1. элементы линейной алгебры

Введение
ВВЕДЕНИЕ
Учебно-практическое пособие для системы дистанционного образования по дисциплине «Математика» («Алгебра и геометрия») предназначено для самостоятельной
работы студента при нестационарной форме контроля знаний.
Специфика работы с пособием состоит в том, что студент сначала знакомится с
базовыми понятиями и методами алгебры и геометрии, изложенными в соответствующих разделах, изучает практическую часть «Примеры решения задач», а затем переходит к выполнению контрольной работы, предусмотренной программой. После выполнения контрольной работы направляет ее на рецензирование. В случае обнаружения
ошибок рецензентом, выявления пробелов в знаниях рекомендуется еще раз вернуться
к соответствующим разделам и проработать материал повторно, до полного усвоения
неясностей.
Заключительным этапом работы является экзамен (зачет), вопросы к которому
также приведены в заключительной части данного пособия.
Разделы пособия и экзаменационные вопросы, которые выходят за рамки программы экономических специальностей отмечены звёздочкой (*). Они могут быть пропущены при изучении материала.
Настоящее пособие представляет собой систематическое изложение первых глав
курса «Высшая математика» по программе технического вуза и предназначается для
студентов всех специальностей.
Теоретический материал, излагаемый в пособии, сопровождается большим числом примеров. Основные теоремы приведены с доказательствами, так как авторы считают, что изложение математической дисциплины, при котором ряд фактов (часто основополагающих) принимается без доказательства, затрудняет изучение предмета и активное использование его в дальнейшем.
Напомним некоторые обозначения, часто употребляемые в математике.
Большими буквами, как правило, будем обозначать множества (А, В, ..., I, J, ...)
(чаще всего числовые), а малыми – их элементы (а, b, ..., i, j, ...). Через i  I обозначается принадлежность элемента i множеству I, а i  I означает, что i не принадлежит
множеству I.
Вместо слов «существует», «найдется», «имеется» в записи математических высказываний употребляется символ  (перевернутая первая буква английского слова
«Exist» – «существовать»), называемый символом существования. Вместо «любой»,
«каждый», «произвольный», «какой бы ни» используется символ  (перевернутая первая буква английского слова «Any» – «любой» или «All» – «все»), называемый символом всеобщности. Так, запись x читается: «существует x», а запись x означает: «для
любого х» или «для всех х».
Знак  означает «следует», «вытекает», а знак  – «равносильно».
n
Символ  a i используется для обозначения суммы чисел а1, а2, ... , аn, т.е.
i 1
n
 ai  а1 + а2 + ...+ аn. Знак тождества между символами означает, что они обозначают
i 1
один и тот же объект.
4
1. Элементы линейной алгебры
1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ
1.1. ПОНЯТИЕ МАТРИЦЫ
Прямоугольная таблица чисел, состоящая из m строк и n столбцов, называется
матрицей.
Для обозначения матриц используются прописные буквы латинского алфавита: А, В, С, ....
Числа, образующие матрицу, называются ее элементами. В обозначениях элементы матрицы, снабжаются двумя индексами i, j, первый индекс – номер строки, второй
индекс – номер столбца, в которых находится элемент, т.е. aij (i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, ...,
n) элементы матрицы. Таким образом, полное обозначение матрицы имеет вид:
 а11 а12  а1n 


а 21 а 22  а 2 n 

А
.
(1.1)
     
а

 m1 а m 2  а mn 
Для краткого обозначения матрицы будем использовать запись:
A  ( a ij ) mn
(1.2)
Числа m и n называются размерами матрицы, т.е. (1.1), (1.2) – записи матрицы
размеров m на n (m строк и n столбцов).
Если число строк матрицы совпадает с числом столбцов, т.е. m = n, то матрица
называется квадратной порядка n.
Матрица, в которой столбцы заменены строками, а строки столбцами, называется
транспонированной и обозначается A т .
Элементы квадратной матрицы с одинаковыми индексами называются главной
диагональю, т.е. элементами главной диагонали будут: а11 , а22 ,  , аnn .
Транспонированная матрица A т получается из матрицы А поворотом на 180° относительно главной диагонали. Например,
 а11 а12 а13 
 а11 а 21 а31 




т
если А   а 21 а 22 а 23  , то А   а12 а 22 а32  .
а а а 
а а а 
 31 32 33 
 13 23 33 
1.2. ПЕРЕСТАНОВКИ
Рассмотрим множество чисел J  1, 2 , , n, состоящее из первых n натуральных чисел. Помимо расположения чисел 1, 2, ..., n, их можно расположить и другими
способами. Например, числа 1, 2, 3 можно расположить следующими способами: 2, 3, 1
или 3, 2, 1 и т.д.
Всякое расположение чисел 1, 2, ..., n в некотором определенном порядке, называется перестановкой из n символов (чисел).
Общий вид перестановки:
 j1 , j 2 ,  , j n  , где j k  J , k  1, 2,  , n  .
Ни одно из j k не встречается в перестановке дважды. Например, если перестановка
имеет вид (53421) (если чисел в перестановке меньше 10, то они запятыми не разделяются), то j1 = 5, j2 = 3, j3 = 4, j4 = 2, j5 = 1.
1. Элементы линейной алгебры
5
Утверждение 1.1
Число различных перестановок равно n! ( n! 1 2   n , читается: «n факториал»).
Доказательство. Число перестановок совпадает с числом способов, которыми
можно составить различные перестановки. При составлении перестановок в качестве j1
можно взять любое из чисел 1, 2, …, n, что дает n возможностей. Если j1 уже выбрано,
то в качестве j2 можно взять одно из оставшихся n – 1 чисел, и число способов, которыми можно выбрать j1 и j2 будет равно n  ( n  1) и т.д. Последнее число в перестановке
можно выбрать только одним способом, что дает n  ( n  1)  1  n! способов, а значит,
и перестановок.
Например, при n = 2 (n! = 2) можно образовать две перестановки: (12), (21); при
n = 3 (n! = 6) можно образовать шесть перестановок: (123), (132), (213), (231), (312), (321).
Числа k и р в перестановке составляют инверсию (беспорядок), если k > р, но k
стоит в этой перестановке перед р.
Перестановка называется четной, если ее элементы составляют четное число инверсий, и нечетной в противном случае.
Например, перестановка (1, 2, ..., n) при любом n является четной, так как число
инверсий равно 0; (34125) – четная перестановка, так как число инверсий равно 4, здесь
31, 41 – две инверсии, 32, 42 еще две инверсии; (132) нечетная перестановка, так как
число инверсий равно 1, эту инверсию составляют числа 3, 2.
Если в перестановке поменять местами два числа k и р (не обязательно стоящие
рядом), то получится новая перестановка. Такое преобразование называется транспозицией.
Утверждение 1.2
Всякая транспозиция меняет четность перестановки.
Доказательство
Случай 1. Транспонируемые числа стоят в перестановке рядом, т.е. она имеет вид
(..., k, p, ...), здесь многоточием (...) отмечены числа, которые при транспозиции остаются на своих местах. Транспозиция превращает ее в перестановку вида (..., p, k,...). В этих
перестановках каждое из чисел k, р составляет одни и те же инверсии с числами, остающимися на местах. Если числа k и p ранее не составляли инверсии, (т.е. k < р), то в
новой перестановке появится еще одна инверсия и число инверсий увеличится на одну;
если же k и р составляли инверсию, то после транспозиции число инверсий станет
меньше на одну. В любом случае четность перестановки меняется.
Случай 2. Между транспонируемыми числами k и р находится s чисел, т.е. перестановка имеет вид (..., k, j1, j2, ..., js, p, ...). В этом случае потребуется 2s + l транспозиций соседних чисел: s транспозиций, чтобы поменять последовательно местами k с j1,
k с j2,..., k с js, и s + 1 транспозиций, чтобы поменять местами р с k, р с js, р с js-1, ..., p c j1.
Таким образом, в силу доказанного случая 1, четность перестановки меняется нечетное число раз, следовательно, исходная перестановка и перестановка, полученная в
результате транспозиции, имеют разные чётности.
Для сокращения записи перестановки будем обозначать одним символом, например:  , т.е.    j1 , j2 , , jn . Обозначим через n(  ) число инверсий в перестановке  .
1. Элементы линейной алгебры
6
1.3. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
Рассмотрим квадратную матрицу А  ( aij ) nn порядка n.
Определителем или детерминантом n-го порядка матрицы А называется число
n(  )
 a1 j1  a 2 j2    a njn ,
  1

