заданий.

1 курс ФК, АФК
Основная литература
1. Киркинский А.С. Математический анализ. – М.: Академический Проект, 2006. – 525 с.
2. Киркинский А.С. Линейная алгебра и аналитическая геометрия. – М.: Академический
Проект, 2006. – 256 с.
Дополнительная литература
1. Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. – М: Наука, 2001. – 872 с.
2. Ильин В.А., Поздняк Э.Г. Основы математического анализа. Ч.1 – М.: Наука, 1998. 616
с.
3. Ильин В.А. Линейная алгебра: М.: Наука, 2002, 356 с.
4. Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике: Полный курс. 2-е издание. –
М.: Айрис-пресс, 2004. – 608 с.
5. Кудрявцев Л.Д. Математический анализ. Т.1. – М.: МГУ, 2002. – 403 с.
6. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 1. – М.:
Наука, 1969. – 608 с.
7. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление. Т. 1. – М.: Наука, 1985. –
432 с.
8. Морозов В.Д. Введение в анализ. – М.: МГТУ им. Н.Э. Баумана. 1996. – 408 с.
Тема 1. Матрицы и определители. Системы линейных уравнений
1. Определитель
после приведения к треугольному виду и применения
теоремы Лапласа к первому столбцу может быть записан в виде …
Решение
Применим элементарные преобразования с целью приведения к треугольному виду:
.
Разложение по одной строке или столбцу есть частный случай теоремы Лапласа о
разложении определителя по нескольким строкам или столбцам. Теперь разложим
определитель в последней записи по первому
столбцу:
2. Дана матрица
.
. Если
– единичная матрица того же размера, что и
матрица , то матрица
равна …
Решение
Матрица С находится следующим образом:
.
3. Даны клеточные матрицы
блоков
–
и
–
,
.Размерность
. Если произведение клеточных матриц
и
существует, то число строк в блоках
равно…
Решение
При умножении блочных матриц можно оперировать с блоками как с отдельными
элементами, не забывая, что каждый элемент также является матрицей. Ограничение на
размерность правой матрицы-множителя при произведении матриц – совпадение числа
строк с числом столбцов левой матрицы-множителя, ограничений на число столбцов
правой матрицы нет. Поэтому исходя из размерностей
строк
равно 3,
4. Дана матрица
представлена в виде …
Решение
и
число
– 2.
, где
. Тогда обратная матрица
может быть
Матрица
называется обратной к квадратной матрице А , если
где Е – единичная матрица.
,
Обратная матрица может быть найдена по формуле
алгебраическое дополнение элемента матрицы
Находим:
Следовательно,
,
,
, где
и
–
.
,
,
.
.
5. Если для системы уравнений
реализовать прямой ход метода Гаусса, то в итоге получится система уравнений …
Решение
Построим расширенную матрицу исходной системы уравнений
и все необходимые преобразования будем применять к этой и последующим матрицам.
К строке 2 прибавим строку 1, умноженную на (-2), а из строки 3 вычтем строку 1.
Получим матрицу, эквивалентную исходной матрице
.
Строку 1 разделим на 2, а строку 2 разделим на (-7), тогда
.
К строке 3 прибавим строку 2, умноженную на 2, тогда
.
Прямой ход метода Гаусса завершён, матрица приведена к трапецеидальному виду. По
последней матрице восстанавливаем систему уравнений (треугольного вида),
равносильную исходной системе
Тема 2. Векторная алгебра. Аналитическая геометрия
1. Даны векторы
этих векторов равна …
Решение
. Тогда линейная комбинация
2. Точки
и
лежат на одной прямой, параллельной оси абсцисс.
Расстояние между точками А и М равно 5. Тогда отрицательные координаты точки М
равны …
Решение
Для точек, лежащих на одной прямой, параллельной оси OX, выполняется условие: их
ординаты равны. Следовательно,
точками
и
и
. Расстояние между двумя
находится по формуле:
. Тогда расстояние между точками А и M можно
найти как:
Из условия
.
, получаем
или
.
3. С помощью преобразования параллельного переноса осей координат уравнение
кривой
приводится к каноническому виду…
Решение
Выделяя полные квадраты относительно переменных и ,
получим:
;
;
.
Следовательно,
. Тогда координаты центра кривой есть
.
Выполним преобразование параллельного переноса системы координат в центр линии, то
есть в точку
координаты.
, по формулам
;
Тогда уравнение кривой в новой системе координат
Это каноническое уравнение гиперболы.
4. Прямая
и плоскость
при значениях m и С, равных …
, где
– новые
примет вид
.
перпендикулярны
Решение
Условие перпендикулярности прямой
плоскости
Отсюда
и
имеет вид:
;
или
5. Уравнение
Решение
или
.
является …
Уравнение
можно представить в виде:
, где
.
Поэтому оно является уравнением Бернулли.
. Действительно,
.
Тема 3. Элементы математического анализа
1. Общее решение дифференциального уравнения
вид …
Решение
