Линейное программирование и смежные вопросы, часть 7

Министерство образования Российской Федерации
Ростовский ордена Трудового Красного Знамени
государственный университет
С.В.Гусаков, Л.Н.Землянухина,
А.Б.Зинченко, Л.И.Сантылова
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
по курсу "Методы оптимизации"
для студентов механико-математического факультета
дневного и вечернего отделения
ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ
И СМЕЖНЫЕ ВОПРОСЫ
Часть 7
Ростов-на-Дону
2001
2
Методические
заседанием кафедры
указания
рекомендованы к печати
исследования
операций механико-
математического факультета РГУ
протокол № 1 от 1 февраля 2001 г.
3
ОГЛАВЛЕНИЕ
10. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ КООПЕРАТИВНЫХ ИГР
(продолжение) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
10.5 Параметрическое представление С-ядра. . . . . . . . . . . . . . . . . 4
10.6. Значения игр (цена Шепли, N-ядро) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
10.7. Методы вычисления N –ядра . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15
10.8. Выпуклые игры. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .18
10.9. Упражнения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .22
Индивидуальные задания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .23
Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
Приложение (метод нахождения всех вершин многогранника). . 26
4
10. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ КООПЕРАТИВНЫХ ИГР
(продолжение)
В части 5 методических указаний была описана основная концепция решения кооперативной игры – ее С-ядро. В данной части изложен
способ нахождения всех вершин С-ядра, рассмотрены другие понятия
решения, описан специальный класс игр, часто возникающих при моделировании экономических процессов.
10.5. Параметрическое представление С-ядра
Для исчерпывающего описания непустого С-ядра нужно перейти
от аналитического его задания
 xi  ( S ) , SN ;
 xi  ( N )
i S
(1)
i N
к параметрической форме
c
C( )   i xi ,
i 1
c
где x 1 ,…, x c – вершины С-ядра, 1 ,…,  c – параметры,  i  1 .
i 1
Параметрическая форма представления С-ядра позволяет определить диапазоны изменения выигрышей игроков
x i  max xij ,
x i = min xij ,
1 j  c
а также центр С-ядра
1 j  c
c
c
j 1
j 1
i  1, n ,
((  x1j ) / n, ..., (  xnj ) / n ) , который можно
выбрать в качестве компромиссного дележа прибыли.
Существует два основных подхода к нахождению всех вершин
многогранника: симплициальный (использующий симплекс-таблицы) и
5
метод свертки систем линейных неравенств. При симплициальном подходе перебираются все допустимые базисы (их количество может быть
намного больше количества вершин), поэтому в приложении рассмотрен второй метод, позволяющий также выделить избыточные ограничения и найти направляющие векторы неограниченных ребер для неограниченных многогранных множеств. Этот метод может быть полезен и
для других приложений, например, для поиска всех оптимальных опорных решений задачи линейного программирования, при многокритериальной оптимизации и т.д.
П р и м е р 1 ( " О з е р о " [ 1 ] ) . Вокруг озера расположено n пред-
приятий. Обработка стоков перед их сбросом в озеро стоит каждому
предприятию В (денежных единиц), а очистка воды для собственных
нужд стоит  А, где  - число предприятий, не обрабатывающих свои
отходы. Считая, что А <В < nА, s =S, получаем
 snA,
( S )  
 sB  s( n  s) A,
s  B / A,
s  B / A.
(2)
В этой игре нужно узнать, смогут ли предприятии договориться об обработке отходов.
Положим n=3, А =10, В =25. Тогда
(1) = ( 2 ) = ( 3) = 30,
(1,2) = (1,3) = ( 2,3) = 60,
(1,2,3) = 75.
С-ядро задается условиями
x1  30,
x1 + x3  60,
x2  30,
x3  30,
x2 + x3  60,
x1 + x2  60,
x1 + x2 + x3 = 75,
после преобразования которых получаем систему
30  x1  15,
30  x2  15,
60  x1 + x2  45,
6
множеством решений которой является заштрихованный треугольник
(рис. 1) с вершинами
x 1 =(30, 30, 15),
x 2 =(30, 15, 30),
x 3 =(15, 30, 30).
Параметрическая форма С-ядра имеет вид
С(  )= 30 ( 1   2   3 / 2, 1   2 / 2   3 , 1 / 2   2   3 ),
где 1 ,  2 ,  3 0, 1 +  2 +  3 =1.
Центром С-ядра является точка (25, 25, 25) (см. рис.1) равномерного распределения величины (1,2,3) = 75.
