5_MOK

Приложение 3
Показатели качества управления для задачи АКОР
Критерий АКОР (2) (см. Приложение 1) мало что говорит Заказчику и конструктору системы (его значения непредсказуемы настолько,
что до окончания расчетов трудно даже указать порядок цифр).
Вместе с тем многие показатели качества имеют гораздо более
прозрачный смысл, и указать их приемлемые для Заказчика значения нетрудно (хотя бы из опыта эксплуатации действующей системы или исходя
из сравнения с разомкнутой системой). Поэтому после расчетов процесса
управления в задаче АКОР обязательно следует вычислить такие легко
трактуемые показатели и именно их предъявить Заказчику для обсуждения их приемлемости.
Ни в коем случае НЕ ПРЕДЪЯВЛЯЙТЕ Заказчику критерия
АКОР и не обсуждайте с ним его значение - просьба указать приемлемое
значение этого критерия поставит его в тупик, вызовет в нем обидное
чувство (математической) неполноценности и отвратит от задачи и от Вас
как её исполнителя!
Пожалуйста, запомните: задача АКОР очень полезна, но технология её решения, громоздкие формулы для регулятора и значение критерия
нужны только Вам, а Заказчик должен оценить структуру и общий вид
закона управления и проверить, удовлетворяют ли трактуемые показатели
качества требованиям технологии и экономики.
Классификация и описание показателей качества управления для задачи
АКОР.
Выделим три следующие группы показателей:
1. показатели, характеризующие качество достижения конечной цели
управления;
2. показатели, характеризующие процесс достижения цели;
3. показатели, характеризующие управляющие воздействия.
1. Показатели, характеризующие качество достижения конечной цели
управления, строятся на значениях отклонений переменных состояния от
заданных значений в конце процесса управления (при s=smax). Проще
всего определить их для каждой переменной состояния раздельно. Ненормированные показатели определяются как разность (по абсолютной
величине) между значением каждой переменной состояния и ее заданным
значением. Без нормировки сделать вывод об их приемлемости или неприемлемости трудно.
Поэтому наряду с ненормированными используются и относи-
46
тельные, нормированные показатели (частное от деления ненормированного показателя на нормирующий). В качестве нормирующего показателя
используется либо значение задающего воздействия (если оно не равно
нулю), либо (в противном случае) - единица (тогда значения нормированного и ненормированного показателей совпадают). Нормированные показатели обычно вычисляются в процентах к нормирующим.
Таким образом, в рассматриваемом примере должны быть определены 4 ненормированных и 4 нормированных показателя данной группы (по числу переменных состояния).
2. Показатели, характеризующие процесс достижения цели, строятся по
результатам обработки данных о переменных состояния в течение всего
процесса управления, для s=1,..,smax. Нулевой такт исключается, поскольку начальные условия не зависят от управляющих воздействий, и
система управление не может на них повлиять. Представляют интерес как
нормированные, так и ненормированные показатели. Последние в связи с
тем, что нужно просмотреть, не нарушаются ли в процессе управления
технологические ограничения на величину переменных состояния (в задаче АКОР эти ограничения в явной форме не учитываются, и требуется
подбирать настроечные параметры - в основном, значения матриц Q[s] и
R[s] так, чтобы технологические ограничения были выполнены).
Используются следующие показатели:
a) максимальное (по абсолютной величине) значение каждой переменной состояния за весь процесс управления (от s=1 до s=smax) (ненормированный показатель) и его отношение к максимальному (по абсолютной величине) значению задающего воздействия (если оно не
равно нулю для всего процесса) либо, в противном случае, к единице
(в процентах);
b) среднее квадратическое отклонение переменной состояния от заданного значения (ненормированные показатели, определяются для каждой переменной состояния) и его отношение к максимальному (по
абсолютной величине) значению задающего воздействия (если оно не
равно нулю для всего процесса) либо, в противном случае, к единице
(в процентах).
Таким образом, в рассматриваемом примере в данной группе
будут определены 8 ненормированных и 8 нормированных показателей.
47
3. Показатели, характеризующие управляющие воздействия, аналогичны
по смыслу показателям группы 2. Вводятся как для проверки соответствия значений управляющих воздействий технологическим ограничениям, так и для оценки степени их отклонений от заданных номинальных
значений.
В рассматриваемом примере будут определены 4 нормированных
и 4 ненормированных показателя, что соответствует размерности вектора
управления, равной 2.
Расчетные формулы показателей качества для задачи АКОР
(справочная часть)
1. Группа показателей, характеризующих качество достижения конечной цели
Строится как нормированное (в процентах от нормирующего
значения) отклонение (по абсолютной величине) каждой переменной
состояния от заданного значения на последнем, smax-ом такте управления. Нормирующее значение - либо величина задающего воздействия для
smax- го такта (если она не равна 0), либо единица (в противном случае,
что соответствует совпадению нормированных и ненормированных показателей).
n
4
- количество переменных состояния;
i
1  n - номера показателей качества (по размерности n вектора состояния).
Нормирующее значение:
q norm
if X z
0 1 X z
i
i
1 s max
1 s max
i
a) равно 1, если заданное значение вектора состояния равно 0,
b) равно заданному значению вектора состояния в противном случае.
Формула для расчета показателей:
qi
X opt
i
1 s max
Xz
i
1 s max

