ДОМИНО

0–0. На острове рыцарей и лжецов (рыцари всегда говорят правду, а лжецы всегда лгут) состоялась
конференция, на которой 100 человек расселись за 10 многоугольными столами (необязательно
одинаковыми) так, что с каждой стороны каждого стола сел ровно 1 человек. Каждый рыцарь
заявил, что за его столом есть ещё рыцарь, а каждый лжец заявил, что за его столом все  лжецы.
Какое наибольшее количество лжецов могло участвовать в конференции? (80 лжецов. Т.к. все
лжецами за столом быть не могут (иначе лжецы говорят правду), то за каждым столом сидит
хотя бы один рыцарь, но тогда по его утверждению, за столом рыцарей хотя бы двое. Значит,
рыцарей не менее 102=20, а лжецов – не более 80. В качестве примера можно привести
следующий – за каждым из 10 столов по 2 рыцаря и 8 лжецов.)
0–1. Когда Маша ушла с празднования дня рождения, то девочек на празднике осталось 1/5 от всех
присутствующих детей. Но когда Маша вернулась, то теперь девочки стали составлять уже
четверть всех присутствующих. Сколько мальчиков было на празднике? (12. Без Маши число
девочек равнялось 1/4 числа мальчиков, а с Машей их стало 1/3 числа мальчиков. Поэтому
Маша составляет 1/3–1/4 = 1/12 числа мальчиков, откуда и получается ответ.)
0–2. Найдите все натуральные числа, равные утроенной сумме своих цифр. (27. Если число делится
на 3, сумма его цифр тоже делится на 3. Но тогда число делится на 9, значит, и сумма его
цифр делится на 9. Если сумма цифр равна 9, число равно 27  подходит. Если сумма цифр
равна 9k, где k > 1, то наименьшее число с такой суммой цифр равно 9…9 (k девяток) =
91…1 (k единиц). Поскольку 1…1 (k единиц) > k, то других ответов у задачи нет.)
0–3. Сколько чисел среди 31, 32, 33, …, 32011 имеют цифру десятков, равную 1? (0.
Перебором легко доказывается, что цифра десятков у степени тройки
всегда будет чётной.)
0–4. Разрежьте фигуру, изображенную на рисунке, на две равные части.
0–5. Сколько существует треугольников с целочисленными сторонами, периметр
которых равен 10? (2 треугольника – со сторонами (2, 4, 4) и (3, 3, 4).
Упорядочим стороны треугольника abc, тогда по принципу Дирихле
cP/3=10/3, а по неравенству треугольника c<a+b  c<P/2=5. Значит, с=4,
a+b=6. Тогда по принципу Дирихле b3, кроме того, bc=4. Получаем два
случая для b  3 и 4.)
0–6. Пару доминошек 12 назовём гармоничной, если они образуют квадрат 22.
Приведите пример разбиения доски 88 на доминошки, в котором ровно одна
гармоничная пара. (см. рис.)
1–1. Найдите наименьшее значение выражения 2011  ТУ  РН  ИР .
(Одинаковые буквы – одинаковые цифры, разные буквы – разные цифры.) (2011260=1751. Сумма
ТУ  РН  ИР  11 Р  10(Т  И )  У  Н  11 9  10  (8  7)  6  5  260 , что следует из
транснеравенства.)
1–2. Цена за вход на стадион 30 рублей. Для увеличения дохода были снижены цены, при этом
количество посетителей увеличилось наполовину, а доход – на четверть. На сколько рублей была
снижена цена на билет? (5 рублей. Доход увеличился в 5/4 раза, а посещаемость в 3/2 раза,
значит, цена билета изменилась в 5/4:3/2=5/6 раза, т.е. уменьшилась на шестую часть, равную
5 рублям.)
1–3. Какую процентную концентрацию будет иметь раствор соли, если слить вместе 2 литра 30-%
раствора и 3 литра 20-% раствора? (24%. Всего в 5 литрах смеси будет 20,3+30,2=1,2 л чистой
соли, т.е. 1,2:5100%=24%.)
1–4. Найдите наибольшее трёхзначное число, которое при делении на 43 дает остаток, равный
частному. (968, т.к. наше число равно 43n+n=44n, где n – целое неотрицательное число,
меньшее 43, значит, надо найти наибольшее трёхзначное число, делящееся на 44 и
удовлетворяющее оценке для числа n, а это 968=4422.)
