Глава 1. Алгебра логики. Теория множеств. 1.2 Способы задания множеств.

Глава 1. Алгебра логики. Теория множеств.
1.1 Понятие множества и элемента множества.
1.2 Способы задания множеств.
1.3 Отношения между множествами.
1.4 Пересечение множеств.
1.5 Объединение множеств.
1.6. Свойства пересечения и объединения множеств.
1.7. Вычитание множеств. Дополнение множества.
1.8 Разбиение множества на классы
Глава 2. Алгебра логики. Высказывания.
2.1 Высказывания и высказывательные формы.
2.2.Элементарные функции от одной переменной.
2.3.Элементарные функции от двух переменных.
2.4.Зконы алгебры логики.
2.5 Высказывания с кванторами.
1
ГЛАВА1. УРОК 1. Понятие множества и элемента множества.
В конце XIX века в математической науке возникла необходимость уточнить смысл таких
ведущих понятий, как функция, непрерывность и т.д. Для этого нужно было строго определить, что
такое натуральное число. Поиски ответа на эти сложные вопросы способствовали развитию новых
математических идей, поэтому в конце XIX - начале XX столетий происходил пересмотр старых
представлений буквально во всех областях математических знаний. В результате в конце XIX века возникла новая область математики - теория множеств, одним из создателей которой был немецкий
математик Георг Кантор. За небольшой срок теория множеств стала фундаментом всей математики.
В математике часто рассматриваются те или иные группы объектов как единое целое:
натуральные числа, треугольники, квадраты и т.д. Все эти различные совокупности называют
множествами.
Понятие множества является одним из основных понятий математики и поэтому не определяется
через другие. Его можно пояснить на примерах. Так, можно говорить о множестве гласных букв
русского алфавита, о множестве натуральных чисел, о множестве треугольников.
Математический смысл слова «множество» отличается от того, как оно используется в обыденной речи,
где его связывают с большим числомI предметов. В математике этого не требуется. Здесь можно
рассматривать множество, состоящее из одного объекта, и множество, не содержащее ни одного
объекта.
Множества принято обозначать прописными буквами латинского алфавита: А, В, С,…, Z.
Множество, не содержащее ни одного объекта, называется пустым, и означается символом Ø.
Объекты, из которых образовано множество, называются элементами.
Элементы множества принято обозначать строчными буквами латинского алфавита: а,b,с,...,г.
В математике нередко приходится выяснять, принадлежит какой-либо объект рассматриваемому
множеству или не принадлежит. Например, мы говорим, что 5 - число натуральное, а 0,75 не является
натуральным числом. Другими словами, мы утверждаем, что число 5 принадлежит множеству
натуральных чисел, а число 0,75 ему не принадлежит. Чтобы записать эти утверждения, вводятся
символы и . Предложение «Объект а принадлежит множеству А» можно записать, используя
символы: а  А. Предложение «Объект а не принадлежит множеству А» можно записать так: а  А.
Множества бывают конечные и бесконечные. Эти понятия мы принимаем без определения.
Поясним их на примерах. Так, конечными являются множество дней недели, множество месяцев в году,
а бесконечными - множество точек на прямой, множество натуральных чисел.
Для ряда числовых множеств в математике приняты стандартные обозначения: N – множество
натуральных чисел; Z – множество целых чисел; Q – множество рациональных чисел; J – множество
иррациональных чисел; R – множество действительных чисел: С – множество комплексных чисел.
2
ГЛАВА1. УРОК 2. Способы задания множеств.
Понятие множества мы используем без определения. Но как узнать, является та или иная
совокупность множеством или не является?
Определение: Считают, что множество определяется своими элементами, т.е. множество задано,
если о любом объекте можно сказать, принадлежит он этому множеству или не принадлежит.
Множество можно задать, перечислив все его элементы. Например, если мы скажем, что
множество А состоит из чисел 3, 4, 5 и 6, то мы дадим это множество, поскольку все его элементы
окажутся перечисленными. При этом возможна запись, в которой перечисляемые элементы
заключаются в фигурные скобки: А = {3,4,5,6}.
Однако если множество бесконечно, то его элементы перечислить нельзя. Трудно задать таким
способом и конечное множество с большим числом элементов. В таких случаях применяют другой
способ задания множества: указывают характеристическое свойство его элементов.
Характеристическое свойство - это такое свойство, которым обладает каждый элемент,
принадлежащий множеству, и не обладает ни один элемент, который ему не принадлежит.
Рассмотрим, например, множество А двузначных чисел: свойство, которым обладает каждый
элемент данного множества, - «быть двузначным числом». Это характеристическое свойство дает
возможность решать вопрос о том, принадлежит какой-либо объект множеству А или не принадлежит.
Так, число 45 содержится в множестве А, поскольку оно двузначное, а число 145 множеству А не
принадлежит, так как оно не является двузначным.
Случается, что одно и то же множество можно задать, указав различные характеристические
свойства его элементов. Например, множество квадратов можно задать как множество прямоугольников
с равными соседними сторонами и как множество ромбов с прямым углом.
В тех случаях, когда характеристическое свойство элементов множества можно представить в
символической форме, возможна соответствующая запись множества. Например, множество А
натуральных чисел, меньших 7, можно задать так: А = {x x  A; x<7}.
При такой записи буквой x обозначается элемент множества А. Для этих целей можно
использовать и другие буквы латинского алфавита.
Итак, для того чтобы задать некоторое множество, достаточно либо перечислить все его
элементы, либо указать их характеристическое свойство. Второй способ более общий: он позволяет
задавать и конечные, и бесконечные множества.
3
ГЛАВА1. УРОК 3. Отношения между множествами.
В математике изучают не только те или иные множества, но и отношения, взаимосвязи между
ними. Например, нам известно, что все натуральные числа являются целыми. Понятие множества
позволяет обобщить конкретные случаи взаимосвязи между различными совокупностями, позволяет
посмотреть на них с единой точки зрения.
Если множества А и В имеют общие элементы, т.е. элементы, принадлежащие одновременно А и
В, то говорят, что эти множества пересекаются.
Например, если А = {а, b, с, d, е}, В = {b, d, k, m}, С = {x, у, z}, то можно утверждать, что
множества А и В пересекаются, так как имеют общие элементы b и d, а множества А и С, В и С не
пересекаются, поскольку не имеют общих элементов.
Рассмотрим теперь множества А = {а, b, с, d, е} и В = {с, d, е}. Они пересекаются, и, кроме того,
каждый элемент множества В является элементом множества А. В этом случае говорят, что множество
В включается в множество А (В является подмножеством множества А) и пишут B  C .
Определение: Множество В является подмножеством множества А, если каждый элемент
множества В является также элементом множества А. Пустое множество считают подмножеством
любого множества. Любое множество является подмножеством самого себя.
Задача. Образуем все подмножества множества А = {2, 3, 4}. Среди них будут одноэлементные:
{2}, {3}, {4}, двухэлементные: {2, 3}, {2, 4}, {3, 4}, а также само множество А и пустое множество.
Таким образом, данное трехэлементное множество А имеет 8 подмножеств.
n
Замечание: Если множество А содержит n элементов, то у него 2 различных подмножеств.
Определение. Множества Аи В называются равными, если А  В и В  А.
Из определения следует, что равные множества состоят из одних и тех же элементов и что
порядок записи элементов множества не существен.
Отношения между множествами наглядно представляют при помощи особых чертежей,
называемых кругами Эйлера. Для этого
множества представляют в виде кругов, овалов
или любых других геометрических фигур.
В том случае, если множества А и В имеют
общие элементы, но ни одно из них не является
подмножеством другого, их изображают так, как
показано на рисунке (вариант а). Если множество В является множеством А, то
круг, изображающий множество В, целиком оказывается в круге,
изображающем множество А (вариант б). Если А  В, то множества А и В
изображают так, как на рисунке (вариант в). Равные множества представляют в
виде одного круга (вариант г). Если множества А и В не пересекаются то их
изображают в виде двух фигур, не имеющих общих точек (вариант д).
4
ГЛАВА1. УРОК 4. Пересечение множеств.
Из элементов двух и более множеств можно образовывать новые множества. Пусть даны два
множества: А = {2,4,6,8} и В = {5,6,7,8,9}. Образуем множество С, в которое включим общие элементы
множеств А и В, т.е. С = {6, 8}. Так полученное множество С называют пересечением множеств А и В.
Определение. Пересечением множеств А и В называется множество,
содержащее все элементы, которые принадлежат множеству А и множеству В.
Пересечение множеств А и В обозначают А  В. Таким образом, по определению,
А  В = {x x  А и x  В}. При помощи кругов Эйлера пресечением данных
множеств является штрихованная область.
Замечание: Если множества А и В не имеют общих элементов, то говорят, что их пересечение
пусто и пишут: А  В = Ø.
Выясним, как находить пересечение множеств в конкретных случаях.
