Belkina - Высшая школа экономики

Министерство экономического развития и торговли
Российской Федерации
ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ –
ВЫСШАЯ ШКОЛА ЭКОНОМИКИ
Факультет экономики
Программа дисциплины
СТОХАСТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ И МОДЕЛИРОВАНИЕ
ДЛЯ НАПРАВЛЕНИЯ 080100.68 «ЭКОНОМИКА» ПОДГОТОВКИ
МАГИСТРА
АВТОР: Т.А.БЕЛКИНА([email protected])
Рекомендована секцией УМС
« КОНКРЕТНАЯ ЭКОНОМИКА»
ПРЕДСЕДАТЕЛЬ
СМИРНОВ С.Н.
________________
«______» _______________________ 200 Г.
УТВЕРЖДЕНА УС ФАКУЛЬТЕТА
ЭКОНОМИКИ
УЧЕНЫЙ СЕКРЕТАРЬ
ПРОТАСЕВИЧ Т.А.
_________________
«______» ______________________ 200 Г
ОДОБРЕНА НА ЗАСЕДАНИИ
КАФЕДРЫ УПРАВЛЕНИЯ РИСКАМИ И СТРАХОВАНИЯ
МОСКВА, 2006
ЗАВ. КАФЕДРОЙ СМИРНОВ С.Н.
_________________________
«_______» ________________200 Г.
1. Пояснительная записка.
Автор программы – к.ф.-м..н. Т.А.Белкина.
Аннотация. Курс «Стохастический анализ и моделирование» рассчитан на
один семестр и читается студентам первого курса магистратуры направления
Экономика, обучающимся по магистерской программе «Управление рисками и
актуарные методы».
Курс предназначен для ознакомления слушателей с математическими основами
экономического моделирования, прежде всего с ориентацией на финансы,
страхование и смежные области экономики, и практически-ориентированными
методами такого моделирования.
Данный курс является базовым для многих дальнейших курсов магистерской
программы «Управление рисками и актуарные методы». Полученные знания
могут быть использованы в дальнейших курсах финансово-экономического
профиля и при подготовке магистерских диссертаций, связанных с
применением методов экономического моделирования.
Важная роль в курсе отведена семинарским занятиям. Для успешного усвоения
курса студентам необходимо не просто получить представление об основных
методах анализа, но и научиться применять эти методы. Это требует
непрерывной практики в решении задач, которая приобретается на семинарских
занятиях и при подготовке домашних заданий.
Требования к студентам.
Курс предназначен для студентов магистратуры, уже прослушавших
курсы математического анализа (включая дифференциальное и интегральное
исчисление) и линейной алгебры. Предполагается также, что студенты знакомы
с основами теории вероятностей.
Учебная задача дисциплины.
В результате изучения курса студент должен:
- знать основные результаты теории вероятностей и некоторые результаты
теории случайных процессов, обладать навыками решения задач в этой
области;
- уметь описывать экономические задачи на «языке» теории вероятностей и
случайных процессов;
- обладать навыками применения вероятностных моделей в области финансов
и страхования.
2
2.Тематический план дисциплины.
№
Наименование разделов и тем
Всего
часов
1
Основные понятия элементарной
теории вероятностей и их применения в области страхования и
финансов
Основания общей теории
32
2
3
4
5
Аудиторные часы
Самосто
Лекции
Семинар ятельная
работа
ы
8
4
20
22
5
2
15
Распределения в конечномерном 29
пространстве и некоторые предельные теоремы
Случайные процессы с дискрет- 27
ным временем
Случайные процессы с непре- 25
рывным временем
135
Итого:
7
4
18
6
3
18
6
3
16
32
16
87
3.Литература.
Базовые учебники
1. Ротарь В.И. (1992) Теория вероятностей. – М.: Высшая школа. [Ротарь]
2. Феллер В. (1984) Введение в теорию вероятностей и ее приложения,
тома 1, 2. – М.: Наука. [Феллер]
Основная.
1. Айвазян С.А. и Мхитарян В.С. (1998) Прикладная статистика и основы
эконометрики. – М.: ЮНИТИ. [АМ]
2. Мельников А.В. (2003) Риск-менеджмент. Стохастический анализ
рисков в экономике финансов и страхования. 2-е издание. М.:АНКИЛ.