1–5. Трём братьям вместе 58 лет. Сколько лет каждому из них, если 3/4 лет младшего брата равны 2/3
лет среднего и равны 1/2 лет старшего? (Младшему брату 16 лет, среднему – 18 лет, старшему –
24 года. Пусть младшему брату х лет, среднему – у лет, старшему – z лет. По условию
3х/4 = 2y/3 = z/2, откуда у = 9х/8 и z = 3x/2. Решая уравнение х + 9х/8 + 3x/2 = 58, получаем
29х/8 = 58, откуда х = 16, у = 18, z = 24.)
1–6. Пару доминошек 12 назовём гармоничной, если они образуют квадрат 22. Какое наибольшее
количество гармоничных пар может образоваться при разбиении доски 88 на доминошки? (28
гармоничных пар. Назовём блоком прямоугольник 2N (N – натуральное число, которое
может равняться и 1), в котором доминошки стоят в ряд, касаясь друг друга длинной
стороной, причём удлинить этот прямоугольник уже нельзя. Тогда в каждом блоке
гармоничных пар на 1 меньше, чем количество доминошек. Так как в блоке не более 8
доминошек, а всего доминошек 32, то блоков не менее 32/8=4 и тогда гармоничных пар не
более 32–4=28. Пример на 28 пар – разбить доску на вертикальные (или горизонтальные)
доминошки.)
2–2. Произведение трёх натуральных чисел равно 72000. Какое наименьшее значение может
принимать их НОК – наименьшее общее кратное? (60. Рассмотрим разложение на простые
множители произведения этих трёх чисел 72000=263253. Т.к. НОК должен содержать в своём
разложении на простые множители каждый простой делитель в наибольшей из степеней,
присутствующих в разложениях каждого их трёх чисел, то в НОКе степень двойки должна
быть не меньше 6:3=2, а степени тройки и пятёрки – не меньше 1,т.е. НОК2235=60. В
качестве примера таких трёх чисел с НОК=60 возьмём числа 60=2235, 60 и 20=225.)
2–3. Квадрат 66 разрезают по линиям сетки на прямоугольники, среди которых нет
прямоугольников с одинаковой площадью. Какое наибольшее количество
прямоугольников могло получиться? Приведите ответ и пример. (7
прямоугольников, см. рис. с указанием площадей прямоугольников. Если бы
прямоугольников было не менее 8, то суммарная площадь была бы не менее
1+2+3+4+5+6+8+9=38 (прямоугольник площади 7, т.е. 17, не может
поместиться в квадрате 66), что больше площади квадрата.)
2–4. При каком наибольшем n по кругу можно расставить n различных чисел так, чтобы каждое из них
равнялось произведению двух своих соседей? (При n = 6. Возьмём числа, расставленные по
кругу с соблюдением условия. Пусть a и b – два соседних числа. Тогда после b идёт число b/а,
затем – число 1/а, дальше  1/b, а за ним – a/b. Следующим, чтобы соблюдалось условие
задачи, должно быть число a. Но оно уже было вначале. Значит, круг должен замкнуться.
Таким образом, по кругу с соблюдением условия задачи можно выписать не больше шести
чисел. Вот пример, когда их ровно шесть: 2, 3, 3/2, 1/2, 1/3, 2/3.)
2–5. На кошачьей выставке в ряд сидели 19 кошек и N котов, причём рядом с каждой кошкой сидел
кот, который был толще, чем она, а рядом с каждым котом сидела кошка, которая была тоньше,
чем он. При каком наименьшем N такое могло быть? (10. При N9 у всех котов в сумме будет не
более 18 кошек-соседок, значит, у одной из кошек вообще не будет кота-соседа. Докажем, что
при N=10 условие задачи выполняется. Возьмём любого кота. Т.к. рядом с каждым котом
сидит не больше двух кошек, то у оставшихся 9 котов будет не больше 18 кошек-соседок.
Значит, найдётся кошка, рядом с которой сидит выбранный нами кот. По условию он должен
быть толще этой кошки, то есть она тоньше, чем он, что и требовалось доказать.)
