Многочлены Семинар 3 Алгебра Разминка 1. Найдите одночлены: 12; 3xy 2 ; x; 19xy . y2 2. Приведите одночлен к стандартному виду: ac · 5c; 5xyzyx; 3(ds)2 . 3. Приведите подобные одночлены, если это возможно: ab + 3ab; 5xy 2 + 5x2 y. 4. Найдите степень одночлена: 5a; 9x2 y 3 ; План занятия 5a + 3c; 8cd2 − 3d2 c; 17. Цели занятия • Понятие многочлена. Стандартный вид многочлена • Сложение и вычитание многочленов • Умножение многочлена на одночлен • Умножение многочлена на многочлен • Научиться складывать и вычитать многочлены • Научиться перемножать многочлены между собой • Моя цель: Понятие многочлена. Стандартный вид многочлена Многочленом называют алгебраическую сумму одночленов. При этом слагаемые называют членами многочлена. Примеры многочленов: 3a2 b + 3c; 15a + 14xyz; 17f g 3 + z 6 ; 8x + 8. Обратите внимание, что многочлен — это именно сумма и именно одночленов, то есть если вы увидите, что в выражение входит не одночлен — вы видите не многочлен. Вот примеры выражений, не являющихся многочленом: b 3+ ; a x; x · 8x. b Здесь в первом случае в выражение входит , который не является одночленом. Второе a выражение — это одночлен, но в нем нет никакой суммы. Третье выражение — это одночлен, просто не приведенный к стандартному виду. Рассмотрим многочлен: 3xy · 5y − 2y · 7x2 − x · 4yx. Можно не сомневаться, что это многочлен, только неудобно записанный, его можно упростить. Для этого, во-первых, каждый одночлен надо привести к стандартному виду, вовторых, подобные одночлены надо сложить, конечно, если они есть. 49 Семинар 3 Алгебра Пример 3.1. Запишите в более удобном виде: 3xy · 5y − 2y · 7x2 − x · 4yx. Решение. 1) Давайте для начала делать то,что мы уже умеем — приводить одночлены к стандартному виду: 3xy · 5y = 3 · 5 · xy · y = 15xy 2 ; 2y · 7x2 = 14x2 y; x · 4yx = 4yx2 = 4x2 y. 2) Продолжаем делать то, что умеем: складываем и вычитаем подобные одночлены: 15xy 2 − 14x2 y − 4x2 y = 15xy 2 − 18x2 y. 3) Больше ничего с этими одночленами мы пока делать не умеем, значит, записываем ответ: Ответ: 15xy 2 − 18x2 y. Такую процедуру называют приведением подобных членов многочлена. Если все члены многочлена представлены в стандартном виде и приведены все подобные, то говорят, что многочлен записан в стандартном виде. Чтобы привести многочлен к стандартному виду, нужно: 1) Привести все одночлены этого многочлена к стандартному виду. 2) Привести все подобные одночлены (то есть сложить их или вычесть между собой). Упражнения: 1. Приведите многочлен к стандартному виду путем приведения его одночленов к стандартному виду: а) 3aa + 2bbb − 5bc; б) 5aab + 4abab + b; в) 5(ab)2 + 3a2 c2 a; а) 2a + 5b + 3a; б) 5ab + b2 + ba; г) 7a3 b4 a5 + 2(abc)3 . 2. Приведите многочлен к стандартному виду путем приведения подобных одночленов: в) 7abc + c + b + abc; г) 5a2 b + 5ab2 + a2 b. 3. Приведите многочлен к стандартному виду: а) 5(ab)2 + ab + a2 b2 ; в) 2a2 a2 b2 a − 5a5 − b + a5 b2 ; б) 4a4 b2 − ab2 − (2a2 b)2 ; г) a2 b − a2 b + a2 b2 − a2 b2 . 50 Многочлены Сложение и вычитание многочленов 1. При сложении многочленов нужно просто записать их друг за другом, поместив между ними знак плюс. При нахождении разности многочленов нужно поменять знаки второго многочлена на противоположные, а потом делать то же, что при сложении многочленов. 2. Привести все подобные одночлены (если они есть). 3. Написать ответ. Пример 3.2. Сложить многочлены cd 2 − 4bcd + 3ac и bcd − 2ac − 2bc. Решение. 1) (cd 2 − 4bcd + 3ac) + (bcd − 2ac − 2bc). 2) cd 2 − 4bcd + 3ac + bcd − 2ac − 2b). 3) cd 2 + bcd − 4bcd + 3ac − 2ac − 2bc = cd 2 − 3bcd + ac − 2b.c Ответ: cd 2 − 3bcd + ac − 2bc. Упражнения: 1. Найдите сумму: а) 2a2 и 6ac; б) 2abc + 4ac и −2ac − 3abc; в) 4a2 − 2d и 2d + 4a; г) 4a2 − 2d − 4a и 4a. а) 3a2 c и 6a2 ; б) 2a + 4ac и −2ac − 3a; 2. Найдите разность: в) 4a2 − 2d2 и 2d2 + 4a; г) 4a2 − (2d)2 и 2d2 + 4. Умножение многочлена на одночлен Чтобы умножить многочлен на одночлен нужно: 1) Умножить каждый член многочлена на этот одночлен. 2) Привести каждый член к стандартному виду. Пример 3.3. Умножить многочлен cd 2 − 4bcd + 3ac на одночлен 8a2 c. Решение. 8a2 c·(cd 2 −4bcd+3ac) = 8a2 c·cd 2 −8a2 c·4bcd+8a2 c·3ac = 8a2 c2 d 2 −32a2 bc2 d+24a3 c2 . Ответ: 8a2 c2 d 2 − 32a2 bc2 d + 24a3 c2 . 51 Семинар 3 Алгебра Упражнения: 1. Умножьте: а) a + 7b на a; б) s3 d + 2d на s2 d; в) 5f 4 g 16 − 3df на 5f 2 ; г) −3xyz + 3z на xy 3 . 2. Выполните умножение: 3z а) z − · z; 2 в) 2f d5 · (d4 f − 3f d); б) (−3x + 2yz) · −xy; г) (−3x) на (xy 3 + 3y 4 ). Умножение многочлена на многочлен Чтобы умножить многочлен на многочлен нужно 1. Каждый элемент первого многочлена умножить на второй многочлен; 2. Привести каждый получившийся одночлен к стандартному виду; 3. Сложить полученные выражения и привести подобные одночлены (если они есть). Пример 3.4. Умножить многочлены x + y + 3 на y + x − 1. Решение. Суть метода перемножения многочлена на многочлен заключается в том, чтобы сначала взять первый член первого многочлена и умножить его на все члены второго многочлена (или наоборот — взять первый член второго многочлена и умножить его целиком на первый многочлен). Потом взять второй элемент и сделать с ним то же самое. Потом третий, четвертый и т.д., пока они не закончатся. А потом все сложить и привести к стандартному виду. В нашем случае при последовательном перемножении мы получаем: x(y + x − 1) = xy + x2 − x; y(y + x − 1) = y 2 + yx − y; 3(y + x − 1) = 3y + 3x − 3. Получаем ответ — сумму этих многочленов: xy + x2 − x + y 2 + yx − y + 3y + 3x − 3 = 2xy + x2 + 2x + y 2 + 2y − 3. Ответ: 2xy + x2 + 2x + y 2 + 2y − 3. 52 Многочлены Упражнения: 1. Выполните умножение: а) a + b + 1 на a + b + 1; б) a − b − 1 на a + b + 1; г) a2 + b2 + 1 на a + b + 1. в) a + 2b + 1 на 2a + b − 1; Контрольные вопросы: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. Вспомните и сформулируйте определение многочлена. Будет ли многочленом выражение 3ab − bc? Почему? Найдите стандартный вид многочлена: 3ab − 2bc + 2ab + ab. Найдите степень многочлена: 3a2 b + 220b − 6a5 . Что получится в результате умножения a + b на a? Что мы получим в ответе, если умножим любой многочлен на нуль? Что получится в результате умножения a + 1 на a + 2? Задачи для решения в классе I Задача 3.1. Приведите многочлен к стандартному виду: а) 2a3 − 3a + 2a3 + 12a − ab; в) 5cc − 3d + 2, 5c2 − d · 2c; б) 3ab2 a + 3b2 − 2b2 a2 − 3b2 ; г) 75(ab)2 − 3a2 b2 + 3b2 a · a − 3(5a)2 b2 . Задача 3.2. Найдите значение многочлена, предварительно приведя его к стандартному виду: а) aba2 + aa2 − a · 2ab + ba3 b0 − 2ba · 2b − 6a · 2b2 − aa при a = −5, b = 2; б) 6p2 q − 5pq 2 + 5p3 + 2pq 2 − 8p3 − 3p2 q при p = −2, q = 0, 5. Задача 3.3. Выполните умножение многочлена на одночлен: а) (5x + 5) · 5z; д) 5x · (x + (2y)2 ); б) (1 + yx) · 3xy; е) 2x3 · (5x2 − 2xy); в) (2y + x) · 5x; ж) 5y 2 · (2x3 − 2xy 2 ); г) (3 + 2y 2 ) · 3x; з) 2, 5x1 y 2 · (2 + 4x0 ). Задