Лекция 1 Рациональные уравнения и неравенства

Лекция 1
Рациональные уравнения и неравенства
1.1. Решение неравенств методом интервалов
Пусть дано неравенство
(𝑥 − 𝑥1 )𝑘1 (𝑥 − 𝑥2 )𝑘2 … (𝑥 − 𝑥𝑖 )𝑘𝑖
(𝑥 − 𝑥𝑖+1 )𝑘𝑖+1 … (𝑥 − 𝑥𝑛 )𝑘
и пусть для определенности
х1 < x2< ... <xi < xi+1 < ... < xn-1 < хn.
Точки x=x1, …,x=xn разбивают числовую прямую на промежутки (рис. 1).
+
●
X1 …..
●
○
xi
○
xi+1
►
xn
x
Рис. 1
На промежутке (хn; +∞) ставим знак « + » (поскольку при х > хn все разности
положительны и, следовательно, левая часть неравенства положительна). Далее,
правило чередования знаков следующее: если число ki, 1 ≤ i ≤ n, нечетное, то
знак при переходе через точку х = xi меняется на противоположный, а если
четное, то знак остается прежним. Кроме того, если неравенство нестрогое, то в
ответ включаются корни числителя и исключаются корни знаменателя, а если
строгое, то исключаются как корни числителя, так и корни знаменателя.
Задача 1. Решить неравенство
(𝑥−3)4 (𝑥+1)3
(𝑥−2)2 (𝑥+2)
≤0
Решение. Нанесем точки на числовую прямую и расставим знаки на полученных
промежутках (рис. 2).
+
-
+
○
2
+
●
3
+
○
●
►
-2
-1
x
Рис. 2
Согласно правилу, знак меняется в точках х = -1 и х = -2. Кроме того, так как
неравенство нестрогое, корни числителя х = -1и х = 3 мы на рисунке
закрашиваем и включаем в ответ, а корни знаменателя х = -2 и х = 2 не
закрашиваем и из ответа исключаем. Корень числителя х = 3 входит в ответ как
изолированная точка.
Ответ: х ϵ (-2; -1] U {3}.
1
Задача 2. Решить неравенство х + 2<
х+4
Решение. Преобразуем данное неравенство к виду, удобному для его решения
методом интервалов:
X+2<
⇔
1
⇔ x+2-
1
𝑥+4
𝑥+4
(𝑥+3+√2)(𝑥+3−√2)
<0⇔
(𝑥+2)(𝑥+4)−1
𝑥+4
<0 ⇔
𝑥 2 +6𝑥+7
𝑥+4
<0 ⇔
<0.
𝑥+4
Нанесем точки на числовую прямую и расставим знаки на полученных
промежутках (рис. 3).
-
+
-
○
(-3 - √2)
+
○
○
-4
►
(-3 + √2)
x
Рис.3
Ответ: xϵ (-∞; -3-√2)U (-4; -3+√2).
Задача 3. Решить неравенство
𝑥
5
15
2
8
88−32𝑥
(− + −
)2 ≤ 1
Решение. Преобразуем данное неравенство к виду, удобному для его решения
методом интервалов:
𝑥
5
15
2
8
88−32𝑥
(− + −
⇔
(𝑥+1)(𝑥−2)(𝑥−3)(𝑥−4)
(11−4𝑥)2
𝑥
5
15
2
8
88−32𝑥
)2 ≤ 1 ⇔ (− + −
𝑥
5
15
2
8
88−32𝑥
− 1) (− + −
+ 1) ≤ 0 ⇔
≤0
Нанесем точки на числовую прямую и расставим знаки на полученных
промежутках (рис. 4).
Рис.4
Ответ: х е [-1; 2] и [3; 4].
𝑥−2𝑎−4
Задача 4. Найти все значения а, при которых неравенство
≤0
𝑥+3𝑎−2
выполняется для всех х из промежутка 1 ≤ х ≤ 3.
Решение. Используя тот факт, что корнем числителя является х = 2а + 4, а
корень знаменателя есть х = 2 -3а, рассмотрим три случая.
