Тема 6. Билинейные и квадратичные формы

РОССИЙСКАЯ ФЕДЕРАЦИЯ
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Институт математики, естественных наук и информационных
технологий
Кафедра математического моделирования
САЛОВА Е.В.
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
Учебно-методический комплекс. Рабочая программа
для студентов направления 222900.62
«Нанотехнологии и микросистемная техника»
очная форма обучения
Тюменский государственный университет
2011
Салова Е.В. Линейная алгебра. Учебно-методический комплекс.
Рабочая программа для студентов направления 222900.62 «Нанотехнологии и микросистемная техника», очная форма обучения. Тюмень,
2011 г., 16 стр.
Рабочая программа составлена в соответствии с требованиями
ФГОС ВПО с учетом рекомендаций и ПрООП ВПО по направлению и
профилю подготовки.
Рабочая программа опубликована на сайте ТюмГУ: Линейная алгебра [электронный ресурс] / Режим доступа: http://www.umk3.utmn.ru.,
свободный.
Рекомендовано к изданию кафедрой математического моделирования. Утверждено проректором по учебной работе Тюменского
государственного университета.
ОТВЕТСТВЕННЫЙ РЕДАКТОР: и.о. зав. кафедрой математического моделирования, д.ф.-м.н., доцент Татосов А.В.
© Тюменский государственный университет, 2011
© Е.В. Салова, 2011
1. Пояснительная записка
Целью курса является усвоение основных разделов линейной алгебры, создание базы для изучения других дисциплин физических специальностей; привитие навыков самостоятельной работы со специальной литературой.
Основной задачей курса является обучение студентов методам
решения задач линейной алгебры.
1.1. Место дисциплины в структуре ООП бакалавриата
Дисциплина «Линейная алгебра» – это дисциплина, которая входит
в базовую часть профессионального цикла.
Для ее успешного изучения необходимы знания, приобретенные в
результате освоения предшествующих дисциплин: «Математический
анализ», «Аналитическая геометрия». Освоение дисциплины «Линейная алгебра» необходимо для написания выпускной квалификационной
работы.
1.2.
Компетенции выпускника ООП бакалавриата, формируе-
мые в результате освоения данной ООП ВПО
Выпускник должен обладать следующими общекультурными
компетенциями (ОК):
способностью использовать основные законы естественнонаучных
дисциплин в профессиональной деятельности, применять методы математического анализа и моделирования, теоретического и экспериментального исследования (ОК-10);
способностью работать с информацией в глобальных компьютерных сетях (ОК-13);
В результате освоения дисциплины обучающийся должен
Знать теоретические основы и практические приложения разделов линейной алгебры: матрицы и определители, линейные пространства, системы линейных уравнений, евклидовы и унитарные пространства, линейные операторы, билинейные и квадратичные формы.
●
Уметь применять полученные знания при решении приклад-
ных задач.
●
Владеть основными методами решения задач линейной ал-
гебры.
2. Структура и трудоемкость дисциплины
Дисциплина «Линейная алгебра» читается во втором семестре.
Форма промежуточной аттестации – экзамен. Общая трудоемкость дисциплины составляет 3 зачетных единицы (108 часов).
4
3. Тематический план
Виды учебной
Таблица 1.
Из
работы и са-
них в