Если элементы множеств А и В перечислены, то, чтобы их пересечение, достаточно перечислить
элементы, которые одновременно принадлежат множеству А и множеству В.
А как быть, если множества заданы характеристическими свойствами своих элементов?
Замечание: Характеристическое свойство множества А  В составляется из характеристических
свойств пересекаемых множеств с помощью союза «и».
Найдем, например, пересечение множества А - четных натуральных чисел и множества В двузначных чисел. Характеристическое свойство элементов множества А - «быть четным натуральным
числом», а характеристическое свойство элементов множества В - «быть двузначным числом». Тогда,
согласно определению, элементы пересечения данных множеств должны обладать свойством «быть
четными натуральными и двузначными числами». Таким образом, множество А  В есть четные
двузначные числа.
5
ГЛАВА1. УРОК 5. Объединение множеств.
Пусть даны два множества: А = {2,4,6,8} и В = {5,6,7,8,9}. Образуем множество С, в которое
включим элементы, принадлежащие хотя бы одному из данных множеств, т.е. множеству А или
множеству В: С = {2, 4, 6, 8, 5, 7, 9}. Так полученное множество С называют объединением множеств А
и В.
Определение. Объединением множеств А и В называется множество,
содержащее все элементы, которые принадлежат множеству А или множеству В.
Объединение множеств А и В обозначают А  В. Таким образом, по определению,
А  В = {x x  А или x  В}. Изображением объединения множества А и В при
помощи кругов Эйлера является заштрихованная область.
Выясним, как находить объединение множеств в конкретных случаях.
Если элементы множеств А и В перечислены, то, чтобы найти А  В, достаточно перечислить
элементы, которые принадлежат множеству А или множеству В.
А как быть, если множества заданы характеристическими свойствами их элементов?
Замечание: Характеристическое свойство элементов множества А  В составляется из
характеристических свойств элементов множеств А и В с помощью союза «или».
Найдем, например, объединение множества А - четных натуральных чисел и множества В двузначных чисел. Так как свойство элементов множества А - «быть четным натуральным числом», а
свойство элементов множества В - «быть двузначным числом», то в объединение данных множеств
войдут числа, характеристическое свойство которых - «быть четным натуральным или двузначным
числом».
6
ГЛАВА1. УРОК 6. Свойства пересечения и объединения множеств.
Утверждение 1: Пересечение и объединение множеств обладают переместительным
(коммутативным) свойством: А  В = В  А и А  В = В  А.
Утверждение 2: Пересечение и объединение множеств обладают сочетательным
(ассоциативным) свойством: (А  В)  С = А  (В  С) и (А  В)  С = А  (В  С).
Проиллюстрируем свойство ассоциативности при помощи кругов Эйлера.
Рассмотрим ассоциативное свойство пересечения множеств. Изобразим множества
А, В и С в виде трех попарно пересекающихся кругов (рис. а). В выражении
(А  В)  С скобки определяют следующий порядок действий: сначала выполняется
пересечение множеств А и В - оно показано на рисунке вертикальной штриховкой, а
затем находят пересечение полученного множества и множества С. Если выделить
множество С горизонтальной штриховкой, то область, заштрихованная дважды,
будет изображать множество (А  В)  С.
Представим теперь наглядно множество А  (В  С). В соответствии с
указанным порядком действий сначала надо найти пересечение множеств В и С - на
рисунке б оно показано вертикальной штриховкой, а затем выполнить пересечение
множества А с полученным множеством. Если отметить множество А
горизонтальной штриховкой, то область, заштрихованная дважды, и будет изображать множество А  (В  С).
Как видим, области, представляющие множества (А  В)  С и А  (В  С)
одинаковы, что и подтверждает справедливость свойства ассоциативности для пересечения множеств.
Аналогично можно проиллюстрировать свойство ассоциативности и для объединения множеств.
Утверждение 3: Пересечение дистрибутивно относительно объединения множеств, т.е. для
любых множеств А, В и С выполняется равенство: (А  В)  С = (А  С)  (В  С).
Утверждение 3 : Объединение дистрибутивно относительно пересечения множеств, т.е. для
любых множеств А, В и С выполняется равенство: (А  В)  С = (А  С)  (В  С).
Замечание: Если в выражении есть знаки пересечения и объединения множеств и нет скобок, то
сначала выполняют пересечение, так как считают, что пересечение более «сильная» операция, чем
объединение.
7
ГЛАВА1. УРОК 7. Вычитание множеств. Дополнение множества.
