Лекция 3

Лекция 3
Принцип относительности Галилея
Понятие принципа относительности. Абсолютность пространства и времени. Формулы
преобразования Галилея. Инвариантность законов механики Ньютона по отношению
преобразований Галилея.
До сих пор мы проводили исследование механических явлений в одной и той же инерциальной
системе отсчета. Однако то же самое движение можно рассматривать в любых, двигающихся прямолинейно и равномерно друг относительно друга многочисленных ИСО. Естественно возникает
вопрос: одинаково ли протекают явления в разных ИСО, и какая существует связь между
законами и уравнениями физики, полученными в разных ИСО для одного и того же явления? Ответ на эти вопросы дает принцип относительности. Благодаря этому принципу ИСО
приобрели в физике чрезвычайную важность.
Поясним физическое содержание принципа относительности:
Принцип относительности в механике сформулирован Галилеем и носит его имя. Он утверждает, что механические явления протекают одинаково во всех ИСО. Это означает, что по
результатам механического опыта в ИСО невозможно установить движется она или
находится в состоянии покоя относительно гелиоцентрической (или любой другой инерциальной) СО.
Если в разных ИСО есть лаборатории, оборудованные устройствами, способными возбуждать и
исследовать механические явления, то в них можно получить законы механики, соответствующие
этим ИСО. Должны ли совпадать эти законы и уравнения, или каждая ИСО имеет свою, отличную
от других, механику? Принцип относительности Галилея утверждает, что прямолинейное и равномерное движение ИСО друг относительно друга никак не может влиять на протекание в них механических явлений и, следовательно, механика, построенная в лаборатории одной ИСО, будет верна для всех других ИСО.
Теперь выясним другой важный вопрос. Пусть в какой-то точке пространства возбуждено какое-либо механическое явление (например, брошена частица) и это явление исследуется из различных ИСО. Совпадают ли результаты этих исследований? А если нет, то какая между ними существует связь.
Равнозначности ИСО часто дается ложное толкование: что механическое явление протекает
совершенно одинаково, в смысле имеет один и тот же вид для наблюдателей из разных ИСО. Это
неверно. В поезде свободно падающее без начальной скорости тело, движется по параболе относительно платформы. И это вполне понятно, поскольку закон движения свободно падающего тела
зависит от начальных условий движения. Тело, свободно падающее относительно поезда без
начальной скорости, имеет горизонтальную начальную скорость, равную скорости поезда, относительно платформы. Значит, в разных ИСО данное движение частицы характеризуется разными начальными условиями и, следовательно, не может иметь относительно них одинаковый вид. В разных ИСО законы движения частиц
r  r t 
будут отличаться друг от друга
начальными условиями, а поскольку дифференциальные уравнения движения независимы от
начальных условий, то они математически должны иметь одинаковый вид.
Пусть мы следим за движением частицы из инерциальных систем отсчета
K
K
K
и
K  , из которых
«неподвижна», а
- движется со скоростью u . Не нарушая общности, можно выбрать координатные оси К и К´ параллельными друг другу так, чтобы их оси абсцисс X и X´ имели бы
направление движения:
u  i  i (рис. 3.1).
рис.3.1
Движение частицы относительно
временными координатами
а относительно
где
t
и
t
системы
K
будет
описываться
пространственно-
x, y , z , t
(3.1)
x, y , z , t 
(3.2)
K
соответственно показания часов
K
и
K.
K
K
Рассматривая данное движение частицы, наблюдатели ИСО
и
получат каждый свои законы и уравнения движения. Это определенные связи между пространственно-временными координатами и их производными по времени
в
в
f  r , r , r , t

K:
0
 ,


f   r  r , r , t 

K:

  0.

(3.3)
(3.4)
Какова связь между этими уравнениями? Естественно, между координатами ИСО К и К´ (3.1) и
(3.2) должны существовать определенные связи:
x  x  x, y, z , t   ,
y  y  x, y, z , t   ,
x   x   x, y , z , t  ,
y   y   x, y , z , t  ,
z  z  x, y , z , t  

, K  K
t  t  x, y , z , t   

z   z   x, y , z , t  

, K   K .


