Lekciya32

Лекция 32
Переходы под действием периодических возмущений. Резонансное приближение. Переходы в непрерывный спектр
Рассмотрим теперь случай возмущений, зависящих от времени периодически. Пусть на
частицу, находящуюся в стационарном состоянии с энергией  k , действует малое периодическое возмущение
Vˆ ( x, t )  Vˆ ( x) cos  t
(1)
где  - частота возмущения, причем возмущение действует в течение длительного времени T ,
так что T
1 (в противном случае бессмысленно говорить о периодичности возмущения, да-
же если оно описывается формулой (1). Докажем, что в первом порядке теории возмущений переходы с заметной вероятностью происходят только в такие состояния n , энергия которых отличаются от энергии начального состояния на величину  :  n   k   .
Исходим из формулы теории нестационарных возмущений
wk n 
1
2
2
T
V
kn
(t )e
i kknt
dt 
Vkn
2
0
2 T
2
 cos t e
i kknt
(2)
dt
0
где Vkn - матричный элемент оператора Vˆ ( x ) . Интеграл по времени вычисляется элементарно:
1  ei (kn  )T  1 ei (kn  )T  1
i kknt
cos

t
e
dt




0
2  i( kn   )
i( kn   ) 
T
(3)
Рассмотрим зависимость вероятности перехода (2), (3) от частоты возмущения  для
больших значений времени действия возмущения T . Как будет показано ниже, первое слагаемое в формуле (3) как функция частоты возмущения имеет узкий максимум при частоте
  ( n   k ) / , второе - при частоте   ( k   k ) / . Или, другими словами, под действием периодического возмущения с частотой  в квантовой системе происходят переходы только в состояния n с энергией  n   k   . Поэтому при анализе зависимости вероятности (2), (3) от частоты возмущения  достаточно рассмотреть только значения 
( n   k ) /
и
( k   n ) /
и ограничится в первом случае только первым слагаемым формулы (3), во втором - вторым. Отметим, что так как   0 , первый случай отвечает переходам k  n в состояния n с энергией
 n , большей энергии  k , второй – с меньшей. Итак, при 
1
( n   k ) /
из (2), (3) имеем
wk n 

Vkn
2
2
( kn   ) 2
sin
cos  kn    T  i sin  kn    T  1 
2
4 ( kn   )
Vkn
2
2
2
(4)
2  kn    T
2
Рассмотрим зависимость вероятности перехода wk n (4) от частоты возмущения при больших
значениях T . Если kn    T
1 , то sin 2
в (4) можно разложить в ряд и
2
wk n 
Если же kn    T
1 , то sin 2
Vkn T 2
4
(5)
2
в (5) может для разных T принимать все значения от нуля до
единицы и, следовательно,
wk n 
Vkn
2
2
( kn   )2
2
Vkn T 2
2
(6)
Таким образом, если частота возмущения  лежит в узком интервале частот  1/T

вблизи частоты, равной  nk , то вероятность перехода k  n , существенно превосходит вероятность этого перехода, происходящего под действием возмущения с частотой, вне этого интервала (причем этот интервал тем уже, чем больше время действия возмущения). Другими словами,
при фиксированной частоте возмущения  квантовая система с подавляющей вероятностью
совершает переходы только в такие состояния n , энергии которых определяется соотношением
n
 k   , где  k - энергия начального состояния. Аналогичное рассмотрение второго слага-
емого в (3) приводит к возможности перехода в состояния n с энергиями  n
 k   . Перехо-
ды в состояния с другими энергиями под действием периодических возмущений маловероятны.
При этом, если выполняются строгие равенства  n   k   , вероятность перехода k  n при
достаточно больших T может стать большой, и для ее вычисления теория возмущений может
оказаться неприменимой.
В этом случае используют другое приближение, которое называют резонансным. Основная идея его заключается в том, что если частота возмущения близка к частоте перехода между
двумя состояниями, то с подавляющей вероятностью переходы будут происходить только в одно состояние, а всеми остальными слагаемыми в разложении волновой функции системы по
волновым функциям стационарных состояний можно пренебречь.
Итак, пусть
2
ˆ  it  Fˆ  eit .
Vˆ (t ) = Fe
и  близко к  0 (  0 - частота перехода между двумя состояниями  1 и  2 в системе); пусть
(для определенности) - чуть больше:
 = 0  ;
|  | 0 .
Величину  называют «отстройкой».
Если нет резонанса, используем теорию возмущений. Для состояний  1 и  2 справедливо
стационарное уравнение Шредингера:

Hˆ 0 1 =  0  1 ;
2
0
Hˆ 0 2 =
2;
2
(7)
(мы выбрали начало отсчета энергий посередине между энергиями состояний  1 и  2 ). Будем
искать решения уравнения

= ( Hˆ 0  Vˆ )
t
i
(8)
в виде
(t ) = a1 (t ) 1  a2 (t ) 2 .
(в этом и состоит резонансное приближение). Подставляя это выражение в уравнение (8) и
оставляя только главные члены (зависимость которых от времени определяется малой частотой
  0   ), получим
i
da1
= F12 e  it a2
dt
i
da2
*
= F21 eit a1
dt
(9)
Делаем подстановку ai  bi e  it , получаем
i a1 = F12b2
b
i
2

 ib2 = F21 a2
*
(10)
Исключаем из этих уравнений a2 , получим:
b2  ib2 
1
2
F21 b2  0
2
(11)
В качестве линейно независимых решений этих уравнений выбираем
a2  Aei1t ,
a1   A
3
1
*
12
F
ei2t
a2  Bei2t ,
a1   A
2
*
12
F
ei1t
(12)
где A и B постоянные, и введены обозначения

1    ,
2

 2   ,
2
 2 F12

 2
4
2
(13)
Таким образом, под влиянием возмущения функции  1 и  2 переходят в функции
a1 (t )1  a2 (t ) 2 с коэффициентами (12), (13). Из этих формул следует, что если в начальный
момент система находилась в состоянии  1 , то коэффициент при  2 в последующем равен
F12
2
2 22
1  cos 2t 
(14)
Из формулы (14) следует, что система периодически (с периодом  /  ) переходит из одного состояния в другое и обратно. Частота  называется частотой Раби.
Рассмотрим теперь переходы под действием периодического возмущения из стационарных
состояний дискретного в состояния непрерывного спектра (например, ионизация атома, когда
электрон из связанного состояния переходит в непрерывный спектр). Возмущение запишем как
(здесь явно учтена эрмитовость возмущения)
ˆ it  Fˆ eit
Vˆ = Fe
(15)
Так как спектр непрерывен, то всегда найдется энергия, в точности удовлетворяющая
условию
E = En  
(16)
и, следовательно, переход всегда будет. В выражении для am(1) оставляем только:
(1)
n
a
=
i
t
F e
n
 i t  i nt
1
dt =  F n
0
(e
i ( n  ) t
 1)
=
( n   )
   
  ) 
F n exp  i  n
t  2sin   n
t
2
2




=
( n   )
(17)
Вероятность перехода за время t равна:
   
sin 2   n
t
| F n |
2


(1)
2
| a n (t ) | =
2
2
  n   


 2 
2
wn
4
(18)
   
Вводим  =   n
 . Тогда:
 2 
| a(1)n (t ) |2 =
| F n |2 sin 2 ( t )
(19)
2
2
Мы интересуемся вероятностью ионизации за время, много большее периода собственных
колебаний системы. Рассмотрим t   .
lim
t 
sin 2 ( t )
2
=  ( )
(20)
Поэтому
wn =
| F n |2
2
2 t ( E  En   )
t
(21)
Вероятность перехода в единицу времени есть
dw =
2
| F n |2  ( E  En   )d
5
(22)