Определение. Разностью множеств А и В называется множество,
содержащее все элементы, которые принадлежат множеству А и не принадлежат
множеству В. Разность множеств А и В обозначают А\ В. Тогда, по определению,
имеем: А\В = {x x  А и x  В}. При помощи кругов Эйлера разность множеств
А и В изображается заштрихованной областью.
В школьном курсе математики чаще всего приходится выполнять вычитание множеств в случае,
когда одно из них является подмножеством другого.
Определение. Пусть В  А. Дополнением множества В до множества А
называется множество, содержащее все элементы множества А, которые не принадлежат
множеству В. Дополнение обозначают символом В'А, а наглядно изображают так, как
представлено на рисунке.
Из определений получаем, если В  А, то А\В = В'А .
Выясним, как находить дополнение подмножества на конкретных примерах.
Если элементы множеств А и В перечислены и В  А, то, чтобы найти дополнение множества В
до множества А, достаточно перечислить элементы, принадлежащие множеству А и не принадлежащие
множеству В. Так, если А = {1, 2, 3, 4, 5}, В= {2, 4}, то В'А = {1, 3, 5}.
Замечание: Если В  А, то характеристическое свойство элементов дополнения множества В до
множества А имеет вид {x x  А и x  В}.
Замечание: Считают, что пересечение - более «сильная» операция, чем вычитание. Объединение
считают равноправным вычитанию.
Свойства: Вычитание множеств обладает рядом свойств.
1) (А\В)\С=(А\С)\В
2) (А  В)\С=(А\С)  (В\С)
3) (А\В)  С=(А  С)\(В  С)
4) А\(В  С)=(А\В)  (А\С)
5) А\(В  С)=(А\В)  (А\С)
8
ГЛАВА1. УРОК 8. Разбиение множества на классы.
Определение: Любая классификация связана с разбиением некоторого множества объектов на
подмножества. При этом считают, что множество X разбито на классы Х1, Х2, …, Хn, …, если:
1) подмножества Х1, Х2, …, Хn, … попарно не пересекаются;
2) объединение подмножеств Х1, Х2, …, Хn, … совпадает с множеством X.
Замечание: Если не выполнено хотя бы одно из условий, то классификацию считают
неправильной.
Например, если из множества X треугольников выделить подмножества равнобедренных,
равносторонних и разносторонних треугольников, то разбиения мы не получим, поскольку
подмножества равнобедренных и равносторонних треугольников пересекаются (все равносторонние
треугольники являются равнобедренными). В данном случае не выполнено первое условие разбиения
множества на классы.
Так как разбиение множества на классы связано с выделением его подмножеств, то
классификацию можно выполнять при помощи свойств элементов множеств.
Пример. Рассмотрим множество натуральных чисел. Рассмотрим числа,
обладающие свойством «быть кратным 3». Это свойство позволяет выделить из
множества натуральных чисел подмножество, состоящее из чисел, кратных 3. Тогда про
остальные натуральные числа можно сказать, что они не кратны 3, т.е. получаем еще
одно подмножество. Так как выделенные подмножества не пересекаются, а их
объединение совпадает с множеством натуральных чисел, то имеем разбиение этого множества на два
класса. (Такую классификацию называют дихотомической).
Рассмотрим теперь ситуацию, когда для элементов множества заданы два свойства:
«быть кратным 3» и «быть кратным 5». При помощи этих свойств из множества N
натуральных чисел можно выделить два подмножества: А - подмножество чисел,
кратных 3, и В - подмножество чисел, кратных 5. Эти множества пересекаются, но ни
одно из них не является подмножеством другого. Разбиения множества натуральных
чисел на подмножества А и В не произошло. Круг, изображающий множество N, можно рассматривать
как состоящий из четырех непересекающихся областей. Каждая область изображает некоторое
подмножество множества N. Подмножество I состоит из чисел, кратных 3 и 5; подмножество II - из
чисел, кратных 3 и не кратных 5; подмножество III - из чисел, кратных 5 и не кратных 3; подмножество
IV - из чисел, не кратных 3 и не кратных 5. Объединение этих четырех подмножеств есть множество N.
Таким образом, выделение двух свойств привело к разбиению множества N натуральных чисел на
четыре класса.
Не следует думать, что задание двух свойств элементов множества всегда
приводит к разбиению этого множества на четыре класса. Например, при помощи
таких двух свойств «быть кратным 3» и «быть кратным 6» множество натуральных
чисел разбивается на три класса: I -класс чисел, кратных 6; II - класс чисел, кратных 3,
но не кратных 6; III - класс чисел, не кратных 3.