2–6. Петя умножил пятизначное число на сумму его цифр. Потом он умножил результат на сумму его
(результата) цифр. Удивительно, но опять получилось пятизначное число. Каким могло быть
исходное число? (10000, 10001, 10010, 10100, 11000. Если сумма цифр исходного числа была не
менее 3, то после первого умножения получилось либо более чем пятизначное число, чего
быть не должно, либо пятизначное число, первая цифра которого не менее 4, либо
пятизначное число, первая цифра которого равна 3, но есть хотя бы еще одна ненулевая
цифра (так как число 30000 может получиться умножением на 3 или больше только одного
пятизначного числа – 10000, но у этого числа сумма цифр равна 1). Следовательно, у
получившегося числа сумма цифр не менее 4, а первая цифра не менее 3, следовательно, при
втором умножении получится более чем пятизначное число. Отсюда сумма цифр исходного
числа равна 1 или 2. Проверяем все такие числа 10000, 10001, 10010, 10100, 11000 и 20000 и
убеждаемся, что подходят все, кроме последнего.)
3–3. В стене имеется маленькая дырка (точка). У хозяина есть флажок следующей
формы (см. рис.). Покажите все точки стены, в которые можно вбить гвоздь так,
чтобы флажок закрывал дырку. (Все искомые точки образуют фигуру,
которую накроет флажок, если вбить гвоздь в дырку, а тяготение направить
вверх (см. второй рис.). В самом деле, пусть флажок висит так, что
накрывает дырку. Повернем его (вместе с нитью и гвоздем) на 180 вокруг
середины отрезка, соединяющего дырку и точку подвеса. Тогда он займет положение,
показанное на втором рис., а та его точка, которая покрывала дырку, окажется на месте
бывшей точки подвеса.)
3–4. Найдите чётное число, равное 1/2011 суммы всех предшествующих ему нечётных натуральных
чисел. (8044. Пусть наше число равно 2n, тогда сумма первых n нечётных натуральных чисел
равна 1+3+5+…+(2n1)=2nn/2=n2. Получаем уравнение 2n=n2/2011, откуда n=4022.)
3–5. В стране 96 городов, из которых 24 – «областные», некоторые пары городов соединены между
собой дорогами (но не более чем одной), причём любой путь по дорогам между двумя обычными
городами, если он есть, проходит хотя бы через один «областной» город. Какое наибольшее
количество дорог могло быть в этой стране? (2004 дороги. Из условия следует, что нет дорог
между парами обычных городов, т.е. все дороги идут из «областных» городов (их 24, из
каждого выходит не более 95 дорог). Тогда дорог не более 24∙95–
24∙23/2=2004 (т.к. каждая дорога между областными городами
посчитана дважды). Пример на 2004 дороги очевидным образом следует
из доказательства оценки – каждый областной город соединён дорогой с
каждым из остальных.)
3–6. Дядька Черномор хочет показать своим богатырям-королевичам такую
расстановку 33 королей на шахматной доске, что каждый король находится
под защитой не более чем двух других королей (король защищает все
соседние по стороне или вершине клетки). Покажите такую расстановку.
4–4. Доску 88 замостили 21 плиткой 13
4 5 6 4 5 6 4 5
без наложений. Сколько различных 1 2 3 1 2 3 1 2
6 4 5 6 4 5 6 4
положений могла иметь непокрытая 2 3 1 2 3 1 2 3
3
1
2
3
1
2
3
1
5 6 4 5 6 4 5 6
клетка? (4 положения. Раскрасив доску
4 5 6 4 5 6 4 5
в три цвета по диагоналям в двух 1 2 3 1 2 3 1 2
2
3
1
2
3
1
2
3
6 4 5 6 4 5 6 4
направлениях, получим, что свободная
5 6 4 5 6 4 5 6
клетка должна быть одновременно 3 1 2 3 1 2 3 1
4 5 6 4 5 6 4 5
цвета 2 и цвета 4, а таких клеток на 1 2 3 1 2 3 1 2
2
3
1
2
3
1
2
3
6 4 5 6 4 5 6 4
доске 4 штуки. При этом пример для
каждой клетки можно построить методом пропеллера, выложив сначала вдоль края каёмку
ширины 2, а затем в центральном квадрате 44 выложить прямоугольник 34 и 13, оставив
свободной нужную нам клетку.)