Разделим переменные
Тогда
вид
и проинтегрируем
, где
,
при
.
или
, и общее решение примет
.
2. Общее решение дифференциального уравнения
Решение
Уравнение
Введем замену
Тогда уравнение
Пусть
имеет вид …
перепишем в виде
вид
имеет
примет
или
Тогда
уравнение
и
Подставив найденное значение u в
получим
и
Окончательное решение имеет вид
3. Решение задачи Коши
Решение
Уравнение можно привести к виду
После разделения переменных получим
как
имеем
имеет вид …
,
.
, откуда
, в левой части
.
. Так
Таким образом, общий интеграл уравнения имеет вид
.
Используя начальное условие
, т.е.
, найдем
интеграл имеет вид
. Таким образом, частный
. Из найденного частного интеграла, выполнив
преобразования
, получаем искомое частное
,
решение
.
4. Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения второго
порядка
Решение
имеет вид …
Составим характеристическое уравнение
его:
и решим
. Тогда фундаментальная система решений примет вид
,
а общее решение примет вид
, где
5. Общий вид частного решения
.
линейного неоднородного дифференциального
уравнения второго порядка
Решение
будет выглядеть как …
Общее решение этого уравнения можно записать в виде
функция
– общее решение однородного уравнения
функция
где
а
– некоторое частное решение исходного неоднородного уравнения.
Для однородного уравнения составим характеристическое уравнение
найдем его корни:
и
Тогда общее решение однородного уравнения будет
иметь вид
Поскольку правая часть исходного уравнения
уравнение со специальной правой частью.
Так как
то имеем
является корнем характеристического уравнения, то частное решение
неоднородного уравнения будем искать в виде
6. Общее решение системы дифференциальных уравнений
имеет вид …
Решение
Решим систему уравнений методом исключения.
Из первого уравнения имеем
и, после подстановки выражений для
и
во
второе уравнение системы, получим линейное дифференциальное уравнение 2-го
порядка
.
Характеристическое уравнение
корень
имеет один действительный
кратности 2. Такому корню соответствует общее решение однородного
дифференциального уравнения
. Дифференцируя полученное решение,
находим
.
Тогда общее решение системы уравнений имеет вид
.
Вопросы к экзамену по математике
1. Матрицы. Сложение и умножение матриц. Элементарные преобразования.
Примеры.
2. Определители матриц второго и третьего порядков. Их свойства. Примеры
вычислений определителей.
3. Векторы. Сумма векторов. Умножение вектора на число.
4. Скалярное произведение векторов. Определение. Вычисление в координатах.
Применение скалярного произведения.
5. Векторное произведение векторов. Определение. Геометрический смысл его
модуля.
6. Смешанное произведение векторов. Его смысл.
7. Системы линейных уравнений их способы решений. Примеры.
8. Системы координат на плоскости: аффинная, прямоугольная, полярная. Решение
простейших задач.
9. Уравнения прямой. Взаимное расположение двух прямых на плоскости.
10. Расстояние от точки до прямой. Примеры.
11. Угол между двумя прямыми. Примеры.
12. Окружность и ее уравнение.
13. Эллипс. Определение. Каноническое уравнение. Изображение эллипса.
14. Гипербола. Определение. Каноническое уравнение. Изображение эллипса.
15. Парабола. Определение. Каноническое уравнение. Изображение эллипса.
16. Функция. Способы задания функции. Область определения. Область значений.
Обратная функция.
17. Четность и нечетность функции. Монотонные функции.
18. Основные элементарные функции и их графики.
19. Последовательность. Предел последовательности. Примеры.
20. Предел функции. Непрерывность функции. Примеры непрерывных функций и
функций, имеющих разрывы.
21. Производные первого и второго порядков. Производная суммы, произведения,
частного двух функций. Таблицы производных.
22. Промежутки возрастания и убывания функции. Точки экстремума. Выпуклость.
23. Дифференциал. Приближенное вычисление значений функции в точке. Примеры.
24. Дифференцирование известных функций. Первообразная.
25. Первообразная функция. Определенный интеграл. Истолкование определенного
интеграла. Таблица основных интегралов.
26. Простейшие способы вычислений интегралов. Примеры.
27. Дифференциальные уравнения первого порядка. Задачи, приводящие к ним.
28. Уравнение с разделяющимися переменными. Примеры.
29. Метод вариации произвольной постоянной. Примеры.
30. Простейшие дифференциальные уравнения второго порядка.
Контрольная работа по математике
Образцы с решениями
Пример 1. Даны матрицы:
 3  4
 1 5 
A
, B  
 . Найти матрицу AB  BA .
2 5 
  2  3
Решение. По правилу действия над матрицами
27 
 3  4   1 5   3   1   4   2 3  5   4   3   5
AB  



