Вектор Шепли.

1
16.10.07
Вектор Шепли.
Мотивировка и определение
Определение. Автоморфизмом игры <N,v> называется всякая перестановка 
элементов множества N, удовлетворяющая условию: v(K)=v((K)) для любой коалиции K.
 Рюрик
 Плата за участие в игре
Определение. Вектором Шепли называется отображение, которое каждой игре в
форме характеристической функции ставит в соответствие дележ в соответствующей игре,
если оно удовлетворяет следующим условиям:
1.  i (v)  v( K ) для любого носителя K (аксиома эффективности);
iK
i
2.  (v)   (i ) (v) для любого автоморфизма игры  (аксиома симметрии);
3. (v  v)  (v)  (v) для любых двух игр <N,v> и <N,v> (аксиома агрегации).
Лемма. Вместо аксиомы эффективности можно использовать следующее свойство
4. i (v)  v(i) для любого болвана i (аксиома болвана).
Доказательство. Пусть выполнены аксиомы 1,2,3. Рассмотрим произвольного
болвана i. Множество N\{i} является носителем, поэтому   j (v)  v( K ) . Так как игрок
jN \i
i является болваном v(N\{i})+v(i)=v(N). А так как вектор (v) является дележом в игре
<N,v> выполняется условие   j (v)  v( N ) . Сравнивая три полученных равенства,
jN
получим  (v)  v(i) , то есть выполняется аксиома 4.
Обратно, пусть выполняются аксиомы 2, 3 и 4. Рассмотрим произвольный носитель
K. Так как все игроки, не входящие в K являются болванами, выполняется условие
v( K )   v( j )  v( N ) . По аксиоме болвана v(j)=j(j) для jN\K. А так как вектор (v)
i
jN \ K
выполняется условие   j (v)  v( N ) . Из этих трех
является дележом в игре <N,v>
jN
условий получаем равенство
  (v)  v( K ) , означающее, что выполнено утверждение
i
iK
аксиомы 1.
Лемма. Возможно задание вектора Шепли двумя свойствами:
5.  ((v))  ( (v)) для любой перестановки  множества N (аксиома анонимности);
6. если v( K {i})  v( K )  w( K {i})  w( K ) для всех коалиций K не содержащих
игрока i, то i(v)= i(w) (аксиома маргинальности).
Вычисление вектора Шепли
Теорема. Единственная функция, удовлетворяющая аксиомам Шепли, задается
формулами
(# N  # K )!(# K  1)!
 i (v )  
(v( K )  v( K \ i)) , i=1,…,n.
(*)
#N!
iK  N
 Маргинальность. Можно в качестве аксиомы.
 Каждому по способностям.
Доказательство. Начнем с анализа аксиом.
Лемма. Если j – болван, то из аксиом Шепли следует, что j(v)=v(j).
Доказательство см. в предыдущем разделе.
147337588 19.01.16
2
 используется только первая аксиома.
Лемма. Для любого неотрицательного числа  и простейшей игры <N,vR> вектор
аксиомам Шепли удовлетворяет только вектор, определяющийся условиями


, если i  R,

i (vR )  
#R

0 в противном случае.
Доказательство. Если коалиция R состоит из одного игрока, утверждение следует
из первой аксиомы.
Пусть i и k – любые два игрока из коалиции R. Рассмотрим перестановку ,
меняющую местами игроков i и k, и оставляющую всех остальных игроков на месте.
Непосредственно проверяется, что эта перестановка является автоморфизмом. Тогда по
второй аксиоме i(v) =k(v). Таким образом, все компоненты вектора , соответствующие
игрокам из коалиции R равны. Но эта коалиция является носителем. Значит, по аксиоме 1,
сумма этих компонент равна . Отсюда следует первая часть доказываемого утверждения.
Вторая часть следует из предыдущей леммы и того факта, что все игроки, не
входящие в R являются болванами.
Лемма. Если разность характеристических функций v и w является
характеристической функцией, то (v–w)=(v)–(w).
Доказательство. По аксиоме агрегации в таком случае (v)=(v–w)+(w), откуда
и следует утверждение леммы.
n
1
(n  k )!(k  1)!
.
Лемма.  (1)i  k Cni kk 
n!
i k i
1
Доказательство. Воспользовавшись равенством
x
0
i 1
dx 
1
и формулой бинома
i
Ньютона, получим
1
n
n 1
1
 n

i k
i k
i 1
i k
i k
(

1)
C

x
dx
(

1)
C

(1)i k Cni kk xi 1  dx 



nk
nk



i k i
i k 0

0  i k
1 nk
1

 n
i k
i  k i  k  k 1
j
j
j  k 1
    (1) Cn  k x  x dx     (1) Cn  k x  x dx   (1  x) n k x k 1dx.


0  i k
0  j 0
0
Осталось вычислить интеграл в правой части равенства. Очевидно,
1
1
n 1
0 (1  x) dx  n .
Интегрируя по частям, получим
1
1
nk
n  k k 1
(1

x
)
x
dx

(1  x) n  k 1 x k dx .
0
k 0
Отсюда по индукции получаем
1
(n  k )!(k  1)!
n  k k 1
,
0 (1  x) x dx 
n!
что доказывает лемму.
Лемма. Существует не более одной функции, удовлетворяющей аксиомам Шепли.
Доказательство. Разложим функцию v по базису из простейших функций и
воспользуемся доказанной выше «аддитивностью» вектора Шепли по отношению к
взвешенным суммам простейших функций. Получим
1
147337588 19.01.16
3


 


 i (v)   i     (1) # R  # K v( K )  vR      (1) # R  # K v( K )   i (vR ) 
  R {i}  K  R

 R {i}  K  R

1 
 1
v( K ) 
    (1) # R # K
 v( K ).
#R 
R {i} K  R
 # R K  R  K {i}
Преобразуем это выражение.

# R# K 1 
  (1)
 v( K ) 

#R 
K  R  K {i }


1 
# R# K 1 
    (1) # R  # K
 v( K )     (1)
 v( K ) 
#R 
#R 
K :{i}K  R  K {i}
K :{i}K  R  K {i}
1 
1 


    (1) # R  # K
v( K )     (1) # R  # K 1
v( K \{i}) 

#R
# R 
K :{i}K  R  K
K :{i}K  R  K



   (1)
# R # K
 #N

# R# K 1 
# R# K 1 
(

1)
(
v
(
K
)

v
(
K
\{
i
}))

   ( 1)
 (v( K )  v( K \{i}))..




#R 
#R 
K :{i}K  R  K
K :{i}K  r  # K R  K ,# R  r
Число коалиций R, содержащих коалицию K и имеющих r членов равно C#r N #K# K .
Остается воспользоваться результатом предыдущей леммы.
Теперь проверим, что функция, определенная формулами (*), удовлетворяет всем
аксиомам Шепли.
Лемма. Формула (*) определяет дележ.
Доказательство.
Докажем
индивидуальную
рациональность.
В
силу
супераддитивности
(# N  # K )!(# K  1)!
 i (v )  
(v( K )  v( K \ i )) 
#N!
iK  N
(# N  # K )!(# K  1)!
(# N  # K )!(# K  1)!
 
v(i )  v(i ) 

#N!
#N!
iK  N
iK  N
#N
(# N  k )!(k  1)!
 v(i ) 
.
#N!
k 1 iK ,# K  k
Внутренняя сумма содержит C#kN11 одинаковых слагаемых, поэтому
(# N  k )!(k  1)!

#N!
k 1
#N
#N
# N 1
(# N  k )!(k  1)!
1
 v(i )
v(i )
 v(i ).
#N!
k 1 ( k  1)!(# N  k )!
k 1 # N
Докажем коллективную рациональность. Для этого вычислим сумму
n
n
(# N  # K )!(# K  1)!
i

(
v
)

(v( K )  v( K \ i )) .



#N!
i 1
i 1 iK  N
Определим коэффициент при v(K) в этой сумме. Если KN, то v(K) входит в эту сумму #K
раз с положительным знаком, и #N–#K раз с отрицательным. Следовательно, искомый
коэффициент равен
(# N  # K )!(# K  1)!
(# N  # K  1)!# K !
#K
 (# N  # K )
0
#N!
#N!
Член v(N) входит в сумму только с положительным знаком, причем #N раз.
Следовательно, коэффициент при нем равен
#N
 i (v)  v(i ) C#kN11
147337588 19.01.16
4
(# N  # N )!(# N  1)!
0!(# N  1)!
 #N
1.
#N!
#N!
Итак, искомая сумма равна v(N), что и доказывает лемму.
Лемма. Формула определяет вектор Шепли.
Доказательство. Проверим выполнение аксиомы эффективности. Если игрок i –
болван, то
(# N  # K )!(# K  1)!
(# N  # K )!(# K  1)!
 i (v )  
(v( K )  v( K \ i))  
v(i) .
#N!
#N!
iK  N
iK  N
Как установлено при доказательстве предыдущей леммы, сумма в правой части этого
равенства равна v(i). Таким образом, i (v)  v(i) для любого болвана i. Поэтому, если K –
#N
 v(i)  v( N ) . А в силу предыдущей
леммы   (v)  v( N ) . Из этих трех условий следует равенство   (v)  v( K ) .
носитель игры, то
  (v)   v(i)
i
iN \ K
iN \ K
и v( K ) 
iN \ K
i
i
iN
iK
Докажем справедливость утверждения аксиомы симметрии.
произвольный автоморфизм. Имеем
(# N  # K )!(# K  1)!
  ( i ) (v )  
(v( K )  v( K \  (i ))) 
#N!
K : ( i )K



