ЗАДАНИЯ ДЛА ЗАЧЕТНЫХ РАБОТ I КУРС 1 СЕМЕСТР Тема 1

ЗАДАНИЯ ДЛА ЗАЧЕТНЫХ РАБОТ
I КУРС
1 СЕМЕСТР
Тема 1. «Уравнения и неравенства
Задание 1. Метод интервалов
1) Решить неравенства:
(x  5 )(x  7 )
8x 2  2
4 x-9 x 2
x 2  5x  6
3x 2  27
1.1 )
 0 1.2 )
0
1.3 )
 0 1.4 )
 0 1.5 )
0
3x  1
3  6x
10  x
x 1
2x  7
( 4 x 2  4 x  1 )( 2  x  x 2 )
4 x 2  16 x  7
3-x
x-15
1.6 )
 0 1.7 ) 2
0
1.8 )
 2
2
3(x  2 )
3  x x  3x
(x  4 )(x  3 )(x  x  7 )
Примечание: в случае отсутствия корней знак квадратичной функции совпадает со знаком
старшего коэффициента. В примере 1.7) x2 + x + 7=0 корней нет, а=1>0, значит,
x2 + x + 70
при любом x.
2) Задачи (уровень В12):
2.1) Для одного из предприятий-монополистов зависимость объема спроса на продукцию q
(единиц в месяц) от ее цены p (тыс. руб.) задается формулой: q  75  5 p . Определите
максимальный уровень цены (в тыс. руб.), при котором значение выручки предприятия за
месяц r  q  p составит не менее 270 тыс. руб.
2.2) Модель камнеметательной машины выстреливает камни под определенным углом к
горизонту с фиксированной начальной скоростью. Ее конструкция такова, что траектория
1
1
полета камня описывается формулой: y  ax 2  bx , где a  
- постоянные
м, b 
5000
10
параметры. На каком наибольшем расстоянии (в метрах) от крепостной стены высотой 8 м
нужно расположить машину, чтобы камни перелетали через нее?
2.3) Зависимость температуры (в градусах Кельвина) от времени (в минутах) для нагревательного
элемента некоторого прибора была получена экспериментально и на исследуемом интервале
температур задается выражением:
T (t )  T0  at  bt 2 , где T0  800 К , a  52 К
. Известно, что при
, b  0,4 К
мин
мин 2
температуре нагревателя свыше 2000 К прибор может испортиться, поэтому его нужно
отключать. Определите (в минутах), через какое наибольшее время после начала работы
нужно отключить прибор.
Задание 2. Иррациональные уравнения и неравенства
Решить уравнения и неравенства:
56  2 x  6;
1)

2)
4 x  16  10;

3)
3
1
 ;
2 x  11 13
5) 4 x  x 2  3 5 x  8  0 6) 6 x  5 2 x 2  5 x  2  0 7)
Решить систему уравнений:

 x  3y  6  2
1) 

 2x - y  2  1
4)
18  7 x  x
x 2  3x  3  x 2  3x  5
2
2

 2 x  4 xy  4 y  16  x  2 y
2)* 
2

 y  2 xy  16  0
(* - уровень С1)
Задание 3. Модули
1) Решить уравнения и неравенства:
1.1) 5x  3  3  5x
1.2) 3x  1  x  2  4 x  1
2) Решить систему уравнений:
1.3) x 2  4 x  1  0
1.4) 3x 2 - x  3  9 x  2
2 |x - 2|  3 |y  1|  20
4 |x - 3|  |y  2|  7
2.1) 
2.2) 
2
x
y

3

x  2 y  1
3) Задачи с параметром (уровень С5)
3.1) Найдите все значения а, при каждом из которых функция f ( x)  2 2 x  a 2  x  a имеет
ровно три нуля функции.
3.2) Найдите все значения а, при каждом из которых общие решения неравенств
y  2x  a
и
y  x  a являются решениями неравенства 2 y  x  a  3
Минимум по теме: задание 1 (5 неравенств и 2 задачи); задание 2 (уравнения 1- 4)
Тема 2. «Степенная и показательная функции»
Задание 1. Функции и их свойства
1) Найти область определения и множество значений функций:
y  x 2  2 x  3; y 
2
;y 
x2
1
9 x
2
;y 
3
x 1
2) Исследовать на четность функции:
1
x
1
f x   2 x 3  3x; f x   x 4  2 x 2 ; f x   2
; f x  
2
x 5
1 x2
3) Используя график функции y  x 2 и преобразования графиков, построить графики функций:
y   x 2 ; y  x 2  2; y  3  x 2 ; y  x  3  4; y  1  x  2 ; y  x 2  5 ; y  2  x  1
2
2
2
4) Найти область определения и множество значений функции, обратной данной:
1
3
y  x  7; y  x 3  1; y 
4
x4
Задание 2. Степень с действительным показателем
1) Вычислить степени с основаниями: 2 до 10-й, 3, 4, 5 до 5-й степени (20=1, 21=2 и т.д.)
3
2) Представить числа 2, 1 , 8, 32, 1 , 8 , 2 , 3 8 , 3 128 , 1 , 4 1 , 4 в виде степени
2
16
32 5 4
32
6

