условию
где
а
;
,
– число переменных, входящих в конъюнкцию
с отрицанием.
Отсюда ясно, что задача решения системы булевых уравнений может быть сведена к задаче определения
векторов
, удовлетворяющих условиям
,
где
или 1;
–
(4),
– матрица, a
–
-мерный вектор.
Авторами предложен алгоритм решения этой задачи и дана оценка его сложности, а также определен случай, когда
эта оценка полиномиальна относительно размеров задачи [1].
В качестве примера эффективной реализации этого подхода можно рассмотреть узел усложнения вида
,
где
,
,
.
При анализе значений
получаем задачу (4) с минимальным числом вершин многогранника. По этому же
принципу могут быть построены и более сложные примеры.
Литература
1. К.К.Рыбников. Методы решения систем булевых уравнений, основанные на погружении множества решений в
выпуклый многогранник // Автоматизация компьютеризация информационной техники и технологии. Научные труды
МГУ леса. Выпуск 269. – М., 1995. – С.88-91.
2