Лекции по математике часть1.
реклама
Матрицы и определители
Матрицы
Определение 1. Матрицей размера mn, называется числовая таблица вида
Числа a ij
a11 a12 ...
a 21 a 22 ...
А=
...
... ...
a
m1 a m 3 ...
называются элементами матрицы,
a1n
a2n
...
a mn
горизонтальные ряды – строками, а
вертикальные – столбцами матрицы.
Если число строк матрицы равно числу ее столбцов, то матрица называется
квадратной, а это число называется порядком матрицы.
Совокупность элементов a11 , a 22 , …, a nn называется главной диагональю матрицы.
Определение 2. Две матрицы А аij и B bij называются равными, если они
одинаковых размеров и aij bij для всех i и j.
1. Операции над матрицами
Сложение матриц
Определение 3. Суммой матриц одинаковых размеров А аij и B bij называется
матрица C cij такая, что cij aij bij для всех i и j.
Сумма матриц обозначается символом C A B .
Умножение матриц на число
Определение 4. Произведением матрицы А на число называется матрица B A
такая, что bij aij для всех i и j.
Определение 5. Произведением матрицы А аij размеров m k на B bij
размеров k n называется матрица C cij размеров m n такая, что
cij ai1b1 j ai 2 b2 j ... aimbmj ( i 1, m , j 1, k ).
Примеры
3
1
1. 2
2 1
7
1
2 2
6
=
0 4 2
7
1
2 5
4
=
.
0 3 2
1 1 2 4 1 1 4 1 2 2 1 1 1 1 3 2 0 8 4
2. 2 0 1 2 3 2 4 0 2 11 2 1 0 3 1 0 9 2
1 5 1 1 0 1 4 5 2 11 11 5 3 1 0 15 16
1
1 (1) 1 3 1 1 1 3 1
3. АВ = 1 1 3 1 = 1 (1) 1 3 1 1 1 3 1 .
3
3 (1) 3 3 3 1 3 9 3
2. Свойства операций над матрицами
Пусть А, В и С – матрицы, и - числа, -А – матрица, состоящая из элементов
матрицы А, взятых с противоположными знаками. O – матрица, состоящая из нулей. Тогда
имеет место слудующие соотношения:
1. А+В=В+А.
2. (А+В)+С=А+(B+C).
3. A+O=A.
4. A+(-A)=O.
5.
6.
7.
A A A .
A B A B
A A
8. 1 A A .
A B C A C B C .
10. A B С A B A C .
11. AB AB A .
12. A B C A B C /
9.
Необходимо
ответить,
что
произведение
матриц
некоммутативно,
A B B A.
3. Возведение матриц в степень.
Для любых целых чисел m и n имеют равенства
1. Am An Amn .
2. A m
n
A mn .
3 2
, найти А3.
Пример. Дана матрица А =
1
4
3 2 3 2 11 14
3 2 11 14
=
;
=
А2 = АА =
A3 =
1 4 1 4 7 18
1 4 7 18
4. Транспонирование матриц.
2
47 78
.
39 86
то
есть:
a11
a 21
Пусть дана матрица А =
...
a
m1
... a1n
... a 2 n
.
... ...
... a mn
a12
a 22
...
a m3
a11
a12
T
Определение 6. Матрица A
...
a
1n
... a m1
... a m 2
,
... ...
... a mn
a 21
a 22
...
a2n
каждая строка которой является столбцом данной матрицы А с тем же номером, называется
транспонированной к матрице А, а переход от матрицы А к матрице AT - операцией
транспонирования.
Операция транспонирования обладает следующими свойствами:
1. A AT .
T
2. A B AT B T .
T
3. A B B T AT .
T
4. АT
T
A.
Некоторые специальные матрицы
Определение 8. Квадратная матрица n-го порядка:
1
0
E =
...
0
0 ... 0
1 ... 0
,
... ... ...
0 ... 1
называется единичной матрицей n-го порядка.
Матрица Е является единицей во множестве всех матриц n-го порядка, т.е. для любой
матрицы А имеет место равенство
A E E A A.
Определение 9. Матрица называется диагональной, если все её элементы вне главной
диагонали равны нулю.
a11
0
А=
...
0
0
a 22
...
0
3
0
... 0
... 0
... a nn
...
Определение 10. Квадратная матрица называется верхней (нижней) треугольной
матрицей, если все е ё элементы, стоящие ниже (выше) главной диагонали, равны нулю.
Примеры
1 3 2
1. 0 2 1 - верхняя треугольная матрица,
0 0 1
1 0 0
2. 2 6 0 - нижняя треугольная матрица.
1 5 1
Определение 11. Квадратная матрица А называется симметрической, если
AT A ,
т.е. если a ij a ji , для любых i и j.
Примеры
1 2 5
1. 2 3 6 - симметрическая матрица,
5 6 4
1 - 1
.
2.
- 1 1
Произведение симметрической матрицы на число и сумма симметрических матриц
есть снова симметрические матрицы.
Произведение двух симметрических матриц А и В тогда и только тогда являются
симметрической матрицей, когда эти матрицы перестановочны: АВ=ВА.
Определители
Определение 1. Определителем матрицы А первого порядка, состоящей из одного
числа, называется само это число.
Далее будем использовать метод математической индукции по n, где n – порядок
матрицы.
Допустим, что мы определили понятие определителя порядка n-1 –го порядка. Дадим
определение определителя матрицы n-го порядка.
Итак, пусть дана матрица А n-го порядка (n≥2). Определитель матрицы (n-1) – го
порядка, получающейся из матрицы А вычеркиванием i-ой строки и j-го столбца, на
пересечении которых находятся элементы
a ij , называется минором матрицы А,
соответствующим элементу a ij , и обозначается M ij .
4
Число Aij (1) i j M ij называется алгебраическим дополнением элемента a ij .
Определение 2. Определителем матрицы А n-го порядка называется число,
вычисляемое по формуле
а11 a12 ... a1n
a 21 a 22 ... a 2 n
a11 A11 a12 A12 ... a1n A1n .
detА=
... ... ... ...
a
a
...
a
n2
nn
n1
Из этого определителя, в частности, следует, что определитель квадратной матрицы 2-го
a12
a
вычисляется по формуле:
порядка A 11
a 21 a 22
a11
a12
a11a 22 a 21a12 ,
a 21 a 22
Определитель квадратной матрицы 3-го порядка вычисляется по формуле:
a11 a12 a13
detA= a 21 a 22 a 23 a11a 22 a33 a12 a 23 a31 a13 a 21a32 a13 a 22 a31 a12 a 21a33 a11a 23 a31
detA =
a31
a32
a33
Теорема 1. Определитель матрицы равен сумме произведений элементов любой строки(
(столбца) матрицы на их алгебраические дополнения.
Следствие. Определитель треугольной матрицы равен произведению её диагональных
элементов.
Основные свойства определителей.
Свойство 1. Если две строки определителя переставить местами, то определитель
изменит лишь знак.
Свойство 2. Общий множитель элементов любой строки определителя можно
вынести за знак определителя.
Свойство 3. Если определитель содержит нулевую строку, то он равен нулю.
Свойство 4. Если определитель содержит две одинаковые строки, то он равен нулю.
Свойство 5. Если какая-то строка определителя пропорционально другой, то
определитель равен нулю.
Свойство 6. Если все элементы k-ой строки определителя представлены в виде
суммы двух слагаемых, то определитель равен сумме двух определителей, у которых все
строки, кроме k-ой, - такие же, как и в данном определителе, а k-ая строка в одном из
определителей состоит из первых слагаемых, а в другом – из вторых слагаемых.
5
Свойство 7. Если к элементам какой – либо строки определителя прибавить
элементы другой строки, умноженное на одно и то же число, то значение определителя не
изменится.
Свойство 8. Величина определителя не меняется при транспонировании.
Следствие. Свойства 1-7 справедливы и для столбцов.
Теорема 2. Сумма произведений элементов какой-либо строки (столбца) на
алгебраические дополнения соответствующих элементов другой строки (столбца) равна
нулю.
Вычисление определителей
Пример.
Вычислить определитель
1
0
2
1 1 2
0
3
2 1
2
1
4 3
3 4
1 1 2
= -1 3
1
1
0
2
1 1 2
0
3
2 1
2
1
4 3
3 4
2 1 2
.
2 1 1
2 1 3 0
3
1 4 0
3
2
4 3
1
3
1
4
2
2
1 1 2
3
2 1 = -1(6 – 4) – 1(9 – 1) + 2(12 – 2) = -2 – 8 + 20 = 10.
1
4 3
2 1 2
0 2 1
0
3
1 = 0
3
1 = 2(0 – 2) – 1(0 – 6) = 2.
2
1
3
2
1
3
2 1 1
0
3
0 2 3
2= 0
3
2 = 2(-4) – 3(-6) = -8 + 18 = 10.
2 1 4 2 1
4
Значение определителя: -10 + 6 – 40 = -44.
Ранг матрицы
a11
a21
Пусть дана матрица А =
...
a
m1
a12
a22
...
am 3
... a1n
... a2 n
.
... ...
... amn
6
Определение 1. Определитель, образованный элементами матрицы А, стоящими на
пересечении
выбранных k строк и k столбцов и взятыми в их естественном порядке,
называется минором k – го порядка матрицы А.
Определение 2. Рангом ненулевой матрицы А называется максимальный порядок
отличного от нуля минора этой матрицы. Рангом нулевой матрицы по определению
считается число нуль.
Таким образом, если ранг матрицы А равен r, то это означает, что выполняются
следующие два условия:
1. Существует отличный от нуля минор r – го порядка матрицы А.
2. Матрица А не содержит отличных от нуля миноров более высоких порядков.
Определение 3. Две матрицы называются эквивалентными, если равны их ранги.
Эквивалентность матриц А и В обозначается так: А ~ B.
Определение 4. Элементарными преобразованиями матрицы называется следующие
преобразования:
1. Перестановка двух строк (столбцов).
2. Прибавление к элементам одной строки (столбца) соответствующих элементов
другой строки (столбца), умноженное на любое число.
3. Умножение элементов какой-либо строки (столбца) на число, отличное от нуля.
Теорема 1. При элементарных преобразованиях ранг матрицы не меняется.
Ранг матрицы не меняется также при транспонировании и вычеркивании нулевой строки
или нулевого столбца.
Теорема 2. Любая матрица с помощью элементарных преобразований может быть
приведена к диагональному виду.
Определение. В матрице порядка mn минор порядка r называется базисным, если
он не равен нулю, а все миноры порядка r+1 и выше равны нулю, или не существуют вовсе,
т.е. r совпадает с меньшим из чисел m или n.
Столбцы и строки матрицы, на которых стоит базисный минор, также называются
базисными.
В матрице может быть несколько различных базисных миноров, имеющих
одинаковый порядок.
Определение. Порядок базисного минора матрицы называется рангом матрицы и
обозначается Rg А.
Пример 1. Определить ранг матрицы.
7
1 0 0 0 5
1 0 0 0 5 1 5
,
0 0 0 0 0
2
0
0
0
11
2
11
2 0 0 0 11
Пример 2. Определить ранг матрицы.
1
5
2 11
11 10 1 0 RgA = 2.
3 5 7 4 8 12 1 2 3
1 2 3 1 2
,
3 2 1 0 Rg = 2.
1 2 3 1 2 3 1 2 3
1 3 5 1 3 5 1 3 5 1 3 5 1 3
Пример 3. Определить ранг матрицы.
1 2 1 3 4
1 2 1 3 4 1 2
,
4 6 2 0. Rg = 2.
3 4 2 6 8
1 2 1 3 4 3 4 2 6 8 3 4
Обратная матрица
Определение 1. Пусть А – квадратная матрица. Квадратная матрица В называется
обратной к А, если
A В= ВA = E,
где Е - единичная матрица.
Обратная матрица В обозначается так: В = А-1.
Если матрица А имеет обратную, то она называется обратимой. В противном случае
матрица А называется необратимой.
Теорема 1. Если матрица А обратима, то ее обратная матрица единственна.
Теорема 2. Если определитель матрицы А отличен от нуля, то матрица А обратима и
A11
1 A21
-1
А =
det A ...
A
m1
A12
A22
...
Am 3
A1n
... A2 n
.
... ...
... Amn
...