.
2  5  5   3    12  5 
 2 5   2  3   2   1  5   2
29 
  1 5  3  4    3  10 4  25   7
BA  



.
  2  3  2 5    6  6 8  15    12  7 
27   7
29  
57
27  29    2  2 
 5
AB  BA  



.
2 
  12  5    12  7    12   12   5   7    0
2 5
3

Пример 2. Вычислить определитель 7  2 4 .


 1 2 8
Решение. Вычислим определитель, разлагая его, например, по первой строке
2 5
3
 7  2 4  3  2 4  2 7 4  5 7  2  3 16  8  256  4  514  2  132 .


2 8
1 8
1 2
 1 2 8
Пример 3. Решить систему уравнений методом Крамера:
2 x1  x2  x3  2 ,
x1  3 x2  x3  5,
x1  x2  5 x3  7.
Решение. Найдем определитель основной матрицы:
 2 1 1
  1 3 1  22. Так как   0 , то система крамеровская. Найдем вспомогательные


1 1 5
определители
 2 1 1
 2 2 1
 2 1 2




1  5 3 1  22 ,  2  1 5 1  44 ,  2  1 3 5  44 .






7 1 5
1 7 5
1 1 7



Значит, x1  1  1, x2  2  2, x3  3  2 .




 



Пример 4. Проверить, что векторы a  3i  5 j , b  5i  8 j линейно независимы.

 
 
Разложить вектор c  i  3 j по векторам a и b .
Решение. Система, состоящая из двух векторов, линейно зависима тогда и только
тогда, когда эти векторы коллинеарны или координаты векторов пропорциональны, или
определитель, составленный из координат векторов равен нулю.


3
5

Координаты векторов a и b не пропорциональны:
, следовательно, система
5 8
 
a , b линейно независима, значит, наплоскости они образуют базис. Поэтому вектор


c можно разложить по векторам a и b .

 
Разложить векторов c по векторам a и b означает: найти числа , такие, что



c  a   b .
Или
в
координатной
форме:
1, 3  3, 5  5, 8  3  5, 5  8 . Так как два вектора равны тогда и
только тогда, когда у них равны соответствующие координаты, то имеем систему
уравнений
 3  5  1,

 5  8  3.
Решая ее по методу Крамера, находим:
1
5
3
1



3 8
5 3

 7,  
 4 . Таким образом, c  7a  5b .
3
5
3
5
5 8
5 8


Пример 5. Найти угол  между векторами a1,0,1 и b 1,1,1 в трехмерном
пространстве.
  
