Основы вариационного исчисления - Учебно

РОССИЙСКАЯ ФЕДЕРАЦИЯ
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Институт математики и компьютерных наук
Кафедра алгебры и математической логики
Обухов А.Г.
ОСНОВЫ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
Учебно-методический комплекс.
Рабочая программа для студентов
направления 44.03.01 - "Педагогическое образование",
профиль подготовки "Математическое образование".
Форма обучения - очная
Тюменский государственный университет
2014
2
Обухов А.Г. ОСНОВЫ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ. Учебнометодический комплекс. Рабочая программа для студентов направления
44.03.01 -"Педагогическое образование", профиль подготовки "Математическое образование", форма обучения - очная. Тюмень, 2014, 21 стр.
Рабочая программа составлена в соответствии с требованиями ФГОС
ВПО с учетом рекомендаций и ПрООП ВПО по направлению и профилю подготовки.
Рабочая программа дисциплины опубликована на сайте ТюмГУ: «Основы вариационного исчисления» [электронный ресурс] / Режим доступа:
http://www.umk3.utmn.ru., свободный.
Рекомендовано к изданию кафедрой алгебры и математической логики.
Утверждено директором Института математики и компьютерных наук.
ОТВЕТСТВЕННЫЙ РЕДАКТОР: заведующий кафедрой алгебры и математической логики, доктор физико-математических наук, профессор
В.Н.Кутрунов
© Тюменский государственный университет, 2014.
© Обухов А.Г., 2014.
3
1. Пояснительная записка
1.1. Цели и задачи дисциплины
Цели изучения дисциплины «Основы вариационного исчисления»:
− формирование общекультурных компетенций студентов, обучающихся
по направлению «Педагогическое образование» на основе изучения дисциплины;
− формирование базовых профессиональных компетенций в области использования методов прикладной математики для решения задач в избранной сфере деятельности;
− усвоение основ вариационного исчисления, необходимых для решения
теоретических и практических задач;
− привитие навыков самостоятельного изучения специальной литературы;
− формирование математической культуры студента;
В целом в результате освоения дисциплины студенты должны:
− знать основы классического вариационного исчисления;
− уметь применять вариационные принципы при решении известных
уравнений математической физики;
− владеть навыками использования средств вариационного исчисления
для решения прикладных задач математической физики.
Задачи изучения дисциплины «Основы вариационного исчисления»:
− формирование у студентов представление об основных понятиях и
принципах вариационного исчисления;
− обучение студентов методам решения вариационных задач;
− привитие способности строить математические модели социальных,
экономических, физических процессов и явлений, делать выводы из полученных математических результатов;
− знакомство студентов с учебной и научной литературой по методам вариационного исчисления.
1.2. Место дисциплины в структуре образовательной программы
Дисциплина «Основы вариационного исчисления» является дисциплиной
цикла Б3 – Дисциплины профессионального цикла (вариативная часть, дисциплины по выбору).
Для ее успешного изучения необходимы знания, приобретенные в результате освоения предшествующих дисциплин: «Математический анализ», «Аналитическая геометрия», «Дифференциальные уравнения», «Уравнения в частных производных».
Освоение дисциплины «Вариационное исчисление» необходимо для
написания выпускной квалификационной работы.
4
1.3. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения
данной образовательной программы бакалавриата
В результате освоения ОП выпускник должен обладать следующими общекультурными компетенциями (ОК):
− владеет культурой мышления, способен к обобщению, анализу, восприятию информации, постановке цели и выбору путей её достижения (ОК-1);
− способен логически верно использовать устную и письменную речь
(ОК-6);
В результате освоения ОП выпускник должен обладать следующими общепрофессиональными компетенциями:
− способен использовать систематизированные теоретические и практические знания гуманитарных, социальных и экономических наук при решении
социальных и профессиональных задач (ОПК-2);
− способен реализовывать учебные программы базовых и элективных
курсов в различных образовательных учреждениях (ПК-1);
− готов применять современные методики и технологии, в том числе и
информационные, для обеспечения качества учебно-воспитательного процесса
на конкретной образовательной ступени конкретного образовательного учреждения (ПК-2).
1.4. Перечень планируемых результатов обучения по дисциплине
В результате освоения дисциплины «Вариационное исчисление» выпускник должен:
знать
− типовые задачи математической физики, приводящие к вариационным
проблемам;
− теоретические основы и практические приложения разделов курса вариационного исчисления;
уметь
− формулировать и доказывать основные результаты дисциплины;
− применять методы вариационного исчисления к задачам техники, экономики и естествознания;
− использовать пакеты прикладных программ при решении задач;
− решать классические задачи вариационного исчисления;
владеть
− методами решения вариационных задач;
− навыками использования средств вариационного исчисления для решения прикладных задач математической физики.
5
2. Структура и трудоемкость дисциплины.
Семестр седьмой. Форма промежуточной аттестации - экзамен. Общая
трудоемкость дисциплины составляет четыре зачетных единицы; 144 академических часа, из них 76.65 часа, выделенных на контактную работу с преподавателем, 67.35 часа, выделенных на самостоятельную работу.
Таблица 1
Всего часов
Вид учебной работы
Контактная работа со студентами
Аудиторные занятия (всего)
В том числе:
Лекции
Практические занятия (ПЗ)
Семинары (С)
Лабораторные работы (ЛР)
Иные виды работ
Самостоятельная работа (всего)
В том числе контрольные работы
Вид промежуточной аттестации (зачет, экзамен)
Общая трудоемкость
час
зач. ед.
76.65
72
36
36
4.65
67.35
36
экзамен
144
4
3. Тематический план
№
1
Тема
2
Модуль 1
Недели
семестра
Таблица 2
Виды учебной работы и самостоятельная работа, в час.
Итого
часов
по теме
Итого
количество
баллов
Лекции
Практические
занятия
Самостоятельная
работа*
3
4
5
6
7
8
1-2
4
4
8
16
0-14
1.1 Основные поня-
тия вариационного
исчисления. Необходимые
условия
экстремума
функционала.
6
1.2 Простейшая за-
дача вариационного
исчисления. Уравнение
Эйлера.
1.3 Обобщения
простейшей задачи вариационного исчисления.
3-4
4
4
8
16
0-14
5-6
4
4
8
16
0-12
12
12
24
48
0-40
4
4
8
16
0-10
4
4
8
16
0-10
4
4
8
16
0-10
12
12
24
48
0-30
1314
4
4
8
16
0-10
1516
4
4
8
16
0-10
1718
4
4
8
16
0-10
12
24
48
0-30
36
72
144
0-100
Всего*
Модуль 2
2.1 Достаточные
условия экстре7-8
мума функционала.
2.2 Вариационная
задача на услов- 9-10
ный экстремум.
2.3 Приближенные
методы решения
вариационных
задач.
1112
Всего*
Модуль 3
3.1 Вариационные
задачи с подвижными границами.
3.2 Разрывные задачи. Односторонние вариации.
3.3 Приложения вариационного
исчисления
к
задачам механики и физики.
Всего*
12
Итого (часов,
36
баллов)
* в том числе иные виды работ
7
4. Виды и формы оценочных средств в период текущего контроля
Таблица 3
Ответ на практическом занятии
Контрольная
работа
Итого количество
баллов
1.1
0-4
0-10
0-14
1.2
0-4
0-10
0-14
1.3
0-4
0-8
0-12
Всего
Модуль 2
0-12
0-28
0-40
2.1
0-4
0-6
0-10
2.2
0-4
0-6
0-10
2.3
0-4
0-6
0-10
Всего
Модуль 3
0-12
0-18
0-30
3.1
0-4
0-6
0-10
3.2
0-4
0-6
0-10
3.3
0-4
0-6
0-10
Всего
Итого
0-12
0-36
0-18
0-64
0-30
0-100
№ темы
Модуль 1
5. Содержание дисциплины.
Модуль 1.
1.1. Основные понятия вариационного исчисления. Необходимые условия экстремума функционала.
Функционал. Непрерывность функционала. Линейные функционалы в линейном нормированном пространстве. Вариация функционала. Постановка задачи вариационного исчисления. Слабый и сильный экстремум. Необходимые
условия экстремума функционала.
1.2. Простейшая задача вариационного исчисления. Уравнение Эйлера.
Постановка простейшей задачи вариационного исчисления. Основная
лемма вариационного исчисления. Уравнение Эйлера. Простейшие случаи интегрируемости уравнения Эйлера.
8
1.3. Обобщения простейшей задачи вариационного исчисления.
Функционалы, зависящие от производных высшего порядка. Уравнение
Эйлера-Пуассона. Функционалы, зависящие от нескольких функций. Система
уравнений Эйлера. Функционалы, зависящие от функций нескольких независимых переменных. Уравнение Эйлера-Остроградского. Вариационная задача
в параметрической форме. Уравнения Эйлера в форме Вейерштрасса.
Модуль 2.
2.1. Достаточные условия экстремума функционала.
Поле экстремалей. Функция Вейерштрасса. Достаточные условия Вейерштрасса для простейшей задачи вариационного исчисления. Достаточные
условия Лежандра. Фигуратриса.
2.2. Вариационная задача на условный экстремум.
Постановка задачи на условный экстремум. Необходимые условия экстремума. Задача Дидоны. Принцип взаимности изопериметрических задач. Необходимые условия высших порядков и достаточные условия. Геодезические
линии. Решение вариационных задач на условный экстремум с использованием
пакетов прикладных программ Maple, MatCad, Matlab.
2.3. Приближенные методы решения вариационных задач.
Прямые методы в вариационных задачах. Конечно-разностный метод Эйлера. Метод Ритца.
Модуль 3.
3.1. Вариационные задачи с подвижными границами.
Постановка задачи с подвижными границами. Нахождение экстремума
функционала. Условия трансверсальности. Геодезическое расстояние. Решение
вариационных задач.
3.2. Разрывные задачи. Односторонние вариации.
Кусочно-гладкие допустимые кривые. Разрывные задачи первого рода.
Условия Вейерштрасса-Эрдмана. Разрывные задачи второго рода. Односторонние вариации.
3.3. Приложения вариационного исчисления к задачам механики и физики. Задача определения статического равновесия. Задача определения формы
закрепленной струны. Условие минимума потенциальной энергии. Сведение
вариационной задачи к краевой задаче для дифференциального уравнения.
Принцип Ферма в оптике.
6. Планы практических занятий
Модуль 1.
1.1.
1) Функционал. Непрерывность функционала. Линейные функционалы в
линейном нормированном пространстве. Вариация функционала.
2) Постановка задачи вариационного исчисления. Слабый и сильный экстремум. Необходимые условия экстремума функционала.
9
1.2.
3) Постановка простейшей задачи вариационного исчисления. Основная
лемма вариационного исчисления.
4) Уравнение Эйлера. Простейшие случаи интегрируемости уравнения
Эйлера.
1.3.
5) Функционалы, зависящие от производных высшего порядка. Уравнение
Эйлера-Пуассона.
6) Функционалы, зависящие от функций нескольких независимых переменных. Уравнение Эйлера-Остроградского. Вариационная задача в параметрической форме.
Модуль 2.
2.1.
7) Поле экстремалей. Функция Вейерштрасса. Достаточные условия Вейерштрасса для простейшей задачи вариационного исчисления.
8) Достаточные условия Лежандра.
2.2.
9) Постановка задачи на условный экстремум. Необходимые условия экстремума. Задача Дидоны.
10) Принцип взаимности изопериметрических задач. Необходимые условия высших порядков и достаточные условия.
2.3.
11) Прямые методы в вариационных задачах.
12) Конечно-разностный метод Эйлера. Метод Ритца.
Модуль 3.
3.1.
13) Постановка задачи с подвижными границами.
14) Нахождение экстремума функционала. Условия трансверсальности.
3.2.
15) Кусочно-гладкие допустимые кривые. Разрывные задачи первого рода.
16) Разрывные задачи второго рода. Односторонние вариации.
3.3.
17) Задача определения статического равновесия. Задача определения
формы закрепленной струны.
18) Сведение вариационной задачи к краевой задаче для дифференциального уравнения.
7. Темы лабораторных работ (Лабораторный практикум).
Не предусмотрен.
10
8. Планирование самостоятельной работы студентов
Таблица 4
Виды СРС
№
1.1
1.2
1.3
2.1
2.2
Модули и темы
Модуль 1
Основные понятия вариационного исчисления. Необходимые условия экстремума функционала
Простейшая задача вариационного исчисления. Уравнение Эйлера.
Обобщения простейшей
задачи вариационного
исчисления
Всего по модулю 1
Модуль 2
Достаточные условия
экстремума функционала
Вариационная задача на
условный экстремум
2.3 Приближенные методы
решения вариационных
задач.
Всего по модулю 2
Модуль 3
3.1 Вариационные задачи с
подвижными границами
3.2 Разрывные задачи. Односторонние вариации.
3.3 Приложения вариационного исчисления к задачам механики и физики.
Всего по модулю 3
обязательные
работа с
литературой,
дом. задание
работа с
литературой
работа с
литературой
дом.
задание
решение
дом. задания
решение
дом. задания
работа с
литературой
работа с
литературой
работа с
литературой
дополнительные
подготовка
к контрольной работе
подготовка
к контрольной работе
подготовка
к контрольной работе
подготовка
к контрольной работе
подготовка
к контрольной работе
подготовка
к контрольной работе
Неделя семестра
Объем
часов
Колво
баллов
1-2
8
0-15
3-4
8
0-15
5-6
8
0-10
24
0-40
7-8
8
0-10
9-10
8
0-10
11-12
8
0-10
24
0-30
13-14
8
0-10
15-16
8
0-10
17-18
8
0-10
24
0-30
0-
72
ИТОГО
11
100
9. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины (модуля).
9.1 Перечень компетенций с указанием этапов их формирования в
процессе освоения образовательной программы (выдержка из матрицы
компетенций):
Таблица 5.
