Линейная теория ростa адиабатических возмущений плотности. Согласно современным наблюдательным данным, Вселенная в высокой степени однородна и изотропна на масштабах ≥ 300 мпк. Этот вывод основан на наблюдаемом распределении галактик, радиогалактик и высокой степени изотропии ре¯ ∆T ¯ −5 ликтового излучения T ¯ o ∼ 10 . Что позволяет использовать в качестве фоновой 10 модели (для исследования эволюции крупномасштабной структуры Вселенной) однородную и изотропную модель Фридмана (Ландау и Лифшиц, 1988), метрика которой в пространственно-плоском случае может быть выписана в виде: ds2F = dt2 − a2 (t)d~x2 = a2 (η)(dη 2 − d~x2 ) (1.1) или в сферических координатах ³ ´ ds2F = dt2 − a(t)2 dr2 + r2 sin2 θdθ2 dφ2 , (1.2) где a(t) – масштабный фактор, t и η – соответственно, физическое и комформное время, (η, ~x) – комформные координаты или сопутствующие координаты Минковского. Метрика Фридмана взаимно однозначно связана с наблюдаемым законом расширения Вселенной – законом Хаббла: H = v · R, где v – лучевая скорость объекта, находящегося на расстоянии R от наблюдателя, H – универсальная постоянная. Этот закон не зависит ни от направления наблюдений, ни от положения наблюдателя. Динамика Вселенной определяется уравнениями Эйнштейна 1 : Gij = 8πGTji , (1.3) где Tji – тензор энергии-импульса материи, для которого справедлив локальный закон сохранения: j Ti,j = 0, (1.4) где ковариантная производная по координатам обозначена символом а Gij – тензор Эйнштейна, образованный из нулевых, первых и вторых производных компонент метрического тензора. Для случая идеальной жидкости Tji = (ρ+P )ui uj −P gji , где ρ – плотность материи, P – давление, ui = (1/a, 0, 0, 0) – невозмущенная 4-скорость материи, и уравнения Эйнштейна принимают вид2 : 3H 2 = ρ, (1.5) - из уравнения Too = Goo , где H = ȧ a – постоянная Хаббла; ä 1 = − (ρ + 3P )H ȧ 6 (1.6) -из уравнения Tβα = Gαβ ). Уравнения (1.4, 1.5, 1.6) называются уравненями Фридмана. Из закона сохранения (1.4) следует: ρ̇ = −3H(ρ + P ) 1 (1.7) Всюду греческие символы принимают значения 1,2,3; латинские 0,1,2,3 ; gik = diag(1, −, −, −); подъем и опускание латинских индексов производится с помощью метрического фридмановского тензора, а греческих – с помощью единичной матрицы δαβ . 2 В системе единиц 8πG = c = h̄ = 1 1 Значение величины Ωtot ≡ ρρc , где ρc = 3Ho2 определяет свойства глобальной геометрии мира – закрытую (Ωtot > 1), открытую(Ωtot < 1), плоскую (Ωtot = 1) глобальную геометрию мира (Ландау и Лифшиц, 1998). Задавая уравнение состояния P = P (ρ) и решая совместно уравнения (1.5),(1.6), можно получить различные законы динамики масштабного фактора. Например, для случая Ωtot = 1 и ΩΛ = 0: • P = −ρc2 – де-Ситтеровская стадия: a(t) = a0 eHt H = const; • P = ρc2 3 – радиационно-доминированная (РД) стадия: µ a(t) = a0 t t2 ¶1 2 • P = 0 – материально-доминированная (МД) стадия: µ a(t) = a0 t t3 ¶2 3 Масштабный фактор a, полагаемый в настоящий момент равным 1, связан со значением красного смещения z (определяемым из наблюдений) следующим соотноa0 шением: a(t) = 1 + z(t) . Впервые адиабатические возмущения плотности вещества в однородных и изотропных космологических моделях были исследованны Лифшицем (Лифшиц, 1946), рассмотревшим возмущения метрики как поправку к фридмановской модели, т.е. нашел решения уравнений Энштейна в метрике: ds2 = ds2F + hij dxi dy j , (1.8) ds2 = (gij0 + hij )dxi dxj = (1 + h00 )dt2 − a2 (δαβ + hαβ )dxα dxβ , (1.9) или где h00 – ньютоновский гравитационный потенциал. Тензор возмущений метрики может быть разложен по неприводимым представлениям, классификация которых сводится к определению возможных типов волн, в виде которых может быть представлен любой симметричный тензор второго ранга hij : 1 hij = Qδij + P,ij + Si,j + Gij (1.10) 2 для которого в координатном пространстве соблюдены следующие условия: Si,i = 0 Gji δij = 0 Gji,j = 0 Смысл величин функций будет ясен из более подробного рассмотрения данной классификации и условий на функции в фазовом пространстве. 2 1. С помощью скалярной функции: Q = ei~e~r можно составить тензоры 1 Qij = δji 3 kj k i 1 Pji = δji − 2 Q. 3 e i i Эти тензоры определены так, что Qi = 1,Pi = 0. С помощью той же функции Q можно составить вектор Pi = kki Q. Таким плоским волнам соответствуют возмущения, в которых наряду с гравитационным полем испытывают изменения также и потенциальное поле скоростей и плотность материи, т.