Решение. По определению скалярного произведению векторов ab  a b cos  .
Отсюда

ab
cos     
ab
a1b1  a2b2  a1b1
1 1  0 1  1 1
2


.
2
2
2
2
2
1 0 1 111
6
a  a2  a3 b1  b2  b3
Значит,
2
1
2
.
6
Пример 6. Найти площадь треугольника ABC , если A3,1,7 , B5,0,5, C8,2,11 .
Решение. Треугольник ABC составляет половину трапеции ABCD . Найдем
координаты векторов AB5  3,0   1, 7  7 , AC 8  3,2   1, 11  7  , то есть,
  arccos
AB 2,1, 0, AC 5,3, 4 . Как известно, модуль векторного произведения
векторов равен площади параллелограмма, построенного на векторах, как на сторонах.
Найдем векторное произведение векторов:
  
i j k

 
1 0 2 0  2 1 
AB , AC  2 1 0 
i
j
k  4i  8 j  k .
3 4
5 4
5 3
5 3 4






1
9
AB , AC  .
2
2
Пример 7. Найти объем пирамиды, вершины которой находятся в точках
A2,1,0, B4,1,1 , C2,2,3, D1,3,1 .
Тогда AB , AC  42  82  11  9 . Площадь треугольника S 
AB2,2, 1, AC 0,3, 3, AD 1,3, 3 .
Решение. Найдем координаты векторов
Вычислим смешанное произведение векторов
2 2 1
AB , AC , AD  0 3 3  3 . Как известно, модуль смешанного произведения трех
1 3 3
векторов равен объему параллелепипеда, построенного на векторах как на сторонах. А


объем пирамиды составляет шестую часть объема параллелепипеда, поэтому объем
1
1
пирамиды ABCD равен   3  .
6
2
Пример 8. Написать уравнение прямой, проходящей через точки A2,4,5 и
B3,12,1 .
Решение. Каноническое уравнение прямой, заданной двумя точками имеет вид
x  x1
y  y1
z  z1


. Подставив координаты данных точек в это уравнение,
x2  x1 y2  y1 z2  z1
x2
y4
z5
x2 y4 z5




получим
, то есть,
.
3  2  12  4  1  5
1
8
4
Пример 9. Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую
x4 y3 z

 и точку A3,1,2 .
5
2
1
Решение. Из уравнения прямой видно, что она задается точкой B4,3,0 и

вектором b 5,2 ,1 . Найдем координаты вектора AB1,4 ,2  .
Уравнение плоскости, заданной точкой и двумя векторами, имеет вид
 x  x0 a1 b1 
 y  y a b   0. Подставив данные из задачи, получим уравнение искомой
0
2
2 

 z  z0 a3 b30 
плоскости
 x  3 1 5
 y  1  4 2  0 . Или разложив определитель по первому столбцу, имеем


 z  2 2 1 
 8 x  3  9 y  1  22 z  2  0 или  8 x  9 y  22 z  13  0 .
1  cos 6 x
Пример 10. Вычислить предел lim
.
x 0
x2
0
Решение. Это неопределенность вида , в которых участвуют тригонометрические
0
функции. Такие неопределенности часто раскрываются с помощью первого
sin x
 1.
замечательного предела lim
x 0
x
2
1  cos 6 x  0 
2 sin 2 3x
2 sin 2 3x
sin 3x 

lim
    lim
 2  9  lim
 18  lim 
  18 .
x 0
x 0
x 0 3x 
x2
9x2
 0  x 0 x 2
Пример 11. Найти производную функции y  x . Чему равно значение y9 ?
Решение. Перепишем функцию в другом виде y  x  x1 / 2 . По таблице
производных находим: если y  x , то y  x   1 . В рассматриваем случае
1
1
1
y  1 / 2 x 1 / 2 
 .
. Отсюда при x  9 имеем y9  
2 x
2 9 6
Пример 12. Найти: а) промежутки возрастания и убывания; б) экстремумы
функции; в) промежутки выпуклости и вогнутости, точки перегиба следующей функции:
 x  13
f x 
.
 x  12

  x  13  3 x  12  x  12  2 x  1 x  13  x  12  x  5
 

Решение. f  x   
.
2 
 x  14
 x  13
  x  1 
Отсюда видим, что производная равна нулю в точках x  1 , x  5 и не существует
при x  1 . Функция определена только в точке x  5 . Так как в этой точке производная
функции меняет знак с минуса на плюс, то это точка – точка минимума (экстремум). В
промежутках  ,1,  1,1 и 5, производная положительна, значит, функция
возрастает; а в промежутке 1,5 производная отрицательна, значит, функция убывает.
в) Найдем производную второго порядка