[Мельников]
3. Фалин Г.И. (1994) Математический анализ рисков в страховании.
М.:Российский юридический издательский дом. [Фалин]
4. Оксендаль Б. (2003) Стохастические дифференциальные уравнения
Введение в теорию и приложения. М.:Мир. [Оксендаль]
5. Ross, S. M. (1983) Stochastic Processes. – Wiley. [Ross]
Дополнительная.
1. Боровков А.А. (1986) Теория вероятностей. – М.: Наука.
3
2. Вентцель А.Д. (1996) Курс теории случайных процессов, 2-е изд.. – М.:
Наука.
6. Ермаков, С. М. (1975) Метод Монте-Карло и смежные вопросы. – М.:
Наука.
7. Прохоров, Ю. В. (1956) Сходимость случайных процессов и предельные
теоремы теории вероятностей. – Теория вероятностей и ее применения,
1, 2, 177 – 238.
8. Прохоров, Ю. В. (ред.) (1999) Теория вероятностей и математическая
статистика. – М.: Большая российская энциклопедия.
9. А.Н. Ширяев (1984) Вероятность. – М.: Наука.
10. А.Н. Ширяев (1998) Основы стохастической финансовой математики,
тт. 1, 2. – М.: ФАЗИС.
11. Embrechts, P., Kluppelberg, C., and Mikosh, T. (1997) Modelling extremal
events for finance and insurance. – Springer.
12. Karatzas I. and Shreve S.E. (1988) Brownian Motion and Stochastic Calculus.
– Springer.
Соответствующие разделы основной литературы приведены по каждой теме.
4.Формы контроля.
-
текущий контроль осуществляется путем проверки домашнего задания и
регулярного решения задач на семинарах;
-
промежуточный контроль
контрольной работы;.
-
итоговый контроль- в форме письменного экзамена в конце семестра.
осуществляется
в
форме
проверочной
Итоговая оценка выставляется по балльной системе. Суммируются (с весами)
баллы, полученные за контрольную работу и домашнюю работу (по 10
максимум за каждый вид работы), за экзаменационную работу (20 максимум),
за работу на занятиях и за выполнение текущих заданий (эти баллы
рассматриваются как дополнительные; активный студент может получить
максимум по 10 баллов за одно занятие и выполненное домашнее задание). Веса
могут быть определены следующим образом: для контрольных и домашних
работ веса составляют 0.2, для экзамена - 0.4, для суммы дополнительных
баллов – 0.01. При этом, если оценка, полученная на экзамене, окажется выше,
то она и используется для определения итоговой оценки.
Итоговый экзамен: проводится в присутствии преподавателя и предполагает
краткий ответ на вопросы, а также решение задач. Вопросы составляются с
учётом материала, пройденного как на лекционных занятиях, так и на
семинарских занятиях. Время ,отводимое на выполнение итоговой работы, 2
астрономических часа (120 минут).
Полученные студентами баллы суммируются и переводятся в 10-бальную
шкалу, итоговая оценка выставляется по 10-бальной шкале, исходя из
полученной суммы баллов:
4
От 0 до 3 баллов – «неудовлетворительно»
От 4 до 5 баллов – «удовлетворительно»
От 6 до 7 баллов – «хорошо»
От 8 до 10 баллов – «отлично».
5.Содержание программы.
Раздел I.
Основные понятия элементарной теории вероятностей и их
применения в области страхования и финансов (Ротарь, часть I; Мельников,
часть 1, параграфы 1-3, часть 2, параграф 1 ; Фалин, ).
Элементы аксиоматики в дискретном пространстве элементарных
исходов (ПЭИ) и некоторые распределения (Бернулли, биномиальное,
геометрическое, гипергеометрическое, Пуассона). Теорема Пуассона. Условная
вероятность. Случайные величины (с.в.). Совместные распределения. Свертки.
Условные распределения. Математическое ожидание (м.о.) с.в. Условное м.о. и
функция регрессии. Тождество Вальда. Дисперсия. Моменты и неравенства для
уклонений. Закон больших чисел. Предельная теорема Муавра-Лапласа.
Производящие функции. Дополнение: безобидные (справедливые) игры.
Петербургский парадокс. Функция полезности и неравенство Йенсена.
