DOC, 325 Кб - Высшая школа экономики
реклама
Национальный исследовательский университет – Высшая школа экономики Программа дисциплины «Математический анализ» для направления 11.03.02. Инфокоммуникационные технологии и системы связи подготовки бакалавра Правительство Российской Федерации Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования "Национальный исследовательский университет "Высшая школа экономики" Московский институт электроники и математики Департамент электронной инженерии Рабочая программа дисциплины «Математический анализ» для направления 11.03.02. Инфокоммуникационные технологии и системы связи подготовки бакалавра Разработчик программы: Выборный Е.В., [email protected] Одобрена на заседании департамента Прикладной математики «___»____________ 2015 г. Руководитель департамента ________________ Белов А.В. Рекомендована Академическим советом образовательной программы «___»____________ 2015 г., № протокола_________________ Утверждена «___»____________ 2015 г. Академический руководитель образовательной программы _________________ Назаров И.В. Москва, 2015 Настоящая программа не может быть использована другими подразделениями университета и другими вузами без разрешения подразделения-разработчика программы. Национальный исследовательский университет – Высшая школа экономики Программа дисциплины «Математический анализ» для направления 11.03.02. Инфокоммуникационные технологии и системы связи подготовки бакалавра 1 Область применения и нормативные ссылки Настоящая рабочая программа дисциплины устанавливает минимальные требования к знаниям и умениям студента, а также определяет содержание и виды учебных занятий и отчетности. Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных ассистентов и студентов направления подготовки 11.03.02. Инфокоммуникационные технологии и системы связи подготовки бакалавра, обучающихся по образовательной программе «Инфокоммуникационные технологии и системы связи», изучающих дисциплину «Математический анализ». Программа разработана в соответствии с: Образовательным стандартом НИУ ВШЭ по направлению подготовки 11.03.02. Инфокоммуникационные технологии и системы связи подготовки бакалавра. Стандарт размещен на странице http://www.hse.ru/standards/standard; Образовательной программой «Инфокоммуникационные технологии и системы связи» по направлению подготовки 11.03.02. Инфокоммуникационные технологии и системы связи подготовки бакалавра. Рабочим учебным планом НИУ ВШЭ по направлению подготовки 11.03.02. Инфокоммуникационные технологии и системы связи подготовки бакалавра, утвержденным в 2015 году. 2 Цели освоения дисциплины Целями освоения дисциплины Математический анализ являются: приобретение знаний и умений в соответствии с государственным образовательным стандартом, содействие фундаментализации образования, формирование естественнонаучного мировоззрения и развитие системного мышления; ознакомление студентов с основными понятиями и методами теории пределов, дифференциального и интегрального исчисления функций одного и нескольких действительных переменных. 3 Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины В результате освоения дисциплины студент должен: Знать основные положения теории пределов и непрерывных функций, теории числовых и функциональных рядов, теории интегралов; основные теоремы дифференциального и интегрального исчисления функций одного и нескольких переменных. Уметь определять возможности применения теоретических положений и методов математического анализа для постановки и решения конкретных прикладных задач; решать основные задачи на вычисление пределов функций, их дифференцирование и интегрирование, на вычисление интегралов, на исследование функций на экстремумы. Иметь навыки (приобрести опыт) использования стандартных методов и моделей математического анализа и их применения к решению прикладных задач. В результате освоения дисциплины студент приобретает следующие компетенции Компетенция Способен учиться, приобретать новые знания, умения, в том числе в области, отличной от Дескрипторы – основные признаки освоения (показатели достижения результата) СБ-Б1 Демонстрирует успешное усвоение новых знаний Код по ФГОС Формы и