

(Класс 11, модуль X, урок 1)
Урок 1. Первообразная
План урока








1.1. Определение первообразной
1.2. Признак постоянства функции
1.3. Основное свойство первообразных
1.4. Первообразная функции, определенной на нескольких промежутках
1.5. Таблица первообразных
1.6. Определение неопределенного интеграла
Тесты
Домашнее задание
Цели урока: определить понятие первообразной данной функции,
доказать, что все первообразные данной функции на промежутке
отличаются друг от друга на постоянную функцию, определить понятие
неопределенного интеграла и познакомиться с таблицей основных
интегралов.
1.1. Определение первообразной
Многие задачи естествознания и техники сводятся к нахождению
функции F ( x) по ее производной f ( x)  F ( x)
Например, пусть материальная точка движется прямолинейно с
постоянной скоростью v и требуется найти закон движения этой точки, то
есть функцию S (t ) выражающую зависимость пройденного пути S от
времени t
Так как v  s(t ) , то в данном примере по известной производной
требуется найти функцию S (t )
Заметим, что эта задача имеет бесконечное множество решений.
Например, функции vt vt  1 vt  12  vt  3 …, являются решениями, так как
1 

(vt )  (vt  1)   vt    (vt  3)  …  v
2

Введем следующее определение.
Функция F ( x) называется первообразной для функции f ( x) на
заданном промежутке, если для всех x из этого промежутка выполняется
равенство
F ( x)  f ( x)
В предыдущем примере функции vt , vt  1, vt 12 являются
первообразными для f (t )  v на промежутке () .
Вопрос. Как проверить, что функция F ( x) 
x5
есть первообразная
5
для функции f ( x)  x 4 на интервале () ?
1.2. Признак постоянства функции
При нахождении первообразных важную роль играет следующий
признак постоянства функции.
Теорема. Если F ( x)  0 на некотором промежутке, то функция
F ( x ) — постоянная на этом промежутке.
Доказательство. Выберем какое-нибудь число a из промежутка.
Тогда по теореме Лагранжа для любого другого числа x из промежутка
найдется такое число c , заключенное между x и a , что
F ( x)  F (a)  F (c)( x  a)
Так как число c принадлежит промежутку, то F (c)  0 . Следовательно,
F ( x)  F (a)  0
Таким образом, F ( x)  F (a ) , то есть функция F сохраняет постоянное
значение.
Вопрос. Верно ли утверждение, обратное к теореме этого пункта?
1.3. Основное свойство первообразных
В этом пункте рассмотрим основное свойство первообразных.
Теорема. Любые две первообразные F1 ( x) и F2 ( x) к одной и той же
f ( x ) , определенной на некотором промежутке,
функции
отличаются друг от друга на этом промежутке на постоянную
функцию.
Доказательство. По условию F1 ( x)  f ( x) и F2 ( x)  f ( x) . Отсюда
( F1 ( x)  F2 ( x))  F1 ( x)  F2 ( x)  f ( x)  f ( x)  0
В силу признака постоянства функции разность F1 ( x)  F2 ( x)  C –
постоянная величина на промежутке. Отсюда
F1 ( x)  F2 ( x)  C
Обратно, если F ( x) — первообразная функция для функции f ( x) и
C — произвольная постоянная, то функция
( x)  F ( x)  C 
также является первообразной для функции f ( x) .
Действительно,
( x)  ( F ( x)  C )  F ( x)  f ( x)
Таким образом, зная на некотором промежутке какую-либо одну