2
1. Если 2а + 4 < 2 -3а, то есть а < - , то решением неравенства будет
5
промежуток х ϵ [2а + 4; 2 - 3а). Тогда условие задачи равносильно следующей
системе неравенств (рис. 5):
●\\\\\\\\\\\\\\\\●\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\●\\\\\\\\\\\\\\\○
(2a+4)
1
3
(2-3a)
x
►
Рис.5
𝑎<−
2
2
5,
𝑎<− ,
5
3
3
{2𝑎 + 4 ≤ 1, ⇔ 𝑎 ≤ − , ⇔ a≤ - 2
2
1
2 − 3𝑎 > 3
{𝑎 < − 3
2
2. Если 2а + 4 = 2- 3а, то есть а = - , то неравенство решений не имеет.
5
2
3. Если 2а + 4 > 2 - 3а, то есть а > - , то решением неравенства будет
5
промежуток х ϵ (2 - За; 2а + 4]. В этом случае условие задачи примет
следующий вид (рис. 6):
○\\\\\\\\\\\\\\\\\\ ●\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\●\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\●
(2-3a)
1
3
(2a+4)
x
►
Рис.6
Таким образом, условию задачи удовлетворяют все а из промежутков
3
1
аϵ(-∞; - ]U( ; +∞).
2
3
3
1
2
3
Ответ: а ϵ (-∞; - ] U ( ; +∞).
Задачи для самостоятельного решения
Решите неравенство (1-5):
1.
2.
𝑥 2 −5𝑥+6
1−𝑥
𝑥−3
1
𝑥 2 +2𝑥−5
3. X-3+
< 0.
> .
4
𝑥+1
4𝑥
4. X-1>
2
> 0.
3−𝑥
.
5.
1
2𝑥
1
≥
1−𝑥
.
6. Определите, сколько целочисленных решений имеет неравенство
(n2 - 1)(n2 - 11)(n2 - 101)(n2 - 1001) < 0.
Решите неравенство (7-11):
1
7. x≤ 3 −
.
𝑥−1
8.
9.
7
(𝑥−2)(𝑥−3)
𝑥
𝑥−1
10.
11.
≤
30𝑥−9
𝑥−2
+
𝑥−2
𝑥
9
𝑥−3
+ 1 ≤ 0.
.
≥ 25(𝑥 + 2).
1
𝑥 2 +8𝑥−9
≥
1
3𝑥 2 −5𝑥+2
.
12. Для каких значений а решение уравнения 10х - 15а = 13 - 5ах + 2а больше
2?
х−2а−1
13. Найдите все значения а, при которых неравенство
<0 выполняется для
𝑥−𝑎
всех таких х, что 1 ≤ x ≤ 2.
Ответы: 1. Х ϵ (1; 2) U (3; +∞).
2. х ϵ (-1-√6; -1 + √6).
3. х ϵ (-1; 1) U (1; +∞).
4.x ϵ (3;+∞).
1
5. x ϵ (0; ]𝑈 (1; +∞).
3
6. 46.
7. x ϵ (-∞; 1) U{2}.
8. x ϵ [-5; 1] U (2; 3).
2
9. x ϵ (-∞;0)U[ ; 1).
7
3
13
10. xϵ (-∞; - ]𝑈 (2; ].
5
11
5
11. x ϵ(-∞; -9)U[ ; +∞).
2
12. a ϵ (-∞;-2)U(1;+∞) .
1
13. a ϵ ( ; 1)
2
1.2. Раскрытие модуля по определению
Модулем числа а называется само это число а, если а > 0, и число - а, если а < 0.
Согласно этому определению, в уравнениях и неравенствах модуль можно
раскрывать следующим способом:
𝑓(𝑥)≥0,
{
𝑓(𝑥)=𝑔(𝑥)
|f(x)|=g(x)⇔[ 𝑓(𝑥)<0,
{
−𝑓(𝑥)=𝑔(𝑥)
Этот способ еще называется «раскрытием модуля изнутри».
Задача 1. Решить уравнение
х2 + 4|х-3|-7х+11=0.