Определение 2. Квадратная матрица называется невырожденной, если ее определитель
отличен от нуля. В противном случае матрица называется вырожденной.
1 2
, найти А-1.
.Пример. Дана матрица А =
5
4
det A = 4 - 10 = -6.
А11=4;
Таким образом, А-1=
1
6
А12= -10;
А21= -10;
4 10
.
10 1
8
А22=1
Система линейных уравнений
Основные понятия теории линейных систем
Пусть дана система линейных уравнений в общем виде:
a11 x1 a12 x 2 ... a1n x n b1
a x a x ... a x b
21 1
22 2
2n n
2
...............................................
a m1 x1 a m 2 x 2 ... a mn x n bm
(1)
Здесь числа a ij и bi заданы и называются соответственно коэффициентами системы и
свободными членами; числа xi неизвестны и подлежат определению.
Определение 1. Система чисел 1 , 2 , …, n называется решением системы (1), если
при подстановке их вместо x1 , x 2 , …, x n в каждое уравнение системы (1), мы получим
верные равенства.
Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение. В
противном случае она называется несовместной.
Система уравнений называется определенной, если она имеет единственное решение.
Система уравнений называется неопределенной, если она имеет несколько решиний.
Если ввести матрицы-столбцы свободных членов и неизвестных
b1
b2
B = ;
...
b
m
x1
x
X= 2,
...
x
n
то систему (1) можно записать так: АХ=В
(2).
Уравнение (2) называется матричной формой системы (1).
Если все свободные члены bi равны нулю, то система называется однородной.
Определение 2. Две системы называются эквивалентными, если они имеют одни и те же
решения.
Метод Гаусса
Пусть дана система
a11 x1 a12 x 2 ... a1n x n b1
a x a x ... a x b
21 1
22 2
2n n
2
...............................................
a m1 x1 a m 2 x 2 ... a mn x n bm
Выпишем расширенную матрицу системы (1)
9
(1)
a11
a
A = 21
...
a
m1
a12
a 22
...
am2
... a1n b1
... a 2 n b2
;
... ... ...
... a mn bm
и будем над ней производить преобразования таким образом, чтобы ниже главной
диагонали получились нули, а на ней самой - числа, отличные от нуля.
Возможны два случая.
1. Все элементы a11 , …, a1n равны нулю.
2. Среди элементов a11 , …, a1n существует хотя бы один ненулевой элемент.
В первом случае имеются следующие возможности:
а) b1 0 ; в) b1 0 . Если b1 0 , то первое уравнение системы удовлетворяется
тождественно и, следовательно, его можно вычеркнуть, а значит, можно вычеркнуть и
первую строку матрицы A . Если же b1 0 , то первое уравнение противоречиво и,
следовательно, система несовместна.
Рассмотрим теперь второй случай. Перестановкой столбцов всегда можно добиться,
чтобы первый элемент главной диагонали a11 был отличен от нуля. Итак, можно
предполагать, что a11 0 . Преобразуем теперь все строки матрицы A , начиная со второй,
следующим образом: умножим все элементы с-ой строки на a11 для каждого i=2, 3, …, m и
вычтем соответствующие элементы первой строки, умноженные на ai1 .Тогда мы получим
матрицу вида
a11
0
...
0
'
'
где a ij a11aij ai1a1 j , bi a11bi ai1b1 .
a12
'
a 22
...
a ' m2
a1n b1
... a ' 2 n b ' 2
,
... ... ...
... a ' mn b ' m
...
Теперь если среди преобразованных уравнений есть нулевые, то мы из вычеркиваем; если
же среди них есть противоречивые, то мы делаем вывод, что система несовместна.
В случае, если противоречивых уравнений нет, то мы продолжаем преобразования над
строками матрицы, начиная с третьей, а именно: для каждого i= 3, 4, …, m вычтем из i-ой
'
строки, умноженной на a 22
вторую строку, умноженную на ai' 2 . Тогда мы получим
следующую матрицу:
10
a11
0
0
...
0
a12
a13
'
a 22
'
a 23
0
a '' 33
...
...
0
a m'' 3
... a1n b1
... a 2' n b2'
... a3'' n b3''
... ... ..
''
''
... a mn
bmn
Этот процесс преобразований мы продолжаем до тех пор, пока либо не получим
противоречивое уравнение, либо не дойдем до нижней строки. В последнем случае
конечная матрица будет иметь вид
.a11 .a12
0 .a 22
...
...
0
0
... .a1s
... .a 2 s
...
...
... .a ss
... .a1n b1
... .a 2 n b2 ,
... ... ...
... .a sn bs
где для простоты штрихи опущены. Матрица содержит не m, а s строк (s≤m) потому что в
процессе преобразований могут появиться нулевые строки, которые вычеркиваются.
Соответствующая ей система уравнений имеет трапецеидальный вид:
a11 x1 a12 x 2 ... a1s x s ... a1n x n b1 ,
a 22 x 2 ... a 2 s x s ... a 2 n x n b2 ,
(2)
...
... ...
... ....
...
...
a ss x s ... a sn x n bs .
Здесь a11 , a 22 , …, a ss 0.
В частности, если s=n, то мы получим треугольную матрицу и соответствующая ей система
имеет треугольную матрицу; если же s < n, то система имеет трапецеидальную форму. В
первом случае система (2) обладает единственным решением, а во втором она имеет
бесконечно много решений.
Действительно, предположим сначала, что s=nи перепишем систему (2) для этого случая:
a11 x1 a12 x 2 ... a1s x s ... a1n x n b1 ,
a 22 x 2 ... a 2 s x s ... a 2 n x n b2 ,
...
... ...
... ....
...
...
a nn x n bn .
11
bn 1 a n 1, n x n
bn
, из предпоследнего - x n 1
.
a n 1, n 1
ann
Двигаясь таким образом снизу вверх, мы найдем значения всех неизвестных:
bk a k , k 1 xk ... a k , n x n
,
k= 1, n .
xk
a kk
Рассмотрим теперь второй случай: s < n. Запишем систему (2) в виде
a11 x1 a12 x 2 ... a1s x s b '1 ,
a 22 x 2 ... a 2 s x s b ' 2 ,
(3)
...
... ...
...
...
a ss x s b ' s .
Из последнего уравнения находим xn
где b ' s bi ai ,s 1 xs 1 ... ain xn ( i 1, s ), и будем придавать неизвестным x s 1 , … x n какие
– либо значения: x s 1 1 , …, xn n s .
Тогда из уравнения (3) мы однозначно найдем значения неизвестных x1 , … , x s :
xs
bs'
,
a ss
x s 1
bs' 1 a s 1, s 1 x s
, (4)
a s 1,s 1
… … … ….
b1' a1, 2 x2 ... a1s x s
,
x1
a1,1
где b ' s bi ai ,s 11 ... ain ns , i 1, s .
Таким образом, каждому набору значений 1 , 2 , ... , n -s соответствует опреленный набор
x1 , x 2 , ... , x s
по
формуле
x1 , x 2 , ... , x s , 1 , 2 , ... , n-s
(4)
и,
следовательно,
определенное
решение
системы (3), а значит, и эквивалентной ей системы (2). Меняя
наборы чисел 1 , 2 , ... , n -s , мы будем получать различные решения системы (2). Так как
таких наборов бесконечно много, то и решений системы (2) будет бесконечно много.
Неизвестные x s 1 , x s 2 , ... , x n называются свободными неизвестными, а x1 , x 2 , ... , x s базисными неизвестными.
Итак, можно сделать следующие выводы:
1. Метод Гаусса может быть применен для решения любой линейной системы
уравнений.
2. Если в процессе преобразований получится строка, все элементы которой равны
нулю, кроме элемента, стоящего в столбце свободных членов, то данная система
несовместна; в противном случае система совместна.
3. Если совместная система приводится к треугольному виду, то она имеет
единственное решение.
12
4. Если совместная система приводится к трапецеидальному виду, то она имеет
бесконечно много решений.
Теорема 2. Если число уравнений однородной системы меньше числа неизвестных, то эта
система имеет ненулевые решения.
Рассмотрим нескольок примеров.
Пример 1. Решить систему уравнений.
x1 2 x 2 2 x3 x 4 4,
x 4 x 3 x 2 x 6,
1
2
3
4
3 x1 8 x 2 5 x3 4 x 4 12
2 x1 3 x 2 3 x3 2 x 4 6
Преобразуем расширенную матрицу этой системы:
1
1
3
2
1
0
0
0
1 2
2 2 1 4
2
4 3 2 6
2 1
0
8 5 4 12
0
2 1
3 3 2 6
0 1 1
2
2
0
0
1
1 4
1 2
0
1 0
0
0 2
0
1 4
2
1 1 2
0 2 0 2
0 1 1 2
2
2
2 1 4
1 1 2
.
1 0 1
0 1 1
Таким образом, данная система уравнений эквивалентна следующей системе:
x1 2 x 2 2 x3 x 4 4,
2 x 2 x3 x 4 2,
x3
1
x 4 1.
Эта система имеет единственное решение: x1 1, x2 1 , x3 1 , x4 1
Пример 2. Решить систему уравнений.
2 x1 4 x 2 3 x3 3 x 4
x 3x 2 x 3x
1
2
3
4
2
x
x
5
x
2
3
4
x1 5 x 2 3 x3 8 x 4
8,
7,
6
1
Выполним следующие преобразования:
13
2
1
0
1
1
0
0
0
1
4 3 3 8
3 2 3 7
0
1
2 1 5 6
2
5 3 8 1
3 2 3 7
2 1 5 6
.
0
0
0 12
0
0
0 0
3 2 3 7
2 1 5 6
5 3 8 1
4 3 1 8
2 3 7
0
2 1 5 6
0
2 1 5 6
0 2
1
5 6
1
3
Данная система уравнений несовместна.
Пример 3. Решить систему уравнений.
2 x1 3 x 2 x3 x 4 1,
8 x 12 x 9 x 8 x 3,
1
2
3
4
4
x
6
x
3
x
2
x
2
3
4 3
1
2 x1 3 x 2 9 x3 7 x 4 3
Подвергнем расширенную матрицу этой системы следующим преобразованиям:
2 3 1
2 3
1 1
8 3
8 12 9
0 0
4 6
3 23
0 0
2 3
0 0
9 7 3
2 3 1
1 1
5
4 1
0 0 5
5 4 1
0 0
0
0 0
10 8 2
0
1
2 3 1
1 1
4 1
0 0 5
0 0
0 0 0
0 0 0
0 0
1 1
- 4 1
.
0 0
0 0
Таким образом, мы пришли к следующей системе уравнений:
2 x1 3x2 x3 x4 1,
5 x3 4 x4 1.
Она имеет, очевидно, бесконечно много решений. Придадим свободным неизвестным x 2 и
x 4 произвольные значения: x2 1 , x4 2 . Тогда базисные неизвестные x1 и x3
определяются однозначно: x3
1 4 2
,
5
x1
6 151 2
, где 1 , 2 - произвольные
10
числа.
Метод Гаусса – Жордана
Метод Гаусса допускает ряд модификаций.
Одной из таких модификаций
является
процедура преобразований, приводящая матрицу системы к виду, когда все над и
поддиагональные
элементы
равны
нулю.
На
практике
это
достигается
путем
последовательного обнуления элементов, стоящих как ниже, так и выше главной диагонали
матрицы системы. Проиллюстрируем сказанное на конкретном примере.
14
Решить систему уравнений.
3 x1
3x
1
6 x1
3 x1
4 x 2 x3 2 x 4 - 3,
5 x 2 3 x3 5 x 4 - 6,
8 x 2 x 3 5 x 4 8
5 x 2 3 x3 7 x 4 - 8
Преобразуем расширенную матрицу данной системы следующим образом:
3
3
6
3
4
1
5
3
8
1
5
3
3
0
0
0
0
1
0
0
2 3
5 6
5 8
7 8
3
0
0
0
3 0 7 - 10 9
2 3
1 2 3 3
3 3
0 1 2
0 0 1
1 2
0 -1 1 2
0 0 0
2 2
1 2 5 5
4
1
3 0
- 17 23
0
5 7
0 1
1 1 2
0 0
0 0
0 1 1
0
0
0
1
0
1 0
6
0 2
0 1
0 1
0 0
0 0
1 1
0
0
0
1
0
3
0
0
0
0
1
0
0
- 17 23
0
5 7
1 1 2
0 1 1
0
2
0 2
.
