Модуль по теории множеств &quot

МИНОБРНАУКИ РОССИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное
учреждение высшего профессионального образования
«Юго-Западный государственный университет»
(ЮЗГУ)
Кафедра высшей математики
УТВЕРЖДАЮ:
Первый проректор по учебной работе
Е.А. Кудряшов
2011 г.
БИНАРНЫЕ ОТНОШЕНИЯ
Индивидуальные задания к модулю 1.2
Курск 2011
УДК 510.22
ББК 22.1
Составитель Т.В. Шевцова
Рецензент
Кандидат технических наук, доцент Е.В. Журавлева
Бинарные отношения: Индивидуальные задания к модулю 1.2
/Юго-Зап. гос. ун-т; сост. Т.В. Шевцова Курск, 2011. 38 с.
Библиогр.: с. 38.
В данной работе содержатся теоретические упражнения и
практические задания по теме «Бинарные отношения».
Предназначено для студентов технических специальностей и
направлений подготовки.
Текст печатается в авторской редакции
Подписано в печать _______ . Формат 60х84 1/16.
Усл. печ. л.___. Уч.-изд. л.____. Тираж 50 экз. Заказ___. Бесплатно.
Юго-Западный государственный университет.
305040 Курск, ул. 50 лет Октября, 94.
2
Содержание
Введение……………………………………………………………...4
Индивидуальные задания…………………………………………...5
Теоретические упражнения………………………………………....5
Практические задания……………………………………………….8
Задание 1…………………………………………………….8
Задание 2…………………………………………………….9
Задание 3…………………………………………….……..12
Задание 4……………………………………………….…..14
Задание 5…………………………………………….……..18
Задание 6…………………………………………….……..22
Задание 7…………………………………………….……..25
Задание 8…………………………………………….……..30
Задание 9…………………………………………….……..34
Задание 10…………………………………………….……36
Список рекомендуемой литературы..……………………………..38
3
Введение
Для систематизации и контроля организации самостоятельной
работы студентов введена рейтинговая интенсивная технология
модульного обучения. Данная методическая разработка является
составной частью технологии.
Методическая разработка предназначена для студентов
технических специальностей
и направлений подготовки,
изучающих дисциплины «Теория множеств», «Дискретная
математика» и «Математический анализ», где предполагается
детальное изучение темы «Бинарные отношения».
Целью разработки является выдача заданий студентам по
следующим темам:
 Декартово произведение множеств,
 Понятие бинарного отношения,
 Граф и матрица бинарного отношения,
 Обратное отношение,
 Композиция бинарных отношений,
 Виды бинарных отношений,
 Классы эквивалентности,
 Функциональные отношения,
 Грани числовых множеств.
Разработку можно использовать при выполнении домашних
заданий и при подготовке к экзамену.
В каждом задании предложено 40 вариантов задач, выбор
варианта осуществляется согласно номеру n в журнале.
Выполнение работы разделяется по трем уровням сложности.
Уровень
Теоретические
Практические
сложности
упражнения
задания
Первый
Под номером n
1, 2, 5, 6, 9
Второй
Под номером n
1, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 9
Третий
Под номером n
Все
Выбранный уровень влияет на общее количество баллов,
получаемых за модуль.
При выполнении теоретических упражнений и практических
заданий рекомендуется воспользоваться учебными пособиями,
приведенными в списке литературы.
4
Индивидуальные задания
Теоретические упражнения
1. Доказать, что если А  В и С  D , то A  C  B  D .
2. Доказать, что операция нахождения декартова произведения
множеств не коммутативна, то есть
А В  В  А.
3. Доказать, что операция нахождения декартова произведения
множеств не ассоциативна, то есть
А  В  С    А  В   С .
4. Доказать дистрибутивность справа операции нахождения
декартова произведения относительно объединения множеств,
то есть  А  В   С   А  С   В  С  .
5. Доказать дистрибутивность слева операции нахождения
декартова произведения относительно объединения множеств,
то есть С   А  В   С  А  С  В  .
6. Доказать дистрибутивность справа операции нахождения
декартова произведения относительно разности множеств, то
есть  А \ В   С   А  С  \ В  С  .
7. Доказать дистрибутивность слева операции нахождения
декартова произведения относительно объединения множеств,
то есть С   А \ В   С  А \ С  В  .
8. Доказать, что для бинарного отношения выполняется закон
идемпотентности, то есть          .
9. Доказать, что для бинарного отношения выполняется закон
 