с основанием «2». Например: 1  1  16  2 5
5
64 5 2 6
25
3) Упростить:
 89 13    19  23 
0 , 25 3 8
4
4
3
2 3
4
3.1) a
3.3) 25b  5b
3.4)  a  b    a  b 
 a 3.2) 3  625m

 


 


3
3.5)

a6  b4
3
b
 2a 2 b
3.6)
3

8a 3  2a  4 a 2 b 8

3.7)

 
320  33 24 
45  23 81

4) Вычислить (найти значение выражения):
4.1)
6
5
6
5
4.5) 125   1 
2
7 3
1
4
54  16
3
4.3)  15  81  19
4.4) 0,25

3
2
 25
3
2
250
1
4.7) 16   
9
5
4
4.6) 0,3  10  6  15  0,1
4.8) 59  28  107
7 3
4.2)
1
1
3
4.12)
3
3 4  3 4
7
4.9) 412  498  1968
4.10) 5
7 6
 53
7

1
2
2
 27 3
4.11) 4
2 1
 4 2
2
7 3

7 3
Задание 3. Показательные уравнения и неравенства
Решить уравнения и неравенства:
1) 2
1 4 x
1
 
 3
 32;
3 x
 9;
25
x 11
1
 
 81 
1
 ;
5
x 11
 3;
x
2) 25  5
x
x2
7
;
x 1
23 x
 1 
  ;
 49 
1
 
6
1 2 x
9  81
x 1
 27
2 x
;
4
5 x 1
x  5  3
3
1
 
2
3)
1
 
4
4)
5)
2 x 3  2 x 1  7  2 x  48 ;
7 2 x  3 x  2 ; 9 x  5  3 x 1  54  0 ;
31 x  3 x  2 ;
3  25 x  8  15 x  5  9 x  0
4x
6)*
2
3 x  2
 1;
9  3 x 1  3 x  36 ;
 36 x 1 ;
 0,5
5x 1
64 x
0
3 x  2  3 x  810
2 2 x 1  7  2 x  3  0
2 x 2  2 x 1
 0 (уровень С3)
Минимум по теме: задание 2 (кроме 3.7 и 4.12), задание 3 (1, 2, 3, 4)
Тема 3. «Логарифмическая функция»
Задание 1. Логарифмы и свойства логарифмов
1) Вычислить:
log 2 32
log 2
1
2
log 2 2
log 2 1
log 1 25
5
16 log4 13 ;
1
81
log 9 27
1
log 9
83
7
lg 1000
1
lg
10
ln e
9 log3
log 2 3  log 3 4;
7
;
log 64 3 32
log2 6
 2 log7 5
16 0,5 log4 10
1
32
42
2
log2 3
log
6
2  log 6 3  2 log2 4

log5 7
1
log 1 log 3 81
2
2
log3 4
;
1001 lg 5
5 2log5 3
6  8 log8 5 ;
log 6 198  log 6 5,5;
log 9 22
;
4 log 81 22
log 5 4 14
log 5 14
log
1
23
23;
133 log 13 7 13
2) Найти условие существования логарифма:
2.1) log 3 x  2 2.2) log 2 9  x 2  2.3) lg 5 x  x 2

3) Решить уравнения: 3.1) 3x = 4


2.4) lg 2 x 2  3x  2
3.2) 3x+2 = 18


2.5) log 0,5 7 x  x 2
3.3) 52x+1 = 7

3. 4) 2|x| = 5
Задание 2. Формула перехода
1) Выразить данные логарифмы при помощи десятичных: log 5 3, log 3 5, log 1 7, ln3, ln
2
2) Вычислить: 5
lg 625
lg 25
log 2 192 log 2 24

;
log 12 2
log 96 2
log 1 log 3 4  log 2 3;
;
4
1
3
2 log 2 3
log 4 9
3) Дано: log 36 8  m . Найти: log 36 9
Задание 3. Логарифмические уравнения и неравенства
Решить уравнения и неравенства:
1) log 2 2 x  3  4 ;
1
log 2 2 x  1  log 2 3  1; lg 4x  2  5 lg 2  3
log 3 2 x  1  1 ;
3
2) lg 2  x  2 lg 4  lg 2 ;
log 1 x 2  5x  6  1 ; log 3 x 2  2 x  1  1

2

4) 2 x 2  5 x  2  log 2 x 18 x   1  0 ;
5*) log
4  7 x  2x   2 ;
2
x2

2 log 7 x  2  2  log 7 x  10 ;
3) lg x  lg x  3  1 ;