первообразную функцию F ( x) для функции f ( x) , мы можем найти любую
другую первообразную функцию ( x) для f ( x) по формуле
( x)  F ( x)  C 
где C — произвольная постоянная.
Нахождение всех первообразных для данной функции называется
интегрированием. Произвольная постоянная C в формуле ( x)  F ( x)  C
называется постоянной или константой интегрирования.
Интегрирование является операцией, обратной к операции
дифференцирования.
Вопрос. Как записать общий вид функции S (t ) в примере из
пункта 1.1?
1.4. Первообразная функции, определенной на нескольких промежутках
Заметим, что иногда рассматривают функцию f ( x) , заданную на
двух или нескольких промежутках. В этом случае на каждом из
промежутков можно находить некоторую первообразную для функции f ( x)
и тем самым получить функцию F ( x) , определенную на том же множестве,
на котором определена функция f ( x) .
1
рассматривается на промежутках ( 0)
x2
1
и (0 ) Нетрудно проверить, что если F ( x)  
при  x  0 , то
x
1
 1 1
F ( x)      2 . При этом равенство F ( x)  2 верно как при x  0 так
x
 x x
1
и при x  0 Поэтому функцию F ( x)   также называют первообразной
x
1
функции f ( x)  2 на всей области определения. Из предыдущего пункта
x
1
следует, что тогда функция ( x)  F ( x)  C    C также будет
x
1
первообразной для функции f ( x)  2 на промежутке (0) при любом
x
выборе числа C и на промежутке ( 0) при любом выборе числа C
Однако, в этом случае на разных промежутках можно выбирать разные
1
значения C Например, пусть ( x)  F ( x)  3    3 при x  0 и
x
1
1
 ( x)  F ( x)  1    1 при x  0 Тогда ( x )  2 как при x  0 так и при
x
x
x  0 Следовательно, заданная указанным способом функция ( x) есть
1
первообразная для функции f ( x)  2 на всей области определения.
x
1
Таким образом, при интегрировании функции f ( x)  2 на всей
x
области определения, мы также получаем первообразные вида
Пример 1. Пусть f ( x) 
1
 ( x)    C  где C — постоянная. При этом предполагается, что на
x
каждом из промежутков области определения значения постоянной можно
выбирать разные.
Вопрос. Как проверить, что функции вида F ( x)  
первообразными для функции f ( x) 
1
 C являются
5 x5
1
?
x6
1.5. Таблица первообразных
При нахождении первообразных пользуются следующей таблицей.
Функция
1. f ( x)  k (постоянная)
Множество первообразных
kx  C
2. f ( x)  x n
x n 1
C
n 1
ln  x  C
3. f ( x ) 
4. f ( x) 
(n  R n  1)
1
x
1
5. f ( x)  e
2 x C
x
ex  C
x
6. f ( x)  a x
(a  0 a  1)
7. f ( x)  sin x
8. f ( x)  cos x
1
9. f ( x) 
cos 2 x
1
10. f ( x ) 
sin 2 x
1
11. f ( x) 
1  x2
1
12. f ( x) 
1  x2
ax
C
ln a
 cos x  C
sin x  C
tg x  C
ctg x  C
arctg x  C
arcsin x  C
При этом предполагается, что первообразная определена при тех же
значениях x , при которых определена и сама функция.
Пример 2. Покажем, что функция F ( x)  ln  x  , определенная при
1
x  0 , есть первообразная для функции f ( x )  .
x
Действительно, если x  0 то  x  x и (ln  x )  (ln x ) 
Если же x  0 то  x   x и (ln  x )  (ln( x)) 
1
.
x
1
1
 (1)  .
( x)
x
Вопрос. Как проверить, что x  C есть множество первообразных для
1

