13.4.5. Теорема Умова–Пойнтинга Как уже отмечалось в начале раздела 13.1, электромагнитное поле является носителем определенного количества энергии и с его помощью может осуществляться передача энергии на расстояние. Запас энергии в некотором объеме V можно подсчитать с учетом соотношения (13.8): 1 DE BH 2 2 W wЭМ dV dV (ε a E μ a H )dV . 2 2V V V 2 Этот запас непрерывно изменяется во времени со скоростью W E H εaE μaH dV . t V t t Если изменение происходит за счет токов проводимости и смещения, плотность которых без учета тока переноса определяется по (13.5), то из уравнений Максвелла (13.10) следует: E D H B a δ E [H] E, a [E] . t t t t Таким образом, подынтегральное выражение в предыдущей формуле можно представить в виде: E H aE aH E[H] H[E] E 2 . t t Первые два слагаемых правой части с обратным знаком являются не чем иным, как результатом вычисления дивергенции векторного произведения [EH]. Действительно, обращаясь с оператором «набла» как с вектором, но не забывая, что он одновременно и символ дифференцирования, можно записать: [EH] = E[H] + H[E] = H[E] – E[H]. Поэтому выражение скорости изменения энергии в объеме V W можно записать в виде: E 2 dV [EH]dV . t V V Первый интеграл в правой части выражения учитывает потери энергии в рассматриваемом объеме. Второй интеграл преобразуем по теореме Остроградского–Гаусса: [EH]dV [EH]ds . Он представV S ляет собой поток энергии, уходящей в единицу времени через замкнутую поверхность S, ограничивающую объем V. Плотность этого потока (количество энергии, проходящей в единицу времени через единичную площадку, нормальную к направлению потока энергии) выражается вектором Пойнтинга П = [EH]. Теперь формула скорости изменения энергии может быть приведена к виду, который представляет собой математическую запись теоремы Умова–Пойнтинга: W E 2dV Ï ds. (13.66) t V S Фактически эта теорема формулирует баланс мощностей для определенной области пространства. Поток вектора Пойнтинга, входящий в замкнутую поверхность S, равен сумме двух слагаемых: мощности тепловых потерь в объеме V, ограниченном этой поверхностью, и мощности, с которой изменяются запасы энергии в том же объеме. Пример 13.18. Передача энергии по коаксиальному кабелю. Известны напряжение между медной жилой и оболочкой кабеля U , ток в этих проводниках I, а также их радиусы r0 , r1 , r2 , обозначенные на рис. 13.23, и абсолютная диэлектрическая проницаемость изоляции a . Оценить вектор Пойнтинга в различных частях кабеля. Решение Пусть центральный проводник имеет положительный заряд, а наружный – отрицательный. Тогда вектор напряженности электрического поля Е в изоляции практически лежит в плоскости, нормальной к оси кабеля. Продольная составляющая этого вектора для силового кабеля на несколько порядков меньше нормальной, и ею в первом приближении можно пренебречь. В проводниках вектор Е совпадает по направлению с током I, т. е. в центральном проводнике он направлен «к нам», а в наружном – «от нас». Вектор напряженности магнитного поля Н имеет лишь азимутальную составляющую и в любой точке внутри кабеля направлен против часовой стрелки. Вектор Пойнтинга П = [EH] в соответствии с правилом правоходового винта («буравчика») в изоляции направлен вдоль оси кабеля в ту же сторону, что и ток в центральном проводнике, то есть от источника к приемнику. Все упомянутые выше векторы в различных точках кабеля (без соблюдения масштабов) также показаны на рис. 13.23. Каждая пара векторов образует прямой угол. П E H I H П I E dr I r r0 П r1 H E Рис. 13.22 Количество энергии, проходящей в единицу времени через кольцеобразный элемент сечения радиусом r и толщиной dr, равно dP EH 2r dr , где Е и Н определяются соответственно по формуU B I лам (13.30а) и (13.59б): E , H . Тогда r ln( r1 / r0 ) 0 2r UIdr и после интегрирования последнего выражения в преdP r ln( r1 / r0 ) делах от r0 до r1 найдем энергию, передаваемую сквозь сечение изоляционного слоя в единицу времени: P UI . Это не что иное, как мощность передачи энергии по кабелю. Так что передача энергии происходит не внутри проводников, а по разделяющему их изоляционному слою. Проводники лишь обеспечивают ее движение в нужном направлении. При этом часть энергии поступает внутрь проводников для компенсации потерь на их нагревание. Например, на поверхности цен I I трального проводника E 2 , H , поэтому внутрь про r0 2r0 водника длиной l проникает в единицу времени энергия, покрывающая джоулевы потери P ПSl EH 2πr0l I 2l /( πr02 γ) I 2 R1, где R1 l /(r02 ) – сопротивление жилы кабеля. Подобным же образом можно показать, что энергия, проникающая в наружный проводник, расходуется именно на его нагревание.