2


log x 1 x 2  x  6


2
4




log 6 6  x  5  1  x

log 3 x1 2 x 2  x  1  log 3 x1 11x  6  3x 2 ;
x2
x2
1
 log 5 2  x 
2x  1
 0 (* - уровень С3)
1
log 5 2 x  1  log 0, 2
3  2x
Решить системы уравнений:
x  y  8
27 x  9 y
4 x  y  2
2x  7 y  1
1) 
2)  x 3 y
3) 
4) 
x y
x y2
x
y 1
 16
81  3
log 2 x  log 2 3  log 2 ( y  1)
2
2  4
x
y
5 x 1  7 y  1 / 7
x  4 y  16
5)  y  2 x  2
6) 
7) 
8) 3  2  1 / 9
lg y  lg 4  lg( x  1)
log 5 ( y  x)  log 5 ( x  2)
 y  x  2
y  x  2
log 0, 2
Минимум по теме: задание 1 (вычислить – 20 примеров, 2.1 и 2.2), задание 3 (1, 2, 3 и одну систему)
Тема 4. «Прямые и плоскости в пространстве»
Задание 1. Планиметрия. Решение треугольников
1. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC боковая сторона AB равна 14, а
195
. Найдите высоту, проведенную к основанию.
cos A 
14
2. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC боковая сторона AB равна 10, а
высота, проведенная к основанию, равна
19 . Найдите косинус угла A.
3. В треугольнике ABC угол C равен 900, AB  30, AC  3 19 . Найдите синус угла A.
11
, AC  10 3 . Найдите AB.
4. В треугольнике ABC угол C равен 900, sin A 
14
4
5. В треугольнике ABC AC  BC , AB  88, cos A  . Найдите высоту CH.
5
6. Основание AB равнобедренного треугольника равно 6. Синус внешнего угла при вершине B
равен 0,8. Найдите боковую сторону.
7. Основания равнобедренной трапеции равны 6 и 16. Высота трапеции равна 10. Найдите
тангенс острого угла.
8. В треугольнике ABC угол C равен 900, cos A 
5 61
. Найдите тангенс угла A.
61
9. В треугольнике ABC AC = BC, угол C = 520 . Найдите внешний угол при вершине B.
10. Основания трапеции равны 4 и 10. Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю
линию этой трапеции одна из ее диагоналей.
*Уровень С4
Задача 1.* Точки D и E – основания высот непрямоугольного треугольника ABC, проведенных из
DE
вершин A и C соответственно. Известно, что
 k , BC  a, AB  b . Найдите сторону AC.
AC
Задача 2.* Окружности радиусов 10 и 17 пересекаются в точках A и B. Найдите расстояние между
центрами окружностей, если AB=16.
Задача 3.* Дан прямоугольный треугольник ABC с прямым углом при вершине B. Точка D –
середина гипотенузы. Точка C1 симметрична точке C относительно прямой BD. Угол BAC равен α.
Найдите угол AC1B.
Задача 4.* Медина BM треугольника ABC равна его высоте AH. Найдите угол MBC.
Задание 2. Перпендикулярность в пространстве
Задача 1. В кубе ABCDA1 B1C1 D1 найдите угол между прямой AB1 и плоскостью ABC1 .
Задача 2. Через сторону AD ромба ABCD проведена плоскость ADM так, что двугранный угол
BADM равен 600. Найдите сторону ромба, если BAD  45 и расстояние от точки B до плоскости
ADM равно 4 3 .
Задача 3. Через центр O окружности, вписанной в треугольник ABC проведена прямая OK,
перпендикулярная к плоскости треугольника. Найдите расстояние от точки K до сторон
треугольника, если AB  BC  10см, AC  12см, OK  4см .
Задача 4. Найти измерения прямоугольного параллелепипеда ABCDA1 B1C1 D1 , если AC1=12см и
диагональ BD1 составляет с плоскостью грани AA1D1D угол в 300, а с ребром DD1 – угол в 450.
Задача 5. В тетраэдре DABC DA  5, AB  4, AC  3, BAC  90, DAB  60, DAC  45 .
Найдите расстояние от вершины A до точки пересечения медиан треугольника DBC.
Задача 6.* Сумма площадей трех граней прямоугольного параллелепипеда, имеющих общую
вершину, равна 404 дм2, а его ребра пропорциональны числам 3, 7 и 8. Найти диагональ
параллелепипеда.
Задача 7.* В треугольнике ABC AB=BC=13, AC=24. Отрезок BD=20 перпендикулярен к плоскости
треугольника. Найти тангенс двугранного угла между плоскостями ABC и ACD.
Минимум по теме: задание 1 (7 задач), задание 2 (3 любые задачи).
2 СЕМЕСТР
Тригонометрия
Тема 5. «Тригонометрические функции»
Задание 1. Число на единичной окружности
Описать все числа x, для которых (решить графически уравнения и неравенства):
3
1
А)
1) cos x 
2) sin x  
3) cos 2 x  1
4) tgx   3
2
2
3
2
1
Б) на отрезке 0; 3 : 1) sin x 
2) cos x  1
3) cos x 
4) sin x  
2
2
2
5) cos 4 x  0
Задание 2. Функция y  cos x
1) По графику функции y  cos x :
1
, cos x  1,5, cos x   2
2
1.2) Определить, сколько корней на отрезке   ;2  имеет уравнение:
1.1) Определить, сколько корней имеет уравнение: cos x 
cos x  0, cos x  1, cos x  
3
2
3
1
x
; cos 2 x   ; 2 cos  2 ;
2
2
2
2) Найти множество значений функции: y  2  5 cos x
1.3) Найти корни уравнения cos x 
3) Построить график функции: y  3 cos x  4, y  1  2 cos 2 x; y  cos x ; y  cos x   