Примеры применения перечисленных понятий и результатов в области
страхования: 1) статическая модель для числа исков за фиксированный
промежуток времени; 2) модели индивидуальных исков (описание структуры,
вычисление м.о. и дисперсии; 3) модель индивидуального риска. Примеры из
области финансов: 1) модель с дискретным (конечным) ПЭИ и единичным
интервалом времени; понятие риск-нейтральной вероятностной меры; 2)
понятие опциона-колл и его справедливой цены.
Раздел II. Основания общей теории (Феллер, т. 2, гл. IV; Ротарь, гл. 1 части
II).
События. Алгебры и сигма-алгебры событий. Меры и вероятности.
Теорема о продолжении. Измеримость. Случайные величины и распределения
вероятностей. Математическое ожидание как интеграл Лебега.
Раздел III. Распределения в конечномерном пространстве и некоторые
предельные теоремы (Феллер, т. 2, гл. I, V ; Ротарь, гл. 2 части II, Фалин,
раздел 6).
Распределение случайной
величины. Функция распределения.
Абсолютно непрерывные и дискретные распределения. Плотность. Интеграл
Лебега – Стилтьеса. Смеси. Моменты. Важнейшие непрерывные распределения:
равномерное, показательное, нормальное, логнормальное, гамма, Парето. Их
связи и свойства. Пример: распределения величин предъявленного иска в
моделях индивидуальных исков. Связь пуассоновского и экспоненциального
распределений. Численное моделирование случайных величин.
Совместные распределения. Зависимость. Условные распределения.
Формулы полной вероятности и полного математического ожидания. Свертки.
5
Распределения случайных векторов. Многомерное нормальное
распределение. Линейные преобразования случайных величин и случайных
векторов.
Сходимость случайных величин и распределений. Сходимость моментов.
Законы больших чисел.
Характеристические функции и их свойства.
Производящие функции моментов.
Центральная предельная теорема (ЦПТ). Условия ЦПТ. Скорость
сходимости в ЦПТ. Неравенство Берри – Эссеена. Практические аспекты.
Примеры приложений ЦПТ в экономике и финансах: модели доходностей,
модель индивидуального риска в страховании и др. Устойчивые распределения.
Предельные теоремы для экстремумов. Классификация «хвостов».
Оценка риска экстремальных событий. Примеры из области страхования и
финансов.
Раздел IV. Случайные процессы с дискретным временем (Феллер, т. 1, гл.
XIV, XV; Ross, Ch. 4, 7; АМ, глава 16, Мельников, часть 1, параграф 3).
Случайные блуждания. Задача о разорении. Пример: модель страхования
де Финетти. Парадокс теории риска.
Цепи Маркова. Вероятности переходов. Эргодичность. Пример:
актуарная модель нескольких декрементов.
ARMA процессы и их развитие. Примеры применения в финансах.
Мартингалы. Пример: дисконтированный капитал самофинансируемого
портфеля в биномиальной модели финансового рынка. Понятие мартингальной
вероятностной меры и справедливая цена опциона.
Раздел V. Случайные процессы с непрерывным временем (Феллер, т. 2, гл.
VI; Ross, Ch. 2, 5, 6; Оксендаль, гл. 3 – 5, Фалин, раздел 5; Мельников, часть 2,
параграфы 1,2).
Винеровский процесс. Принцип инвариантности Донскера – Прохорова.
Введение в стохастический анализ. Стохастические дифференциальные
уравнения и стохастические интегралы. Формула Ито. Пример: логнормальная
модель цен финансовых активов.
Диффузии.
Марковские процессы с непрерывным временем. Дифференциальные
уравнения Колмогорова. Понятие о модели Блэка и Шоулса (краткое
представление и некоторые понятия).
Пуассоновский процесс. Сложный пуассоновский процесс, его свойства.
Пример: динамическая модель для числа исков за фиксированный промежуток
времени, модель коллективного риска и теория разорения Крамера-Лундберга.
6.Вопросы для оценки качества освоения дисциплины.
Примеры вопросов (задач) для проверки качества знаний.
1. В партии, состоящей из N изделий, имеется M бракованных. Наудачу
выбираются n изделий из этой партии (n  N ) .
6
1) Чему равна вероятность
m бракованных?