методы обучения, способствующие формированию и развитию компетенции Формируется на протяжении всего учебного процесса Национальный исследовательский университет – Высшая школа экономики Программа дисциплины «Математический анализ» для направления 11.03.02. Инфокоммуникационные технологии и системы связи подготовки бакалавра Компетенция профессиональной Способен выявлять научную сущность проблем в профессиональной области. Способен решать проблемы в профессиональной деятельности на основе анализа и синтеза Способен оценивать потребность в ресурсах и планировать их использование при решении задач в профессиональной деятельности Способен работать с информацией: находить, оценивать и использовать информацию из различных источников, необходимую для решения научных и профессиональных задач (в том числе на основе системного подхода) 4 Код по ФГОС СК-Б3 Дескрипторы – основные признаки освоения (показатели достижения результата) Формы и методы обучения, способствующие формированию и развитию компетенции Успешно переводит условия задач на формальный математический язык Успешно решает задачи, рассматриваемые на семинарах. Практические занятия и самостоятельная работа СК-Б5 Вовремя выполняет и сдает домашние контрольные работы Самостоятельная работа СК-Б6 Находит информацию, необходимую для решения домашних работ Самостоятельная домашняя работа СК-Б4 Практические занятия и самостоятельная работа Место дисциплины в структуре образовательной программы Настоящая дисциплина относится к циклу математических и естественнонаучных дисциплин и блоку дисциплин, обеспечивающих базовую подготовку. Изучение данной дисциплины базируется на знаниях и умениях приобретённых в рамках школьной программы по математике. Для освоения учебной дисциплины от студентов не требуется знаний и умений, выходящих за рамки школьной программы. Основные положения дисциплины должны быть использованы в дальнейшем при изучении следующих дисциплин: Теория вероятностей и математическая статистика Дискретная математика Теория электрических цепей Электроника Цифровая обработка сигналов 5 Тематический план учебной дисциплины ОБЪЕМ ДИСЦИПЛИНЫ - 10 зачетных единиц. № 1 2 Название раздела Числовые множества. Последовательности. Общие свойства функций. Предел и непрерывность функции. Всего часов 40 55 Аудиторные часы Практические Лекции занятия 12 8 10 15 Самостоятельная работа 20 30 Национальный исследовательский университет – Высшая школа экономики Программа дисциплины «Математический анализ» для направления 11.03.02. Инфокоммуникационные технологии и системы связи подготовки бакалавра 7 Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Интегральное исчисление функций одной переменной. Числовые ряды. Функциональные ряды. Степенные ряды и ряды Фурье. Дифференциальное исчисление функций многих переменных. Кратные интегралы. 6 Формы контроля знаний студентов 3 4 5 6 Тип контроля Форма контроля Контрольная работа Коллоквиум Работа в классе Итоговый Экзамен 14 21 40 75 14 21 40 55 10 15 30 40 8 12 20 40 380 8 72 12 108 20 200 1 курс модули 1 Текущий (неделя) 75 2 5 Параметры 3 4 5 Письменная работа 80 минут * Письменный коллоквиум 120 минут Оценивается на каждом занятии. Письменный экзамен 120 минут 4 * * * * Критерии оценки знаний, навыков На контрольной работе студент должен применять математический аппарат к решению конкретных типовых задач. Для получения хорошей оценке за работу в классе студент должен продемонстрировать умения решать задачи курса в классе у доски на семинарских занятиях. На экзамене и коллоквиуме студент должен продемонстрировать знание основных понятий и их логических связей, умение применять различные методы к решению задач курса. Оценки по всем формам текущего и промежуточного контроля выставляются по 10-ти балльной шкале. 