где сумма вычисляется по всем перестановкам вторых индексов.
Обозначения определителя:  , det A, или в полной записи:
а11 а12  а1n
а21
а22  а2 n


аn1
аn 2  аnn


.
Таким образом, по определению
  det A    1n (  ) a1 j a2 j  anj .

1
2
n
(1.3)
В соответствии с доказанным утверждением 1.1, в правой части формулы (1.3) n!
слагаемых, причем n!/2 слагаемых со знаком «+» и n!/2 со знаком «–», так как если
 – четная перестановка, то  1n(  )  1 , а если  – нечетная, то  1n(  )  1. При
этом каждое из слагаемых является произведением n чисел, которые расположены в
разных строках и разных столбцах матрицы.
Используя определение определителя порядка n, получим формулы для вычисления определителей 2-го и 3-го порядка.
При n = 2 перестановок вторых индексов будет 2! = 2, одна четная – (12) и одна
нечетная (21), следовательно:
a
a
(1.4)
  det A  11 12  a11a22  a12 a21 .
a21 a22
При n = 3 перестановок вторых индексов – 3! = 6. Четные: (123) (0 инверсий),
(231) (2 инверсии), (312) (2 инверсии). Нечетные: (321) (3 инверсии), (132) (1 инверсия).
(213) (1 инверсия). Следовательно:
а11 а12 а13
(1.5)
det А  а21 а22 а23  a11a22 a33  a12 a23a31  a13a21a32 
а31 а32 а33  a13a22 a31  a11a23a32  a12 a21a33 .
Для запоминания знаков слагаемых и сомножителей в каждом слагаемом полезно
запомнить следующее мнемоническое правило.
Правило Крамера (треугольников)
Слагаемые со знаком «+»:
Слагаемые со знаком «–»:
Вычисление определителей более высокого порядка непосредственно по определению затруднительно, так как уже при вычислении определителя 4-го порядка слагаемых в формуле (1.3) будет 4! = 24. Поэтому определители порядка выше 3-го вычисляются с использованием свойств определителей.
1. Элементы линейной алгебры
7
Минором M ij элемента aij матрицы А называется определитель матрицы, полученной из матрицы А вычеркиванием i-й строки и j-гo столбца (т.е. строки и столбца,
на пересечении которых находится этот элемент).
Например:
 а11 а12 а13 
a a
a a


если А   а 21 а 22 а 23  , то M 13  21 22 , M 32  11 13 и т. д.
a 31 a 32
a 21 a 23
а а а 
 31 32 33 
Алгебраическим дополнением Aij элемента aij матрицы А называется число,
равное (1)i  j M ij .
Таким образом, по определению:
Aij  (1)i  j M ij .
Утверждение 1.3 (О разложении определителя по строке)
Определитель равен сумме попарных произведений элементов какой-либо строки
на их алгебраические дополнения, т.е.
n
i  J :   det A  ai1 Ai1  ai 2 Ai 2    ain Ain   aij Aij .
j 1
(1.6)
Свойства определителей
1°. Определитель матрицы А равен определителю транспонированной матрицы
т
A , т. е.
det A = det A т .
2°. Если хотя бы одна строка матрицы А состоит из нулей, то определитель этой
матрицы равен нулю.
3°. При перестановке (транспозиции) любых двух строк в матрице, у определителя этой матрицы изменится знак.
4°. Определитель матрицы, содержащей две одинаковые строки, равен нулю.
5°. Если все элементы некоторой строки матрицы умножить на действительное
число   0 , то определитель этой матрицы умножится на  .
6°. Пусть матрицы А, В, С отличаются друг от друга только k-й строкой, причем
элементы k-й строки матрицы С равны сумме соответствующих элементов k-х строк
матриц А и В т.е.
i  J , j  J (i  k ) : aij  bij  cij и j  J : ckj  akj  bkj ,
тогда det C  det A  det B.
7°. Определитель матрицы не изменится, если к элементам какой-либо строки
прибавить соответствующие элементы другой строки, умноженные на число  .
8°. (Теорема аннулирования). Сумма произведений элементов, какой либо строки
на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой строки равна нулю, т.е.
k  J , p  J ( k  p ) :
n
 akj A pj  0 .
j 1
(1.7)
Доказательство свойств определителей
Свойство 1°. По определению, если A  (aij ) nn , то Aт  ( a ji ) n n , тогда по формуле (1.3)
det A т   ( 1) n ( )  ai 1  ai

1
22
 ai n ,
n
(1.8)
1. Элементы линейной алгебры
8
где   (i1 , i2 ,, in ) – произвольная перестановка первых индексов. Число слагаемых в
этом равенстве и равенстве (1.3) одинаково и равно n! (утверждение 1.1). Покажем, что
они имеют одинаковые знаки. Переставим элементы в правой части равенства (1.8) так,
чтобы первые индексы составили основную перестановку (1, 2, ..., n). Пусть для этого
потребовалось s транспозиций. При этом вторые индексы за те же s транспозиций из
основной перестановки преобразуются в перестановку   ( j1 , j 2 ,, jn ) . Так как по
утверждению 1.2 каждая транспозиция меняет знак, перестановки  и  будут одинаковой четности, следовательно слагаемые в формулах (1.3) и (1.8) имеют одинаковые
знаки, т.е. det A = det A т .
Свойство 2°. Так как в каждом слагаемом в формуле (1.3) есть множитель из
каждой строки, то все слагаемые равны 0 и det A тоже равен 0.
Свойство 3°. Пусть мы поменяли местами строки с номерами k и p, тогда в формуле (1.3) перестановки из вторых индексов (..., jk, ..., jp, ...) преобразуются в (..., jp, ...,
jk, ...), т.е. получаются в результате транспозиции двух чисел. При этом, в соответствии
с утверждением 1.2, четность каждой перестановки меняется, следовательно, меняется
знак каждого слагаемого в формуле (1.3), значит, у определителя тоже меняется знак.
Свойство 4°. Пусть k-я и р-я строки матрицы А одинаковы и det A = а. Поменяем
местами k-ю и р-ю строки этой матрицы. При этом матрица А не изменится, а определитель по свойству 3° изменит знак, т.е. det A = –а. Получили равенство а = –а, которое
возможно лишь в том случае, когда а = 0, следовательно det A = 0.
Свойства 5°, 6°. Справедливость этих свойств следует из свойств конечных сумм:
n
n
i 1
i 1
 cui  c  ui ,
n
n
n
i 1
i 1
i 1
 (ui  vi )   ui   vi .
Свойство 7°. Применяя к определителю матрицы
а1n
а11
а12











B   а k 1  a p1 а k 2  a p 2  а kn  a pn 








а n1
аn 2

а nn


последовательно свойства 6°, 5°, 4°, получаем: det B = det A.
Свойство 8°. Рассмотрим матрицу А, у которой k-я и р-я строки одинаковы. По
n
свойству 4° det A = 0, а по формуле (1.3) det A   a pj A pj , но j  J : a pj  akj , знаj 1
n
n
j 1
j 1
чит, det A   akj A pj , следовательно,  akj A pj  0 .
Из свойства 1° следует, что все перечисленные свойства справедливы и для
столбцов матрицы. В частности, справедливы формулы, аналогичные (1.6) и (1.7)
n
j  J :   det A  a1 j A1 j  a2 j A2 j    anj Anj   aij Aij ,
(1.9)
i 1
n
k  J , p  J ( k  p ) :  aik Aip  0 .
i 1
(1.10)
1. Элементы линейной алгебры
9
1.4. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. ФОРМУЛЫ КРАМЕРА
Система m уравнений с n неизвестными х1, х2, ... , хn вида:
a11 x1  a12 x 2   a1n x n  b1 ;

a 21 x1  a 22 x 2   a 2 n x n  b 2 ;
(1.11)








a m1 x1  a m 2 x 2   a mn x n  b m
называется системой линейных уравнений.
Если b1 = b2 = ... = bm = 0, то система называется однородной, и неоднородной в
противном случае.
Набор чисел 1 ,  2 , ,  n называется решением системы, если при подстановке
этих чисел в уравнения системы (1.11) вместо неизвестных все уравнения обращаются
в верные числовые равенства.
Если существует хотя бы одно решение системы, то она называется совместной,
и несовместной, если решений нет.
Система уравнений называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если решений более одного.
Коэффициенты при неизвестных aij (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n) образуют матрицу A  ( a ij ) mn , которая называется матрицей системы.
Две системы называются эквивалентными, если множества их решений совпадают.
Преобразования, переводящие систему в эквивалентную ей, называются эквивалентными.
Многие методы решения систем основываются на эквивалентных преобразованиях с целью получения систем более простого вида. Перечислим основные эквивалентные преобразования:
а) перестановка двух уравнений в системе;
б) умножение уравнения на число, не равное нулю;
в) прибавление к уравнению системы другого уравнения, умноженного на некоторое число   0 ;
г) перестановка слагаемых в левых частях уравнений.
При исследовании и решении систем линейных уравнений возникают следующие
основные задачи:
 определить, совместна ли данная система;
 в случае совместности системы определить число решений;
 указать способ, с помощью которого можно найти все решения.
Рассмотрим, прежде всего, частный случай системы (1.11), когда число уравнений
совпадает с числом неизвестных, т.е. m = n. В этом случае матрица системы А является
квадратной порядка n и ответ на все поставленные вопросы дает следующая теорема.
Теорема 1.1 (Крамера)
Если   det A  0 , то система совместна, имеет единственное решение, которое
определяется равенствами
 j   j /  , ( j  1, 2,  , n) ,
(1.12)
где  j – определитель матрицы, которая получается из матрицы системы заменой j-го
столбца столбцом, составленным из свободных членов системы b1, b2, …, bn.
1. Элементы линейной алгебры
10
Доказательство. С помощью элементарных преобразований приведем систему к
простейшему виду, для чего при каждом j ( j  1, 2,  , n) умножим i-е уравнение на
Аij и сложим левые и правые части всех полученных уравнений
 a11 x1  a12 x2  a1n xn  b1  A1 j
a x  a x  a x  b A
 21 1 22 2
2n n
2  2j

  
  
 
an1 x1  an 2 x2  ann xn  bn  Anj
в результате получим систему уравнений, эквивалентную исходной, в которой j-е уравнение имеет вид:
x1 (a11 A1 j  a 21 A2 j    a n1 Anj )  x 2 (a12 A1 j  a 22 A2 j    a n 2 Anj )   
 x j (a1 j A1 j  a 2 j A2 j    a nj Anj )    x n (a1n A1 j  a 2n A2 j    a nn Anj ) 
 b1 A1 j  b2 A2 j    bn Anj ,
или
n
n
n
n
n
i 1
i 1
i 1
i 1
i 1
x1   ai1 Aij  x2   ai 2 Aij    x j   aij Aij    xn   ain Aij   bi Aij
.
По теореме аннулирования (формула (1.10))
n
k  J , j  J ( k  j ) :  aik Aij  0,
i 1
а по формуле (1.9) (при k = j)
n
n
i 1
i 1
j  J :  aij Aij  ,  bi Aij   j ,
т.е. j-е уравнение в системе имеет вид x j    j , откуда получаем решение:
j  J :  j   j /  .
Равенства (1.12) называются формулами Крамера.
Например, для системы трех уравнений с тремя неизвестным можно записать:
а11 а12 а13
b1 а12 а13
а11 b1 а13
  а21 а22 а23 , 1  b2 а22 а23 , 2  а21 b2 а23 ,
а31
а32
а33
а11
а12
а 31
а 32
3  а 21 а 22
b3
а32
а33
а31 b3
а33
b1
b2 ,  1  1 /  ,  2   2 /  ,  3  3 /  .
b3
1.5. ДЕЙСТВИЯ НАД МАТРИЦАМИ
Рассмотрим две матрицы одинаковых размеров m  n: A  ( aij ) mn , B  (bij ) mn .
Обозначим через I множество, состоящее из первых m чисел натурального ряда, т.е.
I = {1, 2, ..., m}.
Матрицы А и В называются равными, если
i  I , j  J : aij  bij ,
т.e. в которых равны элементы, стоящие на одинаковых местах.
Обозначается: А = В.
1. Элементы линейной алгебры
11
Суммой матриц А и В называется матрица С  (сij ) m n , элементы которой определяются по формулам:
i  I , j  J : cij  aij  bij ,
т.e. элементы матрицы С равны сумме соответствующих элементов матриц А и В.
Обозначается: С = А + В.
Произведением матрицы А на действительное число  называется матрица
С  (сij ) mn , элементы которой вычисляются по формуле:
i  I , j  J : cij    aij ,
т.е. каждый элемент матрицы А умножается на число  .
Обозначается: C    A .
Пусть теперь A  ( aij ) m p , B  (bij ) p n , т.е. число столбцов матрицы А совпадает
с числом строк матрицы В.
Произведением матрицы А на матрицу В называется матрица размера m  n
С  (сij ) m n , элементы которой вычисляются по формуле:
p
i  I , j  J : cij   aik bkj ,
k 1
т.е. элемент матрицы С с номерами i и j равен сумме попарных произведений элементов i-й строки матрицы А на соответствующие элементы j-го столбца матрицы В (правило «строка на столбец»). Обозначается: C  A  B .
1 2
1 1 2 
Например, если A  
, B  

 , то элементы матрицы C  A  B будут
3 4
 2  2 1
равны:
2
c11   a1k bk1  a11b11  a12b21  1  ( 1)  2  2  3 ,
k 1
2
c12   a1k bk 2  a11b12  a12b22  1 1  2  (2)  3 ,
k 1
2
c13   a1k bk 3  a11b13  a12 b23  1  2  2  1  4 ,
k 1
2
c 21   a 2 k bk1  a 21b11  a 22 b21  3  (1)  4  2  5 ,
k 1
2
c 22   a 2k bk 2  a 21b12  a 22 b22  3  1  4  (2)  5 ,
k 1
2
c 23   a 2k bk 3  a 21b13  a 22 b23  3  2  4  1  10 ,
k 1
таким образом
1. Элементы линейной алгебры
12
3 4  3
С  A  B  
.
 5  5 10 
Произведение матриц не коммутативно (не перестановочно)!, т.е., вообще говоря,
A  B  B  A . Но, если все-таки A  B  B  A , то матрицы А и В называются перестановочными.
Квадратная матрица, у которой элементы, стоящие на главной диагонали равны 1,
а все остальные равны 0, называется единичной и обозначается: Е.
Единичная матрица перестановочна с любой квадратной матрицей порядка n, так
как нетрудно убедиться, что A  E  E  A .
Определим понятие обратной матрицы. Оно определяется только для квадратных
матриц. Далее А – квадратная матрица порядка n.
Матрица A 1 называется обратной к матрице А, если
A1  A  A  A1  E .
Очевидно, если A 1 – матрица обратная к А, то матрица А является обратной к
A 1 (вытекает из определения, оно симметрично относительно матриц А и A 1 ), т.е.
( A 1 ) 1 = А. Поэтому матрицы А и A 1 называются взаимно обратными.
Матрица называется невырожденной, если detA  0 , и вырожденной в противном случае.
Для вырожденной матрицы обратной не существует! Получим формулу для
нахождения обратной матрицы.
Транспонированная матрица, составленная из алгебраических дополнений к элементам матрицы А, называется присоединенной и обозначается: Аv. Таким образом, по
определению
 A11

A
v
A   21

A
 n1
A12
A22

An 2




т
A1n 
 A11


A2 n 
A
  12
 


A
Ann 
 1n
A21
A22

A2 n




An1 

An 2 
.
 
Ann 
Найдем произведения А  Аv , Аv  А . Пусть С  А  Аv  [cij ]nn , тогда
 а11

а
С   21

а
 n1
а12
а22

аn 2




а1n   A11
 
а2 n   A12

 
аnn   A1n
A21
A22

A2 n




An1 

An 2 
.

Ann 
По определению произведения матриц, элементы матрицы С вычисляются по
формуле:
n
cij   aik A jk .
k 1
Здесь, если i = j, то по теореме о разложении определителя по строке (формула (1.6))
1. Элементы линейной алгебры
13
сii  ai1 Ai1  ai 2 Ai 2   ain Ain    det A ,
если i  j, то по теореме аннулирования (формула (1.7))
сij  ai1 A j1  ai 2 A j 2    ain A jn  0 .
Таким образом, матрица С имеет вид:
 0 0  0 0
1 0 0  0 0
0  0  0 0


    0 1 0  0 0     E .
С  A  Av  
      
      
0 0 0  0 
0 0 0  0 1




Аналогично можно показать, что A v  A =  Е, следовательно, выполняются равенства: A  Av = A v  A =  Е. Если А – невырожденная матрица, т.е.   det A  0 , то
эти равенства можно переписать в виде:
1
 1

A    Av     Av   A  E .

 

Откуда, по определению обратной матрицы, получаем:
A1 
1

 Av .
 1 1 1
Например: если A    1 2 1  , то
  2 1 2


A11  ( 1)11
2 1
 4  1  3,
1 2
A12  (1)1 2 
1 1
1 2
 (2  2)  0 , A13  (1)13 
 1  4  3 ,
2 2
2 1
A21  (1) 21 
1 1
1 1
 (2  1)  1, A22  (1) 2 2 
 2  2  4,
1 2
2 2
A23  (1) 23 
1 1
1 1
 (1  2)  3 , A31  (1) 31 
 1  2  1,
2 1
2 1
A32  (1) 3 2 
1 1
1 1
 (1  1)  2 , A33  (1) 33 
 2  1  3,
1 1
1 2
  det A  a11  A11  a12  A12  a13  A13  1  3  1  0  1  3  6 ,
3  1  1   3 / 6  1 / 6  1 / 6  1 / 2  1 / 6  1 / 6 
1 
A1    0 4  2    0 / 6 4 / 6  2 / 6    0 2 / 3  1 / 3 .
6  3  3 3   3 / 6  3 / 6 3 / 6  1 / 2  1 / 2 1 / 2 

 
 

1. Элементы линейной алгебры
14
1.6. МАТРИЧНОЕ РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
Рассмотрим систему n линейных уравнений c n неизвестными:
 a11 x1  a12 x 2    a1n x n  b1 ;
a x  a x    a x  b ;
22 2
2n n
2
 21 1






 a n1 x1  a n 2 x 2    a nn x n  b n .
Пусть матрица системы A  ( aij ) n n является невырожденной. Обозначим через
Х матрицу-столбец, составленную из неизвестных х1, х2, ..., хn, и через В матрицустолбец из свободных коэффициентов b1 , b2 ,..., bn , т.е.
 x1 
 b1 
 
 
x2 
b

X
, B   2 .
 
 
x 
b 
 n
 n
Тогда систему можно записать в матричном виде:
A X  B .
Для того чтобы найти решение системы, умножим левую и правую части последнего равенства на матрицу А–1 слева (произведение матриц не коммутативно), получим:
A 1  ( A  X )  A 1  B  ( A 1  A)  X  A 1  B  E  X  A 1  B .
Отсюда матричное решение системы будет:
X  A 1  B .
(1.13)
Пример. 1.1. Решить систему уравнений:
 x1  x2  x3  3

  x1  2 x2  x3  2
 2 x  x  2 x  3

1
2
3
матричным способом.
Решение. Здесь матрица системы:
 1 1 1
A    1 2 1 
  2 1 2


является невырожденной, и обратная к ней найдена в примере (разд. 1.5). По формуле
(1.13) находим:
 x1  1 / 2  1 / 6  1 / 6   3   3 / 2  2 / 6  1 / 6  1
 
X   x2    0 2 / 3  1 / 3    2    0  4 / 3  1 / 3   1 ,
 x  1 / 2  1 / 2 1 / 2   1   3 / 2  1  1 / 2  1
 3
т. е. x1 = 1, x2 = 1, x3 = 1 – решение системы.
1.7. РАНГ МАТРИЦЫ
Рассмотрим прямоугольную матрицу A  ( aij ) m n . Выберем в матрице А произвольно k строк с номерами i1, i2, … , ik и k столбцов с номерами j1, j2, ... , jk,
k  min{ m, n} . Элементы, стоящие на пересечении выбранных строк и столбцов, образуют квадратную матрицу Аk порядка k.
1. Элементы линейной алгебры
15
Определитель матрицы Аk называется минором k-гo порядка (минором порядка k)
i i i k
1 2  jk
и обозначается M j1 2j
или, когда не важно, какие именно строки и столбцы выбра-
ны, обозначается Mk, т.е. по определению Mk = det Аk. Например, если
 1 2 4 3
A    1  2 1 4 
  2 4 2 1


и выбраны строки c номерами i1 = 1, i2 = 3 и столбцы с номерами j1 = 2, j2 = 4, то
2 3
13  det A  2 3  2  12  10.
A2  
, M 24

2
41
 4 1
Число миноров второго порядка для этой матрицы равно 18.
Наивысший порядок миноров, не равных нулю, называется рангом матрицы и
обозначается символами: rаng А или rA.
Из этого определения легко получить следующее правило для нахождения ранга
матрицы: если найден минор порядка r не равный нулю и любой минор порядка r + 1
равен нулю, то ранг матрицы А равен r.
Пример 1.2. Найти ранг матрицы:
3 3 7 7
А   1 2 3 4  .
 2 1 4 3


3 3
12 
Решение. Здесь M 11  a11  3  0, M 12
 6  3  3  0,
1 2
3 3 7
3 3 7
3 7 7
3 7 7
123
123
123
123
M 123  1 2 3  0 , M 124  1 2 4  0 , M 134  1 3 4  0 , M 234  2 3 4  0 ,
2 1 4
2 1 3
2 4 3
1 4 3
следовательно rаng А = 2.
Вычисление ранга матрицы по определению приводит к очень громоздким и длительным вычислениям, поэтому чаще всего он вычисляется с помощью элементарных
преобразований матрицы.
Элементарные преобразования матрицы:
1) перестановка (транспозиция) строк (столбцов) матрицы;
2) умножение всех элементов отроки (столбца) матрицы на действительное число   0 ;
3) прибавление к элементам строки (столбца) матрицы соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на действительное число.
Утверждение 1.4
Элементарные преобразования не изменяют ранга матрицы.
Доказательство. Действительно, из свойств определителей получаем, что при
преобразовании 1 определитель изменяет знак на противоположный (свойство 1°). При
преобразовании 2 определитель умножается на число   0 (свойство 5°). И при преобразовании 3 определитель не изменяется (свойство 8°). Следовательно, если
det Ak  0 , то после преобразований 1, 2 или 3 он останется не равным 0; если
det Ak = 0, то после преобразований он по-прежнему будет равен 0.
Матрицы, полученные одна из другой с помощью элементарных преобразований,
называются эквивалентными. Если А и В – эквивалентные матрицы, то будем писать А ~ В.
При вычислении ранга матрицы с помощью элементарных преобразований матрица приводится к упрощенной (трапециевидной) форме:
1. Элементы линейной алгебры
16
 t11 t12 t13  t1r t1, r 1  t1n 


 0 t 22 t 23  t 2 r t 2 , r 1  t 2 n 
0 0 t t t

33
3 r 3 , r 1  t 3 n



,
T 
 0 0  0 t rr t r , r 1  t rn 


0  0 
0 0  0 0



0 0  0 0
0  0 

где i  1, 2,, r : t ii  0 (r  m) . Тогда rang T = r, так как
12r
M 12
r
t11 t12
0 t 22
 0 0
0
0
t13  t1n
t 23  t 2 n
t 33  t 3n  t11  t 22  t rr  0 ,

