ДМ_пр1-4_TM

Глава 1
Тема 1 Множества и операции над ними
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
Теория множеств
Занятие 1
Какой способ использован при задании множеств:
а) IVT = {множество групп факультета ИВТ}; б) P42 = {множество
студентов группы П-42}? Верно ли, что: P42  IVT? P42  IVT?
Перечислить все элементы множества {x | x – целое и x2 < 49}.
Описать
множество
{3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24}
при
помощи
характеристического свойства.
Перечислить все подмножества множества {a,b,c}.
Справедливо ли равенство: {{a,b},{b,c}} = {a,b,c}?
Пусть E = {0, 2, 4, 6,…} – множество всех целых четных чисел;
N = {1,2,3,…} – множество натуральных чисел. Определить, из каких
1.7
1.8
1.9
1.10
1.11
1.12
1.13
1.14
1.15
1.16
1.17
чисел будут состоять множества: E  N, E  N, E \ N, N \ E?
Доказать, что   {}.
Установить истинность или ложность каждого из следующих
утверждений: а)   ; б)   A, где A – произвольное множество;
в)   ;
г)   ; д)   A, где A – произвольное множество.
Определить
количество
элементов
в
каждом
множестве:
а) {,{}};
б) {{,{}}}; в) {1,2,3,{1,2,3}};
г) {,{},a,b,{a,b},{a,b,{a,b}}}; д) {,{},{,{}}}.
Доказать, что если множества A  B и B  C, то A  C.
Пусть
даны
множества
A = {1,2,3,4,5,6,7},
B = {4,5,6,7,8,9,10},
C = {2,4,6,8,10}, U = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}. Определить множества:
а) A  C;
б) A  B;
в) (A  B)  C;
г) A \ B;
д) U\(A  B);
е) A B;
ж) A  (B  C);
з) A Δ B;
и) (A  C) \B;
к) B Δ C;
л) (A \ )  (A \ A).
Определить, какие из следующих утверждений верны, а какие – нет:
а) A   = A;
б) A Δ A = ; в) если A  B, то A  B = A;
г) A \ A = A;
д) A   = A; е) если A  B = A, то B  A;
ж) A \  = A;
з) A Δ  = A;
и) если A  B, то A  B = A;
к) A  B =A B;
л) A   = A;
м) если A  B = A, то B  A.
Доказать, используя определения операций  и , что для любых
множеств A, B, C выполняется: а) A(BC) = (AB)(AC);
б) (A  B)  A = A;
в) (A  B)  A = A;
г) A \ B = A B.
Определить операции , , \ через:
а) Δ, ;
б) Δ, ;
в) \, Δ.
Доказать, что A\(A\B) = AB. Проиллюстрировать графически.
Доказать, что A\B = A\(AB). Проиллюстрировать графически.
Пусть множества A, B, C удовлетворяют соотношениям: B  A,
A\ X  B
A  C = . Решить систему уравнений: 

X \ A  C
1
Глава 1
Теория множеств
1.18 Пусть множества A, B, C удовлетворяют соотношениям: B  A  C.
A X  B
Решить систему уравнений: 
.

A  X  C
1.19 Пусть множества A, B, C удовлетворяют соотношениям: B  A  C.
A\ X  B
Решить систему уравнений: 
.