Рис.1. С-ядро игры " О з е р о " .
П р и м е р 2 . П редставим в параметрической форме С-ядро следующей игры пяти лиц:
v(1,2,3)=v(3,5)=3;
N={1,…,5};
v(N)=12;
v(1,3,4)=v(2,4,5)=v(1,2,4,5)=9;
7
v(S)=3 для собственных коалиций , содержащих { 1,2,3} или { 3,5} ;
v(S)=9 для собственных коалиций , содержащих { 1,3,4} или { 2,4,5} ;
v(S)=0 для остальных коалиций.
Неравенства системы (1), соответствующие v(S), где S N
и
S{ 1,2,3} и л и S{ 3,5} и л и S{ 1,3,4} и л и S{ 2,4,5} , а также
v(S)=0, S>1, являются следствием остальных ограничений. Их исключаем из рассмотрения. Остальные неравенства системы (1) умножаем на (-1). Уравнение
ми
 xi  v ( N ) ,
i N
 xi  ( N ) заменяем двумя неравенства-
i N
  xi  v ( N ) .
i N
Получаем систему
 x1  x2  x3  3,  x3  x5  3,  x1  x3  x4  9,
 x1  x2  x3  x4  x5  12,
x1 + x2 + x3 + x4 + x5  12;
 x2  x4  x5  9,
xi 0, i  1,5 .
Применив описанный в приложении метод, находим вершины С-ядра
x 1 =(0, 3/2, 3/2, 15/2, 3/2),
x 2 =(3, 0, 0, 6, 3),
x 3 =(0, 3, 3, 6, 0),
x 4 =(0, 0, 3, 6, 3),
x 5 =(0, 0, 3, 9, 0),
границы изменения выигрышей игроков
x i = 0 , i  1,5 ;
x 1 = x 2 = x 3 = x 5 =3, x 4 =9,
а также центр (0.6, 0.9, 2.1, 6.9, 1.5)
С-ядра.
Параметрическое представление С-ядра данной игры имеет вид
C( )  ( 3 2 , 31 / 2  3 3 , 31 / 2  3(  3   4   5 ),
151 / 2  6(  2   3   4 )  9 5 , 31 / 2  3(  2   4 )),
где 1 ,…, 5 0, 1 +…+ 5 =1.
8
10.6. Значения игр (цена Шепли, N -ядро)
С-ядро игры может быть очень большим, например, совпадать с
множеством всех дележей, а может быть и пустым. Пустота С-ядра
наблюдается в том случае, когда промежуточные коалиции слишком
сильны, но из этого не следует невозможность кооперации всех игроков. Если кооперативное равновесие не может быть достигнуто только с
помощью простых коалиционных угроз (принцип С-ядра), то необходимы другие принципы, например, тактика угроз и контругроз [3].
В идеальном случае анализ кооперативной игры должен был бы
приводить к отбору единственного дележа, который и следовало бы
принять за решение.
Правило, ставящее в соответствие каждой кооперативной игре
единственное распределение x =( x1 ,…, xn ) совместной прибыли (N),
удовлетворяющее некоторому принципу оптимальности, называется
о п е р а т о р о м з н а ч е н и я , а само распределение x - з н а ч е н и е м
и г р ы . Наиболее популярными значениями, показавшими свою применимость к широкому кругу экономических моделей, являются: ц е н а Ш е п л и
( з н а ч е н и е Ш е п л и или в е к т о р Ш е п л и ) и N - я д р о (nucleolus).
Эти понятия отражают два основных условия, необходимых для устойчивости кооперативного соглашения [2]:
- каждый участник договора должен получить "справедливую" долю
прибыли (внутренняя устойчивость);
- прибыль от кооперации не должна быть слишком мала по сравнению
ситуацией без кооперации (внешняя устойчивость).
Цена Шепли учитывает дополнительные прибыли
(S{i}) - (S)
( iS, SN ) от присоединения фиксированного участника к каждой коалиции, т.е. обеспечивает внутреннюю устойчивость.
9
N-ядро, по возможности, максимизирует суммарный доход каждой
коалиции, т.е. гарантирует внешнюю устойчивость, игнорируя устойчивость внутреннюю.
Цена Шепли   ( 1 , ...,  n ) приписывает каждому игроку его
средний вклад во все коалиции и вычисляется по формуле
i 
s !( n  s  1)!
[ ( S  {i })  ( S )] , i  1, n ,
n
!
S  N \i

где s  S .
Например, в игре трех лиц ( n =3) цена Шепли имеет вид
1  (1) / 3  [ (1,2)  ( 2)  (1,3)  ( 3)] / 6  [ (1,2,3)  ( 2,3)] / 3 ,
 2  ( 2) / 3  [ (1,2)  (1)  ( 2,3)  ( 3)] / 6  [ (1,2,3)  (1,3)] / 3 ,
 3  ( 3) / 3  [ ( 2,3)  ( 2)  (1,3)  (1)] / 6  [ (1,2,3)  (1,2)] / 3 .
Для простой игры n лиц общая формула цены Шепли упрощается и принимает вид
s !( n  s  1)!
,
n
!
S 
i
 i   ( s ) = 
S 
i
i  1, n ,
где  i – множество таких проигрывающих коалиций S, не содержащих
игрока i , что коалиция S { i } является выигрывающей.
По этой формуле легко вычисляется цена Шепли взвешенных мажоритарных игр.
Пример 3. Четыре акционера обладают следующим количеством
акций: 40, 30, 20, 10.
Любое решение утверждается акционерами,
имеющими простое большинство акций. Это взвешенная мажоритарная
игра (51; 40, 30, 20, 10), в которой выигрывают коалиции
{1,2}, {1,3}, {1,2,3}, {1,2,4}, {1,3,4}, {2,3,4}, {1,2,3,4}.
10
Определяем 1 ={{2}, {3}, {2,3}, {2,4}, {3,4}},
 2 ={{1}, {1,4}, {3,4}},
3 ={{1}, {1,4}, {2,4}},  4 ={2,3}. Так как (1) 
( 2 ) 
2 !( 4  2  1) !
4!
получаем   (
Цена
(
4
,
3
,
2
5

,
1
10 10 10 10
12
3
,
i 
то
,
3
,
1
12 12 12 12
Шепли
,
1
не
i
12
1!( 4  1  1) !
4!
, i  1,2,3,4 .

1
12
и
Окончательно
).
совпадает
с
"вектором
голосования"
) , в котором выигрыш игрока пропорционален его доле
акций. В отношении цены Шепли, игроки 2 и 3 обладают одинаковой
силой (несмотря на разное количество акций они имеют одинаковые
возможности для образования коалиций). Сила игрока 1 больше доли
его акций, а сила игрока 4, наоборот, меньше доли акций.
Предположим теперь, что игрок 3 приобрел еще 10 акций, т.е. рас1 1 1
, , 0)
3 3 3
смотрим игру (55; 40, 30, 30, 10). Ее цена Шепли   ( ,
также не совпадает с "вектором голосования" (
4
,
3
,
3
,
1
11 11 11 11
) и пока-
зывает, что дополнительные акции игрока 3 не дают ему преимуществ, а
акции игрока 4 обесцениваются (он не может войти ни в одну коалицию, т.е. становится "болваном").
Цена Шепли обладает следующими свойствами.
1. i   (i ) , i  1, n , где ( (1),..., (n)) – перестановка N, т.е. цена
любого игрока не зависит от его номера (аксиома анонимности).
11
2. Если игрок i ничего не добавляет к каждой коалиции, т.е.
( S  {i})  ( S )
для любого S  N ( такой игрок называется
"болваном"), то его цена равна нулю i  0 (аксиома болвана).
3. Цена Шепли является коалиционно монотонной, т.е. если прибыль (S)
некоторой
коалиции
S
увеличить, а прибыли всех
остальных коалиций оставить без изменения, то цена i каждого игрока коалиции S не уменьшиться.
4. В симметричной игре цена Шепли делит (N) на n равных частей
  ( ( N ) / n, ..., ( N ) / n) .
5. Цена Шепли может не принадлежать непустому С-ядру.
Пример 4 ("Р ы н о к п е р ч а т о к " [2]).
Случай 1. Два игрока (1 и 2) имеют по одной правой перчатке, а
два остальных игрока (3 и 4) имеют по одной левой перчатке. Рыночная цена одной перчатки равна нулю, а цена одной пары (с одной правой и одной левой) равна единице.
Эта ситуация описывается игрой <N,>, где N={1,2,3,4},
(1,3)= (1,4)=(2,3)= (2,4)=(1,2,3)= (1,2,4)=(1,3,4)=(2,3,4)=1,
(1,2,3,4)=2,
(S) =0 для остальных S.
С-ядро (без учета избыточных ограничений) задается системой
x1 + x3 1,
x1 + x4 1,
x1 + x2 + x3 + x4 =2,
x2 + x3 1,
x  0.