 0 t rr
а любой минор порядка r + 1 будет равен 0, так как содержит, по крайней мере, одну
строку, все элементы которой равны 0 (свойство определителей 2  ). По утверждению
(1.4) rang A = rang T, следовательно, rang A = r.
Таким образом, ранг матрицы А равен числу ненулевых строк трапециевидной
матрицы Т, эквивалентной матрице А.
1.8. МЕТОД ГАУССА. ТЕОРЕМА КРОНЕКЕРА-КАПЕЛЛИ
Рассмотрим систему линейных уравнений (1.11). К матрице системы A  ( aij ) m n
допишем справа столбец из свободных членов системы b1, b2, ... , bm, получим новую
~
матрицу, которая называется расширенной матрицей системы и обозначается: A , т.е.
 а11 а12  а1n | b1 


~  а21 а22  а2 n | b2 
A
.
     | 
а а  а | b 
 m1 m 2
m
mn
Элементарным преобразованиям расширенной матрицы системы (cм. разд. 1.7)
соответствуют эквивалентные преобразования системы линейных уравнений (1.11)
(см. разд. 1.4), поэтому решение системы с помощью эквивалентных преобразований
можно заменить на приведение расширенной матрицы с помощью элементарных преобразований к более простой форме. Метод Гаусса состоит из двух частей – прямого и
обратного хода. Идея прямого хода метода – с помощью элементарных преобразований
привести расширенную матрицу к виду, в котором матрица системы имеет трапециевидную форму.
Прямой ход метода Гаусса
Шаг 1. Если а11 = 0, то с помощью преобразования 1 добиваемся, чтобы на место
этого элемента попал ненулевой элемент (при применении этого преобразования к
столбцам матрицы исключением является последний столбец, он должен оставаться
неподвижным). Если в матрице нет ненулевых элементов, то она имеет трапециевид(1)
 0 (верхний индекс указывает на ноную форму, и прямой ход завершен. Пусть a11
мер шага), умножим элемент первой строки на число  i(1) и прибавим к соответствую-
1. Элементы линейной алгебры
17
щим элементам i-й строки i = 2, 3, ...., m. Числа  i(1) подберем так, чтобы первые эле(1)
менты в строках обратились в 0, т.е.  i(1)   ai(11) / a11
. В результате получим матрицу, в
которой в первом столбце под главной диагональю все элементы равны 0. Обозначим
~
полученную матрицу A ( 2 ) :
 a (1)
 11
 a (1)
21
~
A   a (1)
31

 (1)
 am1
(1)
(1)
a12
a13
 a1(1n) | b1(1)  (1)
2
(1)
(1)
(1)
(1) 
a22 a23  a2 n | b2

(1)
(1)
a22
a33
 a3(1n) | b3(1) 


|
(1)
(1)
(1) | b (1) 

am 2 am 3  amn
m 
~
~ A ( 2)
 a (1)
 11
 0

 0


 0
   3(1)
(1)
   m

~
(1)
(1)
a12
a13
 a1(1n) | b1(1) 
( 2)
( 2)
a22
a23
 a2( 2n) | b2( 2 ) 

( 2)
( 2)
a32
a33
 a3( 2n) | b3( 2 )  .


|

( 2) | b ( 2) 
am( 22) am( 23)  amn
m 
( 2)
 0 , то с помощью преобразования 1 добиваемся, чтобы на меШаг 2. Если a 22
сто этого элемента попал ненулевой элемент матрицы. Если в этой матрице нет ненулевых элементов, то она имеет трапециевидную форму, и прямой ход завершен. Пусть
( 2)
a 22
 0 , умножим элементы второй строки на число  i( 2) и прибавим к соответствую-
щим элементам i-й строки i = 3, 4, ..., m. Числа  i( 2) подберем так, чтобы вторые эле-
~
A ( 2)
 a (1)
 11
 0

 0


 0
(1)
(1)
a12
a13
 a1(1n) | b1(1) 
( 2)
( 2)
a22
a23
 a2( 2n) | b2( 2 )    3( 2 )

( 2)
( 2)
a32
a33
 a3( 2n) | b3( 2 ) 


|

( 2) | b ( 2) 
am( 22) am( 33)  amn
m 
    m( 2 )

~
( 2)
менты в строках обратились в нули, т.е.  i( 2 )   ai(22 ) / a 22
:
 a (1) a (1) a (1)  a (1) | b (1) 
1n
1 
 11 12 13
 0 a ( 2) a ( 2)  a ( 2) | b ( 2) 
22
23
2n
2
~


( 2)
( 2)
~ A ( 3)   0
0 a33  a3n | b3( 2 )  .



|


( 3)
( 2) | b ( 2) 
0 am 3  amn
 0
m 
В результате, получим матрицу, в которой во втором столбце под главной диагональю все элементы равны нулю.
Будем выполнять указанные преобразования до тех пор, пока матрица системы А
не примет трапециевидную форму, пусть это произойдет на шаге r, т.е.
1. Элементы линейной алгебры
18
 a (1) a (1)
 11 12

( 2)
 0 a 22

0
 0
~ ~

A ~ A (r )  
0
 0

0
 0


 0
0

Этой матрице соответствует
b1(1) 
( 2)
( 2)
( 2) 
( 2)  a ( 2) a ( 2)
a 23
a 24
2r
2 , r 1  a 2 n b 2 

( 3)
( 3)
a 33
a 34
 a 3( 3r ) a 3( 3, r)1  a 3( 3n) b3( 3) 



.
(r ) a (r )
(r ) b (r )
 a rr

a
r , r 1
rn
r 

 0
0  0 b r( r )1 




 0
0  0 b m( r ) 
система уравнений, эквивалентная исходной (1.11),
(1)
(1)
a13
a14
 a1(1r ) a1(,1r)1  a1(1n)
вида:
a (1) y  a (1) y  a (1) y    a (1) y  a (1) y    a (1) y  b (1)
13 3
1r r
1,r 1 r 1
1n n
1
 11 1 12 2
( 2)
( 2)
( 2)
( 2)
( 2)

a 22 y 2  a 23 y3    a 2 r y r  a 2,r 1 y r 1    a 2 n y n  b2( 2 )

( 3)
a33
y3    a3( 3r ) y r  a3( 3,r)1 y r 1    a3( 3n) y n  b3( 3)





(
r
)
(r ) y  a
(r )
(r )

a rr
r
r ,r 1 y r 1    a rn y n  br

0  br( r 1)




0  bm( r )