е. мы имеем дело с возмущениями, сопровождающимися возникновением сгущений или разрежений материи. Возмущение hij выражается при этом через тензоры Qδij , P,ij , возмущение скорости vi – через вектор P,i , а возмущение плотности δρ – через скаляр Q. 2. С помощью поперечной векторной волны: ~ Si = si eik~r , где вектор si определяется условием: si k i = 0, можно составить тензор Sji = k1 (k i Sj + kj S i ). Соответсвующего же скаляра не существует, поскольку Sj k i = 0. Этим волнам соответствуют возмущения, в которых наряду с гравитационным полем испытывает изменение также и поле скоростей, но не плотности материи – это вращательные возмущения. Возмущение hij выражается при этом через тензор S,ji , а возмущение v i через вектор S i. 3. Поперечная тензорная волна: ~ Gij = γji eik~r , где тензор γij определяется условием: γij k j = 0. С ее помощью нельзя составить ни вектора, ни скаляра (поскольку Gij ki = 0 , Gij kij = 0) . Этим волнам соответствуют возмущения гравитационного поля, при которых мaтерия остается неподвижной и однородно распределенной в пространстве. Другими словами, это – гравитационные волны в изотропном мире. Необходимо отметить, что имеет смысл использовать приближение в котором рассматривается только первый и третий тип возмущений, т.к., согласно современным наблюдательным данным, векторные возмущения чрезвычайно малы по амплитуде. И с точки зрения инфляционных теорий, основанных на скалярных полях, векторные возмущения не генерируются в первом порядке теории возмущений (но возможны в теориях инфляции, основанных на векторных полях). Подставляя в уравнения Эйнштейна компоненты δTij и δGij , выраженные через hij , получим уравнение эволюции hij для первого типа возмущений (скалярных). В частности, для динамики скалярных возмущений на материально-доминированной 3 стадии, имеем следующее линеаризованное уравнение (Лифшиц, 1946) (для плоской Вселенной с ΩΛ = 0) : Ã 0 0! 1 δρ 2a h j,i ,i = hi,j − h,i + , ρo 2ρa2 a где 0 означает производную по комформному времени, ρ0 – современная средняя плотность Вселенной. Для скалярных возмущений hi,j выражается через скалярные функции Q и P в соответствии с (1.10): 12 hij = Qδij +P,ij а его зависимость от времени определяется "недиагональными"уравнениями Эйнштейна для hij . Т.е., уравнение динамики возмущений плотности δ = ρδρo выглядит следующим образом: 1 ∆P δ̈ + 2H δ̇ + ρo δ = δ , 2 ρ0 a2 (1.11) где ∆P = 0 для изотропной среды. Поскольку метрика в рассматриваемых небольших областях пространства является локально-минковской, то произвольное возмущение в каждой такой области в линейном приближении может быть разложено по плоским волнам. Понимая под ~r сопутствующий радиус-вектор, можно написать пространственный периодический ~ множитель плоских волн в виде eik~r , где ~k – безразмерный волновой вектор, а k ≡ 2πa λ – сопутствующее волновое число. Таким образом, разлагая δ по фурье-компонентам δ(r, t) = X ~ δk (t)eik~r (1.12) k получим дифференциальное уравнение динамики для каждой из гармоник: δ̈k + 2H δ̇k + ω 2 δk = 0, где Ã kvs 1 ω = ρo − 2 a (1.13) !2 2 , (1.14) q а vs = dP – скорость звука. Необходимо отметить, что уравнение (1.9) требует dρ задания начальных условий для самой переменной и для ее первой производной. Для барионной материи с ненулевым давлением уравнение (1.14) с нулевой правой частью определяет в теории образования структуры важную величину – джинсовскую длину волны: Ã kvs a !2 1 = ρo =⇒ k = 2 s ρo a =⇒ λJ = 2vs2 s 4π 2 vs2 . ρo Волны с длиной волны λ < λJ распространяются во Вселенной в виде звуковых колебаний, волны же с длиной волны λ > λJ экспоненциально возрастают по-амплитуде со временем, что соответствует возмущениям, коллапсирующим в объекты. Т.е., возмущения с λ > λJ растут со временем в соответствии с решением уравнения (1.13); возмущения с λ < λJ – это затухающие звуковые волны. Джинсовской длине волны соответсвует масса: 4 MJ = πλ3J ρo . 3 Согласно (Mueller and Seming, 1996), джинсовская масса до момента рекомбинации: MJ ' 9 · 1016 (Ωtot h2 )−2 M¯ ; 4 сразу после рекомбинации: MJ ' 1.3 · 105 (Ωtot h2 )−0.5 M¯ . Последнее выражение получено в предположении мгновенности рекомбинации. 5