того,
что
среди
них
окажется
M
 p, p  (0,1), данное
N
распределение (гипергеометрическое) сходится к биномиальному
с вероятностью успеха p .
2. В урну, где находится один белый шар, добавили еще один «вслепую»
выбранный шар – либо белый, либо черный (с одинаковыми
вероятностями выбора). После этого случайным образом вытащили из
урны один шар. Он оказался белым. Какова условная вероятность того,
что оставшийся в урне шар тоже белый?
3. Пусть случайная точка A имеет равномерное распределение в квадрате со
стороной 1. Найти вероятности следующих событий:
а) расстояние от точки А до фиксированной стороны квадрата не
превосходит x ;
б)
расстояние от точки А до ближайшей стороны квадрата не
превосходит x ;
в) расстояние от точки А до центра квадрата не превосходит x ;
г) расстояние от точки А до фиксированной вершины квадрата не
превосходит x .
4. Пусть X – с.в., имеющая непрерывную функцию распределения F .
Покажите, что:
(а) с.в. F ( X ) равномерно распределена на отрезке от 0 до 1;
2) Показать, что при N , M   , так что
5.
6.
7.
8.
(б) с.в. F 1 ( ) , где с.в.  равномерно распределена на отрезке от 0 до 1,
имеет распределение F .
Покажите, что сумма независимых пуассоновских с.в. имеет
пуассоновское распределение.
Покажите, что сумма независимых гамма-распределенных с.в. имеет
гамма-распределение и найдите его параметры.
Рассмотрим поток «вызовов», поступающих в некоторую систему
(например, процесс поступления исков в страховую компанию). Пусть
X i - случайная величина времени, прошедшего между поступлениями
( i  1)-го и i -го вызовов. Предположим, что с.в. X i независимы и имеют
экспоненциальное распределение с параметром  . Покажите, что число
вызовов, поступивших за единицу времени, имеет распределение
Пуассона с тем же параметром.
Пусть длительность работы некоторого прибора описывается
неотрицательной случайной величиной  , функция распределения
  e  y , y  0,
Найдите условное
f ( y)  
y  0.
 0,
математическое ожидание E (  a |   a) , т.е. среднее время, которое
прибор еще проработает в предположении, что он уже проработал время
a . Найти также условное распределение P(  a  x |   a) .
Пусть случайные величины (с.в.) X и Y независимы, причем
P( X  k )  P(Y  k )  pq k 1 , q  1  p, 0  p  1, k  1, 2,... Найти:
которой имеет плотность
9.
7
а) P ( X  Y ); б) P ( X  Y ); в) P( X  Y ); г) P( X  k | X  Y ); д)
P( X  k | X  Y );
е) P( X  k | X  Y ); ж) P( X  k | X  Y  l ); з) Е( X | X  Y  l ); l  2.
10.
а) Пусть с.в. X 1 , X 2 ,... независимы и имеют распределение Пуассона с
параметром  . Пусть также с.в. N не зависит от X 1 , X 2 ,... и имеет
геометрическое распределение. Найти производящую функцию с.в.
S N  X1  X 2  ...  X N . ;
б) Найти производящую функцию (п.ф.) биномиального
распределения;
в) Пусть  ( z ) - п.ф. с.в. X . Найти ЕX 3 .
11. Докажите неравенство Коши - Буняковского - Шварца:
E  XY   EX 2  EY 2 .
12. Докажите формулу:
Var  X   E Var XY  Var  E XY 




 
 
13. Случайная величина X имеет распределение Коши с плотностью
1 1
f ( x) 
. Найти распределения случайных величин
 1  x2
а) Y1 
X2
1
1
;
б)
;
в)
Y

Y

2
3
1 X 2
1 X 2
X
.
14. В страховой компании застраховано 10 000 лиц одного возраста и одной
социальной группы. Вероятность смерти в течение года для каждого
лица равна 0.006. Каждый застрахованный вносит 1 января 120 руб. и в
случае его смерти родственники получают 10 000 руб. Чему равна
вероятность того, что
1) компания понесет убытки;
2) Получит прибыль, не меньшую 400 000, 600 000, 800 000 руб.?