1
инволюции, то есть  1   .
10. Доказать, что бинарное отношение, обратное объединению
данных бинарных отношений, есть объединение отношений,
1
обратных данным, то есть 1   2   11   21 .
11. Доказать, что бинарное отношение, обратное пересечению
данных бинарных отношений, есть пересечение отношений,
1
обратных данным, то есть 1   2   11   21 .
12. Доказать, что композиция отношений на множестве М является
отношением на множестве М.
5
13. Доказать, что композиция отношений не обладает
коммутативностью, то есть
      .
14. Доказать,
что
композиция
отношений
обладает
ассоциативностью, то есть
           .
15. Проверить, является ли симметричное и одновременно
антисимметричное отношение на множестве М еще и
транзитивным.
16. Проверить, является ли симметричное и одновременно
антисимметричное отношение на множестве М еще и
рефлексивным.
17. Проверить, является ли симметричное и транзитивное
отношение на множестве М еще и рефлексивным.
18. Доказать, что если отношение  на множестве М рефлексивно,
19.
20.
21.
22.
23.
то рефлексивно и обратное отношение  1 .
Доказать, что если отношения 1 и  2 на множестве М
рефлексивны, то рефлексивны отношения 1   2 , 1   2 .
Доказать, что если отношения 1 и  2 на множестве М
рефлексивны, то рефлексивно и отношение 1   2 .
Доказать, что если отношение  на множестве М
антирефлексивно, то антирефлексивно и обратное отношение
 1 .
Доказать, что если отношения 1 и  2 на множестве М
антирефлексивны, то антирефлексивны отношения 1   2 и
1   2 .
Доказать, что если отношение  на множестве М симметрично,
то симметрично и обратное отношение  1 .
24. Доказать, что если отношения 1 и  2 на множестве М
симметричны, то симметричны отношения 1   2 , 1   2 .
25. Доказать, что если отношения 1 и  2 на множестве М
антисимметричны, то антисимметрично отношение 1   2 .
26. Доказать, что если отношения 1 и  2 на множестве М
транзитивны, то транзитивно и отношение 1   2 .
6
27. Доказать, что если отношения 1 и  2 на множестве М
являются отношениями эквивалентности, то отношение 1   2
также является отношением эквивалентности.
28. Доказать, что классы эквивалентности некоторого множества М
по отношению φ являются не пустыми множествами.
29. Доказать, что никакие два класса эквивалентности некоторого
множества М по отношению φ не пересекаются.
30. Доказать, что объединение всех классов эквивалентности
некоторого множества М по отношению φ совпадает с самим
множеством М.
31. Доказать, что любое разбиение множества М можно
рассматривать как фактор-множество множества М по
некоторому отношению эквивалентности φ.
32. Доказать, что пересечение любых отношений эквивалентности
на множестве М является отношением эквивалентности на
множестве М.
33. Доказать, что композиция функций является функцией.
34. Доказать, что композиция инъективных функций является
инъективной функцией.
35. Докажите, что если f – функция и А и В – некоторые множества,
то f ( A  B)  f ( A)  f ( B) .
36. Докажите, что если f – функция и А и В – некоторые множества,
то f ( A) \ f ( B)  f ( A \ B) .
37. Докажите, что если f – инъективная функция и А и В –
некоторые множества, то f ( A) \ f ( B)  f ( A \ B) .
38. Пусть f – отображение множества А в В, g – отображение В в С.
Докажите, что если g  f инъективно, то f инъективно.
39. Пусть f – отображение множества А в В, g – отображение В в С.
Докажите, что если g  f есть отображение А на С, то g есть
отображение B на С.
40. Доказать, что ядро функционального отношения f является
отношением эквивалентности на области определения
функционального отношения f.
7
Задание 1.
Для данных множеств А и В найти А В и В  А и дать
геометрическую
интерпретацию
полученного
декартова
произведения.
Таблица 1
Задание
n
1
Задание
А  (3;  ) , В  (; 7]
n
2
А  [2; 5) , В  [10; 4)
3
А  (1; 6) , В  [1; 3]
4
А  (7; 8) , В  [4; 11]
5
А  (7; 5) , В  [0; 9]
6
А  (9; 6) , В  [11; 8]
7
А  (6; 5) , В  [1; 7]
8
А  (11;15) , В  [10; 29]
9
А  (2; 8) , В  [1; 11]
10
А  (7;18) , В  [0; 13]
11 А  (1; 5) , В  [1; 4]
12
А  (6; 28) , В  [11; 23]
13 А  (7;  1) , В  [9; 9]
14
А  (14; 26) , В  [1; 31]
15 А  (3; 2) , В  [1; 11]
16
А  (7; 5) , В  [0; 9]
17 А  (11; 6) , В  [9; 3]
18
А  (13;18) , В  [11; 11]
19 А  (7; 3) , В  [10; 9]
20
А  (9; 6) , В  [15; 3]
21 А  (5; 5) , В  [1; 9]
22
А  (7; 5) , В  [0; 9]
23 А  (13; 8) , В  [11; 11]
24
А  (15; 5) , В  [20; 9]
25 А  (1;16) , В  [1; 13]
26
А  (33; 8) , В  [21; 6]
27 А  (17;15) , В  [10; 19]
28
А  (16; 26) , В  [12; 33]
29 А  (9; 8) , В  [1; 11]
30
А  (72; 5) , В  [60; 3]
31 А  (1;16) , В  [1; 13]
32
А  (3; 8) , В  [1; 8]
33 А  (27; 5) , В  [11; 9]
34
А  (1; 6) , В  [5; 3]
35 А  (17; 5) , В  [10; 9]
36
А  (27;  15) , В  [18;  12]
37 А  (22; 8) , В  [19; 11]
38
А  (27; 3) , В  [16;  9]
39 А  (15; 6) , В  [11; 3]
40
А  (2; 8) , В  [1; 17]
8
Задание 2.
Для отношения , заданного на конечных множествах Х и У, найти