2
4) Найти область определения функции y 
cos x
1  2 cos x
; y  log 3 cos x 
Задание 3. Функция y  sin x
1) По графику функции y  sin x :
1.1) Определить, сколько корней имеет уравнение: sin x 
1.2) Определить, сколько корней на отрезке   ;2  имеет
уравнение: sin x  0, sin x  1, sin x 
1
, sin x  1,5, sin x  2
2
3
2
1
x
1.3) Найти корни уравнения sin x   ; sin 3x  1;2 sin 2 x   2 ; 2 sin  1
2
4
2) Найти множество значений функции: y  5  2 sin x
3) Построить график функции: y  2 sin x  4, y  1  2 sin 2 x
2
4) Найти область определения функции y 
cos x
x
2
5) *Исследовать функцию y  ctgx и построить ее график
1  2 sin
Минимум по теме: задания 2 и 3 (в каждом задания 1, 2)
4
Тема 6. «Тригонометрические формулы»
Тождественные преобразования тригонометрических выражений
1) Найти:
а) cos x, если sin x = 12/13, /2 < x <
б) sin x, если cos x = -15/17,  < x < 3/2
в) tg x,
если cos x = 2/5,
г) cos x, если ctg x = 2,
2) Упростить:
а) cos(23x) cos x + sin3x cos(3/2 + x)
б) sin(3x) cos x + cos3x cos(3/2  x)

в) sin  sin 2  cos   
2

2
2
г) 3 cos x  3 sin x  6
д) cos 4a cos 6a  sin 4a sin 6a  cos( 2a  2 )
0 < x < /2)
/2 < x < 
3) Найти значение выражения: а) sin(/2 + ) – 4cos(), если cos = 0,4
2 sin   sin 2
1
sin 3   cos3 
1
б)
, если cos  
в)
, если sin   cos  
2 sin   sin 2
5
cos 2
2
3


2 
2 
3 
3 
4) Вычислить: 4 sin 15 cos 15,
 6 sin
cos
,
2 sin cos
 2 sin
cos
8
12
12
16
16
16
16
sin 
1  cos 
4
4
2
5) Доказать тождества: 5.1)
5.2) sin   cos   2 cos   1

1  cos 
sin 
2
5.3) sin 4   cos 4   2 sin 2  cos 2   1
5.4) 1  2 cos   tg  ctg
sin  cos 
Минимум по теме: 1 а), б); 2 а), б), в); 3 а); 4 а); 5 (2 тождества)
Тема 7. «Тригонометрические уравнения»
Задание 1. Уравнение cos x = a
Решить уравнения:
3
1
1) cos x 
2) cos x  
2
2
1
6) cos x  1  0
7) cos 2 x   0
2
3) cos x 
5
2
4) cos x  
3
4
5) cos 4 x  1


8) 2 cos x    2
9) 2 cos 2 x  1  0
4


x





10) 2 cos  1  0 11) cos x  sin   x   cos  x   0
12) cos3  x   sin   x   2
2
2
2




Задание 2. Уравнение sin x = a
Решить уравнения:
2
1
x
1) sin x 
2) sin x  
3) sin 2 x  0
4) sin  1
5) 1  2 sin x  0
2
2
2


 


2
6) sin   x   sin    7) sin x  1  sin 2 x  1
8) sin   x   cos  x   3
2

 4
2

3 

9) 7 cos x    5 sin x  1  0 10) sin x  sin   x   2 cos  x   1  0
2 

2
11) sin x  6 sin x  0
12) 1  sin x   1  cos x   1  sin x  cos x
Задание 3. Решение тригонометрических уравнений и неравенств
1. Решить уравнения и системы уравнений:
1) 2 sin 2 x  3 sin x  1  0
2) 2 cos 2 x  cos x  1  0
3) 2 sin 2 x  7 cos x  2  0
5) sin 2x  sin x  2 cos x  1 6) cos 2 x  sin 2 x  3 cos x  0 ,  -, 
3 sin x  cos x 1
7) sin x  cos x  0 ,  -2, 
8)
 ,  0, 3
cos x  5 sin x 2
x
x
2 sin 4  2 cos 4
2
2
sin
2
x
2
2
9) 3 cos 2x  4  11cos x 10) 6 sin x  2 sin x cos x  3 cos x 11)*