Циклы
Б1.Б.2
Б2.Б.2
Б3.Б.2.1
Б3.Б.2.3
Б3.В.ОД.1
Б3.В.ОД.2
Б3.В.ОД.3
Б3.В.ОД.4
Б3.В.ОД.5
Б3.В.ОД.6
Б3.В.ОД.7
Б3.В.ОД.8
Б3.В.ОД.9
Б3.В.ОД.10
Б3.В.ОД.11
Б3.В.ОД.12
Б3.В.ДВ.1.1
Б3.В.ДВ.1.2
Б3.В.ДВ.3.1
Б3.В.ДВ.3.2
Б3.В.ДВ.4.1
Б3.В.ДВ.4.2
Б3.В.ДВ.6.2
Б3.В.ДВ.7.1
Б3.В.ДВ.7.2
Б3.В.ДВ.8.1
Б3.В.ДВ.8.2
Б3.В.ДВ.9.1
Б3.В.ДВ.9.2
Б3.В.ДВ.10.1
Семестр
Название дисциплины (модуля), практики, ИГА
ОК-1
Философия
6
Основы математической обработки информации
6
Общие основы педагогики
1
3
Основы дидактики
Математический анализ
1,2,3,4
Теория функций действительного переменного
5
6
Теория функций комплексного переменного
Дифференциальные уравнения и уравнения с частными произ4
водными
Алгебра
1,2,3
Геометрия
1,2,3
8
Числовые системы
5
Математическая логика и теория алгоритмов
5
Теория вероятностей и математическая статистика
7
Дискретная математика
4,5,6
Элементарная математика
6,7,8
Практикум по решению математических задач
2
Геометрические построения на плоскости и в пространстве
2
Конструктивная геометрия и методы изображений
Избранные вопросы дифференциального и интегрального ис2
числения
2
Действительные числа
4
Теория чисел
4
Дополнительные главы алгебры
4
Теоретико-множественная топология
5
Основания геометрии
5
Неевклидовы геометрии
5
Физика
5
Теоретическая механика
Избранные вопросы теории функций действительной пере6
менной
6
Функциональный анализ
6
Дополнительные главы теории вероятностей и математической
12
статистики
Случайные процессы
Теория экстремальных и оптимизационных задач
Основы вариационного исчисления
Методология и методы психолого-педагогических исследоваБ3.В.ДВ.13.1
ний
Б3.В.ДВ.13.2 Педагогическая инноватика
ИГА
Итоговая государственная аттестация
ОК-6
Б1.Б.3
Иностранный язык
Б1.Б.4
Культура речи (с ИБК)
Б1.В.ОД.1
Иностранный язык в профессиональной сфере
Б2.Б.3
Естественно-научная картина мира
Б3.Б.2.3
Основы дидактики
Б3.В.ОД.1
Математический анализ
Б3.В.ОД.2
Теория функций действительного переменного
Б3.В.ОД.3
Теория функций комплексного переменного
Дифференциальные уравнения и уравнения с частными произБ3.В.ОД.4
водными
Б3.В.ОД.5
Алгебра
Б3.В.ОД.6
Геометрия
Б3.В.ОД.7
Числовые системы
Б3.В.ОД.8
Математическая логика и теория алгоритмов
Б3.В.ОД.9
Теория вероятностей и математическая статистика
Б3.В.ОД.10
Дискретная математика
Б3.В.ОД.11
Элементарная математика
Б3.В.ОД.12
Практикум по решению математических задач
Б3.В.ДВ.1.1 Геометрические построения на плоскости и в пространстве
Б3.В.ДВ.1.2 Конструктивная геометрия и методы изображений
Б3.В.ДВ.2.1 Практикум по воспитательной работе классного руководителя
Б3.В.ДВ.2.2 Педагогическая режиссура
Избранные вопросы дифференциального и интегрального исБ3.В.ДВ.3.1
числения
Б3.В.ДВ.3.2 Действительные числа
Б3.В.ДВ.4.1 Теория чисел
Б3.В.ДВ.4.2 Дополнительные главы алгебры
Б3.В.ДВ.6.1 Внеклассная работа по математике в школе
Б3.В.ДВ.6.2 Теоретико-множественная топология
Б3.В.ДВ.7.1 Основания геометрии
Б3.В.ДВ.7.2 Неевклидовы геометрии
