УСЛОВНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

УСЛОВНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
 , 
Пусть
величины 
– двумерная случайная величина, причем случайные
и 
зависимы между собой. Условное распределение
характеризует зависимость случайных величин.
Условным распределением одной из случайных величин называется
распределение этой величины, найденное при условии, что другая случайная
величина приняла определенное значение (или попала в определенный
интервал).
 , 
Пусть
распределение
–
дискретная
которой
двумерная
определяется
pij  P  xi ,  y j , i  1,, n , j  1,  , m .
случайная
набором
величина,
вероятностей
Условное распределение дискретной случайной величины 
условии
при
  y j определяется набором условных вероятностей p xi y j ,
i  1,, n , где pxi y j  
P  xi ,  y j 
P  y j 

pij
py j
– условная вероятность
того, что случайная величина  примет значение xi при условии   y j .
Аналогично определяется условная вероятность дискретной случайной
величины  при условии   xi :

 P Px ,x y   pp
p y j xi 
i
j
i
ij
xi
,


и условное распределение этой величины, как набор вероятностей p y j xi ,
j  1,  , m .
Пусть
 , 
– непрерывная двумерная случайная величина, f  x  и
f  y  – маргинальные плотности распределения вероятностей случайных
величин  и  соответственно.
Условная плотность распределения случайной величины 
при
условии   y определяется равенством
f x y  
f  x, y 
f  x, y 
,
 
f  y 
 f x, y dx
f  y   0 .

Аналогично определяют условную плотность распределения случайной
величины  при условии   x :
f y x 
f  x, y 
f  x, y 
,
 
f  x 
 f x, y dy
f  x   0 .

Критерий независимости случайных величин.
Случайные величины  и  являются независимыми тогда и только
тогда, когда условное распределение случайной величины  при условии
  y совпадает с безусловным распределением случайной величины  .
В частности, дискретные величины  и  являются независимыми
тогда и только тогда, когда все условные вероятности совпадают с
безусловными вероятностями, т.е.  i, j :
p xi y j   p xi .
Условные числовые характеристики.
Поскольку условное распределение обладает всеми свойствами
безусловного распределения, то по нему можно определить числовые
характеристики,
которые
называются
условными
числовыми
характеристиками.
Условным математическим ожиданием E
   дискретной случайной
величины  относительно случайной величины  называется функция
E     g  
случайной величины  , областью определения которой является множество
значений y j , j  1,  , m случайной величины  , а
g  y j   E  y j    xi  p xi y j .
n
i 1
Условным
математическим
ожиданием
E   
непрерывной
случайной величины  относительно случайной величины  называется
функция E
    g   от случайной величины  , принимающая значения
g  y   E  y  

 x  f x y dx .

Функция g    E
  
называется функцией регрессии случайной
величины  на случайную величину  , а ее график – линией регрессии.
Линия регрессии графически изображает зависимость «в среднем» случайной
величины  от значения случайной величины  .
Свойства условного математического ожидания:
1.
E Const    Const .
2.
E a  b   aE    b .
3.
E 1   2    E 1    E  2  .
4.
Пусть
1 ,  2 – независимые случайные величины при условии, что
случайная величина  приняла любое конкретное значение, тогда
E 1   2    E 1   E  2  .
5.
E E     E .
6.
Пусть u   и v  – функции случайных величин  и  , тогда
E u v    v E u  .
7.
Если  и  – независимые случайные величины, то
E     E .
 
Условной дисперсией D  
случайной величины  относительно
случайной величины  называют случайную величину


D    E   E     .
2
D y j    xi  E  y j  p xi y j , если  ,  – дискретная,
n
2
i 1
D y  

2




x

E

y
f x y dx , если  ,  – непрерывная.


Свойства условной дисперсии:
1.
DConst    0 .
2.
Da  b   a 2 D  .
3.
D    E  2   E 2   .
4.
Пусть
 
1 ,  2 – независимые случайные величины при условии, что
случайная величина  приняла любое конкретное значение, тогда
D1   2    D1    D 2  .
5.
Пусть u   и v  – функции случайных величин  и  , тогда
Du  v    v 2  Du    .
6.
Если  и  – независимые случайные величины, то
D    D .
7.
D  E D    E E     E  .
2
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА «УСЛОВНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ»
Описание контрольной работы
1.
Контрольная работа «Условное распределение»
1
2
Вариант № …

Условия заданий
1.
…
2.
…
Образец и решение типового варианта контрольной работы
2.
Условия заданий
1. Распределение дискретной двумерной случайной величины
 , 
задано с помощью таблицы


1
0
1
2
1
0,15
0,05
0,1
0,05
1
0,05
0,15
0,3
0,15


Найти условное математическое ожидание E   .
2.
Непрерывная
двумерная
2
случайная
величина
 , 
задана
совместной плотностью распределения вероятностей