0 1
1 1
0
С помощью данной цепочки преобразований на месте матрицы А мы получили единичную
матрицу. В этом случае столбец свободных членов сразу дает решение исходной системы:
x1 2 , x2 2 , x3 1 , x4 1 .
Применение метода Гаусса –Жордана для вычисления обратной матрицы
Нахождение элементов обратной матрицы на основе определения требует вычисления
большого количества определителей и потому является трудоёмкой операцией. Однако эта
же задача решается проще, если для её решения применить метод Гаусса –Жордано.
Итак,
пусть дана матрица А = аij , i 1, n ; i 1, n . Требуется найти обратную
матрицу A1 ( xij ) :
a11
a 21
...
a
n1
a12
a 22
...
a n3
... a1n x11
... a 2 n x 21
... ... ...
... a nn x n1
x12
x 22
...
xn3
... x1n 1
... x 2 n 0
... ... ...
... x nn 0
0 ... 0
1 ... 0
. (1)
... ... ...
0 ... 1
Из матричного уравнения (1) мы видим, что для того чтобы найти элементы j-го столбца
матрицы A1 , нужно решить систему уравнений. Следовательно, для нахождения всех
элементов матрицы A1 нам необходимо решить n систем линейных уравнений. Так как
все эти системы имеют одну и ту же матрицу, то целесообразно их решать одновременно,
составив объединенную расширенную матрицу:
15
a11
a
A 21
...
a
n1
a12
a 22
...
an3
0 ... 0
1 ... 0
.
... ... ... ... ... ...
... a nn 0 0 ... 1
... a1n 1
... a 2 n 0
Применим к матрице A процедуру Гаусса- Жордана, мы либо на некотором шаге
получим противоречивую строку либо приведем матрицу A к виду
1
0
...
0
0 ... 0 b11 b12
1 ... 0 b21 b22
... ... ... ...
0 ... 1 bn1
...
bn 3
... b1n
... b2 n
.
... ...
... bnn
Обратная матрица существует A1 :
b11 b12
b22
b
A 1 21
... ...
b
n1 bn 3
... b1n
... b2 n
... ...
... bnn
Пример 1. Найти матрицу, обратную к матрице
1
3
A
5
8
2 3 4
1 2 3
.
0 1 2
1 3 5
Составим расширенную матрицу
1
3
A
5
8
2 3 4 1 0 0. 0
1 2 3 0 1 0 0
0 1 2 0 0 1 0
1 3 5 0 0 0 1
и подвергнем ее преобразованиям по схеме Гаусса – Жордана:
1
3
A
5
8
1
0
0
0
1 2
2 3 4 1 0 0. 0
3
4 1
1 2 3 0 1 0 0
9 3
0 5 7
0 1 2 0 0 1 0
0 10 14 18 5
0 15 21 27 8
1 3 5 0 0 0 1
2 3 4 1
0 0. 0
5 7 9 3 1 0 0
.
0
0
0 1 2 1 0
0
0
0 1 3 0 1
16
0 0. 0
1 0 0
0 1 0
0 0 1
Таким образом, третье и четвертое уравнения систем противоречивы и значит, матрица А
не имеет обратной.
1
2
1
Пример 2. Найти A для матрицы A
1
1
4
3 1
2
.
1 1 1
0 2 6
2
3
Преобразуем расширенную матрицу:
1
2
1
1
1
4 1 0 0. 0
2 3
4 1
3 1
2 0 1 0 0
0 1 5 6 2
1 1 1 0 0 1 0
0 1 2 5 1
0 2 6 0 0 0 1
0 2 5 10 1
2
1
0
0
0
3
0
0
0
0 0. 0
1 0 0
0 1 0
0 0 1
3
3 0
0. 0
1 0 0
0 3
0 0
1 1 0
0 0
2 0 1
0 7 8 -3
1
5
6 2
0
3
1 1
0
5
2 3
0 0 0 66
18 78
3 0 0 51
15
60
0 3 0 3
0
6
1
5
0 0 1
4
51
39
3
3
0
2 5 0
1 1 0
1 5 3
0 17 - 2 1
2
1
0
0
0
0
13 1
3
1
0
12 4
1
0 0 0 22
7
6 26
1 0 0 17
5
20
0 1 0 1
0
2
1
5
0 0 1
4
17
13
.
1
3
Таким образом, обратная матрица такова:
22 6 26 17
17
5
20
13
.
A 1
1
0
2
1
4 1 5
3
Системы n-линейных уравнений с n неизвестными
Пусть дана система линейных уравнений с квадратной матрицей:
a11 x1 a12 x 2 ... a1n x n b1
a x a x ... a x b
21 1
22 2
2n n
2
...............................................
a n1 x1 a n 2 x 2 ... a nn x n bn
Теорема 1. Если определитель матрицы системы отличен от нуля, то система имеет
единственное решение при любых свободных членах.
Следствие . Если определитель матрицы А отличен от нуля, то однородная система
АХ=0
(5)
имеет только нулевое решение.
17
Теорема 2. Если определитель однородной системы (5) равен нулю, то она имеет
ненулевые решения.
Следствие. Если однородная система имеет только нулевое решение, то её определитель
отличен от нуля.
Теорема 3. Однородная система (5) имеет только нулевое решение тогда и только тогда,
когда её определитель отличен от нуля.
Теорема 4. Если определитель системы (1) отличен от нуля, то её решение преставляется
следующими формулами(формулами Крамера):
a11 x1 a12 x 2 ... a1n x n b1
a x a x ... a x b
21 1
22 2
2n n
2
(1)
..........
..........
..........
..........
.......
a n1 x1 a n 2 x 2 ... a nn x n bn
Где d j - определитель, получающийся из определителя d заменой j-го столбца столбцом
свободных членов:
xj
dj
( j 1, n )
det A
a11 ...a1i 1
a 21 ...a 2i i
dj=
...
a n1 ...a ni1
b1
a1i 1 ...a1n
b2
a 2i 1 ...a 2 n
...
...
bn
a ni1 ...a nn
Пример.
a11 x1 a12 x 2 a13 x3 b1
a 21 x1 a 22 x 2 a 23 x3 b2
a x a x a x b
32 2
33 3
3
31 1
a11 a12
A = a 21 a 22
a
31 a32
a13
b1
a 23 ; 1= b2
a33
b3
a12
a13
a 22
a32
x1 = 1/detA;
a11
b1
a11
a12
b1
a 23 ; 2= a 21 b2
a 23 ; 3= a 21
a 22
b2 ;
a33
a33
a32
b3
a31 b3
x2 = 2/detA;
a13
x3 = 3/detA;
Пример. Найти решение системы уравнений:
5 x y z 0
x 2 y 3z 14
4 x 3 y 2 z 16
5 1 1
d=1
4
2
3
3 = 5(4 – 9) + (2 – 12) – (3 – 8) = -25 – 10 + 5 = -30;
2
18
a31
0
1 1
d1 = 14
16
x
2
3 = (28 – 48) – (42 – 32) = -20 – 10 = -30.
3
2
d1
=1;
d
5
0
d 2 = 1 14
4 16
x
3 = 5(28 – 48) – (16 – 56) = -100 + 40 = -60.
2
d2
= 2;
d
5 1
x
1
0
d3 = 1
2
14 = 5( 32 – 42) + (16 – 56) = -50 – 40 = -90.
4
3
16
d3
= 3.
d
Теорема 5. (Теорема Кронекера – Капели)
Система совместна (имеет хотя бы одно решение) тогда и только тогда, когда ранг матрицы
системы равен рангу расширенной матрицы.
rangA = rang A .
Пример. Определить совместность системы линейных уравнений:
x1 3x2 5 x3 7 x4 9 x5 1
x1 2 x2 3x3 4 x4 5 x5 2
2 x 11x 12 x 25 x 22 x 4
2
3
4
5
1
9 1 3 5 7 9 1 3 5 7 9
1 3 5 7
A = 1 2 3 4 5 ~ 3 9 15 21 27 ~ 1 3 5 7 9 ~
2 11 12 25 22 2 11 12 25 22 2 11 12 25 22
1
1 3 5 7 9
.
~
2
2 11 12 25 22
1 3 5 7
A = 1 2 3 4
2 11 12 25
rang A = 3.
3
11
1 6 5 0 rangA = 2.
1 1 3 5 7 9 1
5 2 ~ 0 0 0 0 0 1
22 4 2 11 12 25 22 4
9
Система несовместна.
19
Элементы векторной алгебры.
Определение. Вектором называется направленный отрезок (упорядоченная пара
точек). К векторам относится также и нулевой вектор, начало и конец которого совпадают.
Определение. Длиной (модулем) вектора называется расстояние между началом и
концом вектора.
АВ а
Определение. Векторы называются коллинеарными, если они расположены на
одной или параллельных прямых. Нулевой вектор коллинеарен любому вектору.
Определение. Векторы называются компланарными, если существует плоскость,
которой они параллельны.
Коллинеарные векторы всегда компланарны, но не все компланарные векторы
коллинеарны.
Определение. Векторы называются равными, если они коллинеарны, одинаково
направлены и имеют одинаковые модули.
Всякие векторы можно привести к общему началу, т.е. построить векторы,
соответственно равные данным и имеющие общее начало. Из определения равенства
векторов следует, что любой вектор имеет бесконечно много векторов, равных ему.
Определение. Линейными операциями над векторами называется сложение и
умножение на число.
Суммой векторов является вектор - c a b
Произведение - b a; b a , при этом a коллинеарен b .
Вектор a сонаправлен с вектором b ( a b ), если > 0.
Вектор a противоположно направлен с вектором b ( a b ), если < 0.
Свойства векторов.
1) a + b = b + a - коммутативность.
2) a + ( b + с ) = ( a + b )+ с
3) a + 0 = a
4) a +(-1) a = 0
5) () a = ( a ) – ассоциативность
6) (+) a = a + a - дистрибутивность
7) ( a + b ) = a + b
8) 1 a = a
Определение.
1) Базисом в пространстве называются любые 3 некомпланарных вектора, взятые в
определенном порядке.
20
2) Базисом на плоскости называются любые 2 неколлинеарные векторы, взятые в
определенном порядке.
3)Базисом на прямой называется любой ненулевой вектор.
Определение. Если e1 , e2 , e3 - базис в пространстве и a e1 e2 e3 , то
числа , и - называются компонентами или координатами вектора a в этом базисе.
В связи с этим можно записать следующие свойства:
-
равные векторы имеют одинаковые координаты,
-
при умножении вектора на число его компоненты тоже умножаются на это число,
a ( e1 e2 e3 ) = ( )e1 ( ) e2 ( ) e3 .
-
при сложении векторов складываются их соответствующие компоненты.
a 1 e1 2 e2 3 e3 ;
b 1 e1 2 e2 3 e3 ;
a + b = (1 1 )e1 ( 2 2 )e2 ( 3 3 )e3 .
Линейная зависимость векторов.
Определение. Векторы
a1 ,..., a n
называются линейно зависимыми, если
существует такая линейная комбинация 1 a1 2 a 2 ... n an 0 , при не равных нулю
одновременно i , т.е. 12 22 ... n2 0 .
Если же только при i = 0 выполняется 1 a1 2 a 2 ... n an 0 , то векторы называются
линейно независимыми.
Свойство 1. Если среди векторов a i есть нулевой вектор, то эти векторы линейно
зависимы.
Свойство 2. Если к системе линейно зависимых векторов добавить один или
несколько векторов, то полученная система тоже будет линейно зависима.
Свойство 3. Система векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда один
из векторов раскладывается в линейную комбинацию остальных векторов.
Свойство 4. Любые 2 коллинеарных вектора линейно зависимы и, наоборот, любые
2 линейно зависимые векторы коллинеарны.
Свойство 5. Любые 3 компланарных вектора линейно зависимы и, наоборот, любые
3 линейно зависимые векторы компланарны.
Свойство 6. Любые 4 вектора линейно зависимы.
21
Система координат.
Для определения положения произвольной точки могут использоваться различные
системы координат. Положение произвольной точки в какой- либо системе координат
должно однозначно определяться. Понятие системы координат представляет собой
совокупность точки начала отсчета (начала координат) и некоторого базиса. Как на
плоскости, так и в пространстве возможно задание самых разнообразных систем координат.
Выбор системы координат зависит от характера поставленной геометрической, физической
или технической задачи. Рассмотрим некоторые наиболее часто применяемые на практике
системы координат.
Декартова система координат.
Зафиксируем в пространстве точку О и рассмотрим произвольную точку М.
Вектор ОМ назовем радиус- вектором точки М. Если в пространстве задать некоторый
базис, то точке М можно сопоставить некоторую тройку чисел – компоненты ее радиусвектора.
Определение. Декартовой системой координат в пространстве называется
совокупность точки и базиса. Точка называется началом координат. Прямые, проходящие
через начало координат называются осями координат.
1-я ось – ось абсцисс
2-я ось – ось ординат
3-я ось – ось апликат
Чтобы найти компоненты вектора нужно из координат его конца вычесть
координаты начала.
Если заданы точки А(x1, y1, z1), B(x2, y2, z2), то АВ = (x2 – x1, y2 – y1, z2 – z1).
Определение. Базис называется ортонормированным, если его векторы попарно
ортогональны и равны единице.
Определение. Декартова система координат, базис которой ортонормирован
называется декартовой прямоугольной системой координат.
Пример. Даны векторы a (1; 2; 3), b (-1; 0; 3), с (2; 1; -1) и d (3; 2; 2) в некотором
базисе. Показать, что векторы a , b и с образуют базис и найти координаты вектора d в
этом базисе.
Векторы образуют базис, если они линейно независимы, другими словами, если
уравнения, входящие в систему:
2 0
линейно независимы.
2 0 0
3 3 0
Тогда d a b c .
Это условие выполняется, если определитель матрицы системы отличен от нуля.
1 1 2
2
0
1 0
3
3
1
22
1 1
2
2
0
1
3
3
1
0
1
1 1
a1 b1 c1 d1
a 2 b2 c2 d 2
a b c d
3
3
3
3
2
1
3 1
2
2 0
3 3
Для решения этой системы воспользуемся методом Крамера.
3 1
d1
b1
c1
1 = d 2
b2
c2 2
0
1 3
d3
b3
c3
3
1
2
3 (2 3) 12 4 0
2
0
1
3 1
2
1
2 1
2
2 0
2 3
3(3) (2 2) 12 1.
1
1 / 4 ;
a1 d1 c1 1 3 2
2 = a 2 d 2 c2 2 2 1 (2 2) 3(2 3) 2(4 6) 4 15 4 7;
a 3 d 3 c3 3 2 1
2
7 / 4;
a1 b1 d1 1 1 3
a 2 b2 d 2 2 0 2 6 (4 6) 18 10;
3 =
a3 b3 d 3 3 3 2
3
5 / 2;
Итого, координаты вектора d в базисе a , b , с : d { -1/4, 7/4, 5/2}.
Длина вектора в координатах определяется как расстояние между точками начала и
конца вектора. Если заданы две точки в пространстве А(х 1, y1, z1), B(x2, y2, z2), то
AB ( x2 x1 ) 2 ( y 2 y1 ) 2 ( z 2 z1 ) 2 .
Если точка М(х, у, z) делит отрезок АВ в соотношении /, то координаты этой
точки определяются как:
x x 2
y y 2
z z 2
x 1
; y 1
; z 1
.
В частном случае координаты середины отрезка находятся как:
x = (x1 + x2)/2;
y = (y1 + y2)/2;
z = (z1 + z2)/2.
Линейные операции над векторами в координатах.
23
Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат
a( x A , y A , z A ); b( xB , y B , z B ), тогда
a b c( x A xB ; y A y B ; z A z B ); a (x A ;y A ;z A )
Скалярное произведение векторов.
Определение. Скалярным произведением векторов a и b называется число,
равное произведению длин этих сторон на косинус угла между ними.
a b = a b cos
Свойства скалярного произведения:
1)
2)
3)
4)
5)
a a = a 2;
a b = 0, если a b или a = 0 или b = 0.
ab = b a;
a ( b + c ) = a b + a c ;
(m a ) b = a (m b ) = m( a b );
Если рассматривать векторы a( xa , y a , z a ); b( xb , yb , z b ) в декартовой прямоугольной
системе координат, то
a b = xa xb + ya yb + za zb;
Используя полученные равенства, получаем формулу для вычисления угла между
векторами:
x x y y z a zb
;
cos a b a b
ab
Пример. Найти (5 a + 3 b )(2 a - b ), если a 2, b 3, ab .
2
2
10 a a - 5 a b + 6 a b - 3 b b = 10 a 3 b 40 27 13 ,
2
2
т.к. a a a 4, b b b 9, a b 0 .
Пример. Найти угол между векторами a и b , если a i 2 j 3k ,
b 6i 4 j 2k .
Т.е. a = (1, 2, 3), b = (6, 4, -2)
a b = 6 + 8 – 6 = 8:
a 1 4 9 14;
b 36 16 4 56 .
cos =
8
14 56
8
2 14 14
4 2
;
14 7
2
7
arccos .
24
Пример.
Найти скалярное произведение (3 a - 2 b )(5 a - 6 b ),
a 4, b 6, а ^ b / 3.
2
2
1
15 a a - 18 a b - 10 a b + 12 b b = 15 a 28 a b cos 12 b 15 16 28 4 6
3
2
+ 1236 = 240 – 336 + 432 = 672 – 336 = 336.
если
Пример. Найти угол между векторами a и b , если a 3i 4 j 5k ,
b 4i 5 j 3k .
Т.е. a = (3, 4, 5), b = (4, 5, -3)
a b = 12 + 20 - 15 =17 :
a 9 16 25 50;
b 16 25 9 50 .
cos =
17
50 50
17
;
50
arccos
17
.
50
Пример. При каком m векторы a mi j и b 3i 3 j 4k перпендикулярны.
b = (3, -3, -4)
a = (m, 1, 0);
a b 3m 3 0; m 1 .
Пример. Найти скалярное произведение векторов 2a 3b 4c и 5a 6b 7c , если
a 1, b 2, c 3, a ^ b a ^ c b ^ c .
3
( 2a 3b 4c )( 5a 6b 7c ) = 10a a 12a b 14a c 15a b 18b b 21b c
20c a 24b c 28c c 10 a a 27a b 34a c 45b c 18b b 28c c = 10 +
+ 27 + 51 + 135 + 72 + 252 = 547.
Векторное произведение векторов.
Определение. Векторным произведением векторов a и b называется вектор c ,
удовлетворяющий следующим условиям:
1) c a b sin , где - угол между векторами a и b ,
sin 0; 0
2) вектор c ортогонален векторам a и b
3) a , b и c образуют правую тройку векторов. c
Обозначается: c a b или c [ a , b ] .
25
Свойства векторного произведения векторов:
1) b a a b ;
2) a b 0 , если a b или a = 0 или b = 0;
3) (m a ) b = a (m b ) = m( a b );
4) a ( b + с ) = a b + a с ;
5) Если заданы векторы a (xa, ya, za) и b (xb, yb, zb) в декартовой прямоугольной системе
координат с единичными векторами i , j , k , то
i
a b = xa
xb
j
k
ya
za
yb
zb
6) Геометрическим смыслом векторного произведения векторов является площадь
параллелограмма, построенного на векторах a и b .
Пример. Найти векторное произведение векторов a 2i 5 j k и
b i 2 j 3k .
a = (2, 5, 1); b = (1, 2, -3)
i j k
2 5
5 1
2 1
a b 2 5 1 i
j
k
17i 7 j k .
2 3
1 3
1 2
1 2 3
Пример. Вычислить площадь треугольника с вершинами А(2, 2, 2), В(4, 0, 3),
С(0, 1, 0).
AC (0 2;1 2;0 2) (2;1;2)
AB (4 2;0 2;3 2) (2;2;1)
i
j
k
1 2 2 2 2 1
AC AB 2 1 2 i
j
k
i ( 1 4 ) j ( 2 4 )
2 1
2
1
2 2
2 2 1
k (4 2) 5i 2 j 6k .
S
AC AB 25 4 36 65.
Пример.
компланарны.
1 1
3 7
7 3
65
(ед2).
2
Доказать, что векторы a 7i 3 j 2k , b 3i 7 j 8k и c i j k
1 1 1 1
8 ~ 0 4 5 , т.к. векторы линейно зависимы, то они компланарны.
2 0 4 5
26
Пример. Найти площадь параллелограмма, построенного
a 3b ; 3a b , если a b 1; a ^ b 30 0.
(a 3b ) (3a b ) 3a a a b 9b a 3b b b a 9b a 8b a
S 8 b a sin 30 0 4 (ед2).
на
векторах
Смешанное произведение векторов.
Определение. Смешанным произведением векторов a , b и c называется число,
равное скалярному произведению вектора a на вектор, равный векторному произведению
векторов b и c .
Обозначается a b c или ( a , b , c ).
Смешанное произведение a b c по модулю равно объему параллелепипеда, построенного
на векторах a , b и c .
b c
a
c
b
Свойства смешанного произведения:
1)Смешанное произведение равно нулю, если:
а)хоть один из векторов равен нулю;
б)два из векторов коллинеарны;
в)векторы компланарны.
2) (a b ) c a (b c )
3) (a , b , c ) (b , c , a ) (c , a , b ) (b , a , c ) (c , b , a ) (a , c , b )
4) (a1 a 2 , b , c ) (a1 , b , c ) (a 2 , b , c )
5) Объем треугольной пирамиды, образованной векторами a , b и c , равен
1
a, b , c
6
6)Если a ( x1, y1, z1 ) , b ( x2 , y2 , z 2 ), c ( x3 , y3 , z3 ) , то
27
x1
(a , b , c ) x 2
y1
z1
y2
z2
x3
y3
z3
Пример. Доказать, что точки А(5; 7; 2), B(3; 1; -1), C(9; 4; -4), D(1; 5; 0) лежат в
одной плоскости.
AB (2;6;1)
Найдем координаты векторов: AC (4;3;2)
AD (4;2;2)
Найдем смешанное произведение полученных векторов:
2 6 1
2 6 1 0 6 1
AB AC AD 4
3 2 0
15 0 0 15 0 0 ,
4 2 2
0
10 0 0 10 0
Таким образом, полученные выше векторы компланарны, следовательно точки A, B, C и D
лежат в одной плоскости.
Пример. Найти объем пирамиды и длину высоты, опущенной на грань BCD, если
вершины имеют координаты A(0; 0; 1), B(2; 3; 5), C(6; 2; 3), D(3; 7; 2).
BA (2;3;4)
Найдем координаты векторов: BD (1;4;3)
BC (4;1;2)
2 3 4
1
1
V 1
4 3 (2(8 3) 3(2 12) 4(1 16))
6
6
Объем пирамиды
4 1 2
1
(22 30 68) 20(ед 3 )
6
Для нахождения длины высоты пирамиды найдем сначала площадь основания BCD.
i
j
k
BD BC 1 4 3 i (8 3) j (2 12) k (1 16) 11i 10 j 17k .
4 1 2
BD BC 112 10 2 17 2 121 100 289 510
Sосн =
Т.к. V =
510 / 2 (ед2)
S осн h
;
3
h
3V
120
4 510
. (ед)
S осн
17
510
Уравнение поверхности в пространстве.
Определение. Любое уравнение, связывающее координаты x, y, z любой точки
поверхности является уравнением этой поверхности.
28
Общее уравнение плоскости.
Определение. Плоскостью называется поверхность, вес точки которой
удовлетворяют общему уравнению:
Ax + By + Cz + D = 0,
где А, В, С – координаты вектора N Ai Bj Ck -вектор нормали к плоскости.
Возможны следующие частные случаи:
А = 0 – плоскость параллельна оси Ох
В = 0 – плоскость параллельна оси Оу
С = 0 – плоскость параллельна оси Оz
D = 0 – плоскость проходит через начало координат
А = В = 0 – плоскость параллельна плоскости хОу
А = С = 0 – плоскость параллельна плоскости хОz
В = С = 0 – плоскость параллельна плоскости yOz
А = D = 0 – плоскость проходит через ось Ох
В = D = 0 – плоскость проходит через ось Оу
С = D = 0 – плоскость проходит через ось Oz
А = В = D = 0 – плоскость совпадает с плоскостью хОу
А = С = D = 0 – плоскость совпадает с плоскостью xOz
В = С = D = 0 – плоскость совпадает с плоскостью yOz
Уравнение плоскости, проходящей через три точки.
