Составитель: доктор физ.-мат. наук, профессор, С.Ф.Винокуров.

Федеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Иркутский государственный педагогический университет»
Факультет математики, физики и информатики
Утверждено
на заседании совета факультета
математики, физики и информатики
протокол №_____от __________2006 г.
Председатель совета________________
(Кузьмина Н.Д.)
УЧЕБНАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ
ОПД. Р.05. Основы дискретной математики
Направление: 050200 Физико-математическое образование
Квалификация: бакалавр физико-математического образования
Курс: 1
Семестр: 2
Форма обучения: очная
Количество часов на дисциплину: 150 час.
Количество аудиторных часов: 54 час.; из них:
Лекций: 36 час.
Практических занятий: 18 час.
Самостоятельная работа: 96 час.
Итоговый контроль: зачет.
I. ОРГАНИЗАЦИОННО-МЕТОДИЧЕСКИЙ РАЗДЕЛ
I. Место дисциплины
Дисциплина «Основы дискретной математики» является основной
дисциплиной, формирующей базовое профессиональное физикоматематическое образование в программе подготовки бакалавра.
2. Цель дисциплины
Цель дисциплины – создать условия для формирования у студентов
платформы для овладения дискретными моделями, как основой современной
информатики.
3. Задачи дисциплины
Задачи курса – познакомить студентов с дискретными моделями математики,
комбинаторными методами исследований, и создать базу для освоения
основных курсов по циклу информатики.
4. Принципы отбора содержания и организации учебного материала
Учебный материал представлен тремя разделами: элементы комбинаторики,
основы теории булевых функций, основы теории графов и теории
кодирования. В основу отбора материала положена стратегия зависимости
материала.
5. Требования к освоению содержания дисциплины
Студент должен знать основные понятия и термины:
- комбинаторики — правила суммы и произведения; упорядоченные и
неупорядоченные выборки, с повторением и без повторения;
биномиальную теорему, треугольник Паскаля, свойства биномиальных
коэффициентов; принцип включения-исключения; производящие
функции, соотношения между производящими функциями.
- теории булевых функций — определение булевых функций; существенные
функции; представление булевых функций термами; суперпозиция
функций, принцип двойственности; специальные представления
булевых функций (дизъюнктивные преставления булевых функций,
конъюнктивные представления булевых функций, полиномиальные
представления булевых функций); понятия замкнутости и полноты
множества булевых функций; предполные классы булевых функций,
критерий полноты.
- теории графов — способы задания графов; маршруты, цепи, циклы в графе;
связные графы, эйлеровы цепи и циклы; плоские графы; раскраска
графов; деревья, помеченные и непомеченные деревья, код Прюфера,
деревья двоичного кода.
- теории кодирования — блоковые коды; коды, обнаруживающие и
исправляющие ошибки; минимальное расстояние кода; линейные коды,
порождающая и проверочная матрицы; принцип максимума
правдоподобия; декодирование линейного кода; коды Хэмминга и
Рида-Маллера; мажоритарное декодирование.
Студент должен уметь:
- доказывать теоретические результаты и
- применять их при разработке алгоритмов для решения конкретных задач.
Студент должен владеть:
- навыками чтения учебной литературы,
- комбинаторными методами решения задач и техникой дискретных
преобразований.
6. Виды контроля
Текущий – проводится по каждой учебной единице в форме проверки
домашнего задания.
Рубежный – проводится по каждому из трех модулей в форме контрольных
работ с рейтинговой оценкой.
Итоговый – проводится в форме зачета.
7. Планирование содержания дисциплины
№ Название модуля
Часы аудиторных
занятий
Лекции Практ.
Занятия
1 Элементы комбинаторики
12
6
2 Основы теории булевых 12
6
функций
3 Основы теории графов и 12
6
теории кодирования
Часы
самостояте
льной
работы
32
32
Всего
часов
32
50
50
50
II. СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ
Модуль №1. Элементы комбинаторики
1. Основные комбинаторные конфигурации.
Выборки: упорядоченные и неупорядоченные, с повторениями и без
повторений, сочетания, размещения, перестановки. Правила суммы и
произведения. Правило объединения.
2. Бином Ньютона.
Биномиальные коэффициенты. Основные тождества с биномиальными
коэффициентами. Треугольник Паскаля. Полином. Полиномиальная
формула. Полиномиальные коэффициенты. Простые тождества.
3. Принцип включения и исключения.
Приложения к теории множеств и теории чисел.
4. Производящие функции.
Получение n-го члена последовательности Фибоначчи с помощью
производящих функций.
Модуль №2. Основы теории булевых функций
1. Определение и методы представления булевых функций.
Двоичные наборы, число наборов фиксированной длины, натуральное
упорядочивание наборов. Определение булевых функций, число булевых
функций фиксированной размерности, унарные и бинарные булевы функции,
существенные и фиктивные аргументы, остаточные функции. Задание
булевых функций: графиком на гиперкубе, табличное, векторное,
2. Представление булевых функций термами.
Определение термов над множеством функций от множества переменных,
значение термов, глубина и множество подтермов терма, эквивалентность
термов. Представление булевых функций термами, основные тождества для
бинарных термов.