t  t  x, y , z , t  

(3.5)
(3.6)
Эти соотношения называются формулами преобразования пространственно-временных
координат. Их можно получить только на основании определенных представлений о пространстве и времени.
Принцип относительности утверждает что, подставив формулы преобразования (3.5) в закон
(3.3), мы должны получить закон (3.4) и наоборот, формулы преобразования (3.6) должны привести уравнение (3.4) к виду (3.3). Поэтому (3.5) называется формулой преобразования перехода
K  K  , а (3.6) – K   K .
Заметим, что если (3.3) и (3.4) уравнения, независимые от начальных условий в ИСО
K
K
и
, каковыми являются, например, дифференциальные уравнения движения, то они будут отличаться только тем, что один будет включать в себя координаты со штрихами, а второй – без штрихов.
Если координатные преобразования оставляют уравнения без изменений, то говорят,
что уравнения инвариантны относительно этих преобразований.
Значит, независимые от начальных условий законы и уравнения должны быть инвариантными
относительно преобразований (3.5) и (3.6). Данное утверждение принципа относительности
накладывает серьезные ограничения на математические формулы законов, выражающих естественные явления.
Перейдем к получению конкретного вида формул преобразования.
Преобразования Галилея.
Опыты, относящиеся к медленным движениям макроскопических тел, сформировали представление об абсолютности пространства и времени.
Абсолютность пространства предполагает одинаковость расстояния между двумя
точками (или, одинаковость линейных размеров тел), а абсолютность времени – одинаковость длительности процессов в различных системах отсчета.
K
K
Пусть система отсчета
движется относительно
со скоростью u . Длина стержня – это
модуль разности радиус-векторов его концов. Так что, абсолютность пространства математически
выразится как (см. рис. 3.2)
r1  r2  r1 r2
(3.7)
Если возбужден какой-то процесс, началу и концу которого в системе отсчета
ют моменты времени t1 и t2 , а в системе отсчета
K
K
соответству-
- моменты времени t1 и t 2 , то абсолютность
времени означает, что
t2  t1  t2  t1
(3.8)
Эти представления об абсолютности пространстве и времени, которые лежат в основе ньютоновской механики, казались настолько обычными, что считались «само собой разумеющимися» и
даже особо не формулировались. Однако они лежат в основе любой формулы классической механики.
Например, пользуясь векторным треугольником, приведенным на рис. 3.2, мы можем написать
r1  r0  r1,
где
r0 -
r2  r0  r2 ,
радиус-вектор, характеризующий относительное положение начал СО
(3.9)
K
и
K  . Вычитая
полученные выражения друг из друга, получим условие абсолютности пространства (3.7). В этой
интерпретации абсолютности пространства и времени не требуется инерциальности системы отсчетов
K
и
K  . Оно верно для любых СО.
рис.3.2
рис.3.3
Теперь рассмотрим инерциальные системы K и K  , и, пользуясь абсолютностью пространства и времени, получим явный вид формул преобразования (3.5) и (3.6) (рис. 3.3). Договоримся
K  считать тот момент, когда во время относительного движения их начала O и O  совпадают: t  t   0 , когда x  x  0 . Тогда из условия абсолютности времени следует, что во все последующие моменты часы в системах K и K 
за начало отсчета времени в системах отсчета
K
и
будут иметь одинаковые показания:
t  t,
- течение времени одинаково во всех системах отсчета.
Теперь определим длину покоящейся линейки О'А в
странства, из рис. 3.3 запишем
Так как
K
r  r0  r .
r0 - это перемещение точки начала отсчета O 
и
(3.10)
K.
Пользуясь абсолютностью про-
(3.11)
за время t, то r0
 u t . С учетом послед-
него (3.11) примет следующий вид
r  u t   r .
(3.12)
Связи (3.10) и (3.12) вместе дают формулы преобразования пространственно-временных координат в ньютоновской механике и известны под названием преобразований Галилея.
В прямоугольной системе координат (рис. 3.3) преобразования Галилея примут вид
x  x  ut , 

y  y , z  z ,  ,

t t

K  K,
x  x  ut , 

y   y, z   z , ,

t   t.

K  K .
(3.13)
а обратные преобразования –
(3.14)
Заметим, что преобразуется только координата по направлению относительного дви-
жения систем K и K  (продольная координата). Координаты в направлениях, перпендикулярных движению (поперечные координаты) преобразованиям не подвергаются.
Дифференцируя (3.12) по времени, учитывая (3.10)
dr dr 

 u,
dt dt
получим преобразование скоростей:
v  v  u ,
(3.15)
vx  vx  ux , v y  vy , vz  vz ,
(3.15')
или, в компонентах –
в котором
v
dr
dr 
, v 
dt
dt 
(3.16)
- скорости частиц соответственно в системах K и K  . Полученная формула (3.15) выражает закон векторного сложения скоростей.
Дифференцируя (3.15) по времени, получим преобразование ускорений:
dv dv du

 .
dt dt dt
Поскольку системы
K
и
K
инерциальные, то
(3.17)
u  const , благодаря чему
a  a ,
(3.18)
где
a
dv
dv
, a 
dt
dt 
- ускорения частиц соответственно в системах K и K  . Следовательно, ускорение инвариантно относительно преобразований Галилея.
Покажем, инвариантность также относительной скорости двух частиц, т.е. скорости одной частицы относительно системы отсчета, связанной с другой.
Пусть частицы 1 и 2 имеют в системах отсчета
K
и
K
соответственно скорости
v1, v2 . Согласно векторному закону сложения скоростей (3.15)
v1 , v2
и
v1  v1  u ; v2  v2  u .
Скорость частицы 2 относительно частицы 1 будет:
v  v1  v2  v1  v2  v.
Следовательно,
v  v,
(3.19)
- относительная скорость одинакова во всех системах отсчета.
Отметим, что все формулы, приведенные в данном параграфе, верны и в случае
u  const , за
исключением формулы (3.18).
Теперь покажем, что уравнение, выражающее второй закон Ньютона, инвариантно относительно преобразований Галилея, поскольку не зависит от начальных условий движения.
Запишем второй закон Ньютона в инерциальных системах
K
и
K:
dv
 F  r , v  ;
dt
dv
m
 F   r , v  .
dt
(3.20)
m
(3.20')
Так как ньютоновская масса частицы независима от состояния движения, а ускорение, как мы
видели, инвариантная величина, то левая часть второго закона Ньютона инвариантна относительно преобразований Галилея. Мы знаем, что сила зависит от относительного положения
относительной скорости
 v  этих тел, которые также величины инвариантные.
 r  тел и
Функции, состо-
ящие только из инвариантных величин, также инвариантны.
Итак, уравнение, выражающее второй закон Ньютона – Галилей-инвариантное уравнение.
Пусть частица совершает свободное падение в системе
частицы имеет вид
K  . Понятно, что в K 
закон движения
x  x0 ; y  y0  gt 2 2 ,
(3.21)
K  . Положение частицы в
момент
характеризуется теми же координатами x0  x0 и y0  y0 , поскольку, согласно нашему выбору, в начальный момент системы отсчета K и K  совпадают. Однако, благодаря движению системы K  , частица будет иметь относительно K начальную скорость v x  u .
x0 , y0
t t  0 в K
где величины
– координаты начального положения частицы в
Следовательно, закон движения частицы в К есть:
x  x0  ut; y  y0  gt 2 2 .
Нетрудно проверить, что преобразования Галилея (3.13) с учетом условий
(3.22)
x0  x0
и
y0  y0
приводят закон движения (3.20) к виду (3.20'). Таким же образом преобразования (3.14) приводят (13.20') к виду (3.20), как того и требует принцип относительности.
Отклонения от принципа относительности Галилея. Абсолютность скорости света.
Уравнение релятивистской динамики (2.18), установленное нами на основе опытных данных об ускорении заряженных частиц в кольцевых ускорителях, не инвариантно к преобразованиям Галилея. В этом можно убедиться прямой подстановкой формул (3.12), (3.15) в уравне-
ние (2.18), - в СО K  вы получите совершенно другое уравнение(!).
В 19-ом веке в физике, путем обобщения эмпирических фактов в области электричества и
магнетизма, были сформулированы основные уравнения электромагнетизма - уравнения Максвелла. Оказалось, эти уравнения тоже не инвариантны относительно преобразований Галилея.
Как это понять – каждая система отсчета имеет свои законы электромагнетизма и релятивистского движения? т.е. принцип относительности нарушается для электрических, магнитных явлений и в области релятивистского движения? Или же не верны наши представления об абсолютности пространства и времени, на основе которых были получены преобразования Галилея? Или,
может,…неверны сами уравнения Максвелла и (2.18)? Последнюю возможность следует сразу исключить, так как для физики существует одна истина – это данные эксперимента. Все фундаментальные законы физики являются обобщениями данных экспериментов и не подлежат сомнения.
Для выяснения ответа на выше поставленные вопросы Лоренц искал и нашел такие преобразования пространственно-временных координат, относительно которых уравнения Максвелла
остаются инвариантными. Это означает, что принцип относительности справедлив в области электромагнетизма и релятивистского движения.
Так как уравнения Максвелла содержат постоянную с = 3.1010 см/с, которая есть скорость света (или, что то же самое, электромагнитных волн) в вакууме, то эти преобразования содержат постоянную с:
x  ut