область определения и область значения, построить граф и
составить матрицу отношения, определить обратное отношение и
найти ядро отношения .
Таблица 2.
n
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Задание
Х = {□, ○, ◊, Δ}, У = {■, , ♦, ▼},
 = {(□, ■), (○,), (◊,♦)}
Х = {Т, К, Д, В}, У = {, , , },
 = {(Т, ), (Т, ), (К, ), (Д, ), (Д, )}
Х = {α, β, γ}, У = {µ, η, ρ, ζ},
 = {(α, η), (α, ρ), (α, ζ), (β, η), (β, ζ ), (γ, ζ)}
Х = {☺, ☼ , ○}, У = {☻, , ●},
 = {(☺, ), (○, ●), (☼, )}
Х = {w, q, h, v}, У = {1, 2, 3, 4},
 = {(w, 2), (h, 3), (h, 4), (v, 4)}
Х  ,, , У  , , ,
  (, ), (, ), (, ), (, )
7.
Х = {Ω, Σ, Φ, Ψ}, У = {ω, σ, ψ, λ},
 = {( Ω , w), (Σ, σ), (Ψ, ψ)}
8.
Х = {?, ¿, ‫}؟‬, У = {!, ¡},
 = {(¿, ¡), (?, !), (?,¡), (¿, !)}
Х  ,, , У   ,  ,  , ,
  (,  ), (,  ), (,  ), (, )
9.
10.
11.
12.
Х = {○, □, ◊}, У = {, ■, ◘, ◙},
 = {(○, ), (○, ◘), (○, ◙), (□, ◘), (□, ◙)}
Х  , , У  , ,
  (, ), (, ), (, )
Х = {☺,☻, ☼ }, У = {♪, ♫},
 = {(☺, ♪), (☺, ♫), (☼, ♫)}
9
Продолжение таблицы 2
n
13.
14.
15.
Задание
Х = {α, β, γ}, У = {1, 2, 3, 4, 5},
 = {(α, 1), (α, 3), (α, 5), (β, 1), (β, 2)}
Х = {1, 2, 3, 4},У = {r, w, q, v},
 = {(1, r), (2, q), (2, q), (4, v)}
Х   ,  ,  ,  , У  2, 3, 5, 7,11,
  ( , 3), ( , 3), ( , 5), ( , 7)
16.
Х = {0, 2, 4, 6},У = {r, w, q, v},
 = {(2, r), (4, q), (6, q), (2, v)}
17.
Х = {Т, К, Д, В}, У = {, , , },
 = {(Т, ), (Т, ), (К, ), (Д, ), (Д, ), (В, ), (В, )}
Х  , , , , У  , , ,
  (, ), (, ), (, ), (, ), (, )
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
Х = {0, 2, 4, 6, 8}, У = {1, 3, 5, 7, 9},
 = {(2, 1), (4 3), (6, 5), (8, 7)}
Х = {Ω, Σ, Φ, Ψ}, У = {ω, σ, ψ, λ},
 = {(Ω, σ ), (Σ, ψ), (Σ, λ), (Ψ, λ)}
Х = {i, w, q, h, v}, У = {1, 2, 3, 4},
 = {(i, 2), (w, 2), (h, 2), (h, 3), (v, 3)}
Х = {■, , ♦, ▼}, У = {□, ○, ◊, Δ},
 = {(■, □), (,○), (♦,◊)}
Х = {☺, ☼ , ○}, У = {☻, , ●},
 = {(☺, ☻), (☺,), (○,●)}
Х = {○, □, ◊}, У = {, ■, ◘, ◙},
 = {(○, ), (○, ◙), (□, ◘), (□, ◙)}
Х = {α, β, γ}, У = {µ, η, ρ, ζ},
 = {(α, µ), (α, ρ), (α, ζ), (β, µ), (β, ζ )}
Х  , , , , У  , , ,
  (, ), (, ), (, ), (, ), (, )
10
Продолжение таблицы 2
n
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
Задание
Х = {?, ¿, ‫}؟‬, У = {!, ¡},
 = {(¿, ¡), (?, !), (?,¡)}
Х = {r, w, q, h, v}, У = {1, 2, 3, 4},
 = {(r, 1), (w, 3), (h, 2), (h, 3), (v, 3)}
Х  , , , У  , ,
  (, ), (, ), (, )
Х = {0, 2, 4, 6, 8}, У = {1, 3, 5, 7, 9},
 = {(2, 3), (4, 3), (4, 5), (6, 5), (6, 7)}
Х = {α, β, γ, µ , χ, ω}, У = {а, б, в, г, м, х},
 = {(α, а }, (β, б), (γ, г), (µ, м), (χ, х)}
Х = {, ■, ◘, ◙}, У = {○, □, ◊},
 = {(, ○), (◙, ○), (◘, □), (◙, □)}
Х = {0, 2, 4, 6, 8}, У = {1, 3, 5, 7, 9},
 = {(0, 1), (0, 3), (2, 3), (4, 5), (8, 9)}
Х  ,, , У  , , ,
   (, ), (, ), (, )
Х = {r, w, q, v}, У = {1, 2, 3, 4},
 = {(r, 1), (q, 2), (q, 3), (v, 3)}
Х = {Т, К, Д, В}, У = {, , , },
 = {(Т, ), (К, ), (К, ), (Д, ), (В, )}
Х = {α, β, γ}, У = {µ, η, ρ},
 = {( α, µ), (α, ρ), (β, µ)}
Х  , , У  , , ,
  (, ), (, ), (, ), (, )
Х = {-2, -1, 0, 1, 2}, У = {-4, -2, -1, 0, 1, 2, 4},
 = {(-2, 4), (2, 4), (-1, 1), (1, 1), (0, 0)}
Х  , , , У  , , , , ,
  (, ), (, ), (, ), (, )
11
Задание 3.
Найти объединение, пересечение и композицию бинарных
отношений  и ρ, заданных на множествах Х и У. Найти матрицу
композиции бинарных отношений  и ρ как булево (логическое)
произведение матрицы отношения  и матрицы отношения ρ.
Множества Х и У и отношение  взять из задания 1.2 (таблица 2).
Таблица 3
Задание
n
1.
ρ = {(□, ■), (Δ, ▼)}
2.
ρ = {(Т, ), (К, ), (В, )}
3.
ρ = {(α, ζ), (β, η), (γ, η ), (γ, ζ)}
4.
ρ = {(☺, ☻), (○, ●), (☼,●)}
5.
ρ = {(w, 2), (q, 3), (h, 3)}
6.
  (, ), (, )
7.
ρ = {( Σ , w), (Φ, λ), (Ψ, ψ)}
8.
ρ = {(?, !), (?,¡), (¿,¡)}
9.
  (,  ), (,  ), (, )
10.
ρ = {(○, ◘), (□,◘)}
11.
   (, ), (, )
12.
ρ = {(☺, ♪), (☼, ♪)}
13.
ρ = {(2, 5), (4, 5), (6, 9)}
14.
ρ = {(α, 1), (γ, 3), (γ, 5)}
15.
ρ = {(1, r), (2, q), (3, w), (4, v)}
16.
  ( , 3), ( ,11)
17.
ρ = {(2, r), (4, r), (6, q)}
18.
ρ = {(К, ), (Д, ), (В, )}
19.
  (, ), (, )
12
Продолжение таблицы 3
Задание
n
20.
ρ = {(0, 1), (4 3), (6, 9)}
21.
ρ = {(Ω, ψ), (Σ, λ), (Φ, λ)}
22.
ρ = {(i, 1), (w, 2), (h, 3), (v, 4)}
23.
ρ = {(♦,◊), (▼,Δ)}
24.
ρ = {(☼,), (○,●)}
25.
ρ = {(○, ◘), (□, ◘), (□, ◙)}
26.
ρ = {(α, η), (β, µ), (γ, ζ )}
27.
  (, ), (, ), (, )
28.
ρ = {(¿, ¡), (¿, !)}
29.
ρ = {(r, 1), (w, 2), (q, 3), (h, 4)}
30.
  (, ), (, ), (, )
31.
ρ = {(0, 3), (4, 3), (8, 5)}
32.
ρ = {(α, а }, (β, б), (γ, г), (µ, м), (ω, в)}
33.
ρ = {(■, ○), (■, □), (◙, □)}
34.
   (, ), (, ), (, )
35.
ρ = {(r, 1), (w, 2), (v, 4)}
36.
ρ = {(Т, ), (К, ), (Д, ), (В, )}
37.
ρ = {( α, µ), (β, ρ), (γ, η)}
38.
  (, ), (, ), (, )
39.
ρ = {(-2, -2), (2, 2), (0, 0)}
40.
  (, ), (, ), (, )
13
Задание 4.
Отношение  задано на конечных множествах Х и У. Перечислить
пары элементов, находящихся в отношении . Найти область
определения и область значения отношения .
Таблица 4
Задание
n
1.
2.
     