15. Пусть страховой портфель состоит из четырех одинаковых договоров
страхования жизни, учитывающих смерть от несчастного случая: если
смерть застрахованного наступила от несчастного случая, то его
наследникам выплачивается 500 000 руб; в случае смерти от
«естественных» причин страховая выплата равна 250 000 руб. Для
каждого из застрахованных вероятность смерти от несчастного случая
равна 0.1, вероятность смерти от естественных причин равна 0.1.
Определить зависимость вероятности разорения R от величины
капитала компании.
16. В своих расчетах страховая компания установила, что вероятность
подачи иска по 1 договору в течение года равна 0.02, среднее значение
выплат по 1 иску $ 920, среднеквадратическое отклонение $ 52.
Компания заключила 1000 договоров сроком действия на 1 год. Оценить
вероятность того, что суммарные выплаты превысят $14000.
17. Для определения доли р избирателей, поддерживающих на выборах
кандидата Х, производится случайная выборка. Найти объем выборки,
при котором с вероятностью 0.95 погрешность оценки доли р (по
выборке) будет не больше 0.002.
8
18. В таблице приведено совместное распределение
финансовых активов:

\

доходностей двух
-0.1
0
0.1
-0.2
0.1
0
0.4
0.1
0.3
0.1
0.1
Найти индивидуальные распределения, среднее значение доходности 
и прогноз Е (  |  ) .
19. В модели финансового рынка рассмотрим 1 безрисковый (банковский
счет) и 2 рисковых (акции) актива, цены которых в течение одного
периода времени изменяются следующим образом:
S01  150, S11 (1 )  200, S11 ( 2 )  190, S11 (3 )  170;
S02  200, S12 (1 )  270, S12 ( 2 )  250, S12 (3 )  230;
B0  1, r  0, 2.
Существует ли в этой модели риск-нейтральная вероятностная мера?
Если да, то найти ее, если нет – то построить арбитражную стратегию.
20. Пусть страховой портфель состоит из 100 однородных договоров, по
каждому из которых вероятность страхового случая равна 0.04, а
величина страховой суммы равна 2. Пусть также величина резерва
u складывается из первоначального объема собственных средств u0  5 и
суммарных премий по всем договорам. Суммарные премии превышают
ожидаемое значение суммарного иска на некоторую величину (нагрузка
безопасности),
необходимую,
чтобы
обеспечить
вероятность
неразорения, не меньшую 0.9. Какой процент от ожидаемого значения
суммарного иска должна составлять нагрузка безопасности?
Указание: использовать пуассоновскую аппроксимацию для суммарного
числа исков по портфелю.
21. Пусть X – с.в. с характеристической функцией g (t ) . Какая с.в. имеет
характеристическую функцию, равную Re g (t ) ?
22. Найдите характеристическую функцию нормального распределения.
Покажите, что если  t – броуновское движение со сносом  , то при
t   с вероятностью 1
t
.
t
23. Разобьем промежуток  0,T  на n отрезков длиной t  T / n . Покажите,
что сумма квадратов приращений стандартного винеровского процесса
на этих отрезках сходится по вероятности к T .
24. Опишите алгоритмы численного моделирования:
(а) показательно распределенной случайной величины;
(б) пуассоновской случайной величины;
(в) нормальной случайной величины;
(г) траектории пуассоновского процесса;
(д) траектории сложного пуассоновского процесса;
(е) траектории винеровского процесса.
9
25. Объясните, какие вероятностные факты лежат в основе следующих
моделей доходностей финансовых активов:
(а) модели Башелье;
(б) логнормальной модели Самуэльсона.
7. Методические рекомендации преподавателю.
Данный курс предназначен для студентов, уже владеющих основами
вероятностного моделирования. В то же время он охватывает достаточно
широкий материал. Поэтому курс носит обзорный характер. При его чтении
важно обращать внимание слушателей на ключевые моменты, восприятие
которых необходимо для умения применять вероятностные методы на практике.
Следует уделять внимание выработке навыков решения задач, причем
применение основных концепций теории, таких, как (в том числе условные)
распределения, плотности, математические ожидания и дисперсии, не должно
встречать трудностей.
8. Методические указания студентам.
Для успешного усвоения курса необходимо не только посещать лекции и
семинарские занятия, но и активно готовится к ним. В частности, целесообразно
перед каждой лекцией просматривать основные определения и факты по теме,
известные студентам из курса теории вероятностей.
Автор программы:_________________________________ Белкина Т.А.
10