6.1 7 Содержание дисциплины Изложение строиться по разделам. Для освоения каждого из 8 разделов предусмотрено обсуждение фундаментальных понятий дисциплины, их взаимосвязей, решение теоретических и вычислительных задач. Раздел 1. Числовые множества. Последовательности. Общие свойства функций. Вещественные числа, числовая ось и её подмножества, рациональные и иррациональные числа. Понятие функции одной переменной, общие свойства функций. Обратная функция. Элементарные функции, их область определения. Графики основных элементарных функций. Числовые последовательности, ограниченность и монотонность. Предел последовательности. Число e. Верхняя и нижняя грани множества. Бином Ньютона и биномиальные коэффициенты. Национальный исследовательский университет – Высшая школа экономики Программа дисциплины «Математический анализ» для направления 11.03.02. Инфокоммуникационные технологии и системы связи подготовки бакалавра Раздел 2. Предел и непрерывность функции. Предел функции, бесконечно малые и бесконечно большие функции. Односторонние пределы. Сравнение бесконечно малых и бесконечно больших функций. Первый и второй замечательные пределы. Вычисление пределов с помощью понятия эквивалентности. Выделение главного слагаемого асимптотики функции. Понятие непрерывности функций. Классификация точек разрыва. Свойства непрерывных функций. Непрерывность элементарных функций. Теорема о промежуточном значении, метод деления отрезка пополам для решения уравнений вида f ( x) 0 . Раздел 3. Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Производная функции, её геометрический и физический смысл. Техника дифференцирования. Уравнение касательной к графику функции. Линеаризация функции, приближённые вычисления и нахождение пределов. Свойства дифференцируемых функций, условия их постоянства и монотонности. Производные старших порядков. Исследование функции на экстремум. Точные оценки функции на промежутке. Формула Тейлора и приближённое вычисление функций. Выпуклость графика функции, точки перегиба. Асимптоты графика функции. Полное исследование функции по первой и второй производной. Правила Лопиталя для вычисления пределов функций. Раздел 4. Интегральное исчисление функций одной переменной. Интегрирование, как операция обратная дифференцированию. Первообразная и неопределённый интеграл, их свойства. Табличное интегрирование. Замена переменной при интегрирование. Интегрирование по частям. Интегрирование рациональных дробей. Интегрирование иррациональных функций. Определённый интеграл, его свойства и геометрический смысл. Условия интегрируемости функции. Формула Ньютона-Лейбница. Замена переменной и интегрирование по частям в определённом интеграле. Понятие о несобственном интеграле. Геометрические приложения определённого интеграла (площадь области, длина дуги, объём тела вращения). Формула трапеций для приближённого вычисления определённого интеграла. Раздел 5. Числовые ряды. Функциональные ряды. Степенные ряды и ряды Фурье. Числовые ряды, их сходимость и расходимость. Признаки сходимости знакоопределённых рядов (Даламбера, радикальный Коши и интегральный Коши). Ряды Дирихле. Признак Лейбница сходимости знакопеременных рядов, приближённое вычисление их суммы. Функциональные ряды, равномерная сходимость. Степенные ряды, область сходимости, дифференцирование и интегрирование степенного ряда. Ряды Тейлора, стандартные разложения элементарных функций. Ряды Фурье, простейшие факты о поточечной и равномерной сходимости. Раздел 6. Дифференциальное исчисление функций многих переменных. Функции многих переменных. Функции двух и трёх переменных, область определения, линии и поверхности уровня. Предел и непрерывность. Частные производные функций двух и трёх переменных, линеаризация. Уравнение касательной плоскости к поверхности. Производные старших порядков и их свойства. Производные сложной функции. Производная по направлению и градиент функции. Дифференцирование и приближённое вычисление неявных функций. Исследование функции двух и трёх переменных на экстремум. Раздел 7. Кратные интегралы. Национальный исследовательский университет – Высшая школа экономики Программа дисциплины «Математический анализ» для направления 11.03.02. Инфокоммуникационные технологии и системы связи подготовки бакалавра Определение двойного интеграла, его свойства и геометрический смысл. Методы вычисления двойных интегралов (повторное интегрирование, переход к полярным координатам). Определение тройного интеграла. Методы вычисления тройных интегралов (повторное интегрирование, переход к цилиндрическим и сферическим координатам). Геометрические приложения кратных интегралов (площадь фигуры, объём области). Физические приложения кратных интегралов (масса, центр тяжести, моменты инерции пластины и тела). 