1
(в процентах)
q norm
i
Для перехода к % никаких вычислений не требуется - просто укажите знак % в слоте правее числового значения. Для сведения: точно
48
так же можно указать любую размерность величины - ньютон, ампер, кг и
т.п. - в MathCad встроены процедуры работы с размерными величинами и
автоматического перевода их в единую систему мер.
Примеры значений.
q1  0.114 %
q2  5.455 % q3  271.31 % q4  0.384 %
2. Группа показателей, характеризующих процесс достижения цели
Содержит: нормированные значения средней квадратической
ошибки и максимальные по абсолютной величине отклонения переменных состояния при s=1,...,smax-1 от заданных значений по каждой переменной состояния. Нулевой такт не входит, т.к. начальные состояния
заданы извне.
Предварительные вычисления для нормирования показателей:
a) определяется максимальное и минимальное (по абсолютной величине) значение задающего воздействия;
b) определяется максимум из этих двух показателей. Если он не равен
нулю - то он принимается для нормировки средней квадратической
ошибки. Если равен нулю - средняя квадратическая ошибка нормируется единицей.
Транспонирование используется для того, чтобы образовался столбец, содержащий значение задающих воздействий для первой координаты
состояния.
qp norm_max
T
Xz
max
i
i
1
При желании просмотрите, как выглядит Xz (наберите Xz=).
Встроенная функция max определяет максимальное значение массива
(вектора, как в нашем случае, или матрицы).
Абсолютное значение минимума из всех задающих воздействий.
 i 1
T
qp norm_min
min X z
i
Абсолютное значение (встроенная функция) набирается так: охватите синей рамкой всё выражение, абсолютное значение которого нужно
определить, и затем нажмите сочетание клавиш Shift - "|" (над клавишей
Enter, помещена вместе с обратным слэжем).
Абсолютный максимум.
qp n
if qp norm_max qp norm_min  qp norm_max qp norm_min
i
i
i
49
i
i
Нормирующее значение (учтена возможность нулевых значений
задающих воздействий).
if qp n 0  1  qp n
i
i
qp norm
i
Формула для определения нормированных показателей качества.
s max
qpi
1
s max