3. Канонические формы булевых функций.
Понятие канонической формы для множества булевых функций.
Совершенная дизъюнктивная нормальная форма, совершенная
конъюнктивная нормальная форма, совершенная полиномиальная
конъюнктивная форма, полином Жегалкина. Теоремы существования и
единственности.
4. Замкнутые классы и полнота системы булевых функций.
Понятие замкнутого класса булевых функций. Замкнутые классы функций:
линейные, самодвойственные, монотонные, сохраняющие константу 0 и
сохраняющие константу 1. Понятие полноты системы булевых функций.
Полнота одной системы булевых функций относительно другой. Свойства
несамодвойственных, нелинейных, немонотонных функций. Критерий
полноты.
Модуль №3. Основы теории графов и теории кодирования
1. Основные понятия теории графов.
Способы представления графов. Связные графы. Изоморфизм графов.
Эйлеровы и гамильтоновы графы. Деревья. Планарные графы. Теорема
Эйлера и ее следствия. Непланарность графов К5 и К3,3. Раскраска вершин и
ребер графа. Двудольные графы.
2. Основы теории кодирования.
Линейные самокорректирующиеся коды. Блоковые линейные коды.
Проверочная и порождающая матрицы кода. Параметры кода. Обнаружение
и исправление ошибок. Декодирование. Принцип максимального
правдоподобия. Код Хэмминга. Коды Рида-Маллера. Методы декодирования.
Декодирование по синдрому. Алгоритм декодирования Рида.
Основные понятия
Булево n-мерное пространство. Булева функция. Терм, суперпозиция,
термальное представление функции. Канонические формы. Замкнутость.
Полнота. Линейный блоковый код. Порождающая и проверочная матрицы.
Синдром. Декодирование по синдрому. Мажоритарное декодирование.
III. ОРГАНИЗАЦИЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ
Элементы комбинаторики.
А. Выборки: упорядоченные и неупорядоченные, с повторением и без
повторений. Комбинаторные уравнения. Бином Ньютона.
Полиномиальная формула.
В. Производящие функции
Контроль. Решенные задачи сдаются на проверку преподавателю.
I.
II.
Основы теории булевых функций.
А. Задачи на представления булевых функций: построение n-мерного
куба, n=2,3,4,5, код Грея, карта Карно, векторное задание функции.
В. Термальные представления. Основные термальные эквивалентности.
Нормальные формы. Канонические представления.
С. Пять замкнутых классов. Полнота системы функций.
Задания для самостоятельной работы.
1. Изучить теоретический материал по указанной литературе.
2. Выполнить задания, всего 70 задач.
Контроль. Решенные задачи сдаются на проверку преподавателю.
III. Основы теории кодирования.
А. Линейный блоковый код как подпространство линейного векторного
пространства над конечным полем. Строки порождающей матрицы —
базисные вектора подпространства, ортогональное подпространство,
проверочная матрица. Фактор-пространство. Синдром смежного класса.
Декодирование по синдрому. Декодирование Рида.
Задания для самостоятельной работы.
1. Изучить теоретический материал по указанной литературе.
2. Выполнить задания, всего 30 задач.
Контроль. Решенные задачи сдаются на проверку преподавателю.
IV. КОНТРОЛЬ КАЧЕСТВА ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ
1. Текущий контроль.
Проводится по каждой учебной единице в форме проверки домашнего
задания.
2. Рубежный контроль.
Проводится по каждому из трех модулей в форме контрольных работ с
рейтинговой оценкой от 0 до 30 баллов. Темы контрольных работ
«Комбинаторные задачи», «Булевы функции: представления, замкнутость,
полнота», «Кодирование и декодирование, исправление ошибок»
3. Итоговый контроль.
Проводится в форме зачета.
Вопросы и задания к зачету
1. Основные комбинаторные конфигурации.
а) Выборки: упорядоченные и неупорядоченные, с повторениями и без
повторений.
б) Сочетания, размещения, перестановки.
в) Правила суммы и произведения.
г) Правило объединения.
2. Бином Ньютона.
а) Биномиальные коэффициенты.
б) Основные тождества с биномиальными коэффициентами. Треугольник
Паскаля.
г) Полином. Полиномиальная формула.
д) Полиномиальные коэффициенты. Простые тождества.
3. Принцип включения и исключения.
а) Приложения к теории множеств.
б) Приложения к теории чисел.
2. Булевы функции
1. Определение и способы задания.
а) Пространство $E^n$: двоичные последовательности,
порядок на множестве двоичных последовательностей (натуральный и код
Грея),
изображение $E^n$ в виде гиперкуба.
б) Определение булевой функции, табличное задание, векторное задание,
задание характеристическим множеством, карта Карно.
в) Функции одного и двух аргументов.
г) Остаточные функции, фиктивные и существенные переменные.
2. Термальные представления. Задание специальными формами.
а) Термы, соответствие терма и функции, суперпозиция.
б) Разложение Шеннона.
в) Совершенная диъюнктивная нормальная форма, существование и
единственность, построение.