8 Образовательные технологии Специальные образовательные технологии не предусмотрены. 9 9.1 Оценочные средства для текущего контроля и аттестации студента Тематика заданий текущего контроля Примерные варианты контрольных работ Контрольная работа №1. Предел последовательностей и функций. Исследование функций. 1. Докажите, исходя из определения предела, что cos n 0. n n lim 2. Исследуйте последовательность {an } на монотонность, ограниченность и сходимость: an 3. Найти предел 5n 1 . 5 2n ln(2 x 1) . x x 0 lim 4. Вычислить производную функции y ln cos e2 x . 5. Исследовать на экстремумы функцию y 2 x2 x4 . Найти ее наибольшее и наименьшее значение на отрезке [1, 2] . Контрольная работа №2. Интегрирование. Числовые ряды. 1. Вычислите неопределённые интегралы: 2x 1 x3 1 dx, e2 x 1 dx. 2. Вычислите 2 dx x(1 x) . 1 3. Исследовать на сходимость ряды: 3n2 2n ln n n1 n5 nen 3n , n1 1 n 1 cos , n n2 1 , cos n n2 n1 3 1/ n n1 4. Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость ряды: n5 Национальный исследовательский университет – Высшая школа экономики Программа дисциплины «Математический анализ» для направления 11.03.02. Инфокоммуникационные технологии и системы связи подготовки бакалавра n1 n (1)n 2 ln n , n 1 (1) 10n , n1 n n1 13 1 ( 1) 1 . n n1 Коллоквиум Коллоквиум включает в себя два теоретических вопроса из экзаменационного вопросника по темам разделов 1-4 (вопросы с 1 по 42 включительно). Вопросы для оценки качества освоения дисциплины 9.2 Примерный перечень вопросов для проведения итогового экзамена 1. Расскажите о числах: натуральных, целых, рациональных и иррациональных. Докажите, что как рациональные так и иррациональные числа расположены на прямой всюду плотно, т.е. докажите, что любой интервал содержит и те и другие числа. Докажите, что число иррациональное. 3 2. Расскажите о понятии множества и отображения. Что такое суперпозиция отображений? Что такое обратное отображение, и при каком условии оно существует? Как связаны графики прямой и обратной функций? Приведите пример сложной функции. 3. Что такое последовательность. Дайте определение монотонной последовательности, ограниченной сверху (снизу) последовательности, ограниченной последовательности. 4. Дайте определение конечного предела последовательности. Приведите пример последовательности, не имеющей предела. Определите бесконечный предел последовательности. Покажите, что предел последовательности единственен. 5. Расскажите об арифметических свойствах предела и о пределе монотонной последовательности. Определите число e . Что такое бесконечно малые и бесконечно большие последовательности? Приведите примеры. Докажите теорему о предельном переходе в неравенствах. Докажите лемму "о двух sin(n) милиционерах" (для последовательностей). Найдите предел последовательности an . n 6. 7. Дайте определение верхней и нижней грани множества (sup и inf) на вещественной прямой R . Сформулируйте теорему о существовании верхней (нижней) грани всякого множества, ограниченного сверху (снизу). 8. Дайте определения пределов функции lim x x0 , , , x0 0, x0 0 f x a , , . Приведите графические примеры. Сформулируйте основные свойства предела функции. 9. Сформулируйте определение предела функции по Коши и по Гейне. Сформулируйте теорему об их эквивалентности. Покажите, что не существует предела lim x0 sin(1/ x) . 10. Расскажите о бесконечно малых и бесконечно больших функциях, их свойствах. В каком процессе функция 2 x является бесконечно малой (бесконечно большой). Дайте определение записи f ( x) o( g ( x)) . Сравните ln x , x n , e x при x . 11. Докажите, что если a x b x и c x d x , то a x c( x) b x d ( x) и a x / c( x) b x / d ( x) . Верно ли, что a x c( x) b x d ( x) ? Национальный исследовательский университет – Высшая школа экономики Программа дисциплины «Математический анализ» для направления 11.03.02. Инфокоммуникационные технологии и системы связи подготовки бакалавра 12. Дайте два определения функции непрерывной в точке. Что означает непрерывность функции на промежутке (дайте геометрическую интерпретацию). Расскажите об арифметических свойствах таких функций. Приведите (с графическими примерами) классификацию точек разрыва. 