A  X  C
1.20 Доказать аналитически, используя свойства операций над множествами, и
1.21
1.22
1.23
1.24
проиллюстрировать графически:
а) A\(A\B)=AB;
б) A\B=A\(AB);
в) AΔ(AΔB)=B;
г) AΔB=A\B, если BA;
д) (AB)\(AB)(A\B)(B\A).
Указать такие множества A, B, C, что (A\B)\С  A \ (B \ С).
При каком условии на множества A, B, C выполняется
(A\B)\С = A \ (B \ С)?
Пусть A={a,b,c,d}. Какие из следующих классов множеств составляют
разбиение или покрытие множества A?
а) {{a,b},{a,c},{c,d}};
б) {{a,d},{c},{d},{b}};
в) {{a},{c,d}}; г) {{a},{b,c,d}}.
Выписать все варианты непустых разбиений множества A={a,b,c,d}.
Тема 2 Отношения и функции
Занятие 2
1.25 Пусть A = {1,2,3}, B = {a,b}. Определить:
1.26
1.27
1.28
1.29
1.30
1.31
а) A  B; б) B  B;
в) A  ; г) B  A; д) A Δ B.
Выяснить, справедливы ли равенства. Если нет – привести контрпример.
а) (AB)C = (AB)(BC);
б) (AB)C = (AС)(BC);
в) (AB)(CD) = (AB)(CD);
г) (AB)(CD) = (AC)(BD);
д) (AB)(CD) = (AC)(AD)(BC)(BD).
Найти область определения и множество значений отношений:
а) {(a,1),(a,2),(c,1),(c,2),(c,4),(d,5)};
б) {(1,2),(2,4),(3,6),(4,8),…};
2
в) {(x,y) | x,yR и x = y };
г) {(x,y) | x,yI и x2 + y2 16}.
Установить, какие из приведенных совокупностей элементов составляют
разбиение множества A={1,2,3,4,5,6,7}. Для тех, что составляют,
перечислить элементы соответствующего отношения R, такого, что aRb 
a,b одному Ai: а) {{1,2},,{3,4,5},{6,7}}; б) {{1,2},{3,4,5},{6,7}};
в) {{1,7},{3,4,6}};
г) {{1,5},{3,4,5},{2,6,7}};
д) {{1,2,3,4,5,6,7}}.
На плоскости задана декартова прямоугольная система координат. Указать
точки плоскости, соответствующие элементам отношения R  N2, если:
а) R = {(x,y) | x  6, y  4, x > y}; б) R = {(x,y) | x  10, y  10, x делит y}.
Представить заданное бинарное отношение R на множестве А списком
пар; построить его графически; выписать область определения и область
значений: А={1,2,3,4,5}, R={(x,y)| остаток от деления y на x равен 1}.
Пусть А={1,2,3,4}, отношения R1,R2  А2: R1={(x,y) | 2x  y}, R2={(x,y)|
x+3y четно}. Построить R1, R2, R = R2◦R1, выписать области определения и
области значений всех трех отношений.
2
Глава 1
Теория множеств
Занятие 3
1.32 Даны
множества: A = {1,2,3,4,5}, B = {6,7,8,9}, C = {10,11,12,13};
отношения:
R  AB,
S  BC:
R ={(1,7),(4,6),(5,6),(2,8)},
S={(6,10),(6,11),(7,10),(8,13)}. Определить: а) R–1 и S–1;
б) S◦R;
–1 –1
–1
–1
в) R ◦S ;
г) S◦S и S ◦S.
1.33 Пусть R – множество всех действительных чисел; N = {1,2,3,…}. Найти:
а) –1; б) ◦;
в) –1◦;
г) ◦–1, если отношение  определено:
1)  = {(x,y) | x,y N и x делит y};
2)  = {(x,y) | x,y R и x+y  0};
3)  = {(x,y) | x,y R и 2x3y };
1.34 Определить,
являются ли указанные отношения на множестве N
рефлексивными, транзитивными, симметричными, антисимметричными?
а) {(m,n) | m и n взаимно просты};
б) {(m,n) | m делится на n};
в) {(m,n) | m – n =3};
г) {(m,n) | (m + 2n ) кратно 3}.
1.35 Определить на множестве {a,b,c} отношение:
а) эквивалентности; б) частичного порядка;
в) рефлексивное, симметричное, не транзитивное;
г) рефлексивное, транзитивное, не симметричное;
д) симметричное, транзитивное, не рефлексивное.
1.36 Является ли каждое из приведенных ниже отношений R  A2 отношением
эквивалентности? Если да – построить классы эквивалентности:
а) A=P (M), если M={a,b,c,d}, sRt, если s и t имеют одинаковую мощность;
б) A=Z, R={(a,b), | a+b = 0};
в) A={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}, aRb, если a+b > 0;
г) A={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}, aRb, если a+b четное;
д) A=Z, R={(a,b), если kZ | a–b = 5k};
е) A={множество прямых на плоскости}, nRm, если прямые n и m
пересекаются;
ж) A={множество прямых на плоскости}, nRm, если прямые n и m
параллельны.
1.37 Пусть C = {1,2,3} и X – булеан множества C с заданным на нем
отношением частичного порядка . Определить (если это возможно):
а) точную верхнюю грань для подмножества X {,{1},{2}};
б) подмножество X, для которого точной верхней гранью является {1,3};
в) точную нижнюю грань для X и подмножеств из а) и б).
1.38 Пусть X – множество с заданным на нем отношением частичного порядка
. Определить максимальные и минимальные элементы; точные верхнюю
и нижнюю грани (если возможно):
а) X = {,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3}};
б) X = {{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}}.
3
Глава 1
Теория множеств
Занятие 4
f  RR. Найти область определения и область значений
следующих функций:
а) f(x)=x2+4;
б) f(x)=(x–2);
в) f(x)=1/(x–2); г) f(x)=1/(x2+4).
1.39 Пусть
1.40 Для функций f и g, заданных на множестве действительных чисел, найти
f(g(x)) и g(f(x)), если:
а) f(x) = x2+1; g(x) = x + 3;
в) f(x) = 1 / x;
g(x) = 2x + 3.
б) f(x) =x2+2;
g(x) = x2 + 3;
1.41 Выяснить, какие из следующих функций, у которых область определения и
область значений совпадает с действительной числовой осью, являются
инъективными, сюръективными, имеют обратную функцию:
а) f(x) = |x|;
б) f(x) = x2+4;
в) f(x) = x3+6;
г) f(x) = x+|x|;
д) f(x) = x(x–2)(x+2).
1.42 На множестве {0,1,2,3,4,5} задать функцию:
а) не инъективную;
б) биективную.
1.43 На множестве N задать функцию:
а) не инъективную;
б) инъективную, но не сюръективную; в) сюръективную,
биективную;
г) биективную.
но
не
1.44 Используя принцип математической индукции, доказать:
а) неравенство Бернулли: (1+a)n  1 + an n  N и a > –1, aR;
б)  n  Z, n > 0 n3 – n делится на три;
n(3n  1)
в) 1  4  7  10  ...  (3n  2) 
;
2
1
1
1
1
1
n
г)
;



 ... 

1 3 3  5 5  7 7  9
(2n  1)(2n  1) 2n  1
д) 1 + 2 + 22 + 23 + … + 2n–1 = 2n–1;
е) 1 + 3 + 5 + 7 + … + (2n – 1) = n 2.
4
Глава 1
Теория множеств
При выполнении лабораторных работ необходимо
предусматривать обработку возможных ошибок ввода.
Программа не должна «зависать» или вести себя иным
некорректным образом ни при каких начальных данных!
Лабораторная работа № 1 Множества и операции над ними
Написать программу, в которой для конечных упорядоченных множеств
реализовать все основные операции (, , , \) с помощью алгоритма типа слияния
(по материалам лекции 1). Допустима организация множеств в виде списка или в
виде массива.
Работа программы должна происходить следующим образом:
1. На вход подаются два упорядоченных множества A и B (вводятся с клавиатуры,
элементы множеств – буквы латинского алфавита).
2. После ввода множеств выбирается требуемая операция (посредством текстового
меню, вводом определенного символа в ответ на запрос – выбор по желанию
автора). Операции: вхождение AB, AB, AB (дополнительно: A\B, B\A, AB).
3. Программа посредством алгоритма типа слияния определяет результат выбранной
операции и выдает его на экран с необходимыми пояснениями.
4. Возврат на п.2 (выбор операции).
5. Завершение работы программы – из п.2 (например, по ESC).
Дополнительно: возможность возврата (по выбору пользователя) на п.2 или п.1.
Выход в таком случае должен быть предусмотрен из любого пункта (1 или 2).
Лабораторная работа № 2 Отношения и их свойства
Бинарное отношение RA2 (A – конечное множество) задано списком
упорядоченных пар вида (a,b), где a,bA. Программа должна определять свойства
данного отношения: рефлексивность, симметричность, антисимметричность,
транзитивность (по материалам лекции 3).
Работа программы должна происходить следующим образом:
1. На вход подается: а) множество A из n элементов; б) список упорядоченных пар,
задающий отношение R (ввод с клавиатуры).
2. Результаты выводятся на экран (с необходимыми пояснениями) в следующем
виде:
а) матрица бинарного отношения размера nn;
б) список свойств данного отношения.
Дополнительно: после вывода результатов предусмотреть возможность изменения
списка пар, определяющих отношение. Например, вывести на экран список пар (с
номерами) и по команде пользователя изменить что-либо в этом списке (удалить
какую-то пару, добавить новую, изменить имеющуюся), после чего повторить
вычисления.
5