Решение. Данное уравнение равносильно совокупности двух систем:
𝑥−3≥0,
{ 2
+ 11 = 0
[ x +4(х−3)−7х
𝑥−3<0
{x2 −4(х−3)−7х + 11 = 0
𝑥≥3
{ 3±√13
𝑥=
[ 𝑥<32
{ 11±√29
𝑥=
⇔[
𝑥≥3,
{ 2
x
−3x−1
=0
⇔[
𝑥<3
{ 2
x −11x+23 = 0
⇔
3+√13
2
11−√29
𝑥=
2
𝑥=
2
3+√13
11−√29
Ответ: 𝑥 =
, 𝑥=
.
2
2
Если в уравнении или неравенстве модулей два или больше, мы поступаем
следующим образом. Приравниваем все выражения, стоящие под знаком модуля,
к нулю и полученные точки в нужном порядке расставляем на числовой прямой.
Затем определяем знаки подмодульных выражений на каждом из образовавшихся промежутков и в соответствии с этими знаками раскрываем модули,
то есть данный модуль раскрывается на промежутке без изменения знака, если
подмодульное выражение положительно, и с изменением знака, если оно
отрицательно. Что касается концов промежутков, то поскольку подмодульное
выражение там равно нулю, то модуль можно раскрыть любым из этих двух
способов, то есть общий конец двух промежутков можно включить в любой из
них на свой выбор.
Задача 2. Решить уравнение
|5х-13|-|6-5х| = 7.
Решение. Разобьем числовую ось на три промежутка (рис. 7).
●
●
6
13
5
5
►
x
Рис. 7
Определим знаки подмодульных выражений на каждом из этих промежутков
(табл.).
6
6 13
13
(-∞; ]
( ; ]
( ; +∞)
5х-13
-
-
+
6-5х
+
-
-
5
5 5
5
Раскрывая модули по определению, получим следующую совокупность:
6
𝑥≤ ,
{
5
13 − 5𝑥 − (6 − 5𝑥) = 7
6
13
<
𝑥
<
{
5
5
13 − 5𝑥 − (5𝑥 − 6) = 7
13
𝑥>
{
5
[
5𝑥 − 13 − (5𝑥 − 6) = 7
6
Ответ: xϵ(-∞; ]
5
Задача 3. Решить неравенство
|2−𝑥|−𝑥
|𝑥−3|−1
≤ 2.
Решение. Данное неравенство равносильно следующей совокупности:
𝑥 ≤ 2,
{(2−𝑥)−𝑥
≤2
(3−𝑥)−1
2 < 𝑥 ≤ 3,
{(2−𝑥)−𝑥
⇔ xϵ (-∞;2)U{3}U(4;+∞)
≤
2
(3−𝑥)−1
𝑥 > 3,
{(2−𝑥)−𝑥
[ (3−𝑥)−1 ≤ 2
Ответ: х ϵ (-∞; 2) U {3} U (4; +∞).
Задача 4. Решить систему уравнений
3|х + 1| + 2|у − 2| = 20,
{
х + 2у = 4.
Решение. Из второго уравнения выразим х через у и подставим в первое
уравнение системы:
{
3|х + 1| + 2|у − 2| = 20,
х + 2у = 4
3|х + 1| + 2|у − 2| = 20,
⇔{
х = 4 − 2𝑦
Решим первое уравнение, раскрывая модуль по определению. Это уравнение
равносильно следующей совокупности:
𝑦 ≤ 2,
{
3(5 − 2𝑦) + 2(2 − 𝑦) = 20
5
2<𝑦≤
2
{
3(5 − 2𝑦) + 2(2 − 𝑦) = 20
5
𝑦>
{
2
[ 3(5 − 2𝑦) + 2(2 − 𝑦) = 20
⇔y = -
1
8
или y =
39
8
.
1
17
8
4
Если y = - , то x =
17
1
, если y =
Ответ: {( ; − ) ; (−
4
8
23
4
;
39
8
39
8
, то x = -
23
4
.
)}.