9
ГЛАВА2. УРОК 1. Предмет алгебры логики. Элементарные высказывания.
Логика очень древняя наука.
1-й этап связан с работами ученого и философа Аристотеля (384-322 г.г. до н.э.). Он пытался найти ответ на
вопрос “Как мы рассуждаем”, изучал правила мышления. Аристотель впервые дал систематическое изложение
логики. Он подверг анализу человеческое мышление, его формы – понятие, суждение, умозаключение. Так
возникла формальная логика.
2-й этап – появление математической, или символической, логики. Основы ее заложил немецкий ученый и
философ Г.В. Лейбниц (1646-1716). Он сделал попытку построить первые логические исчисления, считал, что
можно заменить простые рассуждения действиями со знаками, и привел соответствующие правила. Но он
выдвинул только идею, а развил её окончательно англичанин Д. Буль (1815-1864). Буль считается
основоположником математической логики как самостоятельной дисциплины. В его работах логика обрела свой
алфавит, свою орфографию и грамматику.
Логика – эта наука, изучающая законы и формы мышления; способы рассуждений и доказательств.
Основными формами мышления являются понятие, суждение, умозаключение.
Понятие – это форма мышления, выделяющая существенные признаки предмета или класса предметов,
позволяющих отличить их от других.
Содержание понятия – совокупность существенных признаков, отраженных в этом понятии. Например,
содержание понятия персональный компьютер-это универсальное электронное устройство для автоматической
обработки информации, предназначенное для одного пользователя.
Объем понятия – множество предметов, каждому из которых принадлежат признаки, составляющие
содержание понятий.
Суждение (высказывание, утверждение) – это форма мышления, в которой что-либо утверждается или
отрицается о свойствах реальных предметов и отношениях между ними. Высказывание может быть либо
истинным, либо ложным. Оно может быть либо простым, либо составным (сложным).
Вопросительные и восклицательные предложения не являются высказываниями, так как в них ни чего не
утверждается и не отрицается. Такие предложения называются высказывательной формой, заданной на
множестве X. При подстановке в него значений переменной из множества X, высказывательная форма
обращается в высказывание.
Высказывания могут выражаться с помощью математических, физических, химических и прочих знаков.
Например: 5>3, H2O+SO2=H2SO4.
Умозаключение – это форма мышления, с помощью которой из одного или нескольких суждений может
быть получено новое суждение.
Посылками умозаключения по правилам формальной логики могут быть только истинные суждения. Тогда,
если умозаключение проводится в соответствии с правилами формальной логики, то оно будет истинным. В
противном случае можно прийти к ложному умозаключению.
Алгебра высказываний была разработана для того, чтобы можно было определять истинность или ложность
составного высказывания, не вникая в их содержание.
Алгебра логики (алгебра высказываний) – раздел математической логики, изучающий строение (форму,
структуру) сложных логических высказываний и способы установления их истинности с помощью
алгебраических методов.
Под высказыванием (суждением) будем понимать повествовательное предложение, относительно которого
можно сказать, истинно или ложно. Высказывания могут быть истинными или ложными. Истинному
высказыванию соответствует значение логической переменной 1, а ложному – значение 0 .
Построим алгебру логики.
В этой алгебре каждая переменная x, y, z, … принимает значение {0,1}. Никаких других значений
переменная принимать не может.
Зададим функцию алгебры логики. Для этого мы должны задать область определения D(x) и область
значений функции E(x). f: D(x) → E(x).
~
Областью определения D(x) функции f будет являться множество наборов x длины n, состоящих
из наборов переменных xi, где каждая переменная xi принимает значения 0 или 1.
~
D(x) = { x =( x1, x2, … , xn), xi =(0, 1), i=1, 2, …, n}
Областью значений E(x) функции f будет являться либо 0, либо 1. Функция, либо истинна, либо
ложна. E(x) = (0, 1).
10
Как же нам реально задать функцию алгебры логики?
Для этого существуют 2 способа: наглядный (с помощью таблицы) и аналитический (с помощью формулы).
11
ГЛАВА2. УРОК 2. Элементарные функции от одной переменной.
1. Константа (постоянная). Существуют 2 константы: ложь (0) и истина (1).
2. Тождественная функция.
xx
3. Отрицание. х
Отрица́ние в логике — унарная операция над суждениями, результатом которой является суждение (в
известном смысле) «противоположное» исходному. Обозначается знаком ¬ перед или чертой над
суждением. Синоним: логическое "НЕ".