tgx
tgx

3y  2tgx  4
12) 
13) 4 y  3  cos x  1 / 2
14) 2 3 sin x  8 y  1

28 y  4 3  cos x  1
2 y  3tgx  1
 3 sin x  7 y  1 / 4
4) 5  4 sin 2 x  4 cos x
3 y 1  2 cos x
16)*   y
3  4 cos x  1
16 cos x  10  4 cos x  16  0
15)* 
 y  2 sin x  0
sin y  x  6
cos y  x  7
17)* 
2. Решить неравенства:
1) sin x 
1
2
6) tg 3 x  1
2) cos x  
3
2
3) cos 2 x  1
7) sin    2 x   2
2
4


x

4) sin  x    0 5) sin  1
2
3

8) cos x  x 2  1
9) cos x  1  3 x 10) cos x  1  x
Минимум по теме: задание 1(5 уравнений), задание 2 (5 уравнений), задание 3 (5 уравнений)
Тема 8. «Координаты и векторы»
Задание 1. Векторы в пространстве
Решение задач по учебнику: «Геометрия 10-11», Л.С.Атанасян и др. № 335, 336, 337, 384
Задание 2. Метод координат в пространстве
Решение задач по учебнику: «Геометрия 10-11», Л.С.Атанасян и др.
№ 402, 403, 404, 407, 410, 426, 429, 431, 444, 451, 501
Минимум по теме: задание 1 (два номера), задание 2 (4 номера)
Тема 9. «Многогранники»
Задание 1. Призма
Задача 1. В прямоугольном параллелепипеде стороны основания равны 12см и 5см. Диагональ
параллелепипеда образует с плоскостью основания угол в 450. Найти боковое ребро параллелепипеда.
Задача 2. Основанием прямой призмы является равнобедренная трапеция с основаниями 25см и 9см
и высотой 8см. Найти двугранные углы при боковых ребрах призмы.
Задача 3. Через два противолежащих ребра куба проведено сечение, площадь которого равна 64 2
см2. Найти ребро куба и его диагональ.
Задача 4. Основание прямой призмы – треугольник со сторонами 5см и 3см и углом в 1200 между
ними. Наибольшая из площадей боковых граней равна 35см2. Найти площадь полной поверхности
призмы.
Задача 5. Боковое ребро наклонной четырехугольной призмы равно 12см, а перпендикулярным
сечением является ромб со стороной 5см. Найти площадь боковой поверхности призмы.
Задача 6*. Основание прямой треугольной призмы ABCA1 B1C1 - треугольник ABC, в котором
AC  BC  6 , а один из углов равен 600. На ребре CC1 отмечена точка P так, что CP : PC1  2 : 1.
Найдите тангенс угла между плоскостями ABC и ABP, если расстояние между прямыми AC и A1B1
равно 18 3 .
Задача 7*. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1 ...F1 все ребра которой равны 1, найдите
угол между прямыми AB1 и BE1 .
Задача 8*. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1 ...F1 все ребра которой равны 1, найдите
косинус угла между прямыми AB1 и BD1 .
Примечание: задачи 7 и 8 решаются при помощи векторов (нужно найти угол между векторами)
Задание 2. Пирамида
Задача 1. Основанием пирамиды DABC является треугольник ABC, у которого AB=AC=13см,
BC=10см; ребро AD перпендикулярно к плоскости основания и равно 9см. Найти площадь боковой
поверхности пирамиды.
Задача 2. Основанием пирамиды является прямоугольник, диагональ которого равна 8см. Плоскости
двух боковых граней перпендикулярны к плоскости основания, а две другие боковые грани образуют
с основанием углы в 300 и 450. Найти площадь поверхности пирамиды.
Задача 3. Основанием пирамиды DABC является прямоугольный треугольник c гипотенузой BC,
BC=10см. Боковые ребра пирамиды равны друг другу, а ее высота 12см. Найти боковое ребро
пирамиды.
Задача 4. В правильной треугольной пирамиде SABC M - середина ребра AB, S - вершина.
Известно, что BC = 4, SM = 29. Найдите площадь боковой поверхности.
Задача 5. В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна 8, а апофема равна
273 .
3
Найти высоту пирамиды.
Задача 6. В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания равна 6см, а угол наклона