Оно имеет две вершины
x 1 =(1, 1, 0 , 0) и
т.е. является отрезком.
x 2 =(0, 0, 1, 1),
x2 + x4 1,
12
Игра симметрична, поэтому цена Шепли
 =(1/2, 1/2, 1/2, 1/2)
совпадает с равномерным распределением прибыли,  - центр С-ядра.
Случай 2. Предположим теперь, что игрок 1 имеет две правые
перчатки, в то время как остальные игроки располагают прежними запасами. Тогда
(1,3)= (1,4)=(2,3)= (2,4)=(1,2,3)= (1,2,4) =(2,3,4)=1,
(1,3,4)=(1,2,3,4)=2,
(S) =0 для остальных S,
т.е. собственная прибыль коалиции {1,3,4} увеличилась на единицу.
С-ядро игры задается системой
x1 + x3 1,
x1 + x3 + x4 2,
x1 + x4 1,
x2 + x3 1,
x1 + x2 + x3 + x4 =2,
Оно состоит из единственного дележа
x2 + x4 1,,
x  0.
x 0 = (0, 0, 1, 1), при котором
всю прибыль делят владельцы левых перчаток.
Цена Шепли  =(7/12, 3/12, 7/12, 7/12) увеличивает долю первого,
третьего и четвертого игроков, чьи коалиционные возможности возросли, уменьшая долю второго игрока. В данном случае цена Шепли не
принадлежит С-ядру. Заметим, что рассмотренный пример иллюстрирует также немонотонность С-ядра.
В отличие от цены Шепли, N-ядро   (  1,...,  n ) всегда принадлежит непустому С-ядру. Оно занимает центральное место внутри Сядра.
Для определения N –ядра вводится понятие э к с ц е с с а
e( x, S )   xi  ( S ) ,
i S
который является "мерой неудовлетворенности" коалиции S дележом x .
13
Положительный (отрицательный) эксцесс e( x, S ) есть дополнительная
прибыль (убыток) коалиции S по сравнению с ее собственной возможностью ( S ) . Для каждой коалиции S желательно, чтобы значение
эксцесса e( x, S ) было как можно больше.
Каждому дележу x ставиться в соответствие в е к т о р э к с ц е с сов
e( x) = (e( x, S 1 ), e( x, S 2 ),..., e( x , S m )) ,
компонентами которого являются упорядоченные по неубыванию эксцессы собственных коалиций
e( x , S 1 )  e( x , S 2 )  . . .  e( x , S m ) ,
m  2n  2 ; S i  2 N \ N \  , i  1, m .
Ясно, что дележ x принадлежит С-ядру тогда и только тогда, когда его вектор эксцессов неотрицателен.
Вычислим, например, вектор эксцессов для цены Шепли
 =(7/12, 3/12, 7/12, 7/12) игры
"Р ы н о к п е р ч а т о к " (случай 2).
Определяем вначале эксцессы собственных коалиций
e(,{1}) = e(,{3}) = e(,{4}) =7/12, e(,{2}) =3/12,
e(,{1,3}) = e(,{1,4}) =2/12,
e(,{1,2}) =10/12,
e(,{2,3}) = e(,{2,4}) = 2/12,
e(,{3,4}) =14/12,
e(,{1,2,3}) = e(,{1,2,4}) =5/12,
e(,{1,3,4}) = 3/12,
e(,{2,3,4}) =5/12.
Упорядочивая эти величины по неубыванию получаем
e( ) =( e(,{1,3,4}) , e(,{2,3}) , e(,{2,4}) , e(,{1,3}) , e(,{1,4}) ,
e(,{2}) , e(,{1,2,3}) , e(,{1,2,4}) , e(,{2,3,4}) , e(,{1}) , e(,{3}) ,
e(,{4}) , e(,{1,2}) , e(,{3,4}) )=
=(3/12, 2/12, 2/12, 2/12, 2/12, 3/12, 5 /12, 5/12, 5/12, 7/12, 7/12, 7/12,
10/12, 14/12).
Вектор эксцессов единственной точки
этой же игры имеет вид
x 0 =(0, 0, 1, 1)
С-ядра
14
e( x 0 )  ( e( x 0 ,{1}), e( x 0 ,{2}), e( x 0 ,{1,2}), e( x 0 ,{1,3}), e( x 0 ,{1,4}),
e( x 0 ,{2,3}), e( x 0 ,{2,4}), e( x 0 ,{1,2,3}), e( x 0 ,{1,2,4}), e( x 0 ,{1,3,4}),
e( x 0 ,{3}), e( x 0 ,{4}), e( x 0 ,{3,4}) )=(0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 2).