Построим таблицу истинности.
x
х
0
1
1
0
Как в классической, так и в интуиционистской логике «двойное отрицание» ¬¬A является следствием
суждения A, то есть имеет место тавтология:
.
Обратное утверждение
верно в классической логике (закон двойного отрицания), но не имеет
места в интуиционистской. То есть, отрицание отрицания искомого утверждения не может служить
интуиционистским доказательством, в отличие от классической логики. Это различие двух логических
систем обычно полагается главным.
12
ГЛАВА2. УРОК 3. Элементарные функции от двух переменных.
1. КОНЪЮНКЦИЯ. от латинского conjunctio - союз, связь.
Конъюнкцией высказываний А и В называется высказывание А  В, которое
истинно, когда оба высказывания истинны, и ложно, когда хотя бы одно из этих
высказываний ложно.
Определение конъюнкции можно записать с помощью таблицы, называемой
таблицей истинности. Таблица истинности для этой функции имеет вид:
Логические связки конъюнкции – союзы «и», «а», «но», «однако», «не только..., но и ...».
Конъюнкцию также можно обозначить знаком: А&В, А*В.
Пример 1. "У кота есть хвост" (высказывание А), "У зайца есть хвост" (высказывание В). Тогда
высказывание "У кота есть хвост и у зайца есть хвост" есть конъюнкция высказываний А^В. Оно будет
истинно, т.к. истинны оба высказывания А и В.
Пример 2. "У кота длинный хвост" (высказывание С), "У зайца длинный хвост" (высказывание D).
Тогда высказывание "У кота длинный хвост и у зайца длинный хвост" есть конъюнкция высказываний
С^Д. Оно будет ложным, т.к. ложно высказывание D.
2. ДИЗЪЮНКЦИЯ. от латинского disjunctio - разобщение, различие.
Дизъюнкцией высказываний А и В называется высказывание А  В, которое
истинно, когда истинно хотя бы одно из этих высказываний, и ложно, когда оба
высказывания ложны. Таблица истинности дизъюнкции имеет вид:
Логическая связка конъюнкции – союз «или».
Пример. Рассмотрим сложное единичное высказывание: «Летом я поеду в деревню или в
туристическую поездку». Обозначим через А простое высказывание «Летом я поеду в деревню», а через
В - простое высказывание «Летом я поеду в туристическую поездку». Тогда логическое выражение
сложного высказывания имеет вид А  В, и оно будет ложным только, если ни одно из простых
высказываний не будет истинным.
3. БУЛЕВА СУММА.
Булевой суммой высказываний А и В называется высказывание А  В, которое
истинно, когда истинно только одно из высказываний А или В, и ложно, когда оба
высказывания принимают одинаковое значение истинности. Таблица истинности
булевой суммы имеет вид:
Такая операция естественным образом возникает в кольце вычетов по модулю 2.
При сложении чётного количества единиц, результатом будет “0”, а при сложении нечётного числа
единиц, результат станет равен “1”.
Логическая связка булевой суммы – союз «либо … либо».
Операция “булевой суммы” выражается: А  В  А  В  ( А  В )  ( А  В)
Пример. Обозначим через А простое высказывание «Я буду сдавать экзамен по математике», а
через В - простое высказывание «Я буду сдавать экзамен по физике». Тогда истинное значение
высказывания А  В примет вид «Либо я буду сдавать экзамен по математике, либо по физике».
4. ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ
Эквивалентностью высказываний А и В называется высказывание А~В, которое
истинно, когда оба высказывания принимают одинаковое значение истинности, и
ложно, когда ложно только одно из высказываний А или В.
Таблица истинности для этой функции имеет вид:
Логические связки эквивалентности – «если и только если», «тогда и только
тогда, когда».
Эквивалентность также можно обозначить знаком: А  В, А  В.
Операция “эквивалентность” выражается: А  В  ( А  В)  ( А  В )  ( А  В)  ( А  В )
Пример. «Числа X1 и X2 являются корнями квадратного уравнения ax2+bx+c=0 тогда и только
тогда, когда x1 + x2 = - b/a , x1 • x2 = c/a».
Доказательство предлагаю на самостоятельное рассмотрение.
13
5. ИМПЛИКАЦИЯ. от латинского implico - тесно связываю.
Импликацией высказываний А и В называется высказывание А  В, которое
ложно, когда А истинно, а В ложно, и истинно во остальных случаях.