Задача 5. Решить уравнение
2|x-5| - 1 = 3|2x -5| -4 |x-1|.
Решение. Данное уравнение равносильно следующей совокупности:
𝑥≤1
{
2(5 − 𝑥) − 1 = 3(5 − 2𝑥) + 4(𝑥 − 1)
5
1<𝑥≤
2
{
2(5 − 𝑥) − 1 = 3(5 − 2𝑥) + 4(𝑥 − 1)
5
<𝑥≤5
{
2
2(5 − 𝑥) − 1 = 3(5 − 2𝑥) + 4(𝑥 − 1)
𝑥>5
{
[ 2(5 − 𝑥) − 1 = 3(5 − 2𝑥) + 4(𝑥 − 1)
𝑥≤1
{9=11
5
{ 1<𝑥≤2
8𝑥=10
5
𝑥=
4
𝑥=5
5
5
⇔xϵ{ } U [5;+∞)
< 𝑥 ≤ 5 ⇔[
4
{2
𝑥>5
4𝑥 = 20
𝑥>5
{
[ 11 = 11
5
Ответ: x ϵ { } U [5;+∞)
4
Задача 6. При всех а решить уравнение | х + 3 | — а|х-1| = 4и определить, при
каких а оно имеет ровно два решения.
Решение. Данное уравнение равносильно следующей совокупности:
𝑥≤−3
{−(𝑥+3)−𝑎(1−𝑥)=4
−3<𝑥≤1
{(𝑥+3)−𝑎(1−𝑥)=4
𝑥>1
{
[ (𝑥 + 3) − 𝑎(𝑥 − 1) = 4
𝑥≤−3
{(𝑎−1)𝑥=𝑎+7
⇔
−3<𝑥≤1
{(𝑎+1)𝑥=𝑎+1
𝑥>1
{
[ (𝑎 − 1)𝑥 = 𝑎 − 1
Рассмотрим первую систему. Если а = 1, то эта система решений не имеет, если
𝑎+7
а ≠ 1, то уравнение имеет решение x=
. Выясним, при каких а данное х бу𝑎_−1
дет удовлетворять первому неравенству системы:
𝑎+7
𝑎_−1
≤ −3 ⇔
𝑎+1
𝑎−1
⇔
𝑎𝜖 [−1; 1)
𝑎+7
Значит, при этих значениях а первая система будет иметь решение х =
, а при
𝑎_−1
остальных значениях a эта система решений иметь не будет.
Во второй системе при а = -1 решением уравнения будет любое число х,
поэтому при данном значении а решением системы будут все х из интервала (-3;
1].
При а ≠ -1 уравнение будет иметь единственное решение х = 1, которое является
также решением этой системы.
В третьей системе при а = 1 решением уравнения будет любое х, поэтому при
данном а решением системы будут все х > 1. При а ≠ 1 уравнение будет иметь
единственное решение х = 1, которое не является решением этой системы,
поэтому система решений иметь не будет.
Рассмотрим, какие решения имеет исходная совокупность при различных
значениях а.
При а = 1 первая система совокупности решений не имеет, вторая система
имеет решение х = 1, третья х > 1. Поэтому совокупность будет иметь
решением
х ϵ [1; +∞).
При а = -1 первая система имеет решение х = -3, вторая — х ϵ (-3; 1], третья
система совокупности решений не имеет. Значит, решением совокупности будет
отрезок х ϵ [-3; 1].
При | а | > 1 первая и третья системы решений не имеют, решением
совокупности будет решение второй системы х = 1.
𝑎+7
При | а | < 1 первая система имеет решение х =
, вторая х = 1, третья система
𝑎_−1
решений не имеет. Значит, решение совокупности будет состоять из двух
𝑎+7
чисел: х = 1 и х =
.
𝑎_−1
Ответ. Если а = 1, то х ϵ [1; +∞); если а = -1, то х ϵ [-3; 1]; если | а | > 1, то х = 1;
𝑎+7
если |а| < 1, то х = 1 и x=
. При | а | < 1 имеются ровно два решения.