На множестве E  {e( x ): x  D( )} векторов эксцессов дележей
игры Г вводится л е к с и к о г р а ф и ч е с к о е у п о р я д о ч е н и е  .
Говорят, что вектор e( x ) предшествует e( y ) (или e( y ) предпочтительнее e( x ) в смысле лексикографического порядка)
e( x )  e ( y ) ,
если существует такая коалиция S k , что
e( x , S i ) = e( y , S i ) , i  1, k  1 ,
e( x , S k ) < e ( y , S k ) .
Так, например, для вычисленных выше векторов эксцессов e( ) и
e( x 0 ) имеем e(  )  e( x 0 ) .
Доказано, что существует единственный дележ  , вектор эксцессов e(  ) которого предпочтительнее всех остальных векторов из E
e(  ) = lexmax e( x ) .
e( x ) E
(3)
Это и есть N-ядро.
Как и цена Шепли, N-ядро удовлетворяет аксиомам анонимности
и болвана, но не является коалиционно монотонным. Поэтому возможен
случай, когда увеличение величины (N) при сохранении прибылей
(S) всех остальных коалиций S  N, приводит к уменьшению доли
прибыли некоторых игроков. Это очень непривлекательное свойство,
т.к. если какие-либо игроки страдают в результате улучшений, то они
могут отказаться от участия и тем самым сделать невозможным улучшение ситуации.
15
Однако, для n 5 не существует такого значения кооперативной
игры, которое одновременно принадлежит С-ядру и является коалиционно монотонным (теорема Янга [2]).
10.7. Методы вычисления N -ядра
Если известны вершины
x 1 ,…, x c С-ядра, то N-ядро вычисля-
ется по формуле
c
 i  (  xij ) / c ,
j 1
i  1, n ,
т.е. является средним арифметическим вершин.
В примере
"Р ы н о к
п е р ч а т о к " (случай 1)
имеем
 =( x 1 + x 2 )/2=(1/2, 1/2, 1/2, 1/2), т.е. N-ядро совпадает с ценой Шепли. В примере "Р ы н о к п е р ч а т о к " (случай 2) С-ядро состоит из
единственной точки, которая является также и N-ядром  =(0, 0, 1, 1).
Если вершины С-ядра вычислить сложно или С-ядро пустое, то Nядро можно определить с помощью серии задач линейного программирования.
Из соотношения (3) вытекает, что вначале нужно определить
min e(  , S )  max [ min e( x, S )] ,
S N
x D(  ) S  N
т.е. максимизировать минимальную коалиционную прибыль. После
введения дополнительной переменной z получаем задачу
max z ,
(4)
z   xi  ( S ) , S  N,
(5)
 xi = ( N ) .
(6)
i S
i N
16
Если задача (4)-(6) имеет единственное решение, то соответствующий дележ есть N-ядро. В противном случае, нужно выбрать произвольное оптимальное решение ( z * , x* ) и определить множество коалиций ={ S 1 , ..., S l }, для которых неравенства (5) выполняются как
равенства при z = z * , x = x* .
Новая задача имеет вид
max z ,
z   xi  ( S ) ,
i S
z *   xi  ( S j ) ,
i S j
S  N, S ,
j  1, l ,
 xi = ( N ) ,
i N
т.е. максимизируется вторая по минимальности коалиционная прибыль.
Через конечное число шагов получается задача линейного программирования, имеющая N-ядро в качестве единственного решения.
П р и м е р 5 (Игра "М у с о р " [2]). У каждого из n игроков имеется мешок с мусором, который он должен выбросить во дворе у когото другого. "Полезность" одного мешка мусора равна (-1). При s < n,
s = S , участники коалиции S могут договориться не оставлять мусор
во дворе друг друга. Тогда при наихудшем для S исходе, все остальные
игроки принесут мусор во дворы членов коалиции. Для коалиции, содержащей всех игроков, такое соглашение, запрещающее выбрасывать
мусор, невозможно. Характеристическая функция игры имеет вид
s  0,
0,

( S )  ( n  s ), 0  s  n,
 n ,
s  n.

17
В этой симметричной игре нужно выяснить, смогут ли игроки достичь
соглашения о размещении мусора.
Известно, что С-ядро симметричной игры существует тогда и
только тогда, когда выполняется соотношение
( S ) / s  ( N ) / n , 1  s  n .