Таблица истинности для этой функции имеет вид:
Логические связки импликации – «если …, то …», «когда…,тогда…», «коль
скоро…, то…». Здесь высказывание, расположенное после слов «если», «когда»,
«коль скоро» называется основанием или посылкой, а высказывание, расположенное после слов «то»,
«тогда» называется следствием или заключением.
Импликацию также можно обозначить знаком: А  В
Операция “импликация” выражается: А  В  А  В , или ( А  В)  А  В
Пример 1: Утверждение "если каждое слагаемое делится на 3, то и сумма делится на 3" истинно,
т.е. из высказывания "каждое слагаемое делится на 3" следует высказывание "сумма делится на 3".
Посмотрим, какие наборы значений истинности посылки и заключения возможны, когда истинно все
утверждение. Возьмем, например, в качестве слагаемых числа 6 и 9. В этом случае истинны и посылка,
и заключение, и все утверждение. Если же взять числа 4 и 5, то посылка будет ложной, а заключение
истинным. Для чисел 4 и 7 и посылка и заключение ложны. (Если Вы сомневаетесь в истинности
высказывания для последнего случая попробуйте произнести его в сослагательном наклонении: если бы
числа 4 и 7 делились бы на 3, то и их сумма делилась бы на 3). Очевидно, что только один случай
невозможен: мы не найдем таких двух слагаемых, чтобы каждое из них делилось на 3, а их сумма не
делилась на 3, т.е. чтобы посылка была истинной, а заключение ложным. Из истины не может следовать
ложь, иначе логика теряет смысл.
Пример 2. (первая теорема Больцано-Коши – о нуле функции) Если функция непрерывна на
промежутке I и в двух его точках А и В принимает значения разных знаков, то по крайней мере в одной
точке С между А и В функция обращается в нуль, т.е. f(С)=0
6. ШТРИХ ШЕФФЕРА
Штрихом Шеффера высказываний А и В называется высказывание А I В,
которое ложно, когда оба высказывания истинны, и истинно во остальных случаях.
Таблица истинности для этой функции имеет вид:
Операция “ штрих Шеффера” выражается: АВ  ( А  В)
7. СТРЕЛКА ПИРСА
Импликацией высказываний А и В называется высказывание А  В, которое
истинно, когда оба высказывания ложны, и ложно во остальных случаях.
Таблица истинности для этой функции имеет вид:
Операция “ стрелка Пирса” выражается: А  В  ( А  В)
14
ГЛАВА2. УРОК 4. Законы алгебры логики.
ЗАКОН ТОЖДЕСТВА. А = А
ЗАКОН НЕПРОТИВОРЕЧИЯ. А  А  0
ЗАКОН ИСКЛЮЧЕННОГО ТРЕТЬЕГО. А  А  1
ЗАКОН ДВОЙНОГО ОТРИЦАНИЯ. А  А
ЗАКОНЫ КОНСТАНТ.
01
А 0  А
А11
А0  0
А 1  А
ЗАКОНЫ ИДЕМПОТЕНТНОСТИ.
А А А
А А  А
ЗАКОНЫ КОММУТАТИВНОСТИ.
А В  В А
А В  В  А
ЗАКОНЫ АССОЦИАТИВНОСТИ.
А  ( В  С )  ( А  В)  С
А  ( В  С )  ( А  В)  С
ЗАКОНЫ ДИСТРИБУТИВНОСТИ.
ЗАКОНЫ ПОГЛОЩЕНИЯ.
ЗАКОНЫ ДЕ МОРГАНА.
А  ( В  С )  ( А  В)  ( А  С )
А  ( В  С )  ( А  В)  ( А  С )
А  ( А  В)  А
А  ( А  В)  А
( А  В)  А  В
( А  В)  А  В
ЗАКОНЫ ЗАМЕНЫ ИМПЛИКАЦИИ.
А В  АВ
А В  В  А
А  В  ( А  В )  ( А  В)
ЗАКОНЫ ЗАМЕНЫ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ.
А  В  ( А  В )  ( А  В)
А  В  ( А  В)  ( В  А)
15
ГЛАВА2. УРОК 5. Высказывания с кванторами.
Мы выяснили, что среди математических предложений есть высказывания и высказывательные
формы. Для того, чтобы высказывательную форму преобразовать в высказывание, достаточно вместо
каждой из переменных, входящих в форму, подставить ее значение. Однако существуют и другие
способы получения высказываний из высказывательных форм.
Определение: Выражение «для всякого х» в логике называется квантором общности по
переменной х и обозначается символом  х. Запись  х, (А(х)) означает: «для всякого значения х
предложение А(х) - истинное высказывание».