Для того, чтобы через три какие- либо точки пространства можно было провести
единственную плоскость, необходимо, чтобы эти точки не лежали на одной прямой.
Рассмотрим точки М1(x1, y1, z1), M2(x2, y2, z2), M3(x3, y3, z3) в общей декартовой
системе координат.
Для того, чтобы произвольная точка М(x, y, z) лежала в одной плоскости с точками
М1, М2, М3 необходимо, чтобы векторы M 1 M 2 , M 1 M 3 , M 1 M были компланарны.
( M 1M 2 , M 1M 3 , M 1M ) = 0
M 1 M {x x1 ; y y1 ; z z1 }
Таким образом,
M 1 M 2 {x 2 x1 ; y 2 y1 ; z 2 z1 }
M 1 M 3 {x3 x1 ; y 3 y1 ; z 3 z1 }
Уравнение плоскости, проходящей через три точки:
x x1
y y1
z z1
x2 x1
y2 y1
z2 z1 0
x3 x1
y3 y1
z3 z1
29
Уравнение плоскости по двум точкам и вектору, коллинеарному плоскости.
Пусть заданы точки М1(x1, y1, z1), M2(x2, y2, z2) и вектор a (a1 , a 2 , a3 ) .
Составим уравнение плоскости, проходящей через данные точки М1 и М2 и произвольную
точку М(х, у, z) параллельно вектору a .
Векторы
M 1 M {x x1 ; y y1 ; z z1 }
и вектор a (a1 , a 2 , a3 ) должны быть
M 1 M 2 {x2 x1 ; y 2 y1 ; z 2 z1 }
компланарны, т.е.
( M1M , M1M 2 , a ) = 0
Уравнение плоскости:
x x1
y y1
z z1
x2 x1
y 2 y1
a1
a2
z 2 z1 0
a3
Уравнение плоскости по одной точке и двум векторам,
коллинеарным плоскости.
Пусть заданы два вектора a (a1 , a 2 , a3 ) и b (b1 , b2 , b3 ) , коллинеарные плоскости.
Тогда для произвольной точки М(х, у, z), принадлежащей плоскости, векторы a, b , MM 1
должны быть компланарны.
Уравнение плоскости:
x x1
y y1
z z1
a1
a2
a3
b1
b2
b3
0
Уравнение плоскости по точке и вектору нормали.
Теорема. Если в пространстве задана точка М0(х0, у0, z0), то уравнение плоскости,
проходящей через точку М0 перпендикулярно вектору нормали N (A, B, C) имеет вид:
A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = 0.
Доказательство. Для произвольной точки М(х, у, z), принадлежащей плоскости,
составим вектор M 0 M ( x x0 , y y0 , z z 0 ) . Т.к. вектор N - вектор нормали, то он
перпендикулярен плоскости, а, следовательно, перпендикулярен и вектору M 0 M . Тогда
скалярное произведение
M 0M N = 0
Таким образом, получаем уравнение плоскости
A( x x0 ) B( y y0 ) C ( z z 0 ) 0
Теорема доказана.
30
Уравнение плоскости в отрезках.
Если в общем уравнении Ах + Ву + Сz + D = 0 поделить обе части на -D
A
B
C
x y z 1 0 ,
D
D
D
D
D
D
заменив a, b, c , получим уравнение плоскости в отрезках:
A
B
C
x y z
1
a b c
Числа a, b, c являются точками пересечения плоскости соответственно с осями х, у,
z.
Уравнение плоскости в векторной форме.
r n p, где
r xi yj zk - радиус- вектор текущей точки М(х, у, z),
n i cos j cos k cos - единичный вектор, имеющий направление, перпендикуляра,
опущенного на плоскость из начала координат.
, и - углы, образованные этим вектором с осями х, у, z.
p – длина этого перпендикуляра.
В координатах это уравнение имеет вид:
xcos + ycos + zcos - p = 0.
Расстояние от точки до плоскости.
Расстояние от произвольной точки М0(х0, у0, z0)
до плоскости Ах+Ву+Сz+D=0
равно:
d
Ax0 By 0 Cz0 D
A2 B 2 C 2
Пример. Найти уравнение плоскости, зная, что точка Р(4; -3; 12) – основание
перпендикуляра, опущенного из начала координат на эту плоскость.
OP (4;3;12);
OP 16 9 144 169 13
4
3 12
N ( ; ; )
13 13 13
Таким образом, A = 4/13; B = -3/13; C = 12/13, воспользуемся формулой:
A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = 0.
31
4
3
12
( x 4) ( y 3) ( z 12) 0
13
13
13
4
16 3
9 12
144
x y z
0
13
13 13
13 13
13
4
3
12
169
x y z
0
13
13
13
13
4 x 3 y 12 z 169 0.
Пример. Найти уравнение плоскости, проходящей через две точки P(2; 0; -1) и
Q(1; -1; 3) перпендикулярно плоскости 3х + 2у – z + 5 = 0.
Вектор нормали к плоскости 3х
плоскости.
Получаем:
x2 y0
1 2 1 0
3
2
+ 2у – z + 5 = 0 N (3;2;1) параллелен искомой
z 1
3 1 0
1
x2
y
z 1
1
1
4
3
2
1
0
( x 2)(1 8) y (1 12) ( z 1)( 2 3) 0
7( x 2) 11 y ( z 1) 0
7 x 14 11 y z 1 0
7 x 11 y z 15 0
Пример. Найти уравнение плоскости, проходящей через точки А(2, -1, 4) и
В(3, 2, -1) перпендикулярно плоскости х + у + 2z – 3 = 0.
Искомое уравнение плоскости имеет вид: Ax + By + Cz + D = 0, вектор нормали к
этой плоскости n1 (A, B, C). Вектор AB (1, 3, -5) принадлежит плоскости. Заданная нам
плоскость, перпендикулярная искомой имеет вектор нормали n2 (1, 1, 2). Т.к. точки А и В
принадлежат обеим плоскостям, а плоскости взаимно перпендикулярны, то
i j k
3 5 1 5 1 3
n1 AB n2 1 3 5 i
j
k
11i 7 j 2k .
1 2
1 2
1 1
1 1 2
Таким образом, вектор нормали n1 (11, -7, -2). Т.к. точка А принадлежит искомой
плоскости, то ее координаты должны удовлетворять уравнению этой плоскости, т.е. 112 +
71 - 24 + D = 0; D = -21.
Итого, получаем уравнение плоскости: 11x - 7y – 2z – 21 = 0.
32
Пример. Найти уравнение плоскости, зная, что точка Р(4, -3, 12) – основание
перпендикуляра, опущенного из начала координат на эту плоскость.
Находим координаты вектора нормали OP = (4, -3, 12). Искомое уравнение
плоскости имеет вид: 4x – 3y + 12z + D = 0. Для нахождения коэффициента D подставим в
уравнение координаты точки Р:
16 + 9 + 144 + D = 0
D = -169
Итого, получаем искомое уравнение: 4x – 3y + 12z – 169 = 0
Пример. Даны координаты вершин пирамиды А1(1; 0; 3), A2(2; -1; 3), A3(2; 1; 1),
A4(1; 2; 5).
1) Найти длину ребра А1А2.
A1 A2 {2 1;1 0;3 3} {1;1;0};
A1 A2 1 1 0 2 (ед).
2) Найти угол между ребрами А1А2 и А1А4.
A1 A4 {1 1;2 0;5 3} {0;2;2}
A1 A4 2 2 (ед)
A1 A2 A1 A4 (1;1;0)(0;2;2) 2
A1 A2 A1 A4 A1 A 2 A1 A4 cos 2 2 2 cos 4 cos
cos
A1 A2 A1 A4
A1 A2 A1 A4
2
1
;
4
2
120 0
3) Найти угол между ребром А1А4 и гранью А1А2А3.
Сначала найдем вектор нормали к грани А1А2А3 N как векторное произведение векторов
A1 A3 и A1 A2 .
A1 A3 = (2-1; 1-0; 1-3) = (1; 1; -2);
i
N1
j
1
1 1
k
2 i (0 2) j (0 2) k (1 1) 2i 2 j 2k ;
N (2;2;2)
0
N 2 3
Найдем угол между вектором нормали и вектором A1 A4 .
N A1 A4 N A1 A4 cos 2 3 2 2 cos
N A1 A4 -4 – 4 = -8.
Искомый угол между вектором и плоскостью будет равен = 900 - .
33
sin cos
8
4 6
2
6
6
.
3
arcsin
6
3
4) Найти площадь грани А1А2А3.
S
1
1
A1 A2 A1 A3 N 3 (ед 2 )
2
2
5) Найти объем пирамиды.
V
1
(( A1 A2 A1 A3 ) A1 A4 )
6
1
N A1 A4
6
4
(ед3).
3
6) Найти уравнение плоскости А1А2А3.
Воспользуемся формулой уравнения плоскости, проходящей через три точки.
x 1 y 0 z 3 x 1 y z 3
2 1 1 0 3 3 1
1
0 ( x 1) 2 y (2) ( z 3)(1 1)
2 1 1 0 1 3
1
1
2
2x 2 2 y 2z 6 0
2x + 2y + 2z – 8 = 0
x + y + z – 4 = 0;
Уравнение линии на плоскости.
Как известно, любая точка на плоскости определяется двумя координатами в какойлибо системе координат. Системы координат могут быть различными в зависимости от
выбора базиса и начала координат.
Определение. Уравнением линии называется соотношение y = f(x) между
координатами точек, составляющих эту линию.
Отметим, что уравнение линии может быть выражено параметрическим способом, то
есть каждая координата каждой точки выражается через некоторый независимый параметр
t.
Характерный пример – траектория движущейся точки. В этом случае роль параметра
играет время.
Уравнение прямой на плоскости.
Определение. Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого
порядка
Ах + Ву + С = 0,
причем постоянные А, В не равны нулю одновременно, т.е. А2 + В2 0. Это уравнение
первого порядка называют общим уравнением прямой.
34
В зависимости от значений постоянных А,В и С возможны следующие частные
случаи:
- C = 0, А 0, В 0 – прямая проходит через начало координат
- А = 0, В 0, С 0 { By + C = 0}- прямая параллельна оси Ох
- В = 0, А 0, С 0 { Ax + C = 0} – прямая параллельна оси Оу
- В = С = 0, А 0 – прямая совпадает с осью Оу
- А = С = 0, В 0 – прямая совпадает с осью Ох
Уравнение прямой может быть представлено в различном виде в зависимости от
каких – либо заданных начальных условий.
Уравнение прямой по точке и вектору нормали.
Определение. В декартовой прямоугольной системе координат вектор
компонентами (А, В) перпендикулярен прямой , заданной уравнением Ах + Ву + С = 0.
с
Пример. Найти уравнение прямой, проходящей через точку А(1, 2) перпендикулярно
вектору n (3, -1).
Составим при А = 3 и В = -1 уравнение прямой: 3х – у + С = 0. Для нахождения
коэффициента С подставим в полученное выражение координаты заданной точки А.
Получаем: 3 – 2 + C = 0, следовательно С = -1.
Итого: искомое уравнение: 3х – у – 1 = 0.
Уравнение прямой, проходящей через две точки.
Пусть в пространстве заданы две точки M1(x1, y1, z1) и M2(x2, y2, z2), тогда уравнение
прямой, проходящей через эти точки:
x x1
y y1
z z1
x2 x1 y 2 y1 z 2 z1
Если какой- либо из знаменателей равен нулю, следует приравнять нулю
соответствующий числитель.
На плоскости записанное выше уравнение прямой упрощается:
y y1
y y1 2
( x x1 )
x2 x1
если х1 х2 и х = х1, еслих1 = х2.
y y1
Дробь 2
= k называется угловым коэффициентом прямой.
x2 x1
Пример. Найти уравнение прямой, проходящей через точки А(1, 2) и В(3, 4).
Применяя записанную выше формулу, получаем:
42
y2
( x 1)
3 1
y 2 x 1
x y 1 0
35
Уравнение прямой по точке и угловому коэффициенту.
Если общее уравнение прямой Ах + Ву + С = 0 привести к виду:
y
A
C
x
B
B
A
C
k ; b; т.е. y kx b , то полученное уравнение называется
B
B
уравнением прямой с угловым коэффициентом k.