𝑎_−1
Задача 7. Построить на координатной плоскости множество точек, координаты
6
3
которых удовлетворяют уравнению y=4 - |𝑦 − | − 2| − 1|, и среди точек этого
𝑥
𝑥
множества найти все такие, где координата у принимает наибольшее значение.
Решение. Рассмотрим четыре случая.
3
6
1-й случай. Пусть −1<0 и у − <0. Раскрывая модули по определению,
𝑥
6
3
𝑥
имеем: y=4 +(𝑦 − ) + 2( − 1), или, после преобразований, 0 = 2. Таким
𝑥
𝑥
образом, первый случай не дает ни одного решения задачи.
3
6
2-й случай. Пусть −1<0 и у − ≥0.
𝑥
𝑥
6
3
𝑥
𝑥
Тогда исходное уравнение примет вид y=4 - (𝑦 − ) + 2( − 1),или, после
6
преобразований, y = + 1. Таким образом, имеем систему
3
𝑥
𝑥
<1
𝑦≥
6
[𝑥<0
𝑥>3
⇔{
6
𝑦
=
+1
6
𝑥
𝑦 = +1
{
𝑥
3
6
3-й случай. Пусть −1≥0 и у − <0. Тогда после
𝑥
𝑥
𝑥
6
3
раскрытия модулей получим y=4+(𝑦 − ) − 2( − 1),или, после
𝑥
𝑥
преобразований, х = 2. Имеем:
3
≥1
0<𝑥≤3
6
𝑦<3
{𝑦 < 6 ⇔ { 𝑦 < 𝑥 ⇔ {
𝑥 = 2.
𝑥
𝑥
=
2
𝑦=2
𝑥
3
6
𝑥
𝑥
4-й случай. Пусть −1≥ 0 и y - >0. Тогда после
6
3
раскрытия модулей получим: y=4- (y- ) − 2 ( − 1), или, после
𝑥
𝑥
преобразований, у =3.
Имеем:
3
≥ 1,
0 < 𝑥 ≤ 3,
6
2 ≤ 𝑥 ≤ 3,
{𝑦 ≥ 6 , ⇔{ 3 ≥ 𝑥 , ⇔{
𝑦=3
𝑥
𝑦
=
3
𝑦=3
𝑥
Итак, полученное множество точек изображено на рисунке 8.
Рис. 8
Ответ: х ϵ [2; 3], у = 3.
Задачи для самостоятельного решения
1. Решите уравнение |х — 2| + |x — 4|=2.
2𝑥+5
2. Решите неравенство |𝑥+1| ≥ 1.
3. Решите уравнение (х - 2) (| х | + √3 -1 |𝑥+1|+ |𝑥−2|
4. Решите неравенство
1
) = 0.
√2
< 1.
𝑥+199
5. Решите уравнение |х-1| + |2х-3| = 2.
6. Решите неравенство--
1
2
+ |𝑥|−1 ≥
𝑥+1
|𝑥−3|
2
.
𝑥−1
7. Решите неравенство |𝑥−2|−1 ≥ 1.
|𝑥+3|+𝑥
8. Решите неравенство
𝑥+2
> 1.
9. Решите неравенство | х |(х4 - 2х2 - 3) ≥ 0.
10. Решите уравнение | 2х - 15 | = 22 - | 2х + 7 |
11. Решите неравенство
16|𝑥+1|−1
3|𝑥+1|+1
< 3.
12. Решите неравенство |х2 + х-2| + |х + 4| ≤ х2 + 2х + 6.
13. Решите неравенство |
14. Решите неравенство
15. Решите неравенство
𝑥2
2
+𝑥−
3|𝑥|−11
𝑥−3
4|2−𝑥|
4−|𝑥|
>
1
| − 3𝑥 +
√2
3𝑥+14
6−𝑥
3√2
2
<
3𝑥 2
2
− |
𝑥2
2
+ 𝑥 − √2|.
.
− |𝑥 − 2| ≤ 0.
16. При всех значениях параметра а решите уравнение |х + 2| + а|х-4| = 6.
17. Найдите наименьшее значение функции
у = 2| х - 3 | + | 3х - 2 |.
18. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции у = -х2 + 3| х – 1| +2
на отрезке [-2; 2].
19. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции
1 3
у = | х2 + х | + | х2 - 3х + 2 | на отрезке [− ; ].
2 2
Ответы: 1. х ϵ [2; 4].
2. х ϵ [-2; -1) U (-1; +∞).
3. 2.
4. х ϵ (-∞; -199) U (-66; 200).
5. 2;
2
.
3
1
6. x ϵ (-∞;-l)U[- ;1)U(1; +∞).
3
7. x ϵ (- ∞;1)U(3; +∞).
8. x ϵ (- 5; - 2)U( - 1; + ∞).
9. x ϵ (-∞;-√3]U{0}U[√3;+∞).
7 15
10. х ϵ [− ; ].
2
11. x ϵ (−
3
11
7
3
;− )
7
12. х ϵ [-6; -1] U [0; +∞).
13. xϵ (─∞; -1- √
4√2
3
+ 1) ∪ (−1 + √
4√2
3
+ 1; +∞)
.
14. х ϵ (-2; 2) U (2; 3) U(6; +∞).
15. х ϵ (-∞; -4)U{0} U {2} U (4; +∞).
16. Если а < -1, то х = 4; если а = -1, то xϵ [4; +∞); если —1 < а < 1, то х1 = 4,
4𝑎−8
х2 =
;
𝑎+1
если а = 1, то х ϵ[-2; 4]; если а > 1, то х = 4.
17. ymin =
14
3
.
18. ymin = 1, ymax =
29
4
.
3
19. ymax = 4, ymin = .
2
1.3. Другие способы раскрытия модулей
Уравнение вида | f(х) | = g(x) можно решать также следующим способом:
𝑔(𝑥) ≥ 0
|f(x)|=g(x) ⇔{ 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥)
[𝑓(𝑥) = −𝑔(𝑥).
Здесь неравенство g(x) ≥ 0 должно быть выполнено, так как g(x) = |f(х)|,
а | f(х) | всегда величина неотрицательная. Этот способ еще называется
«раскрытием модуля снаружи». Уравнение вида |f(х)| = |g(x)|
равносильно уравнению f2(x) = g2(x), или (f(x) - g(x))(f(x) +g(x))= 0, что,
в свою очередь, равносильно следующей совокупности:
𝑓(𝑥)=𝑔(𝑥)
| f(x)| = | g(x)| ⇔[
.
𝑓(𝑥)=−𝑔(𝑥)
Для того, чтобы решить неравенство вида | f(x)|< g(x) или |f(х)| > g(x),
дадим еще одно определение модуля. Модулем числа а мы будем
называть большее из двух чисел: а и -а. Рассмотрим следующее
утверждение: «Большее из чисел А и В меньше С». Это утверждение
можно сформулировать следующим эквивалентным образом: «Оба
числа А и В меньше С». Следовательно, неравенство вида | f(x)|< g(x)
равносильно следующей системе:
𝑓(𝑥)<𝑔(𝑥)
𝑓(𝑥)<𝑔(𝑥)
| f(x)|< g(x) ⇔{−𝑓(𝑥)<𝑔(𝑥)
⇔{𝑓(𝑥)>−𝑔(𝑥)
Утверждение «Большее из чисел А и В больше С» эквивалентно
утверждению «Хотя бы одно из чисел А и В больше С».
Следовательно, неравенство вида
| f(x) | > g(x) равносильно совокупности:
𝑓(𝑥)>𝑔(𝑥)
𝑓(𝑥)>𝑔(𝑥)
| f(x)|> g(x) ⇔{−𝑓(𝑥)>𝑔(𝑥)
⇔{𝑓(𝑥)<−𝑔(𝑥)
И, наконец, неравенства вида | f(x) | < | g(x) | решаются посредством
следующих преобразований: | f(x) | < | g(x) ⇔ f2(x) < g2(x), ⇔(f(x) g(x))(f(x) +g(x))< 0
Задача 1. Найти все такие значения х, что наименьшее из чисел
1−𝑥
1
{1 − 𝑥 2 ; 2 } больше 2.