мостоятельная
ин-
1
2
Модуль 1
Матрицы и определи1
тели
часов
терак-
количе-
Лекции
Семинарские
(практические)
занятия
Самостоятельная работа
№ Тема
Итого
недели семестра
работа, в час.
Итого
3
4
5
6
7
8
9
1-3
6
3
9
18
3
0-15
4-6
6
3
9
18
3
0-15
12
6
18
36
6
0-30
7-9
6
3
9
18
3
0-15
10-12
-6
3
9
18
3
0-15
12
6
18
36
6
0-30
по
теме
тивной
фор-
ство
баллов
ме
Алгебраические
структуры на множе2
ствах. Линейные пространства
Всего
Модуль 2
Системы линейных
3
уравнений
Евклидовы и унитар-
4
ные пространства
Всего
Модуль 3
5
5 Линейные операторы
Билинейные и квадра6
тичные формы
13-15
6
3
9
18
3
0-20
16-18
6
3
9
18
3
0-20
12
6
18
36
6
0-40
36
18
54
108
18
0-100
9
9
Всего
Итого (часов, баллов):
из них в интерактивной форме
18
Письменные рабо-
опрос
ты
№ темы
собеседование
ответ на практическом занятии
контрольная
работа
решение задач
на практическом
занятии
выполнение
домашнего задания
Устный
Итого количество баллов
Таблица 2.
Виды и формы оценочных средств в период текущего контроля
1
2
3
4
5
6
0-2
0-3
0-4
0-3
0-3
0-15
0-2
0-3
0-4
0-3
0-3
0-15
0-4
0-6
0-8
0-6
0-6
0-30
0-2
0-3
0-4
0-3
0-3
0-15
7
Модуль 1
1.Матрицы и определители
2.Алгебраические структуры
на множествах. Линейные
пространства
Всего
Модуль 2
3.Системы линейных уравнений
6
4.Евклидовы и унитарные
пространства
Всего
0-2
0-3
0-4
0-3
0-3
0-15
0-4
0-6
0-8
0-6
0-6
0-30
Модуль 3
5. Линейные операторы
0-3
0-3
0-5
0-6
0-3
0-20
6. Билинейные и квадратичные формы
0-3
0-3
0-5
0-6
0-3
0-20
Всего
0-6
0-6
0-10
0-12
0-6
0-40
Итого
014
0-18
0-26
0-24
0-18
0-100
Таблица 2.
Планирование самостоятельной работы студентов
№
Модули и темы
Виды СРС
Не-
Объ
Кол-
обяза-
дополни-
деля
ем
во
тельные
тельные
се-
ча-
бал
мест-
сов
лов
1-3
9
0-5
4-6
9
0-4
ра
Модуль 1
1. Матрицы и опреде- работа
лители
с подготовка
литературой,
ре-
шение
дом.
к контрольной
работе
за-
дания
2
Алгебраические
работа
с подготовка
структуры на мно- литератужествах. Линейные рой,
ре-
7
к контрольной
пространства
шение
дом.
работе
За-
дания
Всего по модулю 1
18
0-9
9
0-6
9
0-4
18
0-10
9
0-7
9
0-4
Модуль 2
3. Системы линейных работа
уравнений
с подготовка
литературой,
к кон-
ре-
трольной
шение
дом.
7-9
работе
за-
дания
4. Евклидовы и уни- работа
тарные
с подготовка 10-12
простран- литерату-
ства
рой,
к кон-
ре-
трольной
шение
дом.
работе
за-
дания
Всего по модулю 2
Модуль 3
5.
Линейные операто- работа
ры
с подготовка 13-15
литературой,
к кон-
ре-
трольной
шение
дом.
работе
за-
дания
6.
Билинейные
и работа
с подготовка
квадратичные
литерату-
формы
рой,
к
кон-
ре- трольной
8
16-18
шение
дом.
работе
за-
дания
Всего по модулю 3
18
0-11
ИТОГО
54
0-30
4. Разделы дисциплины и междисциплинарные связи с обеспечиваемыми (последующими) дисциплинами
№
Наименование обеспечи-
Темы
п/п
ваемых (последующих)
мые для изучения обеспечива-
дисциплин
емых (последующих) дисциплин
1
Выпускная квалификационная работа
дисциплины
необходи-
1
2
3
+
+
+
5. Содержание дисциплины
Тема 1. Матрицы и определители
Понятие матрицы. Операции над матрицами и их свойства. Блочные матрицы. Матрицы Жордана.
Понятие определителя. Миноры и алгебраические дополнения.
Вычисление определителя методом треугольников и разложением по
строке (столбцу). Свойства определителей.
Ранг матрицы, ее вычисление. Обратная матрица. Линейная зависимость строк (столбцов) матрицы. Теорема о базисном миноре матрицы.
Тема 2. Алгебраические структуры на множествах. Линейные пространства
Алгебраические структуры на множествах: группы, кольца и поля.
9
Линейные пространства, их свойства. Линейная зависимость элементов линейных пространств. Базис и координаты. Размерность линейного пространства. Изоморфизм линейных пространств. Подпространства и линейные оболочки. Переход от одного базиса линейного
пространства к другому.
Тема 3. Системы линейных уравнений
Системы линейных алгебраических уравнений. Основные понятия
и определения. Матричная запись. Условие совместности линейной системы. Правило Крамера. Матричный метод решения систем. Системы
m линейных уравнений с n переменными, отыскание их решений. Метод
Гаусса. Системы однородных линейных уравнений. Фундаментальная
система решений.
Тема 4. Евклидовы и унитарные пространства
Евклидово пространство, его свойства. Ортонормированный базис
конечномерного евклидова пространства, его существование. Процесс
ортогонализации линейно независимых элементов. Изоморфизм nмерных евклидовых пространств.
Унитарные пространства. Неравенство Коши - Буняковского. Понятие нормы. Ортонормированный базис, его свойства.
Тема 5. Линейные операторы
Определение линейного оператора. Действия над линейными операторами. Пространство линейных операторов. Основные свойства. Обратный оператор. Ядро и образ линейного оператора. Необходимое и
достаточное условие существования обратного оператора. Ранг линейного оператора. Матричная запись линейного оператора. Преобразование матрицы линейного оператора при переходе к новому базису. Собственные значения и собственные векторы линейного оператора. Линейные и полуторалинейные формы в евклидовом пространстве. Сопряженные и самосопряженные операторы. Основные свойства. Норма
10
линейного оператора. Эрмитовы формы. Унитарные и нормальные операторы. Канонический вид линейных операторов.
Тема 6. Билинейные и квадратичные формы
Билинейные формы, их матричное представление. Преобразование матрицы билинейной формы при переходе к новому базису. Ранг
билинейной формы. Квадратичные формы, их матричное представление. Приведение квадратичной формы к каноническому виду. Метод Лагранжа. Метод Якоби. Закон инерции квадратичных форм. Критерий
Сильвестра знакоопределенности квадратичной формы. Полилинейные
формы. Билинейные и квадратичные формы в евклидовом пространстве.
Планы практических занятий
Тема 1. Матрицы и определители
Тема 2. Алгебраические структуры на множествах. Линейные пространства
1) Алгебраические структуры на множествах.
2) Линейные пространства.
Тема 3. Системы линейных уравнений
Тема 4. Евклидовы и унитарные пространства
1) Евклидовы пространства. Ортонормированный базис конечномерного пространства.
2) Унитарные пространства
Тема 5. Линейные операторы.
1. Собственные значения и собственные векторы линейного оператора.
Тема 6. Билинейные и квадратичные формы
11
6.
Учебно-методическое обеспечение самостоятельной ра-
боты студентов. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины (модуля)
6.1. Примерные задания для контрольной работы
1.Даны матрицы
3  3 5  7