В рассматриваемой игре
поэтому получаем неравенство
( S ) / s  ( n  s) / s ,
( N ) / n  1,
(n – s)  s, 0< s < n. По предположе-
нию n >2, следовательно, С-ядро игры пустое (при любом соглашении
о распределении мусора найдется коалиция, которой будет выгодно его
нарушить).
Положим n =3, тогда
(1) = ( 2 ) = ( 3) = 2,
(1,2) = (1,3) = ( 2,3) = 1,
(1,2,3) = 3.
Для нахождения N-ядра решаем линейную задачу
max z ,
z  x1 + 2,
z  x2 + 2,
z  x3 + 2,
z  x1 + x3 +1,
z  x2 + x3 + 1,
z  x1 + x2 + 1,
x1 + x2 + x3 = 3.
Ее единственным оптимальным решением является вектор равномерного распределения  =(1, 1, 1). В данной игре N-ядро совпадает с ценой Шепли (почему?). Его можно интерпретировать следующим
образом: коалиционные интересы будут удовлетворены наилучшим образом, при "циклической" схеме размещения мешков с мусором, например, 1231.
При определении N-ядра рассматриваются эксцессы коалиций, но
не учитываются размеры коалиций. Поэтому единица прибыли для одного игрока расценивается так же, как и единица прибыли для его до-
18
полнения – коалиции из (n 1) игрока. Это может быть воспринято
участниками игры как несправедливость.
В некоторых играх, возможно, более предпочтительным окажется
понятие п р о п о р ц и о н а л ь н о г о N - я д р а , которое определяется через
с р е д н и е (в расчете на одного члена коалиции) э к с ц е с с ы
e( x , S ) 
1
S
e( x , S ) ,
S 2 N \ N \ 
(7)
и обладает теми же свойствами, что и N-ядро.
Если желательно увеличить прибыль больших коалиций, то можно
рассматривать
в з в е ш е н н о е N - я д р о , определенное через
взве-
шенные эксцессы
e~ ( x , S )  S e( x , S ) ,
S 2 N \ N \  .
(8)
Вообще эксцесс коалиции S можно представить в виде
e( x , S )  e( x , S ) / d ( S ) ,
где
d ( S ) >0 – нормирующий множитель. Соответствующее N-ядро
называется о б о б щ е н н ы м N - я д р о м . Обобщенное N-ядро также не
является коалиционно монотонным.
10.8. Выпуклые игры
Существует важный класс игр, в которых С-ядро не пусто, цена
Шепли принадлежит С-ядру, а вершины С-ядра определяются явным
образом. Это выпуклые игры.
Кооперативная игра называется в ы п у к л о й , если ее характеристическая функция удовлетворяет одному из двух эквивалентных
свойств
S1  S 2

( S 1  {i })  ( S 1 )  ( S 2  {i })  ( S 2 )
(9)
19
или
( S 1 )  ( S 2 )  ( S 1  S 2 )  ( S 1  S 2 ),
S1, S 2  N .
(10)
Условие (9) означает, что чем больше коалиция, к которой присоединяется игрок i , тем больше его вклад в эту коалицию.
Функция множеств  , удовлетворяющая условию (10) называется в ы п у к л о й (или с у п е р м о д у л я р н о й ). Это название связано с
тем,
что
при
фиксированном
S2
"первая
разность"
[ ( S 1  S 2 )  ( S 1 ) ] выпуклой функции множеств  , монотонно неубывает по S 1 аналогично монотонному неубыванию по x "первой
разности" [ f ( x  y )  f ( x )] выпуклой вещественной функции f при
фиксированном y .
В
частности,
из
монотонного
нубывания
величины
( S 1  {i })  ( S 1 ) вытекает стремление всех игроков к образования
максимальной коалиции, что обеспечивает существование С-ядра (доказательство существования С-ядра выпуклой игры дано в [4]).
В экономических игровых моделях выпуклость, грубо говоря,
означает возрастание темпа роста собственного дохода коалиции при
увеличении ее мощности (возрастание доходов на масштаб).
Заметим, что для непересекающихся коалиций, свойство (10) совпадает с условием супераддитивности.
Пусть   (i1 , ..., in ) – перестановка N. Доказано [2], что вектор
x(  )  ( xi1 , ..., xin ) , компонентами которого являются вклады игроков
xik  (i1 , ..., ik )  (i1, ..., ik 1 ) ,
k  1, n ,
(11)
является вершиной С-ядра.
Таким образом, С-ядро выпуклой игры может иметь n! вершин.
