Занятие 2. 04.12.2014

Четность
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
Не вычисляя суммы 1 + 2 + ... + 1999, определите ее чётность.
На доске написаны 613 целых чисел . Докажите, что можно стереть одно число так , что сумма оставшихся
чисел будет чётной. Верно ли это для 612 чисел?
В ряд выписаны все числа от 1 до 2014. Требуется расставить между ними знаки «+» и «–» так, чтобы
полученное выражение равнялось нулю. Удастся ли это сделать?
Можно ли числа 1, ... , 21 разбить на несколько групп так чтобы в каждой из них максимальное число
равнялось сумме всех остальных?
Можно ли числа 1, 2, 3, ... , 20 так расставить в вершинах и серединах рёбер куба, чтобы каждое число,
стоящее в середине ребра, равнялось полусумме чисел на концах этого ребра?
Имеется таблица размером 17 х 17. В каждой клетке написано какое-то число. Произведение чисел в каждой
строке отрицательно. Докажите, что найдется столбец, произведение чисел в котором тоже отрицательно.
В некоторых клетках таблицы размером 25 х 25 расставили единицы, в остальных – минус единицы. Затем
вычислили все произведения этих чисел по строкам и по столбцам. Докажите, что сумма этих произведений
не равна нулю.
В квадрате поставили 25 точек так, что их расположение симметрично относительно обеих диагоналей.
Докажите, что одна точка стоит в центре квадрата .
Можно ли стороны и диагонали правильного тринадцатиугольника раскрасить в 12 цветов так , чтобы в
каждой вершине сходились все цвета?
Можно ли нарисовать 11-звенную ломаную, которая пересекает каждое свое звено ровно один раз?
Можно ли выпуклый 13-угольник разрезать на параллелограммы?
Можно ли склеить многогранник из 17 пятиугольников? (Пятиугольники должны быть гранями
многогранника, а их стороны – его рёбрами.)
В прошлом году каждый участник городской олимпиады обнаружил среди участников ровно семь знакомых.
В этом году количество участников увеличилось на 17. Может ли каждый иметь среди участников ровно
девять знакомых?
Может ли прямая, не проходящая через вершины 11-угольника, пересекать все его стороны?
Четность
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
Не вычисляя суммы 1 + 2 + ... + 1999, определите ее чётность.
На доске написаны 613 целых чисел . Докажите, что можно стереть одно число так, что сумма оставшихся
чисел будет чётной. Верно ли это для 612 чисел?
В ряд выписаны все числа от 1 до 2014. Требуется расставить между ними знаки «+» и «–» так, чтобы
полученное выражение равнялось нулю. Удастся ли это сделать?
Можно ли числа 1, ... , 21 разбить на несколько групп так чтобы в каждой из них максимальное число
равнялось сумме всех остальных?
Можно ли числа 1, 2, 3, ... , 20 так расставить в вершинах и серединах рёбер куба, чтобы каждое число,
стоящее в середине ребра, равнялось полусумме чисел на концах этого ребра?
Имеется таблица размером 17 х 17. В каждой клетке написано какое-то число. Произведение чисел в каждой
строке отрицательно. Докажите, что найдется столбец, произведение чисел в котором тоже отрицательно.
В некоторых клетках таблицы размером 25 х 25 расставили единицы, в остальных – минус единицы. Затем
вычислили все произведения этих чисел по строкам и по столбцам. Докажите, что сумма этих произведений
не равна нулю.
В квадрате поставили 25 точек так, что их расположение симметрично относительно обеих диагоналей.
Докажите, что одна точка стоит в центре квадрата .
Можно ли стороны и диагонали правильного тринадцатиугольника раскрасить в 12 цветов так , чтобы в
каждой вершине сходились все цвета?
Можно ли нарисовать 11-звенную ломаную, которая пересекает каждое свое звено ровно один раз?
Можно ли выпуклый 13-угольник разрезать на параллелограммы?
Можно ли склеить многогранник из 17 пятиугольников? (Пятиугольники должны быть гранями
многогранника, а их стороны – его рёбрами.)
В прошлом году каждый участник городской олимпиады обнаружил среди участников ровно семь знакомых.
В этом году количество участников увеличилось на 17. Может ли каждый иметь среди участников ровно
девять знакомых?
Может ли прямая , не проходящая через вершины 11-угольника, пересекать все его стороны?