4–5. Когда добрая фея взмахивает волшебной палочкой, появляются либо 100 карамелек и 100 ирисок,
либо 101 карамелька и 98 ирисок, либо 103 карамельки и 94 ириски. На детском празднике фея
взмахнула палочкой несколько раз и появилось 2943 карамельки. Сколько появилось ирисок?
(2814. Заметим, что если бы фея взмахнула не больше 28 раз, то карамелек стало бы не
больше 28∙103 = 2884, а если бы больше 29 раз  то минимум 3000. Следовательно, она
взмахнула ровно 29 раз. При каждом взмахе число ирисок в сумме с удвоенным числом
карамелек равно 300, поэтому после 29 взмахов число ирисок плюс
удвоенное число карамелек равно 8700, следовательно, ирисок 8700–
2∙2943 = 2814.)
4–6. Вернувшийся из похода рыцарь рассказал, что видел город, в котором 9
прямых улиц, на каждой улице по 5 перекрёстков (пересечений с другими
улицами), а всего перекрёстков 19. Враги рыцаря обвинили его во лжи. Были
ли на то основания? Приведите решение задачи. (Нет, такое возможно,
например, см. рисунок.)
5–5. Во время матча «ЦСКА»-«Реал» шахматист Незнайка задумался над
к
к
к
л л
задачей «Можно ли на шахматное поле 88 поставить 11 коней, 11
м л
королей и 1 мяч (ходить не умеет) так, чтобы не было фигуры, стоящей
к
к
к
под боем другой фигуры?» Приведите пример такой расстановки. (На
к
примере – кони-лошади отмечены буквой «л», короли – «к», мяч –
л
л
«м».)
л
л
к
к
5–6. Какую длину может иметь самонепересекающийся путь по сторонам
л
клеток из верхнего левого угла в нижний правый угол квадрата 88? л
л
л
к
к
(Любое чётное число от 16 до 80. Раскрасим 81 узел сетки в
шахматном порядке и заметим, что каждым ходом мы меняем цвет узлов, но нужные нам
узлы будут одного цвета, значит, всего будет чётное число ходов. При этом кратчайший путь
будет содержать 16 ходов (8  по горизонтали и 8  по вертикали), а самый длинный – 80 –
проходит по всем узлам решётки. Остальные же чётные значения длины пути реализуются
сокращением самого длинного пути на два узла.)
6–6. В Цветочном городе в министерстве реформ 1000000 отделов. В каждом отделе работает хотя бы
один сотрудник и каждый малыш работает ровно в одном отделе. Каждый день министр Незнайка
выбирает два самых маленьких по численности отдела и объединяет их в один отдел. Малыш
Винтик участвовал ровно в 10 объединениях. Какое наименьшее число коллег может оказаться у
Винтика после этих реформ? (143. Пусть Nk – количество сотрудников отдела, в котором
работает Винтик после k-ого объединения. Тогда N01, N12, N2N1+N0, N3N2+N1, …,
N10N9+N8, потому что отдел Винтика содержит после k-ого объединения Nk малышей и мог
быть объединён в следующий (k+1)-й раз только с отделом, содержащим не менее Nk–1
малышей, в силу того, что отделы, содержащие меньше сотрудников, уже перестали
существовать, т.к. в процессе начали участвовать отделы (в частности, отдел самого
Винтика при k-ом объединении) с большим количеством сотрудников. Таким образом, из
неравенств видно, что возникают числа Фибоначчи и N23, N35, N48, N513, N621, N734,
N855, N989, N10144. Тогда количество коллег самого Винтика после десятого слияния не
меньше 143. Приведём пример, когда в процессе реформ у Винтика окажется ровно 143
коллеги. Пусть было 3 отдела по 1 малышу, один из которых сам Винтик, а также по одному
отделу с 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 сотрудниками, а в каждом из остальных же отделов пусть было
больше 55 сотрудников. Тогда в первых 10 объединениях как раз и будет участвовать сам
Винтик, а его отдел разрастётся до 1+1+1+2+3+5+8+13+21+34+55=144 сотрудников, и
соответственно, 143 коллег.)