. (1.14)
Здесь неизвестные обозначены: y1, …, yn, потому что при применении элементарного преобразования 1 к столбцам расширенной матрицы естественный порядок переменных х1, х2 …, хn нарушается. Например, если в расширенной матрице поменяли местами столбцы с номерами k и р, то в системе на месте слагаемых с номерами неизвестных k будут слагаемые с номерами неизвестных р и наоборот, т.е. уk = xp и уp = хk.
На этом прямой ход метода Гаусса заканчивается.
Теорема 1.2 (Кронекера-Капелли)
Для того чтобы система (1.11) была совместной, необходимо и достаточно, чтобы
~
rang A = rang A .
Доказательство. При помощи прямого хода метода Гаусса, приведем систему
(1.11) к виду (1.14).
Необходимость. Если система (1.11), совместна, то и система (1.14) тоже совместна, тогда
br(r 1)  br(r )2    bm( r )  0
(если это не так, например, br( r)1  0 , то (r + 1)-е уравнение 0  br(r 1) не имеет решений,
т.е. система несовместна, что противоречит условию). Откуда следует, что в трапециевидных матрицах, эквивалентных матрице системы и расширенной матрице (первая
получается из второй удалением последнего столбца), содержится одинаковое число
~
ненулевых строк, значит rang A = rang A .
~
Достаточность. Если rang A = rang A , то br(r 1)  br(r )2    bm( r )  0 (если это не
~
так, например br(r 1)  0 , то у матрицы, эквивалентной матрице A , будет хотя бы на одну
~
ненулевую строку больше, чем в матрице, эквивалентной матрице А, т.е. rang A < rang A ,
1. Элементы линейной алгебры
19
что противоречит условию). Отбросим последние m – r уравнений в системе (1.14), получим систему r уравнений, которая будет эквивалентна системе (1.14), а значит и системе (1.11) (так как последние уравнения превращаются в тождества 0 = 0).
Назовем неизвестные у1, y2, ..., уr базисными, а уr+1, уr+2 ,…, уn свободными и перенесем слагаемые, содержащие свободные неизвестные, в правую часть уравнений.
Получим систему относительно базисных неизвестных:
a (1) y  a (1) y  a (1) y    a (1) y  b (1)  a (1) y    a (1) y
13 3
1r r
1
1,r 1 r 1
1n n
 11 1 12 2
( 2)
( 2)
( 2)
( 2)
( 2)

a 22 y 2  a 23 y 3    a 2 r y r  b2  a 2,r 1 y r 1    a 2( 2n) y n

( 3)
a33
y 3    a 3( 3r ) y r  b3( 3)  a 3( 3,r)1 y r 1    3( 3n) y n , (1.15)





(
r
)
(r ) y  b (r )  a
(r )

a rr
r
r
r ,r 1 y r 1    a rn y n

которая эквивалентна (1.11), и для каждого набора значений свободных неизвестных
yr+1 = t1, yr+2 = t2, …, yn = tn–r по теореме 1.1 имеет единственное решение.
Обратный ход метода Гаусса
Шаг 1. Из последнего уравнения системы (1.15) находим уr, подставив вместо
свободных неизвестных произвольные числа t1 , t 2 , , tn-r:
( r )t
(r )
yr  (br( r )  ar( r, r)1t1    arn
n  r ) / arr .
Шаг 2. Подставляем найденный уr в предпоследнее уравнение и находим yr-1:
yr 1  (br( r11)  ar( r1,1r) yr  ar( r1,1r) 1t1    ar( r1,1n) t n  r ) / ar( r1,1r) 1.
...
Шаг r. Подставляем найденные уr, …, у2 в первое уравнение находим у1:
(1)
(1)
(1)
y1  (br(1)  a12
y 2  a13
y3    a1(1r ) y r  a1(1r)1t1    a1(1n) t nr ) / a11
.
В результате, получаем решение системы (1.11), в котором базисные переменные
выражены через свободные переменные.
Замечание. Из доказательства теоремы Кронекера-Капелли следует, что:
~
 если rangA = rang A = n , то система совместна и имеет единственное решение;
~
 если rangA = rang A < n, то система совместна и имеет бесконечное множество
решений;
~
 если rangA < rang A , то система несовместна.
Пример 1.3. Решить систему линейных уравнений:
3 x1  3 x 2  7 x 3  7

 x1  x 2  3 x 3  4 .
2 x  2 x  4 x  3
 1
2
3
Решение. Приведем расширенную матрицу системы:
3 3 7 7
~ 

A  1 1 3 4
 2 2 4 3


к трапециевидной форме. Поменяем местами первую и вторую строки матрицы, затем
умножим элементы первой строки на –3 и прибавим к элементам второй сроки, элементы первой строки умножим на –2 и прибавим к элементам третьей строки, получим:
1. Элементы линейной алгебры
20
 3 3 7 7   ( 3)  ( 2)
~ 

+
+
A  1 1 3 4
 2 2 4 3


4
1 1 3
~ ( 2) 

~ A
  0 0  2  5 .
0 0  2  5


Полученная матрица не является трапециевидной, так как на главной диагонали
есть элемент, равный нулю. Поменяем местами второй и третий столбцы матрицы, затем умножим элементы второй строки на –1 и прибавим к элементам третьей строки,
получим:
1 3 1 4
~ ( 2) 

A
~  0  2 0  5   ( 1)
0  2 0  5


+
1 3 1 4
~ ( 3) 

~ A   0  2 0  5 .
0 0 0 0 


~
Матрица A ( 3) имеет трапециевидную форму, причем в полученных матрицах по
~
две ненулевых, строки, т.е. rang A = rang A = 2, следовательно, по теореме КронекераКапелли система совместна и имеет бесконечное множество решений. Полученной
матрице соответствует система уравнений, эквивалентная исходной:
 y1  3 y 2  y3  4
 y  3 y 2  4  y3
или  1