1
X opt
i
1 s
Xz
i
s= 1
2
1 s

1
(в процентах)
qp norm
i
Знак корня набирается либо с арифметической панели (arithmetical
palette, иконка с калькулятором), либо нажатием клавиши "обратный
слэж" (\).
Примеры значений.
qp1  81.571 % qp2  981.195%
qp3  499.71 % qp  1.315103 %
4
Мы видим, что значения этих показателей при исходных данных,
приведенных в примере, совершенно неудовлетворительны. Этого можно
было ожидать заранее, исходя из значений матриц штрафов Ksmax, Q[s].
Просмотрите эти значения. Вы увидите, что все ресурсы задачи "брошены" на достижение близких к заданным значений x1[smax] и x4[smax] - а
штрафы за другие переменные состояния и в остальные моменты времени
на 2 порядка ниже (что и привело к такому результату).
Показатели, определяемые как максимальные по абсолютной
величине значения переменных состояния, нужно определить как нормированными, так и ненормированными (Заказчика могут интересовать и
ненормированные значения переменных).
Для исключения нулевого такта (начальных условий, на которые
система управления повлиять не может) введем матрицу Xprocess, столбцы которой соответствуют значениям переменных состояния начиная с
s=1: tt 0  s max 1
 tt 
 tt 1
 tt 
 tt 1
X process
X opt
X z_process
Xz
q_m1i
T
max X process
i
1
q_m2i
50
T
min X process
i
1
Абсолютный (ненормированный) показатель - максимальное по
абсолютной величине значение переменной состояния.
q_maxi
if q_m1i  q_m2i  q_m1i  q_m2i
Примеры числовых значений:
q_max1  9.989 q_max2  12.328 q_max3  12.923 q_max4  27.024
Относительные (нормированные) показатели этой группы определяются как максимальные за период управления отклонения переменных состояния от заданных значений (в процентах к показателям
qp norm , определенным выше).
i
Абсолютные значения максимального и минимального отклонений от задающих воздействий.
 i 1
T
q_m3i
max X process X z_process
 i 1
T
q_m4i
min
X process X z_process
Абсолютный максимум отклонения от задания.
q_mi
if q_m3i  q_m4i  q_m3i  q_m4i
Относительное значение максимального отклонения от задания.
q_mi
*100 (%)
q_m_normi
qp norm
i
Примеры значений.
q_m_norm1  124.466%
3
q_m_norm2  1.23310
3
q_m_norm3  1.29210
%
3
% q_m_norm4  2.70210
%
3. Группа показателей, характеризующих управляющие воздействия
Содержит: максимальные за период управления значения управляющих воздействий и среднее квадратическое отклонение управляющих
воздействий от номинальных значений.
a) Максимальные за период управления s=0,...,smax-1 значения управляющих воздействий определяются и как ненормированные, и как
нормированные (максимально допустимыми по технологическим
условиям значениями управлений).
51
2 - количество управляющих воздействий.
ru
j
1  r u - по размерности вектора управляющих воздействий.
Максимальные значения для каждого элемента вектора управляющих воздействий (без знака),
 j 1
T
u max
max U opt
j
Минимальные значения для каждого элемента вектора управляющих воздействий (без знака),
 j 1
T
u min
min U opt
j
Максимальные по абсолютной величине управляющие воздействия (за весь период управления).
u_maxj
if u max  u min  u max  u min
j
j
j
j
Примеры значений:
u_max1  23.756
u_max2  9.519
Нормирующие значения определяются как максимально допустимые управления (полагаются заданными).
10
U max
- вектор максимально допустимых управлений.
10
Тогда нормированные значения максимальных управлений равны:
u_maxj
(%)
u_maxnorm
j
U max
j 1 0
Примеры значений.
u_maxnorm  237.56 %
u_maxnorm  95.194 %
2
1
В примере видно, что первый элемент вектора управляющих воздействий превышает технологически допустимую границу, а второй изменяется в допустимых пределах.
Абсолютное значение максимума из всех номинальных управляющих воздействий.
 j 1
T
qu norm_max
max U z
j
Абсолютное значение минимума из всех номинальных управляющих воздействий.
52
qu norm_min
j
T
min U z
j
1
Абсолютный максимум
qu n
if qu norm_max qu norm_min  qu norm_max qu norm_min
j
j
j
j
j
Нормирующее значение (учтена возможность нулевых значений
задающих воздействий).
qu norm
if qu n 0  1  qu n
j
j
j
Формула для определения нормированных показателей качества:
s max
quj
1
s max

1
U opt
j
1 s
Uz
2
j
s= 1
Примеры значений.
3
qu1  1.75110
1 s

1
(в процентах)
qu norm
j
qu2  329.634%
%
Литература
1.
2.
3.
Александров А.Г. Оптимальные и адаптивные системы.–М.:Высшая школа,1989.-с.6785.
Брайсон А, Хо Ю-Ши. Прикладная теория оптимального управления /Под ред. Летова
– М.: Мир,1972.-544с.
Аоки М. Введение в методы оптимизации. – М.: Наука,1977. –с.281-287
53