13. Расскажите о непрерывности сложной функции. Что можно сказать о непрерывности элементарных функций? При каком условии для функции, непрерывной на отрезке, существует непрерывная обратная функция. Докажите, что sin x непрерывная функция. 14. Сформулируйте теорему о наибольшем (наименьшем) значении функции. Сформулируйте теорему о промежуточном значении, дайте геометрическую интерпретацию. Приведите примеры поясняющие необходимость условий этих теорем. Изложите метод деления отрезка пополам для решения уравнений f x 0 . 15. Дайте определение производной функции, объясните её геометрический и физический смысл. Определите понятие касательной к графику функции и выведите её уравнение. Что такое односторонние производные и бесконечная производная? 16. Вычислите y C, y x, функций. y x , по определению y sin x, y cos x, производные следующих функций: y ln x, y e x . Определите старшие производные 17. Расскажите, как связаны между собой понятия непрерывности и дифференцируемости функций? Приведите пример. Докажите теорему об арифметических свойствах производной. Докажите теорему о производной суперпозиции функций. Приведите примеры. Докажите xx . теорему о производной обратной функции. Вычислите arccos x , arctg x , ln x , 18. 19. Дайте определение и выведите необходимое условие локального экстремума (теорема Ферма). Приведите примеры. 20. Выведите формулу Лагранжа. Объясните ее геометрический смысл. Докажите, что если f ( x) 0 при всех x из некоторого интервала, то f постоянна на этом интервале. 21. Выведите необходимое и достаточное условие возрастания (убывания) функции на промежутке в терминах ее первой производной. Приведите примеры. 22. Выведите достаточные условия экстремума по первой производной. Расскажите о достаточном условии экстремума по второй производной. Приведите примеры. 23. Напишите формулу Тейлора для функции одного переменного с остаточным членом в форме Пеано и Лагранжа. Приведите стандартные разложения для функций e x , sin( x), cos( x). 24. Когда говорят, что функция выпукла (вогнута) на интервале? Выведите достаточные условия выпуклости (вогнутости). Приведите примеры. 25. Дайте определения точки перегиба графика функции. Выведите условие, гарантирующее, что в точке имеется перегиб. Приведите пример. 26. Дайте определения вертикальной и наклонной асимптот функции. Выведите условия существования наклонной асимптоты. Выведите формулы для её нахождения. Приведите пример. 27. Сформулируйте правило Лопиталя, докажите его в случае неопределенности вида 0 0 . 28. Дайте определение неопределенного интеграла (первообразной) и укажите его основные свойства. Выпишите таблицу основных первообразных. 29. Опишите методы замены переменной и подведения под знак дифференциала в неопределённом интеграле. Расскажите об интегрировании по частям в неопределённом Национальный исследовательский университет – Высшая школа экономики Программа дисциплины «Математический анализ» для направления 11.03.02. Инфокоммуникационные технологии и системы связи подготовки бакалавра интеграле. Приведите примеры. Вычислите a 2 x 2 dx, ln x dx, x e x cos xdx . 30. Сформулируйте теорему о представлении рациональной функции в виде суммы простейших. Расскажите о интегрировании рациональных функций. Вычислите x3 x 1 2 2 dx . 31. Расскажите, как следующие интегралы сводятся к интегралам от рациональных функций ( R( ) обозначает рациональное выражение от соответствующих переменных): Rx , x , x , ... dx, R e x , e x , e x , ... dx, где , , – рациональные числа. Вычислите 32. ex ex 2 e2 x 1 dx . Расскажите о тригонометрических интегралах R cos x, sin x dx и об их сведении к интегралам от рациональных функций (при помощи универсальной тригонометрической замены переменной). Вычислите sin 2 x 2 cos x dx. 33. Расскажите о вычислении интегралов R x, ax 2 bx c dx (при помощи эйлеровой подстановки). 34. Дайте определение функции интегрируемой на отрезке и ее определенного интеграла. Поясните геометрический смысл определенного интеграла. Выведите свойство линейности и свойство аддитивности определенного интеграла. 