г) Совершенная конъюнктивная нормальная форма, существование и
единственность, построение.
д) Совершенная полиномиальная нормальная форма, существование и
единственность, построение.
е) Полином Жегалкина, существование и единственность, построение.
3. Замкнутость.
а) Понятие замыкания класса булевых функций. Свойства.
б) Замкнутость класса функций, сохраняющих константу 0,
в) Замкнутость класса функций, сохраняющих константу 1,
г) Замкнутость класса монотонных функций.
д) Замкнутость класса линейных функций.
е) Замкнутость класса самодвойственных функций.
4. Полнота.
а) Полные системы функций. Теорема о полноте систем функций, которые
позволяют дать термальное
представление функций из полных систем.
б) Лемма о несамодвойственной функции.
в) Лемма о немонотонной функции.
г) Лемма о нелинейной функции.
д) Критерий полноты системы булевых функций.
е) Теорема о числе функций полной системе.
3. Графы
1. Основные понятия теории графов.
а) Связные графы. Изоморфизм графов. Эйлеровы и гамильтоновы графы.
б) Деревья. Паросочетания, независимые множества и клики.
2. Планарные графы.
а) Теорема Эйлера и ее следствия.
б) Непланарность графов К5 и Кз,з.
3. Раскраска вершин и ребер графа. Двудольные графы.
4. Кодирование
1. Линейные самокорректирующиеся коды.
а) Блоковые линейные коды.
б) Проверочная и порождающая матрицы кода.
в) Параметры кода.
г) Обнаружение и исправление ошибок.
д) Декодирование. Принцип максимального правдоподобия.
2. Методы декодирования.
а) Код Хэмминга. Декодирование по синдрому.
б) Коды Рида-Маллера. Алгоритм декодирования Рида.
V. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ
1. Рекомендуемая литература.
а) Основная.
1. Пантелеев В.И. Лекции по дискретной математике. Учебное
пособие. – Иркутск. Издательство Иркутского государственного
педагогического университета, 2006.
2. Ежов И.И., Скороход А.В., Ядренко М.И. Элементы комбинаторики.
М.: Наука, 1977.
3. Липский В. Комбинаторика для программистов. М.: Мир, 1970.
4. Яблонский С.В. Введение в дискретную математику. М.: Наука,
2001.
5. Новиков Ф.А. Дискретная математика для программистов. СПб:
Питер, 2000.
6. Перязев Н.А. Основы теории булевых функций. М.: Физматлит,
1999.
7. Белоусов А.И., Ткачев С.Б. Дискретная математика. М.: Из-во
МГТУ им. Баумана, 2002.
8. Гаврилов Г.П., Сапоженко А.А. Задачи и упражнения по дискретной
математике. М.: Физматлит, 2004.
9. Зыков А.А. Основы теории графов. М.: Наука, 1987.
10.Мак-Вильямс Ф., Слоэн Н. Теория кодов, исправляющих ошибки.
М.: Связь, 1979.
11.Пантелеев В.И. Помехоустойчивое кодирование – Иркутск.
Издательство Иркутского государственного университета, 2001.
12.Лидл Р., Пильц Г. Прикладная абстрактная алгебра. Екатеринбург:
Изд-во УГУ, 1996.
б) Дополнительная.
1. Кузнецов О.П. Дискретная математика для инженера. – СПб.: Лань,
2004.
2. Бохман Д., Постхоф Х. Двоичные динамические системы. М.:
Энергоатомиздат, 1986.
3. Лидл Р., Пильц Г. Прикладная абстрактная алгебра. Екатеринбург: Издво УГУ, 1996.
4. Мендельсон Э. Введение в математическую логику.
5. Новиков Ф.А. Дискретная математика для программистов. СПб: Питер,
2000.
6. Кузнецов О.П., Адельсон-Вельский Г.М. Дискретная математика для
инженера. – М.: Энергоатомиздат, 1988.
7. Ежов И.И., Скороход А.В., Ядренко М.И. Элементы комбинаторики.
М.: Наука, 1977.
8. Райзер Г.Дж. Комбинаторная математика. М.: Мир, 1966.
9. Холл. М. Комбинаторика. М.: Мир, 1970.
10.Грэхем Р., Кнут. Д., Паташник О. Конкретная математика. Основание
информатики.— М.: Мир, 1998.
2. Электронно-программные средства.
1. Компьютерное учебно-методическое пособие по основам теории булевых
функций.
Компьютерная учебно-методическое пособие содержит справочник
основных терминов, конспект лекций, примеры, тесты для самоконтроля, а
так же итоговый тест по всему разделу для самоконтроля.
2. Библиотека книг по дискретной математике на электронном носителе
(имеется на кафедре математической информатики).
Составитель: доктор физ.-мат. наук, профессор, С.Ф.Винокуров.
Утверждено
на заседании кафедры
математической информатики
(протокол № ___ от __________ 200_ г.)
Зав. кафедрой ______________________
Н.А.Перязев
Утверждено
на заседании УМС факультета
математики, физики и информатики
(протокол № ___ от ___________ 200_ г.)
Председатель УМС___________________
Н.Д. Кузьмина