C x  y 2 , 0  x  2, 0  y  1,
f  x, y   
иначе.
 0,
Найти:
a)
условную плотность распределения вероятностей случайной величины
;
 
b)
условное математическое ожидание E   ;
c)
условную дисперсию D   ;
 
Решение.
1. а) Найдем распределение случайной величины

2
0
1
 , :
2
4
1
0,05
0,25
0,05
1
0,15
0,35
0,15
b) Найдем распределение случайной величины  :
2
2
0
1
4
p
0,2
0,6
0,2
c) Найдем условные законы распределения случайной величины  :
2  0
1
1
pxi 0
1
3
2 1
pxi 1
4
1
5
12
4
1
7
12
2  4
1
1
pxi 4
1
3
4
4


d) Найдем значения условного математического ожидания E   :






1
3 1
E   2  0  E  0   1  1  ,
4
4 2
E   2  1  E  1  1
5
7 1
 1  ,
12
12 6
1
3 1
E   2  4  E  4  1  1  .
4
4 2
Ответ: E  0  
2. а) Найдем C .
1
1
1
, E  1  , E  4   .
2
2
6
2
 f x, y  dxdy  1, тогда
1
2

y3 
1

2
1  C  dx  x  y dy  C   xy   dx  C   x   dx 
3 0
3
0
0
0
0
2
1


2
2
 x2 x 
8
3
 C     C ,  C  .
8
 2 30 3
Найдем маргинальные плотности f  x  и f  y .
1
1
3
3
y3 
3x  1
2
f  x    x  y dy   xy   
, окончательно получим
80
8
3 0
8


 3x  1
, 0  x  2,
f  x    8
 0,
иначе.
Аналогично


 3 2
y  1 , 0  y  1,
f  y    4
 0,
иначе.
 
Найдем f y x .


3 x  y 2
f  x, y  
f y x 
  3x  1 , 0  x  2, 0  y  1,
f  x   0,
иначе.

 
b) Найдем условное математическое ожидание E   .





3 x  y2
3
E  x    y f  y x  dy   y 
dy 
xy  y 3 dy 

3x  1
3x  1 0

0
1
3  y2 y4 
32 x  1
 x   

.
3x  1  2
4  0 43x  1
1
Тогда E    
32  1
.
43  1
1
 
c) Найдем условную дисперсию D   .
 





3 x  y2
3
E  x   y f  y x  dy   y 
dy 
xy 2  y 4 dy 

3x  1
3x  1 0

0
2
1
2
2
1
1
3  y3 y5 
5x  3
 x   

.
3x  1  3
5  0 53x  1
5 x  3  32 x  1  60 x 2  44 x  3
2
2
D x   E  x  E  x  

.
 
2
53x  1  43x  1 
803x  1
 
2
60 2  44  3
.
Тогда D   
2
803  1
Ответ:


a)
3 x  y 2

f  y x    3x  1 , 0  x  2, 0  y  1,
 0,
иначе.
b)
E    
c)
60 2  44  3
D   
.
2
803  1
3.
32  1
.
43  1
Варианты контрольной работы для самостоятельного решения
Вариант 1
1.
Распределение дискретной двумерной случайной величины
задано с помощью таблицы


1
0
1
2
1
0,1
0,2
0,1
0,05
1
0,05
0,05
0,3
0,15
 , 


Найти условное математическое ожидание E   .
2.
2
 ,  задана совместной
Непрерывная двумерная случайная величина
плотностью распределения вероятностей
C  xy  1, 0  x  2, 0  y  1,
f  x, y   
иначе.
 0,
Найти:
a)
условную плотность распределения вероятностей случайной величины
;
 
b)
условное математическое ожидание E   ;
c)
условную дисперсию D   ;
d)
коэффициент корреляции.
 
Вариант 2
1.
Распределение дискретной двумерной случайной величины
 , 
задано с помощью таблицы


2
0
1
2
1
0,15
0,1
0,1
0,25
2
0,1
0,15
0,05
0,1


Найти условное математическое ожидание E   .
2.
2
Непрерывная двумерная случайная величина
 ,  задана совместной
плотностью распределения вероятностей
C  xy  1, 0  x  2, 0  y  1,
f  x, y   
иначе.
 0,
Найти:
a)
;
условную плотность распределения вероятностей случайной величины
b)
условное математическое ожидание E
c)
условную дисперсию D   ;
d)
коэффициент корреляции.
  ;
 
Вариант 3
1.
Распределение дискретной двумерной случайной величины
 , 
задано с помощью таблицы


1
0
1
1
0,1
0,2
0,1
0
0,05
0,05
0,3
1
0,05
0,1
0,05

Найти условное математическое ожидание E  
2.
2
Непрерывная двумерная случайная величина
.
 ,  задана совместной
плотностью распределения вероятностей
C  x  y  1, 0  x  2, 0  y  1,
f  x, y   
0,
иначе.