  x  12  x  5   x  12  x  5  x  13  3 x  12  x  12  x  5 24 x  1
 
f  x   

.
3
 x  16
 x  14
  x  1

Замечаем, вторая производная равна нулю в точке x  1 и не существует при x  1 . Эти
точки разбивают всю числовую прямую на три области  ,1,  1,1 и 1, . В первом
и третьем промежутках вторая производная отрицательна, а во втором промежутке –
положительна. Следовательно, в первом и третьем промежутках функция вогнута, а во
втором промежутке функция выпукла. В точке x  1 функция f  x  определена, и вторая
производная при переходе через эту точку меняет знак с плюса на минус, следовательно,
точка x  1 есть точка перегиба.
Пример 13. Вычислить интеграл:
2 x  32
ex
dx ; б)   sin 3 x  cos 5 x dx ; в) 
а) 
dx .
x
5  e2 x
Решение. а) Преобразуем подынтегральное выражение, воспользуемся свойством
линейности интеграла:
2 x  32
4 x 2  12 x  9
dx

dx  4 x 3 / 2 dx  12 x1 / 2 dx  9 x 1 / 2 dx .
 x

x
x  1
Все полученные интегралы – табличные:  x  dx 
 C . Поэтому
 1
2 x  32
8 5/ 2
3/ 2
1/ 2
 x dx  5 x  8x  18x  C .
б) Преобразуем интеграл, используя прием введения под знак дифференциала
1
1
 sin 3x  cos 5x dx   sin 3xdx   cos 5xdx  3  sin 3xd3x   5  cos 5xd5x  .
Полученные интегралы снова табличные. Применяя табличные формулы, получим
1
1
1
1
 sin 3x  cos 5x dx  3  sin 3xd3x   5  cos 5 xd5x    3 cos 3x  5 sin 5x +С.
в) Заметим, что e x dx  d e x ,e2 x  e x  . Произведем замену переменной t  e x :
2
ex
t
1
t
1
ex
dx

dt

arctg

C

arctg
 C.
 5  e2 x
 5  t2
5
5
5
5
Вариант 1.
1. Даны матрицы:
  3 4
 1 5
A
, B  
 . Найти матрицу AB  A .
  2 5
  2 3
  3 6  5
2. Вычислить определитель  7  2 4  .


  1  2 8 
3. Решить систему уравнений методом Крамера:
2 x1  3 x2  x3  4,
x1  3 x2  x3  3,
x1  x2  5 x3  3.

 



4. Проверить, что векторы a  6i  5 j , b  10i  8 j линейно независимы. Разложить

 
 
вектор c  i  3 j по векторам a и b .


5. Найти угол  между векторами a 1,0,1 и b  1,1,1 в трехмерном
пространстве.
6. Найти площадь треугольника ABC , если A13,1,7 , B 5,1,5, C 8,2, 11 .
7. Найти объем пирамиды, вершины которой находятся в точках
A 2,1,0, B 4,1,1 , C2,2,3, D1,3,1 .
8. Написать уравнение прямой, проходящей через точки A6,14,5 и B3,12,1 .
x4 y 3 z 3


9. Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую
2
7
1
и точку A 3,1,2 .
1  cos 6 x
10. Вычислить предел lim
.
x 0
x2
11. Найти производную функции y  x3 / 2 . Чему равно значение y9 ?
12. Найти: а) промежутки возрастания и убывания; б) экстремумы функции; в)
промежутки выпуклости и вогнутости, точки перегиба следующей функции:
 x  113
f x 
.
 x  12
13. Вычислить интеграл:
 x  32
2e x
а)  3 / 2 dx ; б)   sin 2 x  cos 4 x dx ; в) 
dx .
x
 5  e2 x
Вариант 2.
1. Даны матрицы:
 3  4
  1  5
A
, B  
 . Найти матрицу A  BA .
 2  5
 2 3 
2
5
4
2. Вычислить определитель  7  2  4 .


8 
  1 2
3. Решить систему уравнений методом Крамера:
2 x1  x2  x3  0,
x1  3 x2  x3  3,
x1  x2  5 x3  5.

 



4. Проверить, что векторы a  3i  5 j , b  5i  8 j линейно независимы. Разложить

 
 
вектор c  i  3 j по векторам a и b .