и обозначить
Уравнение прямой по точке и направляющему вектору.
По аналогии с пунктом, рассматривающим уравнение прямой через вектор нормали
можно ввести задание прямой через точку и направляющий вектор прямой.
Определение. Каждый ненулевой вектор а (1, 2), компоненты которого
удовлетворяют условию А1 + В2 = 0 называется направляющим вектором прямой
Ах + Ву + С = 0.
Пример. Найти уравнение прямой с направляющим вектором а (1, -1) и проходящей
через точку А(1, 2).
Уравнение искомой прямой будем искать в виде: Ax + By + C = 0. В соответствии с
определением, коэффициенты должны удовлетворять условиям:
1A + (-1)B = 0, т.е. А = В.
Тогда уравнение прямой имеет вид: Ax + Ay + C = 0, или x + y + C/A = 0.
при х = 1, у = 2 получаем С/A = -3, т.е. искомое уравнение:
х+у-3=0
Уравнение прямой в отрезках.
Если в общем уравнении прямой Ах + Ву + С = 0 С 0, то, разделив на –С,
А
В
получим: х у 1 или
С
С
x y
1 , где
a b
C
C
a ; b
A
B
Геометрический смысл коэффициентов в том, что коэффициент а является
координатой точки пересечения прямой с осью Ох, а b – координатой точки пересечения
прямой с осью Оу.
Пример. Задано общее уравнение прямой х – у + 1 = 0. Найти уравнение этой прямой
в отрезках.
36
С = 1,
х у
1,
1 1
а = -1, b = 1.
Нормальное уравнение прямой.
Если обе части уравнения Ах + Ву + С = 0 разделить на число
1
A2 B 2
,
которое называется нормирующем множителем, то получим
xcos + ysin - p = 0 –
нормальное уравнение прямой.
Знак нормирующего множителя надо выбирать так, чтобы С < 0.
р – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, а - угол,
образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси Ох.
Пример. Дано общее уравнение прямой 12х – 5у – 65 = 0. Требуется написать
различные типы уравнений этой прямой.
12
5
х
у 1
65
65
уравнение этой прямой в отрезках:
х
y
1
(65 / 12) (13)
уравнение этой прямой с угловым коэффициентом: (делим на 5)
12
65 12
y
x
x 13.
5
5
5
нормальное уравнение прямой:
1
1
13
12
5
х у 5 0;
13
13
cos = 12/13; sin = -5/13; p = 5.
12 (5)
Cледует отметить, что не каждую прямую можно представить уравнением в
отрезках, например, прямые, параллельные осям или проходящие через начало координат.
2
2
Пример. Прямая отсекает на координатных осях равные положительные отрезки.
Составить уравнение прямой, если площадь треугольника, образованного этими отрезками
равна 8 см2.
x y
1,
a b
a = -4 не подходит по условию задачи.
x y
Итого: 1 или х + у – 4 = 0.
4 4
Уравнение прямой имеет вид:
a = b = 1;
ab/2 = 8;
a = 4; -4.
Пример. Составить уравнение прямой, проходящей через точку А(-2, -3) и начало
координат.
Уравнение прямой имеет вид:
x x1
y y1
, где х1 = у1 = 0; x2 = -2; y2 = -3.
x2 x1 y 2 y1
37
x0
y0
;
20 30
x
y
;
2 3
3x 2 y 0.
Для самостоятельного решения: Составить уравнения прямых, проходящих через
точку М(-3, -4) и параллельных осям координат.
Ответ: { x + 3 = 0; y + 4 = 0}.
Угол между прямыми на плоскости.
Определение. Если заданы две прямые y = k1x + b1, y = k2x + b2, то острый угол
между этими прямыми будет определяться как
tg
k 2 k1
.
1 k1k 2
Две прямые параллельны, если k1 = k2.
Две прямые перпендикулярны, если k1 = -1/k2.
Теорема. Прямые Ах + Ву + С = 0 и А1х + В1у + С1 = 0 параллельны, когда
пропорциональны коэффициенты А1 = А, В1 = В. Если еще и С1 = С, то прямые
совпадают.
Координаты точки пересечения двух прямых находятся как решение системы двух
уравнений.
Уравнение прямой, проходящей через данную точку
перпендикулярно данной прямой.
Определение. Прямая, проходящая через точку М1(х1, у1) и перпендикулярная к
прямой у = kx + b представляется
1
уравнением:
y y1 ( x x1 )
k
Расстояние от точки до прямой.
Теорема. Если задана точка М(х0, у0), то расстояние до прямой Ах + Ву + С =0
определяется как
Ax0 By 0 C
.
d
A2 B 2
Доказательство. Пусть точка М1(х1, у1) – основание перпендикуляра, опущенного из
точки М на заданную прямую. Тогда расстояние между точками М и М1:
d ( x1 x0 ) 2 ( y1 y0 ) 2
Координаты x1 и у1 могут быть найдены как решение системы уравнений:
38
(1)
Ax By С 0
A( y y 0 ) B( x x0 ) 0
Второе уравнение системы – это уравнение прямой, проходящей через заданную точку М0
перпендикулярно заданной прямой.
Если преобразовать первое уравнение системы к виду:
A(x – x0) + B(y – y0) + Ax0 + By0 + C = 0,
то, решая, получим:
A
x x0 2
( Ax0 By 0 C ),
A B2
B
y y0 2
( Ax0 By 0 C )
A B2
Подставляя эти выражения в уравнение (1), находим:
Ax0 By 0 C
.
d
A2 B 2
Теорема доказана.
Пример. Определить угол между прямыми: y = -3x + 7; y = 2x + 1.
K1 = -3; k2 = 2
tg =
2 (3)
1 ; = /4.
1 (3)2
Пример. Показать, что прямые 3х – 5у + 7 = 0 и 10х + 6у – 3 = 0 перпендикулярны.
Находим: k1 = 3/5,
k2 = -5/3, k1k2 = -1, следовательно, прямые перпендикулярны.
Пример. Даны вершины треугольника А(0; 1), B(6; 5), C(12; -1). Найти уравнение
высоты, проведенной из вершины С.
Находим уравнение стороны АВ:
x 0 y 1
;
6 0 5 1
x y 1
; 4x = 6y – 6;
6
4
2
x 1.
3
Искомое уравнение высоты имеет вид: Ax + By + C = 0 или y = kx + b.
3
3
k = . Тогда y = x b . Т.к. высота проходит через точку С, то ее координаты
2
2
3
3
удовлетворяют данному уравнению: 1 12 b, откуда b = 17. Итого: y x 17 .
2
2
Ответ: 3x + 2y – 34 = 0.
2x – 3y + 3 = 0; y
Для самостоятельного решения: Даны стороны треугольника x + y – 6 = 0,
3x – 5y + 15 = 0, 5x – 3y – 14 = 0. Составить уравнения его высот.
Указание: Сначала следует найти координаты вершин треугольника, как точек
пересечения сторон, затем воспользоваться методом, рассмотренном в предыдущем
примере.
Ответ: { x – y = 0; 5x + 3y – 26 = 0; 3x + 5y – 26 = 0}.
39
Кривые второго порядка.
Кривая второго порядка может быть задана уравнением
Ах2 + 2Вху + Су2 + 2Dx + 2Ey + F = 0.
Существует система координат (не обязательно декартова прямоугольная), в которой
данное уравнение может быть представлено в одном из видов, приведенных ниже.
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
x2 y2
1 - уравнение эллипса.
a2 b2
x2 y2
1 - уравнение “мнимого” эллипса.
a2 b2
x2 y2
1 - уравнение гиперболы.
a2 b2
a2x2 – c2y2 = 0 – уравнение двух пересекающихся прямых.
y2 = 2px – уравнение параболы.
y2 – a2 = 0 – уравнение двух параллельных прямых.
y2 + a2 = 0 – уравнение двух “мнимых” параллельных прямых.
y2 = 0 – пара совпадающих прямых.
(x – a)2 + (y – b)2 = R2 – уравнение окружности.
Окружность.
В окружности (x – a)2 + (y – b)2 = R2 центр имеет координаты (a; b).
Пример. Найти координаты центра и радиус окружности, если ее уравнение задано в
виде:
2x2 + 2y2 – 8x + 5y – 4 = 0.
Для нахождения координат центра и радиуса окружности данное уравнение
необходимо привести к виду, указанному выше в п.9. Для этого выделим полные квадраты:
x2 + y2 – 4x + 2,5y – 2 = 0
x2 – 4x + 4 –4 + y2 + 2,5y + 25/16 – 25/16 – 2 = 0
(x – 2)2 + (y + 5/4)2 – 25/16 – 6 = 0
(x – 2)2 + (y + 5/4)2 = 121/16
Отсюда находим О(2; -5/4); R = 11/4.
Эллипс.
x2 y2
Определение. Эллипсом называется линия, заданная уравнением 2 2 1 .
a
b
Определение. Фокусами называются такие две точки, сумма расстояний от которых
до любой точки эллипса есть постоянная величина.
40
F1, F2 – фокусы. F1 = (c; 0); F2(-c; 0)
с – половина расстояния между фокусами;
a – большая полуось;
b – малая полуось.
Теорема. Фокусное расстояние и полуоси эллипса связаны соотношением:
a2 = b2 + c2.
Доказательство:
В случае, если точка М находится на пересечении эллипса с
вертикальной осью, r1 + r2 = 2 b 2 c 2 (по теореме Пифагора). В случае, если точка М
находится на пересечении эллипса с горизонтальной осью, r1 + r2 = a – c + a + c. Т.к. по
определению сумма r1 + r2 – постоянная величина, то , приравнивая, получаем:
a2 = b2 + c2
r1 + r2 = 2a.
Определение. Форма эллипса определяется характеристикой, которая является
отношением фокусного расстояния к большей оси и называется эксцентриситетом.
Е = с/a.
Т.к. с < a, то е < 1.
Определение. Величина k = b/a называется коэффициентом сжатия эллипса, а
величина 1 – k = (a – b)/a называется сжатием эллипса.
Коэффициент сжатия и эксцентриситет связаны соотношением: k2 = 1 – e2.
Если a = b (c = 0, e = 0, фокусы сливаются), то эллипс превращается в окружность.
x2 y2
Если для точки М(х1, у1) выполняется условие: 12 12 1 , то она находится внутри
a
b
2
2
x
y
эллипса, а если 12 12 1 , то точка находится вне эллипса.
a
b
Теорема. Для произвольной точки М(х, у), принадлежащей эллипсу верны
соотношения:
r1 = a – ex, r2 = a + ex.
Доказательство. Выше было показано, что r1 + r2 = 2a. Кроме того, из
геометрических соображений можно записать:
r1 ( x c) 2 y 2
r2 ( x c) 2 y 2
( x c ) 2 y 2 ( x c ) 2 y 2 2a
После возведения в квадрат и приведения подобных слагаемых:
( x c ) 2 y 2 4a 2 4a ( x c ) 2 y 2 ( x c ) 2 y 2
4cx 4a 2 4a ( x c) 2 y 2
c
( x c) 2 y a x a ex.
a
Аналогично доказывается, что r2 = a + ex. Теорема доказана.
41
С эллипсом связаны две прямые, называемые директрисами. Их уравнения:
x = a/e; x = -a/e.
Теорема. Для того, чтобы точка лежала на эллипсе, необходимо и достаточно,
чтобы отношение расстояния до фокуса к расстоянию до соответствующей директрисы
равнялось эксцентриситету е.
Пример. Составить уравнение прямой, проходящей через левый фокус и нижнюю
x2 y2
вершину эллипса, заданного уравнением:
1.
25 16
1) Координаты нижней вершины: x = 0; y2 = 16; y = -4.
2) Координаты левого фокуса: c2 = a2 – b2 = 25 – 16 = 9; c = 3; F2(-3; 0).
3) Уравнение прямой, проходящей через две точки:
x0
y4
x
y4
;
;
4 x 3 y 12;
4 x 3 y 12 0
30 0 4
3
4
Пример. Составить уравнение эллипса, если его фокусы F1(0; 0), F2(1; 1), большая
ось равна 2.