Найти:
a)
условную плотность распределения вероятностей случайной величины
;
 
b)
условное математическое ожидание E   ;
c)
условную дисперсию D   ;
d)
коэффициент корреляции.
 
Вариант 4
1.
Распределение дискретной двумерной случайной величины
задано с помощью таблицы
 , 


1
0
4
1
0,1
0,2
0,1
0
0,1
0,05
0,25
1
0,05
0,1
0,05

Найти условное математическое ожидание E  
2.
2
.
Непрерывная двумерная случайная величина
 ,  задана совместной
плотностью распределения вероятностей
C  x  y  1, 0  x  2, 0  y  1,
f  x, y   
0,
иначе.

Найти:
a)
условную плотность распределения вероятностей случайной величины
;
b)
условное математическое ожидание E
c)
условную дисперсию D   ;
d)
коэффициент корреляции.
  ;
 
Вариант 5
1.
Распределение дискретной двумерной случайной величины
 , 
задано с помощью таблицы


0,2
0,5
0,8
0,04
0,15
0,3
0,35
0,08
0,05
0,12
0,03
 
Найти условное математическое ожидание E   .
2.
Непрерывная двумерная случайная величина
плотностью распределения вероятностей
 ,  задана совместной


C x  y 2 , 0  x  2, 0  y  1,
f  x, y   
иначе.
 0,
Найти:
a)
условную плотность распределения вероятностей случайной величины
;
b)
условное математическое ожидание E
c)
условную дисперсию D   ;
d)
коэффициент корреляции.
  ;
 
Вариант 6
1.
Распределение дискретной двумерной случайной величины
 , 
задано с помощью таблицы


0,2
0,5
0,8
0,04
0,15
0,3
0,35
0,08
0,05
0,12
0,03
Найти условное математическое ожидание E
2.
  .
Непрерывная двумерная случайная величина
 ,  задана совместной
плотностью распределения вероятностей


C x  y 2 , 0  x  2, 0  y  1,
f  x, y   
иначе.
 0,
Найти:
a)
условную плотность распределения вероятностей случайной величины
;
 
b)
условное математическое ожидание E   ;
c)
условную дисперсию D   ;
d)
коэффициент корреляции.
 
Вариант 7
1.
Распределение дискретной двумерной случайной величины
 , 
задано с помощью таблицы


0,1
0,15
0,2
0,3
0,25
0,15
0,32
0,6
0,1
0,05
0,13
 
Найти условное математическое ожидание E   .
2.
Непрерывная двумерная случайная величина
 ,  задана совместной
плотностью распределения вероятностей


C xy  y 2 , 0  x  1, 0  y  1,
f  x, y   
иначе.
 0,
Найти:
a)
условную плотность распределения вероятностей случайной величины
;
b)
условное математическое ожидание E
c)
условную дисперсию D   ;
d)
коэффициент корреляции.
  ;
 
Вариант 8
1.
Распределение дискретной двумерной случайной величины
задано с помощью таблицы


0,1
0,15
0,2
0,3
0,25
0,15
0,32
0,6
0,1
0,05
0,13
Найти условное математическое ожидание E
  .
 , 
2.
 ,  задана совместной
Непрерывная двумерная случайная величина
плотностью распределения вероятностей


C xy  y 2 , 0  x  1, 0  y  1,
f  x, y   
иначе.
 0,
Найти:
a)
условную плотность распределения вероятностей случайной величины
;
 
b)
условное математическое ожидание E   ;
c)
условную дисперсию D   ;
d)
коэффициент корреляции.
 
Вариант 9
1.
Распределение дискретной двумерной случайной величины
 , 
задано с помощью таблицы


2
2
3
0
0,05
0,05
0,05
1
0,2
0,1
0,3
2
0,1
0,05
0,1


Найти условное математическое ожидание E   .
2.
2
Непрерывная двумерная случайная величина
 ,  задана совместной
плотностью распределения вероятностей


C x 2  y ,  1  x  0, 0  y  1,
f  x, y   
иначе.
 0,
Найти:
a)
;
условную плотность распределения вероятностей случайной величины
b)
условное математическое ожидание E
c)
условную дисперсию D   ;
d)
коэффициент корреляции.
  ;
 
Вариант 10
1.
Распределение дискретной двумерной случайной величины
 , 
задано с помощью таблицы


1
0
1
0
0,05
0,05
0,1
1
0,2
0,1
0,25
2
0,1
0,05
0,1


Найти условное математическое ожидание E   .
2.
2
Непрерывная двумерная случайная величина
 ,  задана совместной
плотностью распределения вероятностей


C x 2  y ,  1  x  0, 0  y  1,
f  x, y   
иначе.
 0,
Найти:
a)
условную плотность распределения вероятностей случайной величины
;
 
b)
условное математическое ожидание E   ;
c)
условную дисперсию D   ;
d)
коэффициент корреляции.
 