Б3.В.ДВ.8.1 Физика
Б3.В.ДВ.8.2 Теоретическая механика
Избранные вопросы теории функций действительной переБ3.В.ДВ.9.1
менной
Б3.В.ДВ.9.2 Функциональный анализ
Дополнительные главы теории вероятностей и математической
Б3.В.ДВ.10.1
статистики
Б3.В.ДВ.10.2 Случайные процессы
Б3.В.ДВ.10.2
Б3.В.ДВ.12.1
Б3.В.ДВ.12.2
13
6
7
7
7
7
ИГА
1,2,3
1
1
3
3
1,2,3,4
5
6
4
1,2,3
1,2,3
8
5
5
7
4,5,6
6,7,8
2
2
2
2
2
2
4
4
4
4
5
5
5
5
6
6
6
6
7
Б3.В.ДВ.12.1 Теория экстремальных и оптимизационных задач
7
Б3.В.ДВ.12.2 Основы вариационного исчисления
ИГА
ИГА
Итоговая государственная аттестация
ОПК-2
2
Б3.Б.2.2
Основы воспитания
2
Б3.В.ДВ.1.1
Геометрические построения на плоскости и в пространстве
2
Б3.В.ДВ.1.2
Конструктивная геометрия и методы изображений
Избранные вопросы дифференциального и интегрального ис2
Б3.В.ДВ.3.1
числения
2
Б3.В.ДВ.3.2
Действительные числа
4
Б3.Б.1.2
Возрастная психология
4
Б3.Б.3
Социальная педагогика
Дифференциальные уравнения и уравнения с частными произ4
Б3.В.ОД.4
водными
4
Б3.В.ДВ.4.1
Теория чисел
4
Б3.В.ДВ.4.2
Дополнительные главы алгебры
4
Б3.В.ДВ.6.2
Теоретико-множественная топология
5
Б3.Б.1.3
Педагогическая психология
5
Б3.В.ОД.2
Теория функций действительного переменного
5
Б3.В.ОД.8
Математическая логика и теория алгоритмов
5
Б3.В.ОД.9
Теория вероятностей и математическая статистика
5
Б3.В.ДВ.7.2
Неевклидовы геометрии
5
Б3.В.ДВ.8.1
Физика
5
Б3.В.ДВ.8.2
Теоретическая механика
6
Б3.В.ОД.3
Теория функций комплексного переменного
Избранные вопросы теории функций действительной пере6
Б3.В.ДВ.9.1
менной
6
Б3.В.ДВ.9.2
Функциональный анализ
Дополнительные главы теории вероятностей и математиче6
Б3.В.ДВ.10.1
ской статистики
6
Б3.В.ДВ.10.2 Случайные процессы
6
Б3.В.ДВ.11.1 Обучение учащихся доказательству теорем
Методика обучения учащихся стереометрии посредством ре6
Б3.В.ДВ.11.2
шения задач
7
Б1.Б.5
Экономика образования
7
Б3.В.ОД.10
Дискретная математика
7
Б3.В.ОД.13
Системы компьютерной математики
7
Б3.В.ДВ.12.1 Теория экстремальных и оптимизационных задач
7
Б3.В.ДВ.12.2 Основы вариационного исчисления
Методология и методы психолого-педагогических исследова7
Б3.В.ДВ.13.1
ний
7
Б3.В.ДВ.13.2 Педагогическая инноватика
8
Б3.В.ОД.7
Числовые системы
ПК-1
Практика
Б5.У.1
Учебная практика
Практика
Б5.П.1
Педагогическая практика
1,2,3
Б3.В.ОД.5
Алгебра
1,2,3
Б3.В.ОД.6
Геометрия
14
Б3.В.ОД.5
Б3.В.ОД.6
Б3.В.ОД.1
Б1.В.ОД.1
Б3.В.ОД.1
Б3.В.ДВ.1.1
Б3.В.ДВ.1.2
Б3.В.ДВ.3.1
Б3.В.ДВ.3.2
Б2.В.ДВ.1.1
Б2.В.ДВ.1.2
Б3.Б.2.3
Б4
Б3.Б.2.3
Б3.В.ОД.4
Б3.В.ДВ.4.1
Б3.В.ДВ.4.2
Б3.В.ДВ.6.2
Б3.В.ОД.2
Б3.В.ОД.8
Б3.В.ОД.9
Б3.В.ДВ.7.2
Б3.В.ДВ.8.1
Б3.В.ДВ.8.2
Б3.В.ОД.11
Б3.В.ОД.11
Б3.В.ДВ.11.1
Б3.В.ДВ.11.2
Б1.Б.2
Б2.Б.2
Б3.В.ОД.3
Б3.В.ДВ.9.1
Б3.В.ДВ.9.2
Б3.В.ДВ.10.1
Б3.В.ДВ.10.2
Б3.В.ДВ.11.1
Б3.В.ДВ.11.2
Б3.В.ДВ.14.1
Б3.В.ДВ.14.2
Б3.Б.5
Б3.Б.5
1,2,3
Алгебра
1,2,3
Геометрия
1,2,3,4
Математический анализ
1,2,3,4
Иностранный язык в профессиональной сфере
1,2,3,4
Математический анализ
2
Геометрические построения на плоскости и в пространстве
2
Конструктивная геометрия и методы изображений
Избранные вопросы дифференциального и интегрального ис2
числения
2
Действительные числа
3
Возрастная анатомия, физиология и гигиена
3
Основы медзнаний и здоровый образ жизни
3
Основы дидактики
1,2,3,4,5,6
Физическая культура
3
Основы дидактики
Дифференциальные уравнения и уравнения с частными произ4
водными
4
Теория чисел
4
Дополнительные главы алгебры
4
Теоретико-множественная топология
5
Теория функций действительного переменного
5
Математическая логика и теория алгоритмов
5
Теория вероятностей и математическая статистика
5
Неевклидовы геометрии
5
Физика
5
Теоретическая механика
4,5,6
Элементарная математика
4,5,6
Элементарная математика
6
Обучение учащихся доказательству теорем
Методика обучения учащихся стереометрии посредством ре6
шения задач
6
Философия
6
Основы математической обработки информации
6
Теория функций комплексного переменного
Избранные вопросы теории функций действительной пере6
менной
6
Функциональный анализ
Дополнительные главы теории вероятностей и математиче6
ской статистики
6
Случайные процессы
6
Обучение учащихся доказательству теорем
Методика обучения учащихся стереометрии посредством ре6
шения задач
6
Преподавание математики в профильных классах
Проектирование и реализация элективных курсов по матема6
тике
5,6,7
Методика обучения и воспитания
5,6,7
Методика обучения и воспитания
15
Б1.В.ОД.2
Б3.В.ОД.10
Б3.В.ОД.13
Б3.В.ДВ.12.1
Б3.В.ДВ.12.2
Б3.В.ОД.12
Б3.В.ОД.12
Б3.В.ДВ.14.1
Б3.В.ДВ.14.2
Б3.В.ДВ.15.1
Б3.В.ДВ.15.2
Б3.В.ДВ.16.1
Б3.В.ДВ.16.2
Б3.В.ОД.7
Б3.В.ДВ.16.1
Б3.В.ДВ.16.2
Б3.В.ДВ.17.1
Б3.В.ДВ.17.2
Основы предпринимательской деятельности
Дискретная математика
Системы компьютерной математики
Теория экстремальных и оптимизационных задач
Основы вариационного исчисления
Практикум по решению математических задач
Практикум по решению математических задач
Преподавание математики в профильных классах
Проектирование и реализация элективных курсов по математике
Современные средства оценивания результатов обучения
Теория и практика конструирования педагогических тестов
Дополнительные главы теории и методики обучения математике
Методика подготовки к государственной аттестации по математике
Числовые системы
Дополнительные главы теории и методики обучения математике
Методика подготовки к государственной аттестации по математике
История математики
История развития математических понятий
7
7
7
7
7
6,7,8
6,7,8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
9.2. Описание показателей и критериев оценивания компетенций на
различных этапах их формирования, описание шкал оценивания:
Таблица 6.
Компетенции
Карта критериев оценивания компетенций
Критерии в соответствии с уровнем освоения ОП
пороговый
базовый (хор.)
повышенный
(удовл.)
76-90 баллов
(отл.)
61-75 баллов
91-100 баллов
16
Виды занятий
(лекции,
семинарские,
практические, лабораторные)
Оценочные средства (тесты,
творческие работы,
проекты
и др.)
ОПК -2
Знает основы
культуры мышления, обобщения
и анализа восприятия информации
Умеет обобщать информацию
Умеет обобщать,
анализировать
информацию
Владеет способностью восприятия информации
Владеет способностью восприятия информации,
постановкой цели
Знает как верно использовать устную
речь
Знает как верно
использовать
устную и письменную речь
Умеет верно использовать устную речь
Умеет верно использовать устную и письменную речь
Владеет способностью верно использовать устную речь
Владеет способностью верно использовать устную и письменную речь
Знает типовые задачи, приводящие к вариационным проблемам
Знает типовые
задачи, приводящие к вариационным проблемам и
методы их решения
Умеет доказывать основные результаты дисциплины
ОК-6
ОК-1
Знает основы культуры мышления
Умеет формулировать основные результаты дисциплины
17
Знает основы
культуры мышления, способен
к обобщению,
анализу, восприятию информации, постановке
цели и выбору
путей её достижения
Умеет обобщать, анализировать и воспринимать информацию
Владеет способностью восприятия информации,
постановкой цели и выбора путей её достижения
Знает как логически верно использовать устную и письменную речь
Умеет логически верно использовать устную и письменную речь
Владеет способностью логически верно использовать устную и письменную речь
Знает задачи,
приводящие к
вариационным
проблемам и методы их решения
Умеет формулировать и доказывать основные
результаты дисциплины
Доклад на
семинаре,
Лекции,
конпрактичетрольная
ские заняработа,
тия
коллоквиум
Доклад на
семинаре,
Лекции,
конпрактичетрольная
ские заняработа,
тия
коллоквиум
Доклад на
семинаре,
Лекции,
конпрактичетрольная
ские заняработа,
тия
коллоквиум
Владеет методами
решения вариационных задач
ПК - 1
Знает теоретические
основы разделов курса
«Основы вариационного исчисления»
Умеет решать классические задачи теории вариационных задач
Владеет навыками
использования
средств теории вариационных задач для
решения прикладных
задач
Владеет методами решения вариационных задач
Владеет методами решения
вариационных
задач
Знает практичеЗнает теоретические приложения
ские основы и
разделов курса
практические
«Основы вариаци- приложения разонного исчиследелов курса «Осния»
новы вариационного исчисления»
Умеет использо- Умеет примевать пакеты при- нять методы
кладных протеории вариациграмм при решеонных задач к
нии задач
задачам техники,
экономики и
естествознания
Владеет навыка- Владеет навыми использования ками использосредств теории
вания средств
вариационных за- теории вариацидач для решения
онных задач для
прикладных задач решения прикладных задач
Доклад на
семинаре,
Лекции,
конпрактичетрольная
ские заняработа,
тия
коллоквиум
10. Учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы студентов. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины
10.1. Примерные задания для контрольной работы
1. Найти экстремали заданных функционалов J[y].
2. Найти семейства экстремалей заданных функционалов J[y,z].
3. Найти экстремум заданного функционал J[y,z] при наличии конечного
уравнения связи f(x,y,z)=0.
4. Решить изопериметрическую задачу.
5. Найти геодезические линии заданной поверхности.
6. Найти условие трансверсальности для заданных функционалов J[y].
7. Найти кратчайшее расстояние от точки М(x0, y0 , z0) до заданной поверхности.
8. Найти геодезическое расстояние от точки А(x1, y1) до точки В(x2,y2), если оно определяется с помощью функционала.
18
10.2. Примерные задания для курсового проекта
1. Найти первую вариацию функционала, определенного на нормированном пространстве непрерывно дифференцируемых функций.
2. Найдите все экстремали функционала, удовлетворяющие заданным
краевым условиям.
3. Среди плоских кривых, соединяющих две точки (x1,y1) и (x2,y2), найти
ту, которая при вращении вокруг оси Ox образует поверхность наименьшей
площади.
4. Найти функции, на которых может достигаться экстремум заданного
функционала при заданных краевых условиях.
5. Найти все экстремали заданного функционала, удовлетворяющие заданным краевым условиям.
6. Найти экстремали в вариационной задаче с правыми подвижными концами
7. Используя методы вариационного исчисления, найти расстояние от
начала координат до плоской кривой x2y=1.
8. Найти геодезические линии кругового цилиндра радиуса R.
9. Найти кратчайшее расстояние между точками А и В на круговом цилиндре, ось которого совпадает с одной из координатных осей.
10.3. Примерные вопросы для подготовки к экзамену
1. Вариация функционала. Постановка задачи вариационного исчисления.
2. Слабый и сильный экстремум. Необходимые условия экстремума функционала.
3. Постановка простейшей задачи вариационного исчисления. Основная
лемма вариационного исчисления.
4. Уравнение Эйлера.
5. Простейшие случаи интегрируемости уравнения Эйлера.
6. Функционалы, зависящие от производных высшего порядка. Уравнение
Эйлера-Пуассона.
7. Функционалы, зависящие от нескольких функций. Система уравнений
Эйлера.
8. Функционалы, зависящие от функций нескольких независимых переменных. Уравнение Эйлера-Остроградского.
9. Вариационная задача в параметрической форме.
10. Поле экстремалей. Функция Вейерштрасса. Достаточные условия Вейерштрасса для простейшей задачи вариационного исчисления.
11. Достаточные условия Лежандра.
12. Постановка задачи на условный экстремум. Необходимые условия
экстремума. Задача Дидоны.
13. Принцип взаимности изопериметрических задач.
14. Необходимые условия высших порядков и достаточные условия. Геодезические линии.
19
15. Постановка задачи с подвижными границами. Нахождение экстремума
функционала.
16. Условия трансверсальности.
17. Геодезическое расстояние.
18. Кусочно-гладкие допустимые кривые. Разрывные задачи первого рода.
19. Разрывные задачи второго рода.
20. Односторонние вариации.
21. Прямые методы вариационных задач.
22. Конечно-разностный метод Эйлера.
11. Образовательные технологии.