35. Докажите теоремы об интегрировании неравенств и об оценке определённого интеграла. Докажите теорему о среднем значении для определенного интеграла. В чём геометрический смысл этих теорем? 36. Докажите теорему о производной интеграла с переменным верхним пределом и выведите формулу Ньютона–Лейбница. 37. Сформулируйте правило замены переменной и интегрирования по частям в определенном интеграле. Приведите примеры. 38. Приведите формулы для площади фигуры на плоскости и объёма тела (в том числе тела вращения), в пространстве. Приведите формулы для длины гладкой кривой заданной параметрически на плоскости (с выводом) и в пространстве. Как вычислить длину дуги графика функции y f ( x) . Национальный исследовательский университет – Высшая школа экономики Программа дисциплины «Математический анализ» для направления 11.03.02. Инфокоммуникационные технологии и системы связи подготовки бакалавра 39. Расскажите о формуле трапеций для приближённого вычисления определённого интеграла, объясните её геометрический смысл и приведите оценку погрешности. 40. Дайте определение несобственного интеграла 1-го рода (по бесконечному промежутку). Вычислите по определению 0 xe x dx. 41. Дайте определение несобственного интеграла 2-го рода (от неограниченной функции по конечному промежутку). Вычислите по определению 1 0 42. dx . x Расскажите с обоснованием о поведении несобственных интегралов 1 dx , x 1 dx dx b b dx 0 x , a x a , a b x . 43. Дайте определение частичной суммы числового ряда. Дайте определение сходящегося числового ряда и его суммы. Сформулируйте основные свойства числовых рядов. Покажите, что если ряд сходится, то его члены стремятся к 0 . Укажите пример, показывающий, что обратное не верно. Сформулируйте признаки сходимости Даламбера и Коши. Докажите один из них. Сходится n! ли ряд n1 2 ? 2n 44. 45. n1 Выведите интегральный признак сходимости числового ряда. Докажите, что ряд Дирихле 1 сходится при 1 и расходится при 1. n 46. Дайте определение абсолютно сходящегося числового ряда. Приведите пример сходящегося, но не абсолютно сходящегося ряда. Сформулируйте теоремы о перестановке членов абсолютно сходящегося ряда и о перестановке членов сходящегося, но не абсолютно сходящегося ряда. 47. Докажите теорему Лейбница о знакочередующихся рядах. Для рядов Лейбница выведите оценку уклонения частичной суммы от суммы ряда. 48. Дайте определение поточечной и равномерной сходимости функциональной последовательности (функционального ряда). Приведите пример показывающий, что из поточечной сходимости не следует равномерная сходимость. 49. Дайте определение степенного ряда. Сформулируйте теоремы о множестве сходимости степенного ряда и его равномерной сходимости. Выведите формулы для радиуса сходимости. С 50. Покажите, что внутри интервала сходимости интегрировать и дифференцировать. Найдите сумму ряда x 2 x 2 3 x3 4 x 4 ..., степенной ряд можно почленно x 1. 51. Что такое ряд Тейлора и как он связан с формулой Тейлора? Сформулируйте теорему о сходимости ряда Тейлора. Выведите стандартные разложения Маклорена и найдите интервалы сходимости для функций e x , sin x, cos x Национальный исследовательский университет – Высшая школа экономики Программа дисциплины «Математический анализ» для направления 11.03.02. Инфокоммуникационные технологии и системы связи подготовки бакалавра 52. Разложите в ряд Тейлора функции ln(1 x), arctg x , (1 x) , укажите радиусы сходимости. 53. Для интегрируемой функции f на [ , ] запишите её ряд Фурье по тригонометрической системе. Сформулируйте равенство Парсеваля. 54. Выведите формулы для коэффициентов Фурье четной и нечетной функции. Изложите, с обоснованием, способ разложения интегрируемой функции f на [0, ] в тригонометрический ряд по одним синусам или по одним косинусам. 55. Покажите, что если функция f имеет непрерывную производную на [ , ] и f ( ) f ( ) , то ее ряд Фурье сходится к ней равномерно. 56. Запишите ряд Фурье в комплексной форме. Расскажите о рядах Фурье на отрезке [ l , l ] . n n 57. Что такое расстояние в ? Что такое шар в ? Дайте определение предела n последовательности точек в . Дайте определения ограниченного множества, открытого и n замкнутого множества в , границы множества, связного множества, области. 