Решение. Следующие два условия эквивалентны:
1
1
«Наименьшее из двух чисел больше » и «Оба эти числа больше ».
2
2
Поэтому для решения задачи необходимо решить систему:
1
1
1 − 𝑥2 >
2
1
2
𝑥
<
⇔{
⇔
𝑥𝜖
; 0) .
{
(−
2
1−𝑥 1
√2
𝑥<0
>
2
2
1
Ответ: 𝑥𝜖 (− ; 0).
√2
Задача 2. Решить неравенство |x2 — х — 1|<x—1.
Решение. Данное неравенство равносильно системе:
0<𝑥<2
{𝑥 2 − 𝑥 − 1 < 𝑥 − 1 ⇔ {𝑥 2− 2𝑥 < 0 ⇔ { 𝑥 > √2 ⇔ 𝑥𝜖(√2; 2) .
[
𝑥 −𝑥−1>1−𝑥
𝑥 −2>0
𝑥 < −√2
2
Ответ: 𝑥𝜖(√2; 2).
2
Задача 3. Решить неравенство х2 -|5х - 3 | - х < 2.
Решение. Перепишем данное неравенство в виде
|5х — 3 | > x2 - х — 2. Это неравенство равносильно следующей совокупности:
2 −𝑥−2
𝑥 2 −6𝑥+1<0
2<𝑥<3+2√2
[5𝑥−3>𝑥
⇔
[
⇔[3−2√−5<𝑥<1
⇔ 𝑥𝜖(−5; 3 + 2√2)
5𝑥−3<2+𝑥−𝑥 2
𝑥 2 +4𝑥−5<0
Ответ: 𝑥𝜖(−5; 3 + 2√2).
Задача 4. Решить уравнение
||3-х|-х + 1| + x=6.
Решение. Данное уравнение эквивалентно следующей системе:
6−𝑥 ≥0
𝑥≤6
|| 3-х | —x + 1 | + х = 6⇔||3 - х | - х + 1 |=6-x⇔{ |3−𝑥|−𝑥+1=6−𝑥 ⇔ { |3−𝑥|=5
[|3−𝑥|−𝑥+1=𝑥−6
[|3−𝑥|=2𝑥−7
Первое уравнение совокупности равносильно совокупности:
3−𝑥=5
|3-x|=5⇔[3−𝑥=−5
⇔ [𝑥=−2
.
𝑥=8
Решением системы будет х=-2.
Второе уравнение равносильно следующей системе:
7
𝑥≥
2𝑥 − 7 ≥ 0,
2
|3-x|=2x-7⇔{ 3−𝑥=2𝑥−7 ⇔ { 𝑥=10 ⇔ 𝑥 = 4
[3−𝑥=7−2𝑥
[ 𝑥=43
Значение х = 4 также является решением системы.
Ответ: х = -2; х = 4.
Задача 5. Решить неравенство | х +|1 - х || > 3.
Решение. Данное неравенство равносильно следующей совокупности:
𝑥+|1−𝑥|>3
[𝑥+|1−𝑥|<−3
1−𝑥>3−𝑥
⇔
1>3
|1−𝑥|>3−𝑥
1−𝑥<𝑥−3
𝑥>2
[|1−𝑥|<−3−𝑥
⇔[ 1−𝑥<−3−𝑥,
⇔ [ 1<−3,
⇔x
{
{
𝑥<−1
1−𝑥>3+𝑥
>2
Ответ: xϵ(2;+∞).
Задача 6. Решить уравнение
| х3 - 3х - 2 | = | х3 + х + 2|.
Решение. Данное уравнение равносильно следующей совокупности:
𝑥 = −1
𝑥 3 − 3𝑥 − 2 = 𝑥 3 + 𝑥 + 2
𝑥 = −1
⇔[ 3
⇔[ 𝑥=0
[ 3
𝑥 − 3𝑥 − 2 = −𝑥 3 − 𝑥 − 2
𝑥 −𝑥 =0
𝑥=1
Ответ: х = —1; х = 0; x = 1.