боковой грани к плоскости основания равен 600. Найти боковое ребро пирамиды.
Задача 7. Стороны оснований правильной треугольной усеченной пирамиды равны 4дм и 2дм, а
боковое ребро равно 2дм. Найти высоту и апофему пирамиды.
Задача 8.* Ребра AD и BC пирамиды DABC равны 24см и 10см. Расстояние между серединами ребер
BD и AC равно 13см. Найдите угол между прямыми AD и BC.
Минимум по теме: задание 1 (три задачи), задание 2 (три задачи).
II КУРС
3 СЕМЕСТР
Тема 10. «Тела вращения»
Задание 1. Цилиндр
Задача 1. Диагональ осевого сечения цилиндра равна 48см. Угол между этой диагональю и
образующей цилиндра 600. Найти площадь полной поверхности цилиндра.
Задача 2. Площадь основания цилиндра относится к площади осевого сечения как 3 : 4 . Найти: а)
угол между диагональю осевого сечения цилиндра и плоскостью основания; б) угол между
диагоналями осевого сечения.
Задача 3. Площадь боковой поверхности цилиндра равна 40 , а диаметр основания – 10. Найдите
высоту цилиндра.
Задача 4. Высота цилиндра равна 12см, а радиус основания – 10см. Цилиндр пересечен плоскостью,
параллельной его оси так, что в сечении получился квадрат. Найти расстояние от оси цилиндра до
секущей плоскости.
Задача 5. Плоскость, параллельная оси цилиндра, отсекает от окружности основания дугу в 600.
Образующая цилиндра равна 10 3 см, расстояние от оси до секущей плоскости 2см. Найти площадь
сечения.
Задача 6. Сколько квадратных метров листовой жести пойдет на изготовление трубы длиной 4м и
диаметром 20см, если на швы необходимо добавить 2,5% площади ее боковой поверхности?
Задание 2. Конус
Задача 1. Прямоугольный треугольник с катетами 6см и 8см вращается вокруг меньшего катета.
Вычислить площади боковой и полной поверхностей образованного при этом вращении конуса.
Задача 2. Высота конуса равна 10, а диаметр основания – 48. Найдите образующую конуса.
Задача 3. Вы сколько раз увеличится площадь боковой поверхности конуса, если его образующую
увеличить в 3 раза?
Задача 4. Радиус основания первого конуса в 3 раза больше, чем радиус основания второго конуса, а
образующая первого конуса в 2 раза меньше, чем образующая второго. Чему равна площадь боковой
поверхности первого конуса, если площадь боковой поверхности второго равна 18см2?
Задача 5. Дана трапеция ABCD, в которой A  900 , D  450 , BC=4см, CD  3 2 см. Вычислите
площадь полной поверхности усеченного конуса, образованного вращением данной трапеции вокруг
стороны AB.
Задание 3. Сфера и шар
Задача 1. Найти координаты центра и радиус сферы, заданной уравнением:
а)  x  3   y  2   z 2  2 ; б) x 2  4 x  y 2  z 2  0 ; в) x 2  x  y 2  3 y  z 2  2 z  2,5 .
2
2
Задача 2. Найти площадь сферы, радиус которой равен: а) 6см; б) 2 м; в) 2 3 см.
Задача 3. Шар радиуса 41 дм пересечен плоскостью, находящейся на расстоянии 9 дм от центра.
Найти площадь сечения.
Задача 4. Вершины прямоугольника лежат на сфере радиуса 10см. Найти расстояние от центра
сферы до плоскости прямоугольника, если его диагональ равна 16 см.
Задача 5. Стороны треугольника касаются сферы радиуса 5см. Найти расстояние от центра сферы до
плоскости треугольника, если его стороны равны 10см, 10см, 12см.
Задача 6. Радиусы двух параллельных сечений сферы равны 9 и 12. Расстояние до ближайшей
секущей плоскости равно 9. Найти площадь сферы.
Минимум по теме: по две задачи из каждого задания
Начала анализа
Тема 11. «Производная»
Задание 1. Значение функции в точке
Найти f x0  :
1) f x   x 5  2 x 3  3x 2  1, x0  1
2) f x  
3) f  x   2 2 x  1 
4) f x   3 2 x 1  5 2 x 1  1, x 0 
2
2x  1
, x0 
1
2
2
, x0  5
x
1
2
2 x