58. Расскажите о понятии функции нескольких переменных. Что такое график функции (на примере функции 2-х переменных). Что такое множество уровня. Дайте определение предела функции и непрерывности. 59. Определите частные производные первого порядка для функций многих переменных и расскажите об их арифметических свойствах. Определите дифференциал функции. Определите понятие касательной плоскости к графику функции двух переменных и приведите её уравнение. 60. Расскажите о частных производных старших порядков, сформулируйте теорему Шварца и приведите пример. Расскажите о правилах дифференцирования сложной функции, приведите примеры. 61. Определите понятие производной по направлению и градиента для функции двух и трёх переменных. Выведите формулу для производной по направлению и расскажите о её свойствах. В чём геометрический смысл градиента? 62. Дайте определение точки локального экстремума функции нескольких переменных. Выведите необходимое условие локального экстремума для дифференцируемых функций. Найдите наибольшее и наименьшее значение функции z x 2 xy в круге x2 y 2 1 . 63. Расскажите о заменах координат на плоскости и в пространстве. В чем геометрический смысл матрицы Якоби? Сформулируйте теоремы о неявной функции одного и многих переменных. 64. Как дифференцировать неявную функцию? Запишите формулу Тейлора–Пеано второго порядка при x 0 для функции y y ( x ) , заданной неявно уравнением xy3 y 2 1 0 , y (0) 1 . 65. Дайте определение двойного интеграла D f ( x, y)dxdy от функции по плоской (ограниченной) области. Укажите его основные свойства (линейность, аддитивность, интегрирование неравенств) и поясните его геометрический смысл. 66. Расскажите о сведении двойного интеграла к повторному. Как вычислить интеграл от функции с мультипликативной структурой по прямоугольнику? Приведите примеры. 67. Определите якобиан отображения :D 2 плоской области D и поясните его геометрический смысл. Запишите с обоснованием формулу замены переменной в двойном Национальный исследовательский университет – Высшая школа экономики Программа дисциплины «Математический анализ» для направления 11.03.02. Инфокоммуникационные технологии и системы связи подготовки бакалавра интеграле. 68. Вычислите якобиан перехода к полярным координатам и вычислите x y 1 x 2 2 2 2 y dxdy. 69. Выведите формулы для вычисления массы и координат центра тяжести плоской пластины с заданным законом изменения плотности. 70. Сформулируйте теорему о замене переменных в тройном интеграле. Расскажите о переходе к цилиндрической и сферической системам координат. 10 Порядок формирования оценок по дисциплине Преподаватель оценивает работу студентов на семинарских занятиях. Оценки за работу на семинарских занятиях преподаватель выставляет в рабочую ведомость. Накопленная оценка по 10ти балльной шкале за работу в классе на семинарских занятиях определяется перед итоговым контролем – Окласс. Накопленная оценка за текущий контроль учитывает результаты студента по текущему контролю следующим образом: Онакопленная= 0,2* Окр1 +0,2* Окр2 +0,2* Окласс +0,4* Околлоквиум Результирующая оценка за дисциплину рассчитывается следующим образом: Орезульт = 0,5* Онакопл + 0,5 *·Оэкз Округление результирующей оценки производится до целого по арифметическим правилам. На пересдаче студенту предоставляется возможность получить дополнительный балл для компенсации оценки за текущий контроль. 11 Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины 11.1 Основная литература В.А. Зорич, Математический анализ (в 2 томах), 5-е изд., М.: МЦНМО, 2007. 11.2 Дополнительная литература 1. Г.М. Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления (в 3 томах), 8-е изд., М.: Физматлит, 2006. 2. Б.П. Демидович, Сборник задач и упражнений по математическому анализу (учебное пособие для вузов), М.: АСТ: Астрель, 2007. 11.3 Справочники, словари, энциклопедии Математическая энциклопедия (в 5 томах), М.: Изд-во «Советская энциклопедия», 1977–1985. 12 Материально-техническое обеспечение дисциплины Специальное материально-техническое обеспечение дисциплины не предусмотрено.
