ТИПОВОЙ РАСЧЕТ №2 Повторите теоретический материал.

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ №2
ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Повторите теоретический материал.
Векторы. Линейные операции над векторами.
Проекция вектора на ось. Координаты вектора.
Скалярное произведение векторов и его свойства.
Приложения
скалярного произведения.
N-мерный вектор. Векторное пространство.
Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов. Базис
векторного пространства.
Евклидово пространство.
Задание 6. В некотором базисе даны 4 вектора: a , b , c , d . Показать, что
векторы a , b , c образуют базис. Найти координаты вектора d в этом базисе.
1. a  4;5;2, b  3;0;1, c   1;4;2, d   4;5;6.
2. a  3;5;2, b  4;5;1, c   3;0;4, d   4;5;16
3. a   2;3;5, b  1;3;4, c  7;8;1, d  1;20;1.
4. a  1;3;5, b  0;2;0, c  5;7;9, d  0;4;16.
5. a  2;4;6, b  1;3;5, c  0;3;7, d  3;2;52.
6. a  4;3;1, b  5;0;4, c  2;1;2, d  0;12;6.
7. a  3;4;3, b   5;5;0, c  2;1;4, d  8;15;17.
8. a   2;1;7, b  3;3;8, c  5;4;1, d  18;25;1.
9. a  0;1;5, b  3;2;7, c  5;0;9, d   4;2;12.
10. a  2;1;0, b  4;3;3, c   6;5;7, d  34;5;26.
11. a  2;1;3, b  3;2;1, c  1;3;4, d  7;0;7.
12. a  5;3;1, b   2;1;2, c   2;1;4, d  3;0;1.
13. a  1;3;5, b   2;1;1, c  4;2;4, d   7;3;1.
14. a  3;1;6, b   2;2;3, c   4;5;1, d  3;0;1.
15. a  4;1;4, b   2;1;1, c  3;1;5, d   3;2;1.
16. a  1;2;5, b  2;3;4, c  1;1;2, d  3;0;1.
17. a  5;1;2, b  3;4;1, c   4;2;1, d   3;5;4.
18. a  2;1;5, b   4;3;5, c  1;1;4, d  4;1;3.
19. a  3;1;4., b   4;2;3, c  2;1;2, d  7;1;0.
20. a  1;4;2, b  5;2;3, c   2;1;1, d   3;2;4.
21. a  1;2;3, b  2;3;4, c  3;2;5, d  6;1;5.
22. a  1;1;2, b  2;1;2, c  4;1;4, d  6;1;5.
23. a  3;4;2, b  2;1;3, c  1;5;1, d  4;0;5.
24. a  1;4;2, b  3;1;1, c   3;5;6, d  1;2;4.
25. a  1;2;4, b  5;1;2, c  3;1;1, d  4;5;1.
26. a  3;2;1, b  2;3;1, c  2;1;3, d   1;5;3.
27. a  4;3;2, b  2;5;3, c  5;6;2, d  1;1;1.
28. a  2;1;1, b  3;4;2, c  3;2;4, d  2;3;1.
29. a  1;1;1, b  8;2;6, c   4;1;2, d  6;0;3.
30. a  7;5;0, b  4;0;11, c  2;3;4, d  1;2;3.
Задание 7. Решить задачу.
1. Найти модуль вектора с  2а  3b , если a  3, b  2 , угол между
векторами a и b равен 120 о .
2. Даны: a  13, b  19, a  b  24. Вычислить a  b .
3. Даны точки А(1,2,1), В(2,-1,3) и С(3, ,  ). При каких значениях  и 
точка С лежит на прямой АВ ?
4. Найти проекцию вектора a  p  3q на вектор b  2 p  q , если
p  i  3 j  2k ,
q  5i  j  3k .
5. Векторы a и b образуют угол   60 o , причем a  3, b  5. Определить
a b,
a b.
6. Даны векторы: a  3; 1; 5, b  1; 2; 3. . Найти вектор x при условии,
что он перпендикулярен к оси OZ и удовлетворяет условиям:
x  a  9, x  b  4 .

7. Векторы a и b образуют угол   . Зная, что a  3 , b  1 , вычислить
6
угол  между векторами p  a  b и q  a  b .
8. Доказать, что четырехугольник с вершинами А (2;1;-4), В(1;3;5), С(7;2;3),
D(8;0;-6) является параллелограммом. Найти длины его сторон.
9. Найти модуль вектора AB  a  2b , если a  1, b  2 , а угол между ними

.
4
10.Даны: a  11, b  23 и a  b  30. Определить a  b .
равен
11.Определить координаты и модули диагоналей параллелограмма,
построенного на векторах ОА  i  j и OB  k  3 j .
12.Доказать, что точки А( -2; 1; 4), В( 0; -1; -3), С( 6; -3; -10) лежат на одной
прямой, причем точка В расположена между точками А и С.
13.Векторы a и b взаимно перпендикулярны, а вектор c образует с ними

. Зная, что a  3, b  5, c  8 , вычислить 3a  2b b  3c  .
3
14.Даны три вектора: a  3i  6 j  k , b  i  4 j  5k и c  3i  4 j  12k .
углы, равные
Вычислить проекцию вектора a  b на направление вектора c .
15.Вычислить внутренние углы треугольника АВС, если А( 1; 2; 1), В( 3; 1;7), С( 7; 4; -2). Убедиться, что этот треугольник равнобедренный.
16.Даны точки А( 7; -4; 1), В( 12; -3; 1), С( 10; 1; 5). Требуется:
1) записать векторы АВ и АС в системе орт и найти модули этих
векторов; 2) найти угол между векторами АВ и АС .
17.Определить при каком значении  векторы a  b и a  b взаимно
перпендикулярны, если a  7; b  5 .
18.Найти вектор x , зная, что он перпендикулярен векторам a  2; 3; 1 и
b  1; 2; 3 и удовлетворяет условию x  2i  j  k   6 .
19.Векторы a и b образуют угол   120 o , причем a  3 , b  5 . Определить
a b и a b .
20.Даны точки А( -2; 3; -4), В( 3; 2; 5), С( -1; -1; 2), D( 3; 2; -4). Вычислить
проекцию вектора a  2 AB  CD на направление вектора b   AB  3CD .
21.Найти вектор x , удовлетворяющий условиям x  a  15, x  b  1, x  c  20 ,
если a  2i  j  3k , b  i  3 j  2k и c  4k .
22.Вектор составляет с осями Oy и Oz углы 60 o и 120 o . Какой угол он
составляет с осью Ox ?
23. Коллинеарны ли векторы с1  2a  4b и c2  3b  a , если
a  1;2;3, b  3;0;1 .
24.Вычислить проекцию вектора a на направление вектора b , если
a  p  2q , b  3 p  q ,
p  1,
q  2, а угол между векторами p, q равен
25.Найти вектор x , перпендикулярный векторам a  i  k , b  2 j  k , если
известно, что его проекция на вектор c  i  2 j  2k равна 1.
26.Вектор a составляет с осями координат острые углы  ,  ,  , причем
  45 o ,   60 o . Найти его координаты, если a  4 .

.
6
27.Векторы a и b образуют угол 60 о , причем a  2, b  3 . При каком
значении  векторы p  a  4b и q  3a  2b перпендикулярны?
28.Вектор a  3b перпендикулярен к вектору 7 a  5b , а вектор a  4b - к
вектору 7 a  2b . Определить угол между векторами a и b .
29.Даны вершины треугольника А( -1; -2; 4), В( -4; -2; 0), С( 3; -2; 1). Найти орт
медианы ВЕ.
30.Перпендикулярны ли векторы с1  a  2b и c 2  3a  b , если
a  1; 0; 3, b   2; 3; 5 ?
Задание 8. Найти собственные значения и собственные векторы
матрицы.
 4  2  1


1.   1 3  1
 1  2 2


 2 1 0


2.   1 2 0 
 1  1 1


 3  1 1


3.  0 2  1
 0 1 2


 5  1  1


4.  0 4  1
 0 1 4 


 6  2  1


5.   1 5  1
 1  2 4


 3 1  1


6.  2 2  1
  2 1 4


 2 1 0


7.  1 2 0 
 1 1 3


 2 0  1


8.  1 1  1
 1 0 2 


 4 1 0


9.  1 4 0 
 1 1 5


1 1 8 


10.  0 2 0 
 1 0 1


 2 0  6


11.  1 3  2 
1 0 1 


1 2  2 


12. 1 0 3 
1 3 0 


 3  2 2


13.  0 3 0 
0
2 1

 5  2 2


14.  0 3 0 
0
2 3 

 7 3 0


15.  3 7 0 
  3 3 6


2 2 6 


16.  0 1 0 
 2 0  2


 7  6 6


17.  2 3 2 
2
2 3 

2  2
13


18.  6 9  6 
 2 2
5 

7 2  2


19.  4 5  2 
0 0 1 


0 
3 0


20.  2 7  4 
2  2 5 


0 
5 0


21.  2 13  4 
 2  2 11 


0 
5 0


22.  7 4  7 
7  7 4 


 5  2 4


23.  0 1 0 
 2 2 7


2  2
 3


24.   2 5  2 
 2  2 5 


3 0 0


25.  1 2  1
 1 1 2 


5 0 0


26.  1 4  1
 1 1 4 


1  1
6


27.  2 5  2 
 1 1
4 

 1 2 3


28.  4 4 6 
 3 2 1


 2 1  1


29.  1 2  1
0 0
1

 7  4  2


30.   2 5  2 
 0
0
9 