Х  0, , , , ,   , У   2,  1, 0,1, 2,
 6 4 3 2 
х у  у  2 sin x  у  2 sin x
Х  2, 3, 5, У  0,1, 4,
х у  x  у – четное
3.
Х   2,1, 4, У   4, 0, 4, 8,
х у  x  у  8
4.
Х   3,  2,1, 4, У   8,  3, 2,
х у  x  y
5.
Х   2,1, 3, 4, У   5,1, 6, 9,
х у  x  у  7
6.
Х   2,1, 0, 3, 4, У   4,  2,  1, 2, 3,
х у  x  у
7.
Х = {-4, -1, 0, 1, 4}, У = {-2, -1, 0, 1, 2},
х у  у  х  у   х
8.
Х   2,1, 4, У   8,  4,  3, 2, 4, 8,
х у  2 x  у  0
9.
10.
1 1 
     

Х  0, , , , ,   , У   1, 0, , ,1 ,
4 2 
 6 4 3 2 

х у  у  cos 2 x
Х   2,1, 3, У   6,  2, 2, 6,
х у  x  у  6
14
Продолжение таблицы 4
Задание
n
11.
   

Х  0,  , ,  ,
6 4 3 2

х у  cos x  cos y

 9  

, , , 2  ,
, У  

 4 3 2

12. Х = {-4, -2, -1, 0, 1, 2, 4}, У = {-2, -1, 1, 2},
х у  у   х
13.
Х   2,1, 4, 7, У   8,  3, 2,
х у  x  у  0
14.
Х  2, 3, 6, У  4, 9,10,
х у  у кратно х
15.
1 

     
У   1, 0, ,1 , У  0, , , , ,   ,
2 

 6 4 3 2 
х у  у  arccos x
16.
Х   3,  2,1, 4, У   8,  3, 2,
х у  x  y  1
17. Х = {-2, 0, 2}, У = {-4, -2, -1, 0, 1, 2, 4},
х у  у  х 2
18.
Х   2,1, 4, 7, У   7,  2, 0, 2, 8,
х у  x  у  0
19.
1
1 
     

Х  0, , , , ,   , У   1,  , 0, ,1 ,
2
2 
 6 4 3 2 

х у  у  cos x  1
20.
Х   2,1, 3, У   4,  2, 4, 6,
х у 
y
2
x
15
Продолжение таблицы 4
n
21.
Задание
Х  3, 4, 5, У   2, 5, 6, 8,
х у  х и у – взаимно простые числа
22. Х = {-9, -4, -1, 0, 1, 4}, У = {-2, -1, 0, 1, 2},
х у  у  х
23.
     
 5  2 
Х  0, , , , ,   , У  
,  , ,  ,
6
4
3
2
6
4 3 



х у  sin x  sin y
24. Х   2,  1, 2, У   3, 6,
х у  x  у  6
25. Х   3, 6, 8, У  2, 3, 4, 9,
х у  х кратно у
26.
1 1 
     

Х  0, , , , ,   , У   1, 0, , ,1 ,
4 2 
 6 4 3 2 

х у  у  sin 2 x
27. Х   2,1, 5, У  0, 2, 3,
х у  x  у – нечетное
28.
   
   4

Х  0, , ,  , У   ,  , ,   ,
 6 4 3
6 4 3

х у  tg x  tg y
29. Х   5,  2, 0, У   5 2, 2, 5,10,
х у  x  у  10
30.
31.
1


Х   2,  1, 0,1, 2, У   2, , 0,1, 2 ,
2


х
1
х
х у  у  2  у   
2
Х  3, 4, 5, У   2, 5, 6, 8,
х у  х и у – не являются взаимно простыми числами
16
Продолжение таблицы 4
Задание
n
32.
1 

 1
Х   2,  1, 0, ,1 , У   ,  1,
2 

 2
х у  x  у  1
33.
1 
       

Х  0, , , , , , ,   , У   1, 0, ,1 ,
2 
 12 8 6 4 3 2 


2 ,

х у  у  cos (2 х)
34.
Х   2,1, 0, 3, 4, У   4,  2,  1, 2, 3,
х у  х 2  у 2
35.
Х   2,1, 4, 5, У    3, 0, 3, 4, 7,
х у  x  у  5
36.
1 