20
П р и м е р 6 . Рассмотрим выпуклую игру трех лиц:
(1) =5, ( 2 ) =3, ( 3) =1, (1,2) =8, (1,3) =6, ( 2,3) =4, (1,2,3) =9.
Ее С-ядро определяется системой
x1  5,
x2  3,
x1 + x3  6,
Пусть
x3  1,
x2 + x3  4,
x1 + x2  8,
x1 + x2 + x3 = 9.
1 =(1,2,3) – тождественная перестановка множества
N={1,2,3}. Тогда из (11) получаем
x11 = (1)  (  ) =5,
x21 = (1,2)  (1) =3,
x 31 = (1,2,3)  (1,2) =1.
Следовательно, перестановке 1 соответствует вершина x 1 =(5, 3, 1).
Рассмотрев другую перестановку  2 =(1,3,2), получаем
x12 = (1)  (  ) =5,
x32 = (1,3)  (1) =1,
x22 = (1,2,3)  (1,3) =3,
т.е. x 1 = x 2 . Перебирая остальные перестановки, получаем что все они
определяют одну и туже точку. Следовательно, С-ядро состоит из единственного дележа
(5, 3, 1).
Существует достаточное условие, при котором С-ядро имеет точно n! вершин: если характеристическая функция игры удовлетворяет
условию
( S 1 )  ( S 2 )  ( S 1  S 2 )  ( S 1  S 2 ),
для
S 1 \ S 2  , S 2 \ S 1   , то все дележи (11) различны [4].
П р и м е р 7 . Пусть N={1,2,3},
(1) = ( 2 ) = ( 3) =2,
(1,2) = (1,3) = ( 2,3) =5,
(1,2,3) =9.
Эта игра удовлетворяет (12), ее С-ядро определяется системой
x1  2,
x2  2,
x1 + x3  5,
x3  2,
x2 + x3  5,
x1 + x2  5,
x1 + x2 + x3 = 9,
(12)
21
после преобразования которой получим множество, изображенное на
рис.2. Все перестановки и соответствующие им вершины С-ядра приведены в таблице 1.
Рис.2. С-ядро выпуклой игры.
Таблица 1
Перестановка
Вершина
1 =(1,2,3)
x 1 =(2,3,4)
 2 =(1,3,2)
x 2 =(2,4,3)
 3 =(2,1,3)
x 3 =(3,2,4)
 4 =(2,3,1)
x 4 =(4,2,3)
 5 =(3,1,2)
x 5 =(3,4,2)
 6 =(3,2,1)
x 6 =(4,3,2)
22
10.9. Упражнения
1. Показать, что соотношение (2) действительно задает характеристическую функцию игры "О з е р о ". Доказать супераддитивность этой
функции.
2. Выполнить (0,1)-нормализацию игры "О з е р о " для
А=1, В =2.
А=2, В=3 и
3. Доказать, что игра "О з е р о " всегда имеет непустое С-ядро.
4. Вычислить цену Шепли для игры "О з е р о " при n =4, А =1, В =2.
5. Существует
ли
С-ядро
у
следующей
симметричной
игры:
( S )  [ S / 2] , где [x]-целая часть числа x ?.
6. Описать игру пяти лиц, в которой три игрока (1, 2 и 3) имеют по одной правой перчатке, а два других игрока (4 и 5) имеют по одной левой перчатке. Рыночные цены перчаток такие же, как и в примере 4.
Является ли данная игра выпуклой? Определить все вершины С-ядра,
вычислить цену Шепли и N–ядро.
7. Описать характеристическую функцию игры "Р ы н о к п е р ч а т о к " ,
если N={1,..,n}; L, P –подмножества владельцев левых и правых
перчаток, L  P =N , L  P=.
8. Вычислить и сравнить векторы эксцессов дележей игры "М у с о р "
для n=3: (1, 1, 1), (1/2, 1/2, 2), (1/2, 2, 1/2), (2, 1/2, 1/2).
Дать содержательную интерпретацию второго дележа.
9. Определить (0,1)-нормальную форму игры "М у с о р " для n =4.
10. Доказать, что игра трех лиц "М у с о р " эквивалентна взвешенной
мажоритарной игре (2; 1,1,1).
11. Вычислить цену Шепли для простой игры пяти лиц с выигрывающими коалициями {1,2},{1,3},{1,4},{1,5},{2,3,4,5}.
23
Индивидуальные задания
З а д а н и е 1 . Проверить супераддитивность игры трех лиц, приведенной в таблице 2.