 4  3  2
, B   4 - 3 1 7 ,
A  
5 1 2 
 3 2 2 6 


12 8  1 5 
.
C  
3 0 3 2 
Найти АВ-3С.
2. Вычислить ранг матрицы
5 0 3

1  2 2
A
3 1 5

5  2 3

1

 3
.
 4

 5 
3.Решить систему уравнений
3x1  4 x2  x3  3x4  1,
1x  2 x  3x  7 x  0,
 1
2
3
4

 x1  3x2  9 x3  7 x4  8,

 2 x1  x2  x3  5 x4  3.
4.Найти собственные значения и собственные векторы линейного
преобразования, заданного в некотором базисе матрицей
  4 1  2


A   1 3 2 
 3 1 5 


12
6.2. Примерные вопросы для подготовки к экзамену
1.
Матрицы, операции над ними. Ранг матрицы, ее вычисление.
Примеры.
2.
Определитель матрицы. Миноры и алгебраические дополне-
ния. Вычисление определителей методом треугольников и разложением
по строке (столбцу).
3.
Определитель матрицы, его свойства. Примеры.
4.
Обратная матрица, ее вычисление. Примеры.
5.
Понятие линейной зависимости строк (столбцов) матрицы.
Теорема о базисном миноре.
6.
Алгебраические структуры на множествах: группы, кольца и
поля. Примеры.
7.
Линейные пространства, их свойства. Примеры.
8.
Базис и размерность линейного пространства. Примеры.
9.
Изоморфизм линейных пространств. Подпространства и ли-
нейная оболочка. Примеры.
10.
Линейные пространства. Переход от одного базиса к другому.
Примеры.
11.
Системы линейных алгебраических уравнений, основные по-
нятия и определения. Матричная запись. Условие совместности системы.
12.
Системы линейных неоднородных уравнений, методы их ре-
шений. Правило Крамера. Примеры.
13.
Системы линейных неоднородных уравнений, методы их ре-
шений. Матричный метод. Примеры.
14.
Системы m линейных алгебраических уравнений с n пере-
менными, отыскание их решений. Примеры.
15.
Системы линейных неоднородных уравнений, методы их ре-
шений. Метод Гаусса. Примеры.
13
16.
Системы
однородных линейных уравнений, отыскание их
решений. Примеры.
17.
Евклидово пространство, его свойства. Примеры.
18.
Ортонормированный базис конечномерного евклидова про-
странства. Примеры.
19.
Унитарные пространства. Примеры.
20.
Линейные операторы, основные свойства. Примеры.
21.
Ядро и образ линейного оператора. Необходимое и достаточ-
ное условие существования обратного оператора. Примеры.
22.
Линейные операторы, их матричная запись. Преобразование
матрицы линейного оператора при переходе к новому базису. Примеры.
23.
Собственные значения и собственные векторы линейных
операторов. Примеры.
24.
Сопряженные и самосопряженные операторы. Основные
свойства. Примеры.
25.
Унитарные и нормальные операторы. Примеры.
26.
Канонический вид линейных операторов. Примеры.
27.
Билинейные формы, их матричное представление. Преобра-
зование матрицы билинейной формы при переходе к новому базису.
Ранг билинейной формы. Примеры.
28.
Квадратичные формы, их матричное представление. Приве-
дение квадратичной формы к каноническому виду (метод Лагранжа).
Примеры.
29.
Закон инерции квадратичных форм. Примеры.
30.
Критерий Сильвестра знакоопределенности квадратичной
формы. Примеры.
31.
Билинейные и квадратичные формы в евклидовом простран-
стве. Примеры.
14
7. Образовательные технологии
При изучении дисциплины «Линейная алгебра» используются следующие образовательные технологии:
– аудиторные занятия (лекционные и практические занятия);
– внеаудиторные занятия (самостоятельная работа, индивидуальные консультации).
В соответствии с требованиями ФГОС при реализации различных
видов учебной работы в процессе изучения дисциплины «Линейная алгебра» предусматривается использование в учебном процессе следующих активных и интерактивных форм проведения занятий:
– практические занятия в диалоговом режиме;
– работа в малых группах по темам, изучаемым на практических
занятиях.
8. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины (модуля)
8.1. Литература
1. Ильин В.А., Позняк Э.Г.
Линейная алгебра. – М.: ФИЗМАТЛИТ,
2007, 280 с.
2. Александров П.С. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. – СПб.: Изд-во ″Лань″, 2009, 512 с.
3. Мальцев А.И. Основы линейной алгебры. – СПб.: Изд-во ″Лань″,
2009, 480 с.
4. Постников М.М. Линейная алгебра. – СПб.: Изд-во ″Лань″,2009,
400с.
5. Федорчук В.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры.
- М.: Изд.- во МГУ, 1990, 326 с.
6. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. - М.: Наука, 1998, 320 с.
15
7. Бугров Я.С. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. – М.: Наука, 1988, 22 с.
8. Курош А.Г. Курс высшей алгебры– СПб.: Изд-во ″Лань″, 2008, 432 с.
9. Воеводин В.В. Линейная алгебра. – СПб.: Изд-во ″Лань″, 2008,
416с.
Икрамов Х.Д. Задачник по линейной алгебре. – СПб.: Изд-во
10.
″Лань″, 2006, 320 с.
11. Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре.– СПб.: Издво ″Лань″, 2010, 480 с.
8.2. Программное обеспечение и Интернет – ресурсы
Интернет – ресурсы:
1.
Электронная библиотека Попечительского совета механико-
математического факультета Московского государственного университета http://lib.mexmat.ru
2.
eLIBRARY – Научная электронная библиотека (Москва)
http://elibrary.ru
9.
Технические средства и материально-техническое обес-
печение дисциплины (модуля)
Лекционная аудитория с мультимедийным оборудованием.
16