В соответствии с требованиями ФГОС при реализации различных видов
учебной работы в процессе изучения дисциплины «Вариационное исчисление»
предусматривается использование в учебном процессе технологии проблемного обучения, проблемно-исследовательского обучения (в частности, при самостоятельном изучении теоретического материала), дифференцированного обучения, репродуктивного обучения, проектная технология, а также современные
информационные технологии обучения.
В процессе проведения аудиторных занятий используются следующие
активные и интерактивные методы и формы обучения: проблемное практическое занятие, работа в малых группах, дискуссия, самостоятельная работа с
учебными материалами, представленными в электронной форме, защита курсовых проектов.
12. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины
(модуля).
12.1. Основная литература
1. Андреева,Е.А. Вариационное исчисление и методы оптимизации: учеб.
пособие для студ. мат. спец. и напр. подготовки ун-тов/ Е. А. Андреева, В. М.
Цирулева. - Москва: Высшая школа, 2006. - 584 с.
2. Вся высшая математика: для студ. втузов: [в 6 т.]/ М. Л. Краснов [и др.].
-Москва:УРСС.-ISBN5-354-00270-2 Т. 6: Вариационное исчисление; Линейное
программирование; Вычислительная математика; Теория сплайнов. - 2003. 256 с.
3. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в
упражнениях и задачах. - 6-е изд.-Москва: ОНИКС 21 век: Мир и Образование
Ч. 2. - 2002. - 416 с.
20
4. Краснов, М. Л. Вариационное исчисление: задачи и примеры с подробными решениями : учеб. пособие для студ. втузов/ М. Л. Краснов, Г. И. Макаренко, А. И. Киселев. - 3-е изд. - Москва: URSS, 2009. - 176 c.
12.2. Дополнительная литература
1. Будылин А.М. Вариационное исчисление[электронный ресурс] / Режим
доступа: http://lib.mexmat.ru/books/121
3. Лаврентьев М.А., Люстерник Л.А. Основы вариационного исчисления.
М., 1935 http://lib.mexmat.ru/books/1993
4. Пантелеев, А. В. Вариационное исчисление в примерах и задачах: учеб.
пособие для студ. втузов/ А. В. Пантелеев. - Москва: Высшая школа, 2006. 272 с.
5. Романко, В. К. Курс дифференциальных уравнений и вариационного
исчисления: учеб. пособие для студ. физ.-мат. спец. вузов/ В. К. Романко. - 2-е
изд. - Москва; Санкт-Петербург: Физматлит: Невский диалект: Лаборатория
Базовых Знаний, 2002. - 344 с.
6. Цлаф, Л. Я. Вариационное исчисление и интегральные уравнения:
справ. рук./ Л. Я. Цлаф. - 3-е изд., стер. - Санкт-Петербург: Лань, 2005. - 192 с.
12.3. Интернет-ресурсы
1. Федеральный портал «Российское образование»: http://www.edu.ru /.
2. Федеральное хранилище «Единая коллекция цифровых образовательных
ресурсов»: http://school-collection.edu.ru /.
3. Научная электронная библиотека eLIBRARY.RU: http://elibrary.ru /.
13. Перечень информационных технологий, используемых при осуществлении образовательного процесса по дисциплине (модулю), включая
перечень программного обеспечения и информационных справочных систем (при необходимости).
1. Microsoft Word.
2. Microsoft Excel.
3. Microsoft PowerPoint.
14. Технические средства и материально-техническое обеспечение
дисциплины (модуля).
Учебные аудитории для проведения лекционных и практических занятий, в частности, оснащенные интерактивной доской и/или проектором.
21
15. Методические указания для обучающегося по освоению дисциплины.
Для более эффективного освоения и усвоения материала рекомендуется
ознакомиться с теоретическим материалом по той или иной теме до проведения семинарского занятия. Работу с теоретическим материалом по теме с использованием учебника или конспекта лекций можно проводить по следующей
схеме:
- название темы;
- цели и задачи изучения темы;
- основные вопросы темы;
- характеристика основных понятий и определений, необходимых для
усвоения данной темы;
- список рекомендуемой литературы;
- наиболее важные фрагменты текстов рекомендуемых источников, в том
числе таблицы, рисунки, схемы и т.п.;
- краткие выводы, ориентирующие на определенную совокупность сведений, основных идей, ключевых положений, систему доказательств, которые
необходимо усвоить.
В ходе работы над теоретическим материалом достигается
- понимание понятийного аппарата рассматриваемой темы;
- воспроизведение фактического материала;
- раскрытие причинно-следственных, временных и других связей;
- обобщение и систематизация знаний по теме.
При подготовке к зачёту рекомендуется проработать вопросы, рассмотренные на лекционных и практических занятиях, и представленные в рабочей
программе, используя основную литературу, дополнительную литературу и
интернет-ресурсы.
22