Таблица 2
№
варианта
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
(1)
1
1
2
2
3
3
0
0
1
1
(2)
2
3
1
3
1
2
1
2
0
2
(3)
3
2
3
1
2
1
2
1
2
0
(1,2)
3
6
4
5
6
6
1
4
2
3
(1,3)
5
3
7
5
5
6
3
1
5
2
(2,3)
7
6
4
5
4
3
5
4
2
4
(1,2,3)
9
8
10
10
9
11
6
7
8
5
З а д а н и е 2 . Выполнить (0,1)-нормализацию игры трех лиц, приведенной в таблице 2.
З а д а н и е 3 . Используя графический метод нахождения вершин
многогранника, определить параметрическое представление С-ядра игры трех лиц, приведенной в таблице 2. Проверить, принадлежат ли
С-ядру
вектор
равномерного
распределения
прибыли
x  ( ( N ) / n, ..., ( N ) / n ) и равномерного распределения дополнительного дохода x~  ([ ( N )   (i )] / n, ...,[ ( N )   (i )] / n ) .
i N
i N
З а д а н и е 4 . Существует ли С-ядро у взвешенной мажоритарной
игры пяти лиц, приведенной в таблице 3 ?
З а д а н и е 5 . В игре "О з е р о " (три предприятия) определить
диапазоны изменения выигрышей игроков для дележей из С-ядра. Вы-
24
числить цену Шепли и N–ядро. Значения параметров А и В даны в
таблице 4.
Таблица 3
№ варианта
Игра
1
(9; 4, 3, 2, 1, 1)
(10; 5, 3, 3, 1, 1)
(8; 4, 3, 2, 1, 1)
(7; 3, 2, 1, 1, 1)
(11; 5, 4, 2, 1, 1)
(12; 4, 4, 4, 1, 1)
(11; 5, 4, 3, 1, 1)
(13; 5, 5, 3, 3, 1)
(14; 6, 4, 4, 3, 1)
(14; 5, 4, 4, 3, 1)
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Таблица 4
№
варианта
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
А
10
15
9
12
17
11
12
14
13
10
В
20
32
22
27
40
26
30
36
28
25
Таблица 5
№ варианта
Набор подмножеств
1
{1,2},{1,3,4,5},{2,3,4,5}
{1,4},{1,5},{1,2,3},{2,3,4,5}
{1,2},{2,3,4},{1,3,4,5},{2,3,4,5}
{1,4,5},{2,3,4},{1,2,3,5}
{1,2,4},{1,3,5},{2,3,4,5}
{1,2,5},{2,3,4},{1,3,4,5}
{2,3,4},{1,3,4,5},{1,2,4,5},{1,2,3,5}
{1,3},{1,2,4},{1,4,5},{2,3,5},{2,3,4,5}
{1,2},{1,3},{1,4,5},{2,3,4,5}
{1,2},{1,5},{2,4,5},{2,3,5},{1,3,4}
2
3
4
5
6
7
8
9
10
25
З а д а н и е 6 . Вычислить цену Шепли и N–ядро взвешенной мажоритарной игры, приведенной в таблице 3. Если эти значения не совпадают, то определить, для каких игроков цена Шепли является предпочтительней, чем N–ядро, а каких игроков цена Шепли "наказывает"?
Сравните цену Шепли с "вектором голосования". Какие из игроков
имеют силу (относительно цены Шепли) превышающую их долю голосов? Для игры с непустым С-ядром (см. задание 4) проверить, принадлежит ли ему цена Шепли. Если цена Шепли не принадлежит непустому С-ядру, то определить коалиции, которые будут возражать против
такого дележа.
З а д а н и е 7 . Является ли заданный в таблице 5 набор подмножеств множества N ={1,…,5} минимальным сбалансированным покрытием для игры пяти лиц? Если является, то записать соответствующее
необходимое условие существования С-ядра этой игры.
Литература
1. Робертс Ф.С. Дискретные математические модели с приложениями
к социологическим, биологическим и экологическим задачам. М.,
1986.
2. Мулен Э. Кооперативное принятие решений: аксиомы и модели. М.,
1991.
3. Оуэн Г. Теория игр. М., 1971.
4. Розенмюллер И. Кооперативные игры и рынки. М., 1974.
5. Черников С.Н. Линейные неравенства. М., 1968.
6. Мулен Э. Теория игр с примерами из математической экономики. М.,
1985.
7. Воробьев Н.Н. Теория игр для экономистов-кибернетиков. М., 1985.
8. Нейман Дж., Моргенштерн О. Теория игр и экономическое поведение. М.,1970.