Вопросник ФИТи ВТx

Вопросник к зачёту по дисциплине «Математика. Математический
анализ» за модуль 1 для групп АП-15, АП-16, АП-17.
Лектор А. В. Романов.
На зачёте студент получает два вопроса из данного вопросника и две задачи
указанных типов по выбору преподавателя.
1.
2.
3.
4.
Что такое область определения и область значений функции? Найдите область
x 1
определения функции y 
. Расскажите о возрастании и убывании функций.
x2
Приведите примеры.
Расскажите о функциях ограниченных, ограниченных сверху, ограниченных снизу
на некотором множестве. Приведите примеры. На каком множестве ограничена
(неограниченна) функция y  x 2 , функция y  1/ x .
Что такое обратная функция, при каком условии она существует. Как связаны
между собой область определения и область значений прямой и обратной
функции, как связаны их графики. Найдите обратную для функции y  x  1 .
x2
Что такое сложная функция, внешняя и внутренняя функция, приведите примеры.
Дайте определение элементарных функций. Приведите пример неэлементарной
функции. Является ли элементарной функция y  x ?
5.
6.
7.
Расскажите о возрастании и убывании последовательностей, их ограниченности, в
том числе снизу, сверху. Приведите примеры. Докажите, что последовательность
an  n  2 является убывающей.
2n  1
Дайте определение конечного предела последовательности. Приведите пример
последовательности, не имеющей предела. Определить номер N , начиная с
которого величина 3n  1  3 будет по модулю меньше 0.01 .
4n  2 4
Дайте определение бесконечного предела последовательности. Определите номер
N , начиная с которого величина
8.
9.
5n 3  6
будет больше 1000 .
n
Расскажите об арифметических свойствах предела и о пределе монотонной
последовательности. Определите число e . Что такое бесконечно малые и
бесконечно большие последовательности? Приведите примеры.
Определите окрестности O2 (3), O10 (), O5 () . Дайте определение предела
функции в общем случае. Приведите (графически или аналитически) примеры
функций f ( x ) , таких, что: f ( x)  0 при x   ; f ( x)   при x  2 ;
f ( x)   при x   .
10. Расскажите об односторонних пределах функции, их связи с пределом функции в
точке. Приведите графические примеры функций, имеющих конечные и
бесконечные пределы в процессах x  1  0, 1  0.
11. Расскажите о бесконечно малых и бесконечно больших функций, их свойствах.
Приведите примеры таких функций для процессов x  0,  2,   . В каком
процессе функция y  2 x является бесконечно малой (бесконечно большой)? В
каком процессе функция
y  lg x
является бесконечно малой (бесконечно
большой)?
12. Дайте два определения записи f ( x)  o( g ( x)). Сравните x n и x m (n, m  ) при
x  0,  . Сравните бесконечно малые функции (0.2) x и (0.3) x , бесконечно
большие функции 2 x и 3 x . Расскажите о шкале бесконечностей.
13. Дайте два определения записи f ( x) g ( x). Запишите первый и второй
замечательный предел, приведите таблицу эквивалентностей.
14. Что такое главное слагаемое асимптотики функции? Для функции y 
15.
16.
17.
18.
19.
20.
x2  1
x2  1
найдите асимптотики в особых точках и на бесконечности. Постройте эскиз
графика.
Расскажите об арифметических свойствах предела функции. Сформулируйте
теорему о замене функций на эквивалентные при вычислении пределов и
докажите её в случае конечного предела. Приведите примеры.
Сформулируйте два определения функции непрерывной в точке. Что означает
непрерывность функции на промежутке, дайте геометрическую интерпретацию.
Расскажите об арифметических свойствах непрерывных функций. Что такое
разрывная функция, приведите пример.
Расскажите (с графическими примерами) о классификации точек разрыва.
Приведите графический пример функции, имеющей как разрыв 1-го рода, так и
разрыв 2-го рода.
Докажите непрерывность сложной функции. Что можно сказать о непрерывности
элементарных функций? При каком условии для функции, непрерывной на
отрезке, существует обратная функция; что можно сказать о её непрерывности?
Сформулируйте теорему о наибольшем (наименьшем) значении функции,
приведите примеры поясняющие необходимость её условий. Сформулируйте
теорему о промежуточном значении и следствие из неё. Дайте геометрическую
интерпретацию.
Расскажите о методе деления отрезка пополам для приближённого решения
уравнения f ( x)  0. Приведите оценки точности метода.
ТИПОВЫЕ ЗАДАЧИ
Серия 1. Вычислить:
2
1) lim 9  3 x  3 ;
x 0 2 cos 3 x  2
2) lim 2  3 x  8 ;
x 0 2sin x
3
4) lim 2  4 x  8 ;
x 0 3ln(4 x  1)
4
5) lim 3x  16  2 ;
x 0
3tg x
4
3
3
2
3) lim 5  25 2 2 x ;
x 0
9  3x  2
6) lim 3  4 x  27 .
x 0 2 cos x  2
3
Серия 2. Найти односторонние пределы в точке разрыва функции:
 x 3
3 x 2 ;
1) y  3

2) y  1
2
 x2
3 4 x
;
3) y  arctg x  3 ;
2x 1
4) y  arcctg 1  2 x .
x3