функции f ( x) 
, определенной при x    n , где n  Z ?
2
cos x
2
1.6. Определение неопределенного интеграла
Множество всех первообразных для функции f ( x ) определенной на
некотором промежутке, называется неопределенным интегралом от
функции f ( x) и записывается в виде
 f ( x) dx
(читается: "неопределенный интеграл эф от икс дэ икс").
Если известна какая-либо одна из первообразных функций F ( x) для
функции f ( x ) то по определению неопределенного интеграла имеем:
 f ( x) dx  F ( x)  C
где C — произвольная постоянная.
Иногда для краткости неопределенный интеграл называют
интегралом, когда из текста ясно, что речь идет о неопределенных
интегралах.
x3
Вопрос. Как проверить, что  x 2 dx   C
3
Мини-исследование.


1) Найдите производную функции ln x  x 2   .
2) Чему равен неопределенный интеграл

1
x 
2
dx ?
Добавьте полученную первообразную в таблицу из пункта 1.5.
Проверь себя. Первообразная
Задание 1. Укажите правильный вариант ответа.
Следующая функция является первообразной функции f ( x) 
 1. tg x ;  2. ctg x ;  3.  tg x ;  4. ctg x .
(Правильный вариант: 1)
1
:
cos 2 x
Множество всех первообразных функции f ( x) 
1
задается следующей
x
формулой:
 1. x  C ;  2. 2 x  C ;  3.  x  C ;  4. 2 x  C .
(Правильный вариант: 2)
Множество всех первообразных функции f ( x) 
1
задается следующей
x2
формулой:
 1.  1  C ;  2. 1  C ;  3.  1 3  C ;  4. 33  C .
x
x
3x
x
(Правильный вариант: 1)
Неопределенный интеграл от функции f ( x)  cos 2 x задается следующей
формулой:
 1.  x  1 sin 2 x  C ;  2. x  1 sin 2 x  C ;
2 4
2 4
 3. x  1 cos 2 x  C ;  4. x  1 cos2 x  C .
2 4
2 4
(Правильный вариант: 2)
Проверь себя. Первообразная
Задание 2. Укажите все правильные варианты ответа.
Первообразной функции f ( x) 
1
является функция F ( x) :
1  x2
 1. F ( x)  arctg x ;  2. F ( x)    arcctg x ;
2
 3. F ( x)    arcctg x ;  4. F ( x)    arctg x .
2
(Правильные варианты: 1, 2, 4)
Первообразной функции f ( x) 
2
1
1  x2
является функция F ( x) :
 1. F ( x)  arctg x ;  2. F ( x)    arccos x ;
2
 3. F ( x)    arcsin x ;  4. F ( x)  arcsin x .
2
(Правильные варианты: 2, 3, 4)
Укажите, график какой первообразной функции f ( x) 
Oy в точке с ординатой 1:
1
пересекает ось
2x
 1. F ( x)  
log 2 e
1
 log 2 2e ;  2. F ( x) 
 1  ln 2 ;
2x
2 x  ln 2
2x
1
 1 ;  4. F ( x)  
 1  ln 2 .
x
ln 2
2  ln 2
(Правильные варианты: 1, 4)
 3. F ( x)  
Укажите, график какой первообразной функции f ( x)  cos x пересекает ось
Oy под углом 45 :
 1. F ( x)  5  sin x ;  2. F ( x)  sin x  1 ;
 3. F ( x)  sin x ;  4. F ( x)  sin x  1 .
(Правильные варианты: 1, 2, 3, 4)
Домашнее задание
1. Докажите, что на промежутке () функция F ( x) есть первообразная
для функции f ( x) , если:
f ( x)  1;
а) F ( x)  x,
б) F ( x)  x 2 ,
в) F ( x)  x6 ,
г) F ( x)  1 sin 3x,
2
д) F ( x)  sin 2 x,
f ( x)  2 x;
f ( x)  6 x 5 ;
f ( x)  cos 2 x;
f ( x)  2 cos 2 x;
е) F ( x)  sin 2 x,
f ( x)  sin 2 x.
2. Докажите, что на указанном промежутке функция F ( x) есть
первообразная для функции f ( x) , если:
а) F ( x)  2 x  f ( x)  1 ,
x  (0; );
x
f ( x)   12 ,
x  (0; );
б) F ( x)  1 
x
x
x  (; 0);
в) F ( x)   2  f ( x)  22 ,
x
x
г) F ( x)  tg x f ( x)  12 , x    ;  ;
2 2
cos x
д) F ( x)  ctg x f ( x)   12 , x  (0;  );
sin x
x  (0; );
е) F ( x)   13  f ( x)  34 ,
x
x
f ( x)  2e2 x ,
x  (; );
ж) F ( x)  e2 x 
x
з) F ( x)  2 x 
f ( x)  2 ,
x  (; ).
ln 2
3. Найдите первообразную для функции f ( x)  e x  график которой


пересекает ось Ox в точке x  1
4. Для функции f ( x) найдите первообразную, график которой проходит
через заданную точку M , если:
а) f ( x)  x3  M (2 1) ;
1
б)  f ( x)  3 , M ( 1  3) ;
2
x

в) f ( x)  cos x M (  0) .
2
5*. Докажите равенство:
а)  dx  x  C ;
б)  12 dx   1  C;
x
x
x
в)  1 dx   2  C;
г)  12 dx  tg x  C;
x
ln
2
cos x
2
Словарь терминов
Первообразная – функция F ( x) называется первообразной для
функции f ( x) на заданном промежутке, если для всех x из этого
промежутка выполняется равенство F ( x)  f ( x)
Иногда рассматривают функцию f ( x) , заданную на двух или
нескольких промежутках. В этом случае на каждом из промежутков можно
находить некоторую первообразную для функции f ( x) и тем самым
получить функцию F ( x) , определенную на том же множестве, на котором
определена функция f ( x) .
Признак постоянства функции. Если F ( x)  0 на некотором
промежутке, то функция F ( x) — постоянная на этом промежутке.
Интегрирование – нахождение всех первообразных для данной
функции. Произвольная постоянная C в формуле ( x)  F ( x)  C
называется постоянной или константой интегрирования.
Неопределенный интеграл. Множество всех первообразных для
функции f ( x ) определенной на некотором промежутке, называется
неопределенным интегралом от функции f ( x) и записывается в виде
 f ( x) dx . Если известна какая-либо одна из первообразных функций
F ( x)
для функции f ( x ) то по определению неопределенного интеграла имеем:
 f ( x) dx  F ( x)  C
где C — произвольная постоянная.