     
У   1, 0, ,1 , У  0, , , , ,   ,
2 

 6 4 3 2 
х у  у  arcsin x
37.
38.
Х   8,  4, 0, 2, 4, У   4,  1, 2,
х
х у   0
у
1 
     

Х  0, , , , ,   , У   1, 0, ,1 ,
2 
 6 4 3 2 

х у  у  sin x
39. Х = {-2, -1, 0, 1, 2}, У = {-8, -4, -2, -1, 1, 2, 4, 8},
х у  у  х3
40.
Х  2, 3, 5, У  0, 4, 6,
х у  x  у – нечетное
17
Задание 5.
Отношение  задано на конечном множестве М  m, n, p, q и
представлено ориентированным графом или матрицей отношения.
Перечислить пары элементов, находящихся в отношении .
Таблица 5
n
Задание
n
1.
3.
2.
m k
m 0

k 0
p 1

q 1
1
0
0
0
p q
1
1
0
0
m k
m 1

k 0
p 1

q 0
1
1
0
1
p q
0
0
1
0
0

1
1

1
6.
m k
m 0

k 1
p 1

q  0
9.
4.
0

1
1

0
5.
7.
Задание
0
0
1
0
p q
0
1
0
1
8.
0

1
1

0 
m k
m 0

k 1
p 1

q  0
0
0
0
1
p q
1
1
0
0
0

0
1

0 
10.
18
Продолжение таблицы 5
n
11.
Задание
m k
m 1

k 1
p 1

q  0
1
0
0
1
n
p q
1
1
1
0
0

1
1

0 
13.
15.
m k
m 1

k 0
p 1

q  1
0
1
0
0
p q
1
1
0
0
0

1
1

0 
14.
m k
m 0

k 0
p 1

q  1
1
0
0
0
p q
0
0
0
0
16.
0

1
1

0 
17.
19.
12.
Задание
m k
m 0

k 0
p 0

q  1
1
0
0
0
p q
0
1
0
0
0

1
1

0 
18.
m k
m 0

k 0
p 1

q  0
1
0
0
0
p q
0
0
0
1
0

1
1

0 
20.
m k
m 1

k 0
p 1

q  0
0
0
0
1
p q
1
0
1
0
1

0
1

0 
19
Продолжение таблицы 5
n
Задание
n
21.
23.
22.
m k
m 0

k 1
p 0

q 0
1
0
0
0
p q
1
0
1
0
m k
m 0

k 0
p 0

q 1
1
1
0
0
p q
0
0
0
0
0

0
1

1
26.
m k
m 0

k 1
p 0

q  0
29.
24.
0

0
1

1
25.
27.
Задание
1
0
0
0
p q
1
1
0
1
28.
0

1
1

0 
m k
m 0

k 0
p 0

q  1
1
0
0
0
p q
1
1
0
0
1

1
1

0 
30.
20
Продолжение таблицы 5
n
31.
Задание
m k
m1

k 0
p 0

q  0
1
1
0
1
n
p q
1
1
0
1
0

0
1

0 
33.
35.
m k
m0

k 0
p 1

q  1
1
0
1
0
p q
1
1
0
0
1

0
0

0 
34.
m k
m0

k 0
p 1

q  0
1
1
1
0
p q
1
1
0
0
36.
0

1
1

1 
37.
39.
32.
Задание
m k
m 0

k 0
p 0

q  1
1
1
1
0
p q
1

1
1

0 
1
1
1
0
38.
m k
m 1

k 0
p 1

q  0
0
1
1
0
p q
0
1
1
0
0

0
0

1 
40.
m k
m 0

k 1
p 1

q  0
0
0
0
1
p q
0
0
0
0
0

1
1

0 
21
Задание 6.
Определить вид бинарного отношения , заданного на указанном
множестве.
Таблица 6
Задание
n
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
х у  х у ,
М – множество прямых на плоскости
х у  х  у ,
R – множество действительных чисел
х у  х  у ,
М – множество всех треугольников на плоскости
х у  у кратно х+2,
N – множество натуральных чисел
  (a, a), (a, b), (b, b), (b, а), (c, c),
М  a, b, c
X Y  X  Y ,
М– множество всех числовых множеств
х у  х кратно у,
N – множество натуральных чисел
х у  х  у ,
R – множество действительных чисел




х  у  х  у ,
V – множество векторов на плоскости
10. х у  х старше у,
М – множество людей РФ
11. х у  х  у ,
R – множество действительных чисел
12.    (a, b), (b, a), (a, c), (c, a), (b, c), (c, b),
М  a, b, c
13.
х у  х у ,
М – множество плоскостей в пространстве
22
Продолжение таблицы 6
Задание
n
14.




х у  х  у ,
V – множество векторов на плоскости
15. х у  х – отец у,
М – множество людей
16. х у  х и у взаимно просты,
N – множество натуральных чисел
17.   (a, b), (b, a), (a, a), (b, b),
М  a, b
х у  х  у ,
М – множество прямых на плоскости
19. х у  х делит у,
N – множество натуральных чисел
20. х у  х  у ,
18.
М = 1, 2, 3, 4, 5, 6
х у  х победил у,
М – множество борцов на некотором соревновании
22.    (a, b), (b, a), (a, c), (c, a), (b, c), (c, b), (a, a), (b, b), (c, c),
М  a, b, c
23. х у  х  у ,
R – множество действительных чисел
24. х у  х делит (2у),
N – множество натуральных чисел
21.
25.