Уравнение эллипса имеет вид:
2c =
x2 y2
1 . Расстояние между фокусами:
a2 b2
(1 0) 2 (1 0) 2 2 , таким образом, a2 – b2 = c2 = ½
по условию 2а = 2, следовательно а = 1, b =
x2
y2
Итого: 2
1.
1/ 2
1
a 2 c 2 1 1/ 2 2 / 2.
Гипербола.
Определение. Гиперболой называется множество точек плоскости, для которых
модуль разности расстояний от двух данных точек, называемых фокусами есть величина
постоянная, меньшая расстояния между фокусами.
y
M(x, y)
b
r1
r2
x
F1
a
c
42
F2
По определению r1 – r2= 2a. F1, F2 – фокусы гиперболы. F1F2 = 2c.
Выберем на гиперболе произвольную точку М(х, у). Тогда:
r1 ( x c) 2 y 2
r2 ( x c) 2 y 2
( x c ) 2 y 2 ( x c ) 2 y 2 2a
( x c ) 2 y 2 4a 2 4a ( x c ) 2 y 2 ( x c ) 2 y 2
4a ( x c) 2 y 2 4a 2 4 xc
a 2 ( x c) 2 a 2 y 2 a 4 2a 2 xc x 2 c 2
a 2 x 2 2a 2 xc a 2 c 2 a 2 y 2 a 4 2a 2 xc x 2 c 2
a 2 x 2 a 2c 2 a 2 y 2 a 4 x 2c 2 0
x 2 (c 2 a 2 ) a 2 (c 2 a 2 ) a 2 y 2 0
x 2 (c 2 a 2 ) a 2 y 2 a 2 (c 2 a 2 )
обозначим с2 – а2 = b2 (геометрически эта величина – меньшая полуось)
a 2b 2 b 2 x 2 a 2 y 2
x2 y2
1
a2 b2
Получили каноническое уравнение гиперболы.
Гипербола симметрична относительно середины отрезка, соединяющего фокусы и
относительно осей координат.
Ось 2а называется действительной осью гиперболы.
Ось 2b называется мнимой осью гиперболы.
b
Гипербола имеет две асимптоты, уравнения которых y x.
a
c
Определение. Отношение e 1 называется эксцентриситетом гиперболы, где с
a
– половина расстояния между фокусами, а – действительная полуось.
С учетом того, что с2 – а2 = b2:
c2 a2 b2 b2
e2 2
2
a
a2
a
b
e2 1
a
Если а = b, e = 2 , то гипербола называется равнобочной (равносторонней).
Определение. Две прямые, перпендикулярные действительной оси гиперболы и
расположенные симметрично относительно центра на расстоянии a/e от него, называются
a
директрисами гиперболы. Их уравнения: x .
e
Теорема. Если r – расстояние от произвольной точки М гиперболы до какого- либо
фокуса, d – расстояние от той же точки до соответствующей этому фокусу
директрисы, то отношение r/d – величина постоянная, равная эксцентриситету.
Доказательство. Изобразим схематично гиперболу.
43
y
a/e
d
M(x, y)
r1
0
a
F1
x
OF1 = c
Из очевидных геометрических соотношений можно записать:
a/e + d = x, следовательно d = x – a/e.
(x – c)2 + y2 = r2
x 2b 2
Из канонического уравнения: y 2 2 b 2 , с учетом b2 = c2 – a2:
a
x 2b 2
2
2
2
r x 2 xc c 2 b 2
a
2
2 2
c x
c
x 2 2 xc c 2 2 x 2 c 2 a 2 x a
a
a
c
r xa
a
Тогда т.к. с/a = e, то r = ex – a.
r ex a
Итого:
e.
a
d
x
e
Для левой ветви гиперболы доказательство аналогично. Теорема доказана.
Пример. Найти уравнение гиперболы, вершины и фокусы которой находятся в
x2 y2
соответствующих вершинах и фокусах эллипса
1.
8
5
Для эллипса: c2 = a2 – b2.
Для гиперболы: c2 = a2 + b2.
3
5
44
3
8
2
Уравнение гиперболы:
8
2
x
y
1.
3
5
Пример. Составить уравнение гиперболы, если ее эксцентриситет равен 2, а фокусы
x2 y2
совпадают с фокусами эллипса с уравнением
1.
25 9
Находим фокусное расстояние c2 = 25 – 9 = 16.
Для гиперболы: c2 = a2 + b2 = 16,
e = c/a = 2;
c = 2a;
c2 = 4a2;
a2 = 4;
b2 = 16 – 4 = 12.
x2 y2
Итого:
1 - искомое уравнение гиперболы.
4 12
Парабола.
Определение. Параболой называется множество точек плоскости, каждая из
которых находится на одинаковом расстоянии от данной точки, называемой фокусом, и от
данной прямой, называемой директрисой и не проходящей через фокус.
Расположим начало координат посередине между фокусом и директрисой.
у
А
М(х, у)
О
p/2
F
x
p/2
Величина р (расстояние от фокуса до директрисы) называется параметром
параболы. Выведем каноническое уравнение параболы.
Из геометрических соотношений: AM = MF; AM = x + p/2;
MF2 = y2 + (x – p/2)2
(x + p/2)2 = y2 + (x – p/2)2
2
x +xp + p2/4 = y2 + x2 – xp + p2/4
y2 = 2px
Уравнение директрисы: x = -p/2.
45
Пример. На параболе у2 = 8х найти точку, расстояние которой от директрисы равно
4.
Из уравнения параболы получаем, что р = 4.
r = x + p/2 = 4; следовательно:
x = 2; y2 = 16; y = 4. Искомые точки: M1(2; 4), M2(2; -4).
Системы координат.
Любая точка на плоскости может быть однозначно определена при помощи
различных координатных систем, выбор которых определяется различными факторами.
Способ задания начальных условий для решения какой – либо конкретной технической
задачи может определить выбор той или иной системы координат. Для удобства
проведения вычислений часто предпочтительнее использовать системы координат,
отличные от декартовой прямоугольной системы. Кроме того, наглядность представления
окончательного ответа зачастую тоже сильно зависит от выбора системы координат. Ниже
рассмотрим некоторые наиболее часто используемые системы координат.
Полярная система координат.
Определение. Точка О называется полюсом, а луч l – полярной осью.
Суть задания какой- либо системы координат на плоскости состоит в том, чтобы
каждой точке плоскости поставить в соответствие пару действительных чисел,
определяющих положение этой точки на плоскости. В случае полярной системы координат
роль этих чисел играют расстояние точки от полюса и угол между полярной осью и радиус–
вектором этой точки. Этот угол называется полярным углом.
М
r
r = ОМ
0
l
Можно установить связь между полярной системой координат и декартовой
прямоугольной системой, если поместить начало декартовой прямоугольной системы в
полюс, а полярную ось направить вдоль положительного направления оси Ох.
Тогда координаты произвольной точки в двух различных системах координат
связываются соотношениями:
x = rcos;
y = rsin;
46
x2 + y2 = r2
Пример. Уравнение кривой в полярной системе координат имеет вид:
4
. Найти уравнение кривой в декартовой прямоугольной системе координат,
r
3 cos
определит тип кривой, найти фокусы и эксцентриситет. Схематично построить кривую.
Воспользуемся связью декартовой прямоугольной и полярной системы координат:
x
r x2 y2 ;
cos
;
x2 y2
4
x2 y2
x
3
x2 y2
3 x2 y2 x 4
3 x2 y2 x 4
9 x 2 9 y 2 16 8x x 2
8x 2 8x 9 y 2 16 0
8( x 2 x 1 / 4) 8 1 / 4 9 y 2 16 0
8( x 1 / 2) 2 2 9 y 2 16 0
8( x 1 / 2) 2 9 y 2 18
( x 1 / 2) 2 y 2
1
9/ 4
2
Получили каноническое уравнение эллипса. Из уравнения видно, что центр эллипса
сдвинут вдоль оси Ох на 1/2 вправо, большая полуось a равна 3/2, меньшая полуось b равна
2 , половина расстояния между фокусами равно с =
е = с/a = 1/3. Фокусы F1(0; 0) и F2(1; 0).
a 2 b 2 = 1/2. Эксцентриситет равен
y
2
F1
0
-1
F2
1
½
2
x
- 2
Пример. Уравнение кривой в полярной системе координат имеет вид:
9
. Найти уравнение кривой в декартовой прямоугольной системе координат,
r
4 5 cos
определит тип кривой, найти фокусы и эксцентриситет. Схематично построить кривую.
47
Подставим в заданное уравнение формулы, связывающие полярную и декартову
прямоугольную системы координат.
9
x2 y2
5x
4
2
x y2
4 x 2 y 2 5x 9
4 x 2 y 2 5x 9
16 x 2 16 y 2 81 90 x 25 x 2
9 x 2 90 x 16 y 2 81 0
9( x 2 10 x 25 25) 16 y 2 81 0
9( x 5) 2 225 16 y 2 81 0
9( x 5) 2 16 y 2 144
( x 5) 2 y 2
1
16
9
Получили каноническое уравнение гиперболы. Из уравнения видно, что гипербола
сдвинута вдоль оси Ох на 5 влево, большая полуось а равна 4, меньшая полуось b равна 3,
откуда получаем c2 = a2 + b2 ; c = 5; e = c/a = 5/4.
Фокусы F1(-10; 0), F2(0; 0).
Построим график этой гиперболы.
y
3
F1
-9
-5
-1
0 F2
-3
48
x
Аналитическая геометрия в пространстве.
Уравнение линии в пространстве.
Как на плоскости, так и в пространстве, любая линия может быть определена как
совокупность точек, координаты которых в некоторой выбранной в пространстве системе
координат удовлетворяют уравнению:
F(x, y, z) = 0.
Это уравнение называется уравнением линии в пространстве.
Кроме того, линия в пространстве может быть определена и иначе. Ее можно
рассматривать как линию пересечения двух поверхностей, каждая из которых задана
каким- либо уравнением.
Пусть F(x, y, z) = 0 и Ф(x, y, z) = 0 – уравнения поверхностей, пересекающихся по
линии L.
Тогда пару уравнений
F ( x, y, z ) 0
Ф( x, y, z ) 0
назовем уравнением линии в пространстве.
Уравнение прямой в пространстве по точке и
направляющему вектору.
Возьмем произвольную прямую и вектор S (m, n, p), параллельный данной прямой.
Вектор S называется направляющим вектором прямой.
На прямой возьмем две произвольные точки М0(x0, y0, z0) и M(x, y, z).
z
S
M1
M0
r0
0
r
y
x
Обозначим радиус- векторы этих точек как r0 и r , очевидно, что r - r0 = М 0 М .
Т.к. векторы М 0 М и S коллинеарны, то верно соотношение М 0 М = S t, где t – некоторый
параметр.
Итого, можно записать: r = r0 + S t.
49
Т.к. этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки прямой, то
полученное уравнение – параметрическое уравнение прямой.
Это векторное уравнение может быть представлено в координатной форме:
x x 0 mt
y y 0 nt
z z pt
0
Преобразовав эту систему и приравняв значения параметра t, получаем канонические
уравнения прямой в пространстве:
x x0 y y 0 z z 0
.
m
n
p
Определение. Направляющими косинусами прямой называются направляющие
косинусы вектора S , которые могут быть вычислены по формулам:
m
n
p
cos
; cos
; cos
.
2
2
2
2
2
2
2
m n p
m n p
m n2 p2
Отсюда получим: m : n : p = cos : cos : cos.
Числа m, n, p называются угловыми коэффициентами прямой. Т.к. S - ненулевой вектор,
то m, n и p не могут равняться нулю одновременно, но одно или два из этих чисел могут
равняться нулю. В этом случае в уравнении прямой следует приравнять нулю
соответствующие числители.
Уравнение прямой в пространстве, проходящей
через две точки.
Если на прямой в пространстве отметить две произвольные точки M1(x1, y1, z1) и
M2(x2, y2, z2), то координаты этих точек должны удовлетворять полученному выше
уравнению прямой:
x 2 x1 y 2 y1 z 2 z1
.
m
n
p
Кроме того, для точки М1 можно записать:
x x1 y y1 z z1
.
m
n
p
Решая совместно эти уравнения, получим:
x x1
y y1
z z1
.
x2 x1 y 2 y1 z 2 z1
Это уравнение прямой, проходящей через две точки в пространстве.
Общие уравнения прямой в пространстве.