, y  y 
1 u 2 c 2

, K  K
2
t  ux c
t 
, z  z 
2
2

1 u c

x 
(3.23)
Обратные преобразования имеют вид
x  ut 

, y  y 
1 u 2 c 2

 , K  K
2


t  ux c
t
, z  z 
2
2

1 u c

x
(3.23')
Эти преобразования называются преобразованиями Лоренца.
В основе преобразований Лоренца лежит идея абсолютности скорости света. То есть,
свет распространяется с одной и той же скоростью во всех системах отсчета.
Действительно, формулы преобразования перехода
c  c .
K  K
и
K  K
содержат одну и ту
же скорость распространения света:
Тот факт, что свет распространяется с конечной скоростью, не вызывал сомнений и до его экспериментального измерения. Еще Галилей делал попытки измерить скорость света. Но то, что
скорость некоего материального объекта может быть одной и той же в любой произвольной системе отсчета, несовместимо с классическими представлениями о движении. Действительно, повседневные опыты привели нас к глубокому убеждению, что если СО K  относительно
скорость
u , то объект, двигающийся в
рость v  u . Так же кажется, что в K
c – скорость света в K  .
K
со скоростью
v , в системе отсчета K
K
имеет
будет иметь ско-
скорость распространения света должна быть
u  c ,
где
Вышеуказанное представление, применительно к свету, называется баллистической гипотезой. Опровергают эту гипотезу астрономические наблюдения за движением двойных звезд (де
Ситтер,1913 г.).
Доказательство де Ситтера.
рис.3.4
Действительно, допустим, что баллистическая гипотеза верна. Для простоты предположим, что
компоненты двойной звезды вращаются вокруг их центра масс по круговым орбитам в той же
плоскости, в которой расположена Земля. Проследим за движением одной из этих двух звезд
(рис.3.4.). Пусть скорость ее движения по круговой орбите равна v . В том положении звезды, когда она удаляется от Земли, вдоль соединяющей их прямой, скорость света (относительно Земли)
равна c  v , а в положении, когда звезда приближается, равна c  v . Если отсчитывать время от
момента, когда звезда находилась в первом положении, то свет из этого положения дойдет до
 L /  c  v  , где L — расстояние до звезды. А из второго положения свет дойt2  T / 2  L /  c  v  , где T — период обращения звезды. При достаточно большом
может иметь место соотношение t2  t1 , т.е. звезда была бы видна одновременно в
Земли в момент t1
дет в момент
расстоянии L
двух (или нескольких) положениях или даже вращалась бы в противоположном направлении. Но
этого никогда не наблюдалось.
Первое серьезное экспериментальное подтверждение абсолютности скорости света было
дано Майкельсоном и Морли (1887г.), которые окончательно установили, что скорость света не
зависит от направления его распространения по отношению к орбитальному движению Земли. Тем
самым была основательно подорвана существовавшая тогда теория эфира (см. БКФ, Механика,
стр. 353).
Другой опыт выполнил Саде в 1963г., показывающий, что скорость  -лучей постоянна, независимо от скорости движения источника (см. БКФ, Механика, стр. 372).
Контрольные вопросы: ● Что такое принцип относительности? ● Каковыми представляются
пространство-время в ньютоновской механике? ● Как получаются преобразования Галилея? ● Каков закон сложения в ньютоновской механике? ● Какие вы знаете инвариантные по отношению к
преобразованиям Галилея величины? ● Какие вы знаете отклонения от принципа относительности
Галилея? ● Какие опыты указывают на абсолютность скорости?
Литература
1. Абрамян М.Г. Физические основы механики. Изд. ЕГУ, 1997 – 370 стр. (на армянском яз.).
2. Сивухин Д.В. Обший курс физики. Механика. М., Наука, 1979 – 520 стр.
3. Китель Ч., Найт У., Рудерман М. Берклеевский курс физики, том 1, Механика. М., Наука,
1975 -480 с. (БКФ, Механика).
4. Абрамян М.Г., Бадалян Э.С. Задачник по общему курсу физики. «Эдит-принт», 2002 – 220
стр.
5. Иродов И.Е. Задачи по общей физике. «Лань», 2001 – 416 стр.