2 y2
 5
2 y 2  5


где y1 = x1, y2 = x3, y3 = x2, (второй и третий столбцы в расширенной матрице менялись
местами). Пусть у3 = t, тогда из второго уравнения находим у2 = 2,5 и, подставляя у2 в
первое уравнение, получим у1 = –3,5 – t. Таким образом, решением данной системы
уравнений будут t  R : х1 = –3,5 – t, х2 = t, x3 = 2,5.
1.9. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
Множество L называется линейным пространством, а его элементы – векторами (будем обозначать их с чертой сверху), если:
1) определена операция сложения, которая a  L, b  L ставит в соответствие
элемент c  L , называемый суммой, который обозначается a  b ;
2) определена операция умножения на число, которая a  L и   R ставит в
соответствие элемент c  L , называемый произведением вектора a на число  , который обозначается a ;
3) a  L, b  L, c  L и   R,   R выполняются следующие аксиомы:
1°. a  b  b  a ;
2о. (a  b )  c  a  (b  c ) ;
3°. существует единственный вектор 0  L такой, что a  L справедливо равенство: a  0  a ;
4°. a  L, (  a )  L такой, что ; a  (a )  0 ;
5°.  ( a  b )  a  b ;
6°. (   ) a  a  a ;
7°.  ( a )  ( )a ;
8°. a  L, 1  a  a .
1. Элементы линейной алгебры
21
Вектор  a  (1)a называется противоположным вектору a . Вектор 0 называется нулевым вектором. Сумма векторов a и  b называется разностью и обозначается: a  b .
Выражение вида 1a1  1a2     n an называется линейной комбинацией векторов a1 , a2 , , an . Линейная комбинация векторов называется тривиальной, если
1   2     n  0,
и нетривиальной, если  i  0 . Далее будем использовать факт, что
1   2     n  0  12   22     n2  0,
 i  0  12   22     n2  0 .
Система векторов a1 , a2 , , an называется линейно зависимой, если существует
нетривиальная линейная комбинация этих векторов, равная нулевому вектору.
Если равенство нулевому вектору возможно лишь для тривиальной линейной
комбинации, то система векторов a1 , a2 , , an называется линейно независимой.
Таким образом:
система векторов линейно зависима, если 1 , 2 ,, n такие, что
a12  a22    an2  0 и 1a1   2 a2     n an  0,
система векторов линейно независима, если 1 , 2 ,, n справедливо
1a1   2 a2     n an  0  12   22     n2  0.
Утверждение 1.5. Система из n (n > 1) ненулевых векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда хотя бы один из векторов является линейной комбинацией
остальных.
Доказательство
Необходимость. Так как система векторов линейно зависима, то 1 ,  2 ,  ,  n
такие, что
a12  a 22    a n2  0 и 1a1   2 a 2     n a n  0 .
Пусть, например, аi  0, тогда
 i ai  1a1   2 a 2     i 1ai 1   i 1ai 1     n a n






ai  1a1   2 a2  ...   i 1ai 1   i 1ai 1  ...   n an ,
или
 k   k /  i (k  1, 2, ..., i  1, i  1,..., n) .
где
Таким образом, вектор ai является линейной комбинацией остальных n – 1 векторов.
Достаточность. Пусть, например,
ai  1a1   2 a 2     i 1ai 1   i 1ai 1     n a n ,
перенесем ai , в правую часть равенства и получим нетривиальную линейную комбинацию векторов (так как  i  1  0 ), равную 0 .
Базисом в линейном пространстве L называется любая упорядоченная система
векторов, обладающая следующими свойствами:
 она линейно независима;
 любой вектор из L является линейной комбинацией векторов этой системы.
1. Элементы линейной алгебры
22
Пусть таких векторов в системе n штук. Обозначим эти векторы: e1 , e2 ,, en . Коэффициенты линейной комбинации векторов, о которой идет речь в определении (свойство б), называются координатами вектора в базисе e1 , e2 , , en , т.е., если x  L , то
x  x1e1  x2 e2    xn en ,
и тогда x1 , x2 ,, xn – координаты вектора x в базисе e1 , e2 , , en . Обозначим через Х
матрицу-столбец, состоящую из координат вектора x , через e – матрицу-строку, состоn
ящую из векторов базиса ei , тогда x  eX   xi ei .
i 1
Утверждение 1.6
Координаты любого вектора определяются в базисе e однозначно.
n
n
Доказательство. Пусть x   xi ei , x   ~
xi ei , тогда
i 1
i 1
n
n
n
i 1
i 1
i 1
 xi ei   ~xi ei   ( xi  ~xi )ei
0
.
Так как система векторов ei линейно независима, то все коэффициенты полученной линейной комбинации равны 0, т.е.
i  J :  i  xi  ~
xi  0  xi  ~
xi ,
следовательно, координаты вектора x определяются однозначно.
Утверждение 1.7
Координаты вектора x  y в базисе e равны сумме координат векторов x и y .
Координаты вектора x в базисе e равны координатам вектора x , умноженным на  .
Доказательство. Пусть x  eX , y  eY , z  x  y , z  eZ , тогда
z  eX  eY  e( X  Y )  Z  X  Y .
Если z  x , то z   (eX )  e(X )  eZ  Z  X .
Следствие. Координаты линейной комбинации векторов равны линейным комбинациям координат векторов.
Линейное пространство L, в котором существует базис из n векторов, называется
n-мерным, а число n – размерностью пространства. Для обозначения n-мерного
пространства используется символ Ln .
Утверждение 1.8
В n-мерном линейном пространстве любая упорядоченная линейно независимая
система из n векторов является базисом.
Доказательство очевидно (вытекает из определения базиса). В частности, любых
три линейно независимых вектора в L3 образуют базис.
Если a , b , c – базис в L3 , то равенство
1a   2 b   3 c  0 ,
возможно лишь тогда, когда 1   2   3  0 , т.е. система
1a1   2 b1   3 c1  0

1a 2   2 b2   3 c 2  0 ,
 a   b   c  0
 1 3
2 3
3 3
1. Элементы линейной алгебры
23
где ai , bi , ci (i  1, 2, 3) – координаты векторов a , b , c в базисе e1 , e2 , e3 соответственно, должна иметь единственное решение. Тогда по теореме 1.1 получаем условие линейной независимости трех векторов:
a1 b1 c1
a2
b2
c2  0.
a3
b3
c3
Если векторы a , b , c образуют базис в L3 , то по определению базиса любой вектор d  L3 можно представить в виде:
d  1a   2b   3c ,
или, в координатной записи:
 1 a1   2 b1   3 c1  d 1 ;

 1 a 2   2 b 2   3 c 2  d 2 ;
 a   b   c  d .
 1 3
2 3
3 3
3
Числа 1 ,  2 ,  3 называются координатами вектора d в базисе a , b , c .
24
1. Элементы линейной алгебры
ВВЕДЕНИЕ .......................................................................................................................................................... 3
1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ ...................................................................................................... 4
1.1. Понятие матрицы ................................................................................................................................................................................. 4
1.2. Перестановки ........................................................................................................................................................................................ 4
1.3. Определители ....................................................................................................................................................................................... 6
1.4. Системы линейных уравнений. Формулы Крамера .......................................................................................................................... 9
1.5. Действия над матрицами ................................................................................................................................................................... 10
1.6. Матричное решение систем линейных уравнений .......................................................................................................................... 14
1.7. Ранг матрицы ...................................................................................................................................................................................... 14
1.8. Метод Гаусса. Теорема Кронекера-Капелли .................................................................................................................................... 16
1.9. Линейные пространства..................................................................................................................................................................... 20