Определение: Выражение «существует х такое, что ...» в логике называется квантором
существования по переменной х и обозначается символом  х. Запись  х, (А(х)) означает: «существует
такое значение х, что А(х) -истинное высказывание».
Замечание : Если задана одноместная высказывательная форма А(х), то чтобы превратить ее в
высказывание, достаточно связать квантором общности или существования содержащуюся в ней
переменную. Заметим, что в математике наряду со словом «всякий» употребляют слова «каждый»,
«любой», а со словом «существует» используют слова «некоторые», «найдется», «есть», «хотя бы
один».
Задача 1. Установить, истинны или ложны следующие высказывания:
а)  х  {0, 1, 4}, значение выражения (4 - х):(2х + 1) есть число целое. – ИСТИННО.
Действительно, чтобы убедиться в истинности данного высказывания, достаточно показать, что при подстановке
каждого числа из множества {0, 1, 4} в выражение (4-х):(2х + 1) получается целое число. Пусть х = 0, тогда (4-0):(2-0 + 1) =
4; если х = 1,то (4-1):(2-1 + 1) = 1; если х = 4,то (4-4):(2-4 + 1) = 0.
б) Произведение двух любых последовательных натуральных чисел кратно 2.
Докажем методом математической индукции.
– Пусть x = 1, тогда x*(x+1) = 1*2 = 2 – кратно 2.
– Пусть x = n, и пусть выражение n*(n+1) тоже кратно 2.
– Пусть x = n+1. Покажем истинность утверждения. (n+1)(n+2) = n2+3n+2 = (n2+n)+(2n+2) = (n*(n+1))+(2(n+1)). n*(n+1)
кратно 2 согласно вышеописанному. 2(n+1) – кратно 2, и это очевидно. сумма кратных чисел также кратно. Что и
требовалось доказать.
в) Всякое натуральное число делится на 5. – ЛОЖНОЕ.
Убедиться в этом можно, назвав натуральное число, которое не делится на 5, например число 12.
Утверждение 1: Истинность высказывания с квантором общности устанавливается путем
доказательства. Показать ложность таких высказываний можно, приведя контрпример.
Задача 2. Установить, истинны или ложны следующие высказывания:
а) Среди треугольников есть прямоугольные. – ИСТИННО.
Чтобы убедиться в истинности такого высказывания, достаточно привести пример. В данном случае прямоугольный
треугольник можно начертить.
б) Некоторые прямоугольные треугольники являются равносторонними. – ЛОЖНО.
Если треугольник прямоугольный, то в нем один угол равен 90°, а в равностороннем все углы 60°. Следовательно, ни
один прямоугольный треугольник не может быть равносторонним. Поэтому данное высказывание ложное.
Утверждение 2: Истинность высказывания с квантором существования устанавливается при
помощи конкретного примера. Чтобы убедиться в ложности такого высказывания, необходимо
провести доказательство.
Упражнения
1. Выделите квантор и высказывательную форму в высказываниях: «всякий прямоугольник является четырехугольником»,
«хотя бы одно из чисел первого десятка составное» Переформулируйте высказывания, заменив квантор его синонимом.
3. Прочтите следующие записи, заменив символические обозначения кванторов общности и существования их словесными
выражениями: а)  x  R,x2-1=(x-1)(x+1);
б)  y  Z, 5-y=5;
в)  x  Z, y+3>0;
г)  x  Q, x+3<0.
4. Запишите следующие предложения, используя символические обозначения кванторов:
а) Существует такое натуральное число х, что х + 5 = 9;
б)Каково бы ни было число х, х + 0 = х;
в)Уравнение ах2 + Ьх + с = 0 имеет хотя бы один корень.
5. Запишите, используя символы, следующие высказывания и определите их значения истинности:
а) Всякое число, умноженное на нуль, есть нуль;
б) Произведение любого числа и единицы равно этому числу.
в) При делении нуля на любое другое число получается нуль;
г) Квадрат любого числа неотрицателен.
6. Установите, какие из высказываний истинны, а какие ложны.
а)При делении некоторых натуральных чисел на 5, в остатке получается 7.
б)существуют числовые выражения, значения которых нельзя найти; в) во всяком четырехугольнике диагонали равны
7. Докажите или опровергните высказывания:
16
а) существуют уравнения, множество решений которых пусто; б) Сумма двух четных чисел есть число четное;
в) Всякое целое число является натуральным; г) Хотя бы одно натуральное число является решением уравнения х=2.
17