7) f  x   log x 1 x 2  23  2e 2 x , x 0  2
9) f  x   2 cos 2 x  3 sin x, x 0 
x 9

1
6) f  x   4e x 1    , x 0  1
2
x
8) f  x   3e  2e 2 x , x0  ln 2
5) f x   3 x  2 1  x , x0  8

4
2


 



10) f x   3tg 2 x    2 sin  x  , x0 
6
12 
3


2
Задание 2. Правила дифференцирования
Найти производные функций:
1) f ( x)  2 x 2  tgx
2) f ( x)  x 5  5 x  1
3) f ( x)  2 x 3  3x 2  36 x
1 3
x  4x 2  2
3
5) f ( x)  4 cos x  3x
6) f ( x) 
9) f ( x)  x 6  4 sin x
10) f ( x)  15 x 2  1  ln x
x
x
12) f ( x)  2e 2
6
 4 cos
15) y  2 x  37  sin
19) y  x
y
x 1
3
2x2  x  1
x
3
x
2
13) y  x 2 ln x
1 6) y 
x
ln x
21) y  x  16e x 15
x
24) y  ln 2 x 2  3x  2
20) y 

1
x
11) f ( x)  2 sin x  4e 2 x
2


 5 cos  x 
x
6

17) y  ln 2  x
x

7) f ( x)   x 3  e x  2 sin x 8) f ( x)  4tgx 
14) y  2 ln 2 x 
1

4) f ( x)  e x x 2  1
18) y  e x sin x  x
22) y  2 x 2  5 x  7
23)

Пример оформления: f ( x)  4 x 3  3 2 cos x  3 x  7

f ( x)  4 x 3  3 2 cos x  3x  7
  12x
2
 3 2 sin x  3
Задание 3. Геометрический смысл производной
1. К графику функции f(x) = 3 + 7x – 4x2 проведена касательная с угловым коэффициентом -9.
Найти координаты точки касания.
2. К графику функции f(x) = 5x2 – 12x + 1 проведена касательная с угловым коэффициентом 3.
Найти координаты точки касания.
3. Найти угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции
f ( x)  6 sin x  cos x в его точке с абсциссой x = π/3.
4. Дана функция f(x) = x3 – 3x2 + 5. Найти координаты точек ее графика, в которых
касательные к нему параллельны оси абсцисс.
5. К графику функции y  2 sin x  3 cos x проведены касательные в точках с абсциссами

3 . Являются ли эти касательные параллельными прямыми?
x1 
2
; x2 
2
6. Прямая y  6 x  9 параллельна касательной к графику функции y  x 2  7 x  6 . Найдите
абсциссу точки касания.
7. Прямая y  3 x  5 параллельна касательной к графику функции y  x 2  6 x  8 . Найдите
абсциссу точки касания.
8. Прямая y  4 x  8 является касательной к графику функции y  x 3  3x 2  x  9 . Найдите
абсциссу точки касания.
Задание 4. Уравнение касательной
1.Написать уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой x0:
1
1.1 f  x   3 x 2  6 x  1; x0  0
1.2 f  x   x 4  x; x 0  1
2

1
1.3 f  x   1  cos x;
x0 
1.4 f  x  
;
x0  1
2
1 x2
2. Составить уравнение касательной к графику функции y = f(x), параллельной прямой y = kx+b
2.1 f  x   x 
1
;
x2
y  3x
2.2 f x   2 x  x;
y  2x
2.3 f  x   x  e  2 x ;
y  x
3. К графику функции y = x3 – 6x составить уравнение касательной, которая проходит через точку M
(1, 3).
4. Найти координаты точек пересечения с осями координат касательных, построенных к графику
2x  3
заданной функции и имеющих заданный угловой коэффициент: y 
;
k 9
x3
Минимум по теме: задание 1 (1 – 5), задание 2 (1 – 14), задание 3 (1 – 3).
Тема 12. «Приложение производной»
Задание 1. Монотонность функции
Найдите промежутки возрастания и убывания функции:
1) f ( x)  2 x 3  3x 2  5
2) f ( x)  4 x 3  x 2  2
3) f ( x)  2 x 3  9 x 2  24 x
4) f ( x)   x 3  x 2  8 x
1
2x
7) y  x 
8) y  x
x
e
5) f ( x)  2 x 3  x 2  3
6) f ( x)   x 3  9 x 2  21x

9) y  log 2 2 x 2  3x  2

10) y  4 x 2  x  3
11) y  
3
2x 2  x 1
Задание 2. Наименьшее (наибольшее) значения и экстремумы функции
1) Найдите наименьшее значение функции y  x  16e x 15 на отрезке [14; 16].
3
2) Найдите наибольшее значение функции y  3 2 cos x  3x 
 7 на отрезке [0; π/2].
4
3) Найдите наименьшее значение функции y  x  20e x 19 на отрезке [18; 20].
2 3
 4 3 x  8 3 cos x на отрезке [0; π/2].
3
5) Найдите наибольшее значение функции y  16 x  5 sin x  3 на отрезке   ;0 .
4) Найдите наименьшее значение функции y  6 
 2
6) Найдите наименьшее значение функции y  2 cos x 
12


x  5 на отрезке  2 ;0 .
 3 
 
7) Найдите наименьшее значение функции y  36tgx  36 x  9  11 на отрезке  ; 
 4 4
13 15
8) Найдите наименьшее значение функции y  x 2  13x  11ln x  12 на отрезке  ; 
14 14 
9) Найдите наибольшее значение функции y  2 x 2  5 x  ln x  7 на отрезке  1 ; 7 
 6 6 
10) Найдите точку минимума функции y  2 x  ln x  4  12
11) Найдите точку минимума функции y  2 x  ln x  11  3
12) Найдите точку максимума функции y  ln x  9  2x  13
Минимум по теме: задание 1(1 – 6), задание 2 (4 из 12 заданий).
Тема 13. «Первообразная»
1) Для какой из приведенных функций f(x), g(x), q(x) функция F ( x)  x 4  3x  2 cos x является
первообразной?
f ( x) 
x5
 x 3  2 sin x, g ( x)  4 x 3  6 x  2 sin x, q( x)  4 x 3  6 x  2 sin x .
5
2) Найти все первообразные функции f(x) :
2.2) f ( x) 
2.1) f ( x)  2  6 x 2  5 x 4
4 3

 x
x x2
2.3) f ( x)  3 sin
x
 2 cos 4 x
2
3) Для функции f(x) найти первообразную, график которой проходит через точку М:
3.1) f ( x)  x 2  2 x,
M  3; 5
3.2) f ( x) 
1
x
, M 4; - 2
4) Найти площадь фигуры, ограниченной следующими линиями:
4.1) Графиком функции f ( x)   x 2  6 x  10 , осью Х, прямыми x = 1 и x = 3;
4.2) Параболами y  2 x 2 ,
y  3  x2
 6 x
1
5.1)
3