х  у  х  у ,
V – множество векторов на плоскости
26. х у  ( х  у) четно,
N – множество натуральных чисел
23
Продолжение таблицы 6
n
Задание
х у  х – сестра у, М – множество родных сестер в семье
28.   (a, a), (a, b), (c, a), (b, d ), (a, d ), (b, c),
М  a, b, c, d 
27.
х у  х  у ,
R – множество действительных чисел
30. х у  х у ,
29.
М – множество прямых в пространстве
х у  х  у ,
R – множество действительных чисел
32. х у  y кратно x 2 ,
31.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
N – множество натуральных чисел
х у  х – внук у,
М – множество людей
  (a, a), (b, b), (c, c),
М  a, b, c
х у  х  у нечетно,
N – множество натуральных чисел
х у  х кратно (у+1),
N – множество натуральных чисел
х у  х моложе у,
М – множество людей
х у  х  у ,
R – множество целых чисел
(a, b), (b, a), (a, c), (c, a), (b, c), (c, b), 
 
,
(
a
,
d
),
(
d
,
a
),
(
b
,
d
),
(
d
,
b
),
(
c
,
d
),
(
d
,
c
)


М  a, b, c, d 
х у  х – брат у,
М – множество детей в семье
24
Задание 7.
Показать, что отношение  , заданное на множестве М, является
отношением эквивалентности. Найти фактор-множество множества
М.
Таблица 7
n
1.
2.
Задание
М – множество натуральных однозначных чисел,
х у  х и у сравнимы по модулю 3, то есть при делении на
3 дают одинаковые остатки.
М – множество векторов, началом и концом которых
являются вершины параллелограмма ABCD, то есть
            
М   AB , BA, AC , CA, AD , DA, BC , CB, BD, DB, CD, DC  ,



3.



х  у  х  у .
М    2,  1, 0,1, 2,
х у  х  у .
4.
M  [0; 5] ,
x1 x2  f ( x1 )  f ( x2 ) , где f (x) – функция, график которой
представлен на рисунке:
5.
М – множество корней уравнения ( х 2  9) ( х 2  1) ,
х у  х  у  0 .
М  0,2, 0,578, 1,01, 2,34, 2,18, 2,47, 3, 3,61, 3,998,
х у  х   у , где х  – целая часть числа х
6.
7.
М={
,
,
,
,
,
},
х у  х и у имеют одинаковое число острых углов.
25
Продолжение таблицы 7
Задание
n
8.
9.
М – множество сторон правильного шестиугольника
ABCDEF,
х у  х || у .
М   0,1, 2, 3, 4,
х у  х  у – четное число.
10.
М – множество всех подмножеств множества 1, 2, 3,
Х У  Х и У имеют одинаковое число элементов.
11.
М   3,  2,  1, 0,1, 2, 3,
х у  х  у – четное число.
12.
M  [0; 5] ,
x1 x2  f ( x1 )  f ( x2 ) , где f (x) – функция, график которой
представлен на рисунке:
13.
14.
М – множество натуральных однозначных чисел,
х у  х и у сравнимы по модулю 4, то есть при делении на
4 дают одинаковые остатки.
М  1, 2, 3,
х у  х  у .
15.
М = {куб, шар, конус, цилиндр, плоскость},
х у  х и у имеют одинаковое число согласных букв.
16.
М   0,3, 1,84, 1,997, 3,39, 3,408, 4,2, 4,61,
х у  х   у , где х  – целая часть числа х
26
Продолжение таблицы 7
n
Задание
17.
М – множество векторов, началом и концом которых
являются вершины трапеции ABCD, то есть
            
М   AB , BA, AC , CA, AD , DA, BC , CB, BD, DB, CD, DC  ,






х  у  х || у .
18.
М    2,  1, 0,1, 2,
х у  х 2  у 2 .
19.
М={
,
,
,
,
,
},
х у  х и у имеют одинаковое число углов.
20.
M  [0; 5] ,
x1 x2  f ( x1 )  f ( x2 ) , где f (x) – функция, график которой
представлен на рисунке:
21.
М – множество всех подмножеств множества a, b,
Х У  Х и У имеют одинаковое число элементов.
22.
23.
М    2, 2,  3, 3,
х
х у   0 .
у
М = {масса, объем, площадь, длина, ширина, высота},
х у  х и у имеют одинаковое число гласных букв.
24.
М   1,3, 0,4, 2,9, 2,99, 2,999, 3,33,
х у  х   у , где х  – целая часть числа х.
27
Продолжение таблицы 7
Задание
n
25. М – множество натуральных однозначных чисел,
х у  х и у сравнимы по модулю 2, то есть при делении на
2 дают одинаковые остатки.
26. М – множество векторов, началом и концом которых
являются вершины прямоугольника ABCD, то есть
            
М   AB , BA, AC , CA, AD , DA, BC , CB, BD, DB, CD, DC  ,






х у  х  у .
27.
М   0,1, 3, 5, 6,
х у  х  у – четное число.
28.
M  [0; 5] ,
x1 x2  f ( x1 )  f ( x2 ) , где f (x) – функция, график которой
представлен на рисунке:
29. М = {масса, объем, площадь, длина, ширина, высота},
х у  х и у имеют одинаковое число букв.
30.
М    4,  2, 0, 2, 4,
х у  х 2  у 2 .
31. М = {
,
,
,
,
,
}
х у  х и у имеют одинаковое число тупых углов.
28
Продолжение таблицы 7
n
32.
Задание
М   4, 4,  2, 2,  1, 1,
х у  х  у  0 .
М   3,  2,  1, 0,1, 2, 3,
х у  х  у – четное число.
34. М – множество векторов, началом и концом которых
являются вершины ромба ABCD, то есть
            
М   AB , BA, AC , CA, AD , DA, BC , CB, BD, DB, CD, DC  ,


33.




х у  х  у .
35. М – множество всех подмножеств множества m, n, p,
Х У  Х и У имеют одинаковое число элементов.
36. М   3,  1, 0,1, 3, 4,
х у  х  у – четное число.
37. М – множество натуральных однозначных чисел,
х у  х и у сравнимы по модулю 5, то есть при делении на
5 дают одинаковые остатки.
38. М    3,  2,  1, 1, 2, 3,
х у  х  у  0 .
39. М = {
,
,
,
,
,
}
х у  х и у имеют одинаковое число прямых углов.
40. M  [0; 5] ,
x1 x2  f ( x1 )  f ( x2 ) , где f (x) – функция, график которой
представлен на рисунке:
29
Задание 8.
Выполнить задание, используя определения точной верхней и
точной нижней грани.
Таблица 8
Задание
n
1.
Найти точную нижнюю и точную верхнюю грани множества
8
М  х  Z х  , n  N 
n
2.
Найти точную нижнюю и точную верхнюю грани множества
М  х  Q х 
3
, n  N
n
3
3.
Привести пример множества М, для которого
sup M = - inf M
4.
Найти точную нижнюю и точную верхнюю грани множества
n 1
М  х  Q х 
, n  N
n
5.
Найти точную нижнюю и точную верхнюю грани множества
М   х Q х 
n2 1
2n 2  n
, n  N
6.
Привести пример множества М, для которого
sup M  M, inf M  М
7.
Найти точную нижнюю и точную верхнюю грани множества
1
М  х  Q х  n , n  N 
2
8.
Найти точную нижнюю и точную верхнюю грани множества
6n  1
М   х Q х 
, n  N
3n
9.
Привести пример множества М, для которого
sup M > 0, inf M < 0
30
Продолжение таблицы 8
Задание
n
10. Найти точную нижнюю и точную верхнюю грани множества
n
3
М  х  Q х    , n  N 
4
11. Найти точную нижнюю и точную верхнюю грани множества
1
1
М  х  Q х  
, n  N
n n 1
12. Привести пример множества М, для которого
sup M  M, inf M  М
13. Найти точную нижнюю и точную верхнюю грани множества
12
М  х  Z х  , n  N 
n
14. Найти точную нижнюю и точную верхнюю грани множества
М  х  Q х 
4n 2  2
n 1
2
, n  N
15. Привести пример множества М, для которого
sup M  M, inf M  М
16. Найти точную нижнюю и точную верхнюю грани множества
1
М  х  Q х  3  , n  N 
n
17. Найти точную нижнюю и точную верхнюю грани множества
1
М  х  Q х  n 1 , n  N 
4
18. Привести пример множества М, для которого
sup M = 2·inf M
19. Найти точную нижнюю и точную верхнюю грани множества
2n 1
М  х  Q х  n , n  N 
3
31
Продолжение таблицы 8
Задание
n
20. Найти точную нижнюю и точную верхнюю грани множества
1
М  х  Q х   2, n  N 
n
21. Привести пример множества М, для которого
sup M = inf M
22. Найти точную нижнюю и точную верхнюю грани множества
n
5
М  х  Q х    , n  N 
7
23. Найти точную нижнюю и точную верхнюю грани множества
8n  1
М  х  Q х 
, n  N
2n
24. Привести пример множества М, для которого
sup M  M, inf M  М
25. Найти точную нижнюю и точную верхнюю грани множества
1
М  х  Q х 
, n  N
(n  2) 2
26. Найти точную нижнюю и точную верхнюю грани множества
М  х  Q х  2 n , n  N 
27. Привести пример множества М, для которого
sup M = - inf M
28. Найти точную нижнюю и точную верхнюю грани множества
n
М  х  Q х 
, n  N
n 1
29. Найти точную нижнюю и точную верхнюю грани множества
1 n2  1
М  х  Q х   3 , n  N 
n
n
32
Продолжение таблицы 8
Задание
n
30. Найти точную нижнюю и точную верхнюю грани множества
М  х  Q х  3 n , n  N 
31. Привести пример множества М, для которого
sup M = 3·inf M
32. Найти точную нижнюю и точную верхнюю грани множества
10
М  х  Z х  , n  N 
n
33. Привести пример множества М, для которого
sup M  M, inf M  М
34. Найти точную нижнюю и точную верхнюю грани множества
2n  1
М  х  Q х 
, n  N
4n
35. Найти точную нижнюю и точную верхнюю грани множества
n
 3
М  х  Q х    , n  N 
7
36. Привести пример множества М, для которого
sup M  M, inf M  М
37. Найти точную нижнюю и точную верхнюю грани множества
5n  1
М  х  Q х 
, n  N
n
38. Найти точную нижнюю и точную верхнюю грани множества
М  х  Q х  5 n , n  N
39. Привести пример множества М, для которого точная верхняя
и точная нижняя грани взаимно обратны
40. Найти точную нижнюю и точную верхнюю грани множества
3
М  х  Q х  2 , n  N 
n
33
Задание 9.
Доказать, что отношение f является функциональным. Проверить,
является ли f биективным.
Таблица 9
n
1.
Задание
f : R  (1;  ) ,
2.
f : R  [1;  ) ,
4.
f : R  [2; 2],
6.
f ( x)  2 cos x
7.
f :R  R,
f :[0;  )  [5;  ) ,
8.
f : (0;  )  R ,
f : R  (; 0) ,
f ( x)  3x
10.
f : R  [1; 7] ,
f ( x)  3 sin x  4
f ( x)  x  5
11.
f :R  R,
f ( x)  х 6
f ( x)   x
9.
f :[0;  )  R ,
f ( x)  x
f ( x)  х 2  2 х
5.
f : (0;  )  R ,
f ( x)  ctg x
f ( x)  2 x  1
3.
Задание
n
12.
f ( x)  log2 ( x)
f :R  R,
f ( x)  x
13.
  
f :  ;   R ,
 2 2
f ( x)  tg x
14.
  
f :[1;1]   ;  ,
 2 2
f ( x)  arcsin x
15.
f : R  [4;  ) ,
16.
f : R  [1;  ) ,
f ( x)  х 4  4
17.
f : R  [0; 4],
f ( x)  х 2  6 х  10
18.
f ( x)  2 cos x  2
19.
f : R  [0;  ) ,
f ( x)  х 2  6 х  9
f : (1;  )  R ,
f ( x)  log2 ( х  1)
20.
f :R  R,
f ( x)  cos x
34
Продолжение таблицы 9
Задание
n
21.
f : (0;  )  (; 0) ,
f ( x)  
23.
n
22.
24.
f :[1;1]  [0;  ],
26.
f ( x)  arcsin x
27.
f : R  (; 0] ,
f :R  R,
28.
f : R  (; 5],
f :R  R,
f ( x)  2 x
30.
f ( x)  ( х  1) 2
31.
f : R  [0;  ) ,
f ( x)  х 2  2 х
f ( x)   х 2  6 х  9
29.
f : R  [3;  ) ,
f ( x)  x  3
f ( x)  2 x  1
25.
f :   ;    R ,
 x
f ( x)  tg  
2
1
x
f :R  R,
Задание
f : R  [4;  ) ,
f ( x)  х 4  4
32.
f ( x)  5  x
f :R  R,
f ( x)  х 2  4 х  4
33.
 
f : ;    R ,
4 
f ( x)  ctg x
34.
  
f :R    ; ,
 2 2
f ( x)  arctg x
35.
f : R  [0;  ) ,
36.
f : R  (;1] ,
f ( x)   x  1
f ( x)  х 2  2 х  1
37.
f : R  [0;  ) ,
38.
f ( x)  x
39.
f : R  [2; 0],
f ( x)  cos x  2
f :R  R,
f ( x)  2 х 2
40.
f : R  [2; 4],
f ( x)  3 sin x  1
35
Задание10.
Найти образ множества M при отображении f.
Таблица 10
n
1.
Задание
М  [2; 3],
n
2.
f : х  х2  2х
Задание
М  [6; 0] ,
f : х   х 2  10 х
3.
 
М   ;  ,
3 
f : х   cos x
4.
 1 5
М   ;  ,
 2 9
f : х х
5.
М  [2; 4] ,
6.
М  [2; 4] ,
f : х  2 х 1
f : х  х2  6х 1
7.


М    ;  ,
6

f : х  2 sin x
8.
  
М   ;  ,
 6 2
f : х  cos x
9.
М  [1; 3] ,
10.
М  [1; 2] ,
f : х  х2  4х  3
11.
М  [5;  3] ,
f : х  х 4  1
12.
f : х  х 2  8х  7
13.
М  [1;1] ,
f : х  х2  4х  5
14.
f : х  х6  2
15.
М  [5;  1] ,
М  [0; 5] ,
16.
М     ; 0,
f : х   sin x  2
М  [2;1] ,
f : х  2 х 1
18.
f : х  х 2  8х  8
19.
М  [1;1] ,
f : х  3х 2  3
f : х  х3
17.
М  [1; 3] ,
М  [0; 4] ,
f : х  х2  4х  3
20.
М  [1; 3] ,
f : х  ( х  2) 4
36
n
21.
Задание
М  [3; 0] ,
22.
f : х  2 х 2  8х  9
23.
М  [0; 3],
М  [4;  2] ,
24.
29.
26.
  5 
М   ; ,
6 4
f : х  sin x
28.
М  [1; 2] ,
30.
М  [1;1] ,
М  [2; 4] ,
37.
М  [3;  1] ,
3
х
М  [1; 2] ,
f : х  х2  2х  4
32.
М  [2; 3],
f : х  х2  2х
34.
f : х  х2  6х
35.
М  [3; 3] ,
f : х
f : х  х 4  1
33.
6
f : х  х 3
f : х  х 1 1
31.
М  [1;1] ,
f : х  х
f : х  х 2  6х  2
27.
М  [6; 0] ,
f : х  х 2  10 х  10
f : х  х2  4х  5
25.
Задание
n
М  [1; 2] ,
f : х  х4 1
 5 
М   ; ,
4 4 
f : х  2 cos x
36.
М  [6;  1] ,
38.
 1
М   1;  ,
 2
f : х  4х2  4х
М  [1;1] ,
f : х  log 1 ( x  2)
f : х  х 2  10 х  10
3
39.
М  [0; 2] ,
f : х  ( х  1) 4
40.
М  [2; 2] ,
f : х  х2  2х  1
37
Список рекомендуемой литературы
1. Александров П.С. Введение в теорию множеств и общую
топологию. – М.: Физматлит, 2009. – 356 с.
2. Ильин В.А. Высшая математика. – М.: Проспект, 2011. – 608 с.
3. Канцедал С.А. Дискретная математика. – М.: ИНФРА, 2010. –
224 с.
4. Кузнецов О.П. Дискретная математика для инженера. Изд.6 М.:
URSS, 2009. – 400 с.
5. Лавров И.А., Максимова Л.Л. Задачи по теории множеств,
математической логике и теории алгоритмов. М.: Физматлит,
2004. – 256 с.
6. Новиков Ф.А. Дискретная математика для программистов. –
СПб.: Питер, 2000. – 364 с.
7. Пухначев Ю.В., Попов Ю.П. Математика без формул. Книга
первая: Множества, отображения, последовательности, ряды,
функции, дифференциальное и интегральное исчисление,
функции многих переменных. Изд.3, Кн.1 – М.: 2010. – 513 с.
8. Сборник задач по математике для втузов в 4 частях: Ч I / А.В.
Ефимов, А.С. Поспелов. – М.: Физматлит, 2009. – 288 с.
9. Хаггарти Р. Дискретная математика для программистов. – М.:
ТЕХНОСФЕРА, 2005. – 320 с.
10. Шевелев Ю.П. Дискретная математика. Учеб. пособие – СПб:
Изд-во «Лань», 2008. – 592 с.
38