K : ( i )
Пусть

–
(# N  #  ( K ))!(#  ( K )  1)!
(v( ( K ))  v( ( K ) \  (i ))),
#N!
(K )
так как вместе с K коалиции (K) весь класс подмножеств множества N. Далее
(# N  #  ( K ))!(#  ( K )  1)!
  ( i ) (v )  
(v( ( K ))  v( ( K ) \  (i))) 
#N!
K : ( i ) ( K )


K : ( i )
(# N  #  ( K ))!(#  ( K )  1)!
(v( ( K ))  v( ( K \ i))) 
#N!
(K )
(# N  # K )!(# K  1)!
(v( K )  v( K \ i ))
#N!
K : ( i ) ( K )
(последнее равенство справедливо в силу определения автоморфизма). Но тогда
(# N  # K )!(# K  1)!
  ( i ) (v )  
(v( K )  v( K \ i)) 
#N!
K : ( i ) ( K )



(# N  # K )!(# K  1)!
(v( K )  v( K \ i ))   i (v).
#N!
K :iK
Аксиома 3 справедлива, так как функция  по определению линейна.
Лемма, а с ней и теорема доказаны.


Конструктивное определение
Если коалиция K уже сформировалась, то ценность не входящего в нее игрока i с
точки зрения этой коалиции равна v( K )  v( K \ i ) . Поэтому разумной платой за
присоединение игрока i к коалиции K является именно эта величина.
Теорема. Если игроки присоединяются к игре в случайном порядке, причем все
порядки равновероятны, то математическое ожидание выигрыша i-го игрока определяется
соответствующей компонентой вектора Шепли.
Доказательство. Всего имеется n! Равновероятных исходов. Число исходов, когда
игроки, входящие в коалицию K, присоединятся к игре раньше игрока i, равно
#K!(#N–#K–1)!, поэтому вероятность того, что игрок i получит выигрыш v( K {i})  v( K ) ,
147337588 19.01.16
5
# K !(# N  # K  1)!
. Остается воспользоваться определением математического
#N!
ожидания и сделать замену переменной суммирования.
 Условие локально!
равна
Вариационное определение
Теорема. Значение вектора Шепли для игры <N,v> является точкой минимума


функции
(# K  1)!(# N  # K  1)! v( K )   xi 

K N
iK


i
удовлетворяющих условию  x  v( N ) .
2
на
множестве
векторов
x,
iN
Доказательство. Очевидно, что решение данной оптимизационной задачи
существует и единственно. Будем решать ее стандартным методом поиска условного
экстремума. Дифференцируя функцию Лагранжа
2
n



i
(#
K

1)!(#
N

#
K

1)!
v
(
K
)

x

2

v
(
N
)

xi  ,






K N
iK
i 1




получим систему уравнений


(# K  1)!(# N  # K  1)! v( K )   xi    , iN,

iK  N
iK


или
 (# K  1)!(# N  # K  1)! xi   (# K  1)!(# N  # K  1)!v( K )  .
iK  N
iK
iK  N
Игрок i входит в Cnk11 коалиций, содержащих игрока i и имеющих k членов, а игрок
ji входит в Cnk22 коалиций, содержащих игрока i и имеющих k членов. Поэтому
уравнение преобразуется к виду
n 1
n 1
k 1
k 1
 (k  1)!(n  k  1)!Cnk11 xi   (k  1)!(n  k  1)!Cnk22  x j 


j i
(# K  1)!(# N  # K  1)!v( K ) .
iK  N
После упрощений получим
n 1
n 1
1 i
k 1
(n  1)!
x  (n  2)!
x j   (# K  1)!(# N  # K  1)!v( K )  ,

k 1 n  k
k 1 n  k j i
iK  N
или
n 1
k 1 n j
(n  1)! xi  (n  2)!
(# K  1)!(# N  # K  1)!v( K )  .
 x  i
k 1 n  k j 1
K N
С учетом условия задачи получим
n 1
k 1
(n  1)! xi  (n  2)!
v( N )   (# K  1)!(# N  # K  1)!v( K )  .
k 1 n  k
iK  N
Просуммируем все эти уравнения
n
n 1
n
k 1
(n  1)! x j  n(n  2)!
v( N )    (# K  1)!(# N  # K 1)!v( K ) n ,
j 1
k 1 n  k
j 1 jK  N
разделим на n и учтем условие задачи
n 1
(n  1)!
k 1
1 n
v( N )  (n  2)!
v( N )    (# K  1)!(# N  # K  1)!v( K )  .
n
n j 1 jK  N
k 1 n  k
Вычитая из уравнения (#), получим
147337588 19.01.16
(#)
6
(n  1)! xi 


(# K  1)!(# N  # K  1)!v( K ) 
iK  N
1 n
(n  1)!
(# K  1)!(# N  # K  1)!v( K ) 
v( N ).


n j 1 jK  N
n
Преобразуем правую часть
(n  1)! xi 


(# K  1)!(# N  # K  1)!v( K ) 
iK  N


1
(n  1)!
(# K  1)!(# N  # K  1)!v( K ) 
v( N ) 


n K  N jK
n
(# K  1)!(# N  # K  1)!v( K ) 
iK  N

В сумму
1
  (# K  1)!(# N  # K  1)!v( K ) 
n iK  N jK
1
(n  1)!
(# K  1)!(# N  # K  1)!v( K ) 
v( N ).


n iK  N jK
n
  (# K  1)!(# N  # K  1)!v( K )
член с v(K) входит #K раз, а в сумму
iK  N jK
  (# K  1)!(# N  # K  1)!v( K )
слагаемое v(K\{i}) входит #N-#K раз. Кроме того,
iK  N jK
каждой коалиции K, содержащей i соответствует коалиция K\{i}, не содержащая i.
Поэтому
1
(n  1)! xi   (# K  1)!(# N  # K )! v( K )  v( K \{i}) .
n iK  N
Отсюда и получается утверждение теоремы.
Примеры



Производство кукурузы (сначала помещик с помощью интерпретации с
подключением к игре, потом – остальные с помощью симметрии)
Сбалансированы однопродуктовый рынок (противоположные перестановки)
Затраты на взлетную полосу
Вектор Шепли и C-ядро
Лемма. В 0-1-редуцированной игре трех лиц вектор Шепли принадлежит ядру
тогда и только тогда, когда выполняются неравенства
4v({1,2})+ v({1,3}+ v({2,3})) 4, 4v({1,3})+ v({1,2}+ v({2,3})) 4,
4v({2,3})+ v({1,2}+ v({1,3})) 4.
Доказательство. Согласно полученной формуле в данном случае вектор Шепли
имеет компоненты
v({1, 2,3}) v({1, 2})  v({1,3})  2v({2,3}) 2v(1)  v(2)  v(3)
1 (v) 



3
6
6
1 v({1, 2})  v({1,3})  2v({2,3})
 
,
3
6
1 v({1, 2})  v({2,3})  2v({1,3})
1 v({1, 2})  v({2,3})  2v({1, 2})
 2 (v)  
,  2 (v)  
.
3
6
3
6
Согласно теореме о характеризации ядра этот вектор принадлежит C-ядру, тогда и
только тогда, когда выполняются неравенства
1 (v)   2 (v)  v({1, 2}), 1 (v)  3 (v)  v({1,3}),  2 (v)  3 (v)  v({2,3}),
Откуда и следует утверждение леммы.
Пример. Затраты на создание системы водоснабжения в трех районах описываются
характеристической функцией v({1})=–120, v({2})=–140, v({3})=–120, v({1,2})=–170,
v({1,3})=–160, v({2,3})=–190, v({1,2,3})=–255.
147337588 19.01.16
7
1
1
1

Вектор Шепли в этой игре  73 , 98 , 83  не принадлежит C-ядру, так как
3
3
3

1
1
например, 73  98  170 . Однако C-ядро в этой игре не пусто. Ему принадлежит,
3
3
1
1
1

например, точка  68 , 98 , 88  .
3
3
3

 Вообще говоря, вектор Шепли лежит вне ядра. (Картинка)
Выпуклые игры
В этом разделе рассматриваем только выпуклые игры.
Лемма. Пусть  – произвольная перестановка множества N. Тогда вектор x,
определяемый условиями x1  v( (1), xi  v({ (1),...,  (i)})  v({ (1),...,  (i  1)}) (i=2,…,n)
является крайней точкой C-ядра, и других крайних точек нет.
Доказательство. Не ограничивая общности, можно считать, что перестановка
тождественная. Принадлежность соответствующего дележа C-ядру доказана в лекции,
посвященной C-ядру.
Рассматриваемый вектор лежит на границах гиперплоскостей, ограничивающих
полупространства
x1≥v({1}), x1+x2≥v({1,2}),…,x1+…+xn≥v({1,…n}).
Нормальные векторы этих гиперплоскостей линейно независимы, поэтому любой
вектор y может быть представлен как их линейная комбинация. Если вектор ненулевой,
то, по крайней мере, один коэффициент в этом разложении будет ненулевым. Если он
отрицателен, то сдвиг в направлении вектора y приведет к нарушению соответствующего
неравенства. А если он положителен, то сдвиг в направлении вектора –y приведет к
нарушению того же неравенства. В одном из этих случаев точка выйдет за пределы ядра.
Следовательно, точка x – крайняя.
Пусть теперь x – крайняя точка C-ядра. Рассмотрим множество


 ( x)   K  N :  x i  v( K )  .
iK


Множество (x) замкнуто относительно операций объединения и пересечения. В
самом деле, пусть K и I – коалиции из этого семейства. Тогда
v( K I )   x i   x i   x i   x i 
iK I
 v( K )  v( I ) 

iK
iI
x  v( K )  v( I )  v( K
i
iK I
I )  v( K
I)
iK I
(первое и второе неравенства следует из того, что x принадлежит C-ядру, а последнее – из
того, что игра выпукла). Значит, на самом деле v( K I )   x i . Аналогично
iK I
рассматривается и случай с пересечением.
Пусть =K1K2…Km=N – наибольшая по длине цепочка коалиций,
принадлежащих (x). Допустим, что, по крайней мере, два элемента i и j принадлежат
Kk+1\Kk.Так как x – крайняя точка C-ядра, она является единственным решением системы
уравнений
 xi  v( K ) , K(x).
iK
147337588 19.01.16
8
Поэтому существует K(x) такая, что iK но jK (или наоборот)1.
Тогда S  ( K K k ) K k 1 принадлежит (x) ввиду замкнутости относительно объединения
и пересечения и KkSKk+1, что противоречит выбору цепочки.
Следовательно, длина цепочки равна n и вектор x имеет искомый вид.
Теорема. Для выпуклых игр вектор Шепли принадлежит C-ядру.
Доказательство. В силу формулы (*) вектор Шепли является линейной
комбинацией точек x. Поскольку C-ядро выпукло, вектор Шепли принадлежит ему.
Определение. Игра <N,v> называется строго выпуклой, если она выпукла и для
любых двух коалиций I и K выполняется неравенство v( I )  v( K )  v( I K )  v( I K ) ,
если только K\I и I\K.
Лемма. Если игра строго выпукла, то все векторы x различны.
Доказательство. Если I и K принадлежат (x), то либо KI, либо IK.
Действительно, в противном случае
v( I )  v( K )   x i   x i   x i   x i  v( I K )  v( I K ) ,
iI
iK
iI K
iI K
что противоречит строгой выпуклости.
Поэтому соответствие между крайними точками x и множествами (x) взаимно
однозначно, а эти множества образуют все цепочки длины n.
Следствие. Для строго выпуклых игр значение вектора Шепли есть центр тяжести
крайних точек C-ядра.
Задачи
1. Пусть функции v и w удовлетворяют условиям v(K)=w(K) при KN и v(N)>w(N).
Докажите, что i(v)> i(w) для любого iN.
2. Пусть игры <N,v> и <N,w> являются аффинно эквивалентными и для любой
коалиции i выполняется равенство w( I )  kv( I )   ai . Докажите, что i(w)=k
iI
 (v)+ai.
i
 1, если 1 K и # K  1,

3. Пусть функция v определена условием v( K )   1, если K  {2,3,..., n}, Найдите
0 в остальных случаях.

вектор Шепли соответствующей игры.
4. Какой многогранник представляет собой C-ядро в строго выпуклой игре четырех
лиц?
Литература
1.
2.
3.
4.
Воробьев Н.Н. Теория игр для экономистов–кибернетиков. М.: Наука, 1985.
Мулен Э. Кооперативное принятие решений: Аксиомы и модели. М.: Мир.1991.
Оуэн Г. Теория игр. М.: Мир. 1971.
Льюс Р.Д., Райфа Х. Игры и решения. М.: ИЛ, 1961.
Иначе переменные xi и xj
единственным.
1
147337588 19.01.16
входили бы в уравнения только в виде суммы xi+xj и решение не было