 2 x  3 dx
 5 x
1
5.2)
-1
4

 2 x 3 dx
0

5) Вычислить интегралы:


 cos 4  x dx

2
Минимум по теме: 1, 2.1, 2.2, 3.1, 4.1
x 2  5x  6
2 x  1 dx
5
2
5.4)
5.5)
3
5.3)

0
x  1dx
4 СЕМЕСТР
Тема 14. «Измерения в геометрии» (площади поверхностей, элементы и объемы тел)
Итоговый зачет по геометрии
Задача 1. Высота правильного треугольника равна 3 . Найдите длину окружности, описанной около

этого треугольника.
Задача 2. В правильной треугольной пирамиде SABC медианы основания пересекаются в точке K.
Объем пирамиды равен 80, KS = 15. Найдите площадь треугольника ABC.
Задача 3. Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания и высота
которого равны 5,5. Найти объем параллелепипеда.
Задача 4. Прямоугольный параллелепипед описан около сферы радиуса 6. Найти его объем.
Задача 5. В цилиндрический сосуд налили 2100 см3 воды. Уровень воды при этом достигает высоты
20 см. В жидкость полностью погрузили деталь. При этом уровень воды в сосуде поднялся на 5 см.
Чему равен объем детали? (Ответ выразите в см3)
Задача 6. В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 12см. На какой высоте будет
находиться уровень жидкости, если ее перелить во второй сосуд, диаметр которого в 2 раза больше
первого?
Задача 7. В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили 1000см3 воды и
погрузили в воду деталь. При этом уровень воды поднялся с отметки 25см до отметки 27см. Чему
равен объем детали? (Ответ выразите в см3)
Задача 8. Объем одного куба в 8 раз больше объема другого куба. Во сколько раз площадь
поверхности первого куба больше площади поверхности второго куба?
Задача 9. Объем конуса равен 48. Через середину высоты параллельно основанию конуса проведено
сечение, которое является основанием меньшего конуса с той же вершиной. Найдите объем меньшего
конуса.
Задача 10.* В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, найдите
косинус угла между плоскостями ABC и BCS.
Задача 11.* Найдите площадь полной поверхности правильной треугольной пирамиды, если сторона
ее основания равна 4, а двугранный угол при основании равен 600
Минимум для зачета по геометрии: любые 5 задач
Тема 15. «Элементы комбинаторики»
Тема 16. «Элементы теории вероятностей»
1) В сборнике билетов по математике всего 20 билетов, в 7 из них встречается вопрос о
производной. Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете
учащемуся не встретится вопрос о производной.
2) В среднем из 500 фонариков, поступивших в продажу, 5 неисправны. Найти вероятность того,
что один купленный фонарик окажется исправным.
3) Игральную кость бросают один раз. Какова вероятность того, что выпадет: а) более 3 очков;
б) мене 4 очков; в) не более 3 очков; г) нечетное число очков?
4) Саша дважды бросает игральный кубик. В сумме у него выпало 5 очков. Найдите вероятность
того, что при втором броске выпало 1 очко.
5) На чемпионате по прыжкам в воду выступают 50 спортсменов, среди них 3 прыгуна из
России и 5 прыгунов из США. Порядок выступления определяется жребием. Найдите
вероятность того, что сорок девятым будет выступать спортсмен: а) из Росси; б) из США.
6) В чемпионате мира участвуют 25 команд. С помощью жребия их нужно разделить на пять
групп по пять команд в каждой. В ящике вперемежку лежат карточки с номерами групп:
1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5. Капитаны команд тянут по одной карточке.
Какова вероятность того, что: а) команда России окажется в первой группе; команда Росси
окажется в одной группе с командой Франции?
7) Из колоды в 36 карт вынимается одна карта. Какова вероятность появления карты червовой
масти?
8) А и B играют в кости. Они бросают кубик по одному разу. Выигрывает тот, кто выбросил
больше. Первым бросил A. У него выпало 2 очка. Найдите вероятность того, что B не
выиграет.
9) *В первом ящике 1 белый и 5 черных шаров, во втором 8 белых и 4 черных шара. Из каждого
ящика вынули по шару. Найти вероятность того, что один из вынутых шаров белый, а другой
– черный.
Минимум по теме: любые 5 задач.