Задача 7. Решить неравенство
| х2 – 2x- 3 | < | х2 - х + 4 |.
Решение. Данное неравенство равносильно неравенству:
((х2 -2х-3)-(х2 -х + 4))((х2 -2х-3)+(х2 -х + 4))<0
1
<=>(-x-7)(2x2-3x + 1)<0⇔(x + 7)(x-1)(2x-1)>0⇔xϵ(- 7; )U(1;+∞)
1
Ответ: x ϵ (- 7; ) U (1;+∞).
2
2
Задача 8. Найти площадь фигуры, которая задается на координатной плоскости
неравенством 2|х| + |у + 2х+1|<5.
Решение. Данное неравенство равносильно следующей системе:
2|х | + | у + 2х + 1| ≤5⇔ | у + 2х + 1| ≤5-2| х | <=>
2𝑥 ≤ 4 − 𝑥 − 𝑦 − 2𝑥,
у + 2х + 1 ≤ 5 − 2|х|
2|х| ≤ 4 − у − 2х
2𝑥 ≥ 𝑦 + 2𝑥 − 4,
⇔{
⇔{
⇔
{
2𝑥 ≤ 𝑦 + 2𝑥 + 6,
у + 2х + 1 ≥ 2|х| − 5
2|х| ≤ у + 2x + 6
2𝑥 ≥ −𝑦 − 2𝑥 − 6
𝑦 ≤ −4𝑥 + 4,
𝑦 ≤ 4,
{
𝑦 ≥ −6,
𝑦 ≥ −4𝑥 − 6.
Данная фигура на координатной плоскости представляет собой
параллелограмм с вершинами
5
5
A(- ;4), B(0; 4), С( ; −6) и D(0; -6) (рис. 9).
2
2
▲y
4
В
A
-2,5 0
2,5
►
► ►x
С
-6
D
Рис. 9
5
Основание АВ этого параллелограмма равно ,,
2
высотой является отрезок BD, который равен 10, поэтому его площадь равна 2
5.
Ответ: 25.
Задачи для самостоятельного решения
1. Решите неравенство 2х>|х|+ 1.
2. Решите неравенство у2 + 3| у |< 10.
3. Решите неравенство х2 - 2| х + 1| < 0.
4. Решите неравенство 2|х + 1|> х +4.
5. Решите уравнение | 5х2 - 3 | = 2.
6. Решите уравнение |х2-2х-1|-х + 1=0.
7. Решите неравенство|
𝑥 2 −𝑥−6
| ≥ 2.
|𝑥 2 − 4у + 3 | + у = 1,
8. Решите систему уравнений {
.
2х + 2y = 1
9. Найдите площадь фигуры, которая задается на координатной плоскости
𝑥+2
𝑦 ≤ 6 − 2|𝑥|,
системой неравенств {
𝑦 ≥ 2 + 2|𝑥|.
10. Найдите площадь фигуры, которая задается на координатной плоскости
соотношением | х | +| у — 1| ≤ 4.
11.Напишите уравнение окружности наименьшего радиуса, внутри которого
помещается множество, заданное на координатной плоскости условием
| 2у + 3х - 2 | + | 3х + 6 | < 6.
12.Найдите площадь фигуры, заданной на координатной плоскости
1
1
соотношением |y- 𝑥 2 | + |𝑦 + 𝑥 2 | ≤ 2 + 𝑥.
2
2
Ответы: 1. х ϵ (1; +∞).
2. у ϵ (-2; 2).
3. x ϵ (l - √3; l + √3).
4. х ϵ (-∞; - 2) U (2; +∞).
1
5. ±1; ± .
√5
6. 2; 3.
7. х ϵ (-∞; -2) U (-2; 1] U [5; +∞).
√7−3 4−√7
√19−5 6−√19
8. {(
;
) ; ( 2 ; 2 )}.
2
2
9. 4.
10. 32.
11.(𝑥 + 2)2 + (𝑦 − 4)2 = 13.
15
12. .
2