Уравнение прямой может быть рассмотрено как уравнение линии пересечения двух
плоскостей.
Как было рассмотрено выше, плоскость в векторной форме может быть задана
уравнением:
N r + D = 0, где
50
N - нормаль плоскости; r - радиус- вектор произвольной точки плоскости.
Пусть в пространстве заданы две плоскости: N 1 r + D1 = 0 и N 2 r + D2 = 0, векторы
нормали имеют координаты: N 1 (A1, B1, C1), N 2 (A2, B2, C2); r (x, y, z).
Тогда общие уравнения прямой в векторной форме:
N1 r D1 0
N 2 r D2 0
Общие уравнения прямой в координатной форме:
A1 x B1 y C1 z D1 0
A2 x B2 y C2 z D2 0
Практическая задача часто состоит в приведении уравнений прямых в общем виде к
каноническому виду.
Для этого надо найти произвольную точку прямой и числа m, n, p.
При этом направляющий вектор прямой может быть найден как векторное
произведение векторов нормали к заданным плоскостям.
i
j
k
B C1 A1 C1 A1 B1
S N1 N 2 A1 B1 C1 i 1
j
k
i m j n k p.
B2 C 2
A2 C 2
A2 B2
A2 B2 C 2
Пример. Найти каноническое уравнение, если прямая задана в виде:
2 x y 3z 1 0
5 x 4 y z 7 0
Для нахождения произвольной точки прямой, примем ее координату х = 0, а затем
подставим это значение в заданную систему уравнений.
y 3z 1
y 3z 1
y 3z 1 y 2
, т.е. А(0, 2, 1).
4 y z 7 0 12 z 4 z 7 0 z 1
z 1
Находим компоненты направляющего вектора прямой.
B C1 1 3
A C1
A
2 3
m 1
11; n 1
17; p 1
B2 C 2
A2 C 2
A2
4 1
5 1
Тогда канонические уравнения прямой:
x
y 2 z 1
.
11
17
13
B1
B2
2 1
5
4
13.
Пример. Привести к каноническому виду уравнение прямой, заданное в виде:
2 x 3 y 16 z 7 0
3x y 17 z 0
51
Для нахождения произвольной точки прямой, являющейся линией пересечения
указанных выше плоскостей, примем z = 0. Тогда:
2 x 3 y 16 z 7 0
; y 3x ;
3x y 17 z 0
2x – 9x – 7 = 0;
x = -1; y = 3;
Получаем: A(-1; 3; 0).
i j
k
Направляющий вектор прямой: S n1 n2 2 3 16 35i 14 j 7k .
3 1 17
Итого:
x 1 y 3
z
;
35 14 7
x 1 y 3 z
;
5
2
1
Угол между плоскостями.
N2
1
0
N1
Угол между двумя плоскостями в пространстве связан с углом между нормалями к
этим плоскостям 1 соотношением: = 1 или = 1800 - 1, т.е.
cos = cos1.
Определим угол 1. Известно, что плоскости могут быть заданы соотношениями:
N1 r D1 0
, где
N
r
D
0
2
2
N 1 (A1, B1, C1), N 2 (A2, B2, C2). Угол между векторами нормали найдем из их скалярного
произведения:
N N
cos 1 1 2 .
N1 N 2
Таким образом, угол между плоскостями находится по формуле:
52
cos
A1 A2 B1 B2 C1C 2
A B12 C12 A22 B22 C 22
2
1
Выбор знака косинуса зависит от того, какой угол между плоскостями следует найти
– острый, или смежный с ним тупой.
Условия параллельности и перпендикулярности
плоскостей.
На основе полученной выше формулы для нахождения угла между плоскостями
можно найти условия параллельности и перпендикулярности плоскостей.
Для того, чтобы плоскости были перпендикулярны необходимо и достаточно, чтобы
косинус угла между плоскостями равнялся нулю. Это условие выполняется, если:
A1 A2 B1 B2 C1C2 0 .
Плоскости параллельны, векторы нормалей коллинеарны: N 1 N 2 .Это условие
A
B
C
выполняется, если: 1 1 1 .
A2 B2 C 2
Угол между прямыми в пространстве.
Пусть в пространстве заданы две прямые. Их параметрические уравнения:
l1: r r1 S1t
l2: r r2 S 2 t
r ( x, y, z); r1 ( x1 , y1 , z1 ); r2 ( x2 , y2 , z 2 ); S1 (m1 , n1 , p1 ); S 2 (m2 , n2 , p2 ).
Угол между прямыми и угол между направляющими векторами этих прямых
связаны соотношением: = 1 или = 1800 - 1. Угол между направляющими векторами
находится из скалярного произведения. Таким образом:
cos
S1 S 2
S1 S 2
m1 m2 n1 n2 p1 p 2
m12 n12 p12 m22 n22 p 22
.
Условия параллельности и перпендикулярности
прямых в пространстве.
Чтобы две прямые были параллельны необходимо и достаточно, чтобы
направляющие векторы этих прямых были коллинеарны, т.е. их соответствующие
координаты были пропорциональны.
m1 n1
p
1
m2 n 2 p 2
53
Чтобы две прямые были перпендикулярны необходимо и достаточно, чтобы
направляющие векторы этих прямых были перпендикулярны, т.е. косинус угла между ними
равен нулю.
m1m2 n1n2 p1 p2 0
Угол между прямой и плоскостью.
Определение. Углом между прямой и плоскостью называется любой угол между
прямой и ее проекцией на эту плоскость.
S
N
Пусть плоскость задана уравнением N r D 0 , а прямая - r r0 St . Из
геометрических соображений (см. рис.) видно, что искомый угол = 900 - , где - угол
между векторами N и S . Этот угол может быть найден
по формуле:
N S
cos
N S
N S
sin cos
N S
В координатной форме: sin
Am Bn Cp
A2 B 2 C 2 m 2 n 2 p 2
Условия параллельности и перпендикулярности
прямой и плоскости в пространстве.
Для того, чтобы прямая и плоскость были параллельны, необходимо и достаточно,
чтобы вектор нормали к плоскости и направляющий вектор прямой были
перпендикулярны. Для этого необходимо, чтобы их скалярное произведение было равно
нулю.
NS , N S 0, sin 0,
54
Am Bn Cp 0.
Для того, чтобы прямая и плоскость были перпендикулярны, необходимо и
достаточно, чтобы вектор нормали к плоскости и направляющий вектор прямой были
коллинеарны. Это условие выполняется, если векторное произведение этих векторов было
равно нулю.
N S 0;
A B C
m n p
Поверхности второго порядка.
Определение. Поверхности второго порядка – это поверхности, уравнения которых
в прямоугольной системе координат являются уравнениями второго порядка.
Цилиндрические поверхности.
Определение. Цилиндрическими поверхностями называются поверхности,
образованные линиями, параллельными какой- либо фиксированной прямой.
Рассмотрим поверхности, в уравнении которых отсутствует составляющая z, т.е.
направляющие параллельны оси Оz. Тип линии на плоскости ХOY (эта линия называется
направляющей поверхности) определяет характер цилиндрической поверхности.
Рассмотрим некоторые частные случаи в зависимости от уравнения направляющих:
1)
x2 y2
1 - эллиптический цилиндр.
a2 b2
2)
x2 y2
1 - гиперболический цилиндр.
a2 b2
55
2) x2 = 2py – параболический цилиндр.
Поверхности вращения.
Определение. Поверхность, описываемая некоторой линией, вращающейся вокруг
неподвижной прямой d, называется поверхностью вращения с осью вращения d.
Если уравнение поверхности в прямоугольной системе координат имеет вид:
2
F(x + y2, z) = 0, то эта поверхность – поверхность вращения с осью вращения Оz.
Аналогично: F(x2 + z2, y) = 0 – поверхность вращения с осью вращения Оу,
F(z2 + y2, x) = 0 – поверхность вращения с осью вращения Ох.
Запишем уравнения поверхностей вращения для некоторых частных случаев:
x2 y2 z2
2 1 - эллипсоид вращения
a2
c
2
2
x y
z2
2)
2 1 - однополостный гиперболоид вращения
a2
c
2
2
x y
z2
3)
1 - двуполостный гиперболоид вращения
a2
c2
x2 y2
4)
2 z - параболоид вращения
p
Аналогично могут быть записаны уравнения для рассмотренных выше поверхностей
вращения, если осью вращения являются оси Ох или Оу.
1)
Однако, перечисленные выше поверхности являются всего лишь частными случаями
поверхностей второго порядка общего вида, некоторые типы которых рассмотрены ниже:
Сфера: ( x a) 2 ( y b) 2 ( z c) 2 r 2
56
x2 y2 z2
Трехосный эллипсоид: 2 2 2 1
a
b
c
В сечении эллипсоида плоскостями, параллельными
получаются эллипсы с различными осями.
Однополостный гиперболоид:
57
координатным
x2 y2 z2
1
a2 b2 c2
плоскостям,
Двуполостный гиперболоид:
Эллиптический параболоид:
x2 y2 z 2
1
a2 b2 c2
x2 y2
2 z, где p 0, q 0
p
q
Гиперболический параболоид:
58
x2 y2
2z
p
q
Конус второго порядка:
x2 y2 z2
0
a2 b2 c2
Цилиндрическая и сферическая системы координат.
59
Как и на плоскости, в пространстве положение любой точки может быть определено
тремя координатами в различных системах координат, отличных от декартовой
прямоугольной системы. Цилиндрическая и сферическая системы координат являются
обобщением для пространства полярной системы координат, которая была подробно
рассмотрена выше.
Введем в пространстве точку О и луч l, выходящий из точки О, а также вектор
nl , n 1 . Через точку О можно провести единственную плоскость, перпендикулярную
вектору нормали n .
Для введения соответствия между цилиндрической, сферической и декартовой
прямоугольной системами координат точку О совмещяют с началом декартовой
прямоугольной системы координат, луч l – с положительным направлением оси х, вектор
нормали – с осью z.
Цилиндрическая и сферическая системы координат используются в тех случаях,
когда уравнение кривой или поверхности в декартовой прямоугольной системе координат
выглядят достаточно сложно, и операции с таким уравнением представляются
трудоемкими.
Представление уравнений в цилиндрической и сферической системе позволяет
значительно упростить вычисления, что будет показано далее.
z
М
OM ; ОМ1 = r; MM1 = h;
Если из точки М опустить перпендикуляр ММ1 на плоскость, то точка М1 будет
иметь на плоскости полярные координаты (r, ).
Определение. Цилиндрическими координатами точки М называются числа (r, ,
h), которые определяют положение точки М в пространстве.
Определение. Сферическими координатами точки М называются числа (r,,), где
- угол между и нормалью.
Связь цилиндрической и декартовой прямоугольной
системами координат.
60
Аналогично полярной системе координат на плоскости можно записать
соотношения, связывающие между собой различные системы координат в пространстве.
Для цилиндрической и декартовой прямоугольной систем эти соотношения имеют вид:
h = z;
x = rcos;
y = rsin; cos =
x
x y
2
2
;
sin =
y
x y2
2
.
Связь сферической системы координат с
декартовой прямоугольной.
В случае сферической системы координат соотношения имеют вид:
z cos ;
arctg
y sin sin ; x sin cos ; x 2 y 2 z 2 ;
x2 y2
y
; arctg
; cos
x
z
z
x2 y2 z 2
; sin
x2 y2
x2 y2 z2
;
Линейное (векторное) пространство.
Как известно, линейные операции (сложение, вычитание, умножение на число)
определены по-своему для каждого множества (числа, многочлены, направленные отрезки,
матрицы). Сами операции различны, но их свойства одинаковы.
Эта общность свойств позволяет обобщить понятие линейных операций для любых
множеств вне зависимости от того, что это за множества (числа, матрицы и т.д.).
Для того, чтобы дать определение линейного (векторного) пространства рассмотрим
некоторое множество L действительных элементов, для которых определены операции
сложения и умножения на число.
Эти операции обладают свойствами:
1) Коммутативность x + y = y + x
2) Ассоциативность ( x + y ) + z = x + ( y + z )
3)Существует такой нулевой вектор O , что O + x = x для x L
4) Для x L существует вектор y = - x , такой, что x + y = O
5)1 x = x
6) ( x ) = () x
7) Распределительный закон ( + ) x = x + x
8) ( x + y ) = x + y
61