5. Найти угол  между векторами a3,0,4 и b  1,4,1 в трехмерном пространстве.
6. Найти площадь треугольника ABC , если A 3,1,9 , B5,2, 5, C1,2, 11 .
7. Найти объем пирамиды, вершины которой находятся в точках A2,11,4, B 4,1,3 ,
C2, 2,3, D12,3,1 .
8. Написать уравнение прямой, проходящей через точки A12,4,5 и B3,12,5 .
9. Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую
и точку A 3,1,2 .
x4 y3 z2


3
2
5
1  cos 4 x
.
x2
11. Найти производную функции y  x5 / 2 . Чему равно значение y4 ?
12. Найти: а) промежутки возрастания и убывания; б) экстремумы функции; в)
промежутки выпуклости и вогнутости, точки перегиба следующей функции:
 x  12
.
f  x 
 x  1
13. Вычислить интеграл:
 x  32
4e x
а)  3 / 2 dx ; б)   sin 3 x  cos 7 x dx ; в) 
dx .
x
3  e2 x
10. Вычислить предел lim
x 0
Вариант 3.
1. Даны матрицы:
 3 4
 1 5 
A
, B 
 . Найти матрицу AB  A .
 2 5 
 2 3 
 3 6 5
2. Вычислить определитель  7 2 4  .


 1 2 8
3. Решить систему уравнений методом Крамера:
2 x1  3x2  x3  4,
x1  3x2  x3  3,
x1  x2  5 x3  3.
4. Проверить, что векторы a  3i  5 j , b  10i  8 j линейно независимы. Разложить

 
 
вектор c  i  3 j по векторам a и b .
5. Найти угол  между векторами a  1,0,  1 и b  1,  1,1 в трехмерном
пространстве.
6. Найти площадь треугольника ABC , если A 13,1, 7  , B  5,1,5 , C  8, 2,11 .
7. Найти объем пирамиды, вершины которой находятся в точках
A  2,1,0  ,B  4,1,1 , C2,2,3, D1,3,1 .
8. Написать
уравнение прямой, проходящей
через
точки
A  6,14,5
и
B  3, 12, 1 .
9. Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую
и точку A 3,1,2 .
x 4 y 3 z 3


2
7
1
1  cos2 x
.
x2
11. Найти производную функции y  x 3 / 2 . Чему равно значение y  3 ?
12. Найти: а) промежутки возрастания и убывания; б) экстремумы функции; в)
промежутки выпуклости и вогнутости, точки перегиба следующей функции:
10. Вычислить предел lim
x 0
 x  11
f  x 
2
 x  1
3
.
13. Вычислить интеграл:
а)

 x  3
x 3 / 2
2
2e x
dx .
dx ; б)   cos2 x  cos4 x  dx ; в) 
3  e2 x
Вариант 5.
1. Даны матрицы:
 3 4
 1 5 
A
, B  
 . Найти матрицу AB  A .
 2 5
 2 3 
 3 6 5
2. Вычислить определитель  7 2 4  .


 1 2 8 
3. Решить систему уравнений методом Крамера:
2 x1  3x2  x3  4,
x1  3x2  x3  3,
x1  x2  5 x3  3.
4. Проверить, что векторы a  3i  4 j , b  10i  8 j линейно независимы. Разложить

 
 
вектор c  i  3 j по векторам a и b .
5. Найти угол  между векторами a  1,0,  1 и b  1,  1,1 в трехмерном
пространстве.
6. Найти площадь треугольника ABC , если A  13,1, 7  , B  5,1,5 , C 8, 2, 11 .
7. Найти объем пирамиды, вершины которой находятся в точках
A 2,1,0, B 4,1,1 , C  2, 2,3 , D 1,  3,1 .
8. Написать уравнение прямой, проходящей через точки A6,14,5 и B3,12,1 .
x 4 y 3 z 3


9. Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую
2
7
1
и точку A 3,1,2 .
1  cos 4 x
10. Вычислить предел lim
.
x 0
x2
11. Найти производную функции y  x3 / 2 . Чему равно значение y9 ?
12. Найти: а) промежутки возрастания и убывания; б) экстремумы функции; в)
промежутки выпуклости и вогнутости, точки перегиба следующей функции:
 x  113
f x 
.
 x  12
13. Вычислить интеграл:
2e x
 x  32
dx .
а)  3 / 2 dx ; б)   sin2 x  cos4 x  dx ; в) 
x
3  e2 x