Доказательство теоремы Ферма. 1. Введение.

Доказательство теоремы Ферма.
Посвящаю моему учителю математики
Зильбербергу Осипу Михайловичу.
1.
Введение.
Математика – это абстрактная наука для описания конкретных процессов.
То есть, математический абстрактный процесс описывает множество реальных
физических процессов.
Например, 1+1 = 2
может означать, что в копилку с одной монетой бросили еще одну; что в
комнату, где находится человек, зашел еще один человек; что рыболов поймал
рыбу и поместил ее в садок, а потом поймал еще рыбу и поместил ее в тот же
садок и т.д. и т.п.
Любой математический процесс оперирует абстрактными (условными)
величинами. Не исключение и понятие целого числа. Рассмотрим понятие
математической единицы и целого числа. Математическая единица это самое
простое из всех целых чисел, основа понятия целого числа. Ведь любое целое
число это просто сумма целых единиц. Однако же, реально не существует ничего
целого, все можно разделить. Тем более, не существует двух абсолютно
одинаковых объектов, с которыми можно было бы произвести физически
реальную операцию добавления, как в приведенном примере. Т.е. реально будет
или чуть больше или чуть меньше двух. (Ведь монеты могут быть разных
номиналов, а если номинал один, то все равно монеты различаются по массе и
размерам, тут все зависит от точности измерений. Еще больше различий у рыб и
людей.)
Исторически понятие целого числа возникло из простых арифметических
действий,
простейшее
из
которых
приведено
в
примере.
Исходя
из
вышеизложенного очевидно, что арифметика это «теория целых чисел», и служит
для описания простейших процессов, единичных процессов, процессов очень
сильно ограниченных в пространстве и времени. Уяснив, что такое целое число,
перейдем к теореме Ферма.
2.
Теорема Ферма утверждает, что уравнение вида
xn  y n  z n
(1)
Не имеет целых положительных решений при
n>2.
Применим к теореме способ доказательства «от противного». Допустим,
что уравнение (1) имеет целые решения при
переменных
n > 2
, тогда все три
будут целыми числами, тогда два из трех
x, y, z
тоже будут целыми; пусть это будут
и
x
y
, тогда (1) можно записать в
виде
z  ( x n  y n )1 / n
(2)
Или
z  n xn  y n
(3)
Подкорневое выражение можно привести к элементарным арифметическим
действиям:
xn  x * x
n раз,
xn  x  x
x n 1 раз.
или
Причем, сколько именно раз не так
важно. Важно то, что суть этого
математического процесса сводится к повторению операции сложения целого
числа с самим собой. Результат такой операции тоже будет целым.
Аналогично для
yn
.
(Замечание: естественно, что
Теперь посмотрим, что такое
n
должно быть конечным и целым.)
n
.
Это обратная возведению в степень операция, по аналогии, как вычитание
обратная сложению операция. (Заметим, что в природе не существует обратных
процессов. Нельзя дважды войти в одну и ту же реку. Невозможно вернуться
точно в то же исходное положение. Это можно сделать с большей или меньшей
степенью приближения по одному или нескольким параметрам. Таким образом,
обратные процессы это мысленные, абстрактные, или другими словами,
теоретические математические процессы.)
Целые числа можно получить из целых в общем случае только с помощью
целых рациональных выражений. Т.е. с помощью сложения, вычитания,
умножения и возведения в целую положительную степень. Извлечение корня (или
возведение в дробную степень) не является целым рациональным выражением.
Поэтому выражения вида (2) и (3) в общем случае не дают целый результат по
определению.
Или подробнее:
Операцию извлечения корня невозможно определить через вычитание при
неизвестном основании прямого процесса.
То есть, возведение в целую положительную степень можно представить
как сложение целого числа с самим собой определенное число раз. Это (исходное)
целое число можно получить, вычитая его из результата такое же число раз.
x n  ( x  x)
x n 1
раз ,
прямой процесс .
x  ( x n  x)
x n 1
раз,
обратный процесс.
При этом, очевидно, для того, чтобы получить тот же математический
объект в результате обратного процесса, необходимо совершить точную
последовательность обратных действий над результатом прямого процесса. Если
же для обратного процесса предлагается не выражение вида
xn
, где
x - целое, то тогда неизвестно, что нужно вычитать и какое число раз.
Задачу невозможно определить в рамках понятия о целых числах и
целочисленных
операциях.
Следовательно,
и
о
каком-либо
решении
неопределенной задачи говорить не приходится. Следовательно, предположение о
том, что уравнение (1) имеет целые решения при
n>2
неверно, что и
требовалось доказать.
3.
Комментарий: Тот факт, что диофантово уравнение имеет целые решения
при
n=2
, является исключением из общего правила, и может быть
объяснено скорее всего тем, что квадратная функция это довольно медленно
возрастающая функция. Она описывает процессы, по скорости и ограниченности
в пространстве близкие процессам, которые описываются линейными функциями.
(Т.е. тривиальными арифметическими действиями, из которых и возникло
математическое представление о целом числе). Поэтому решения уравнения (1)
при
n=2
возможно при
иногда попадают в множество целых чисел ( скорее всего это
небольших значениях переменных, когда квадратная функция
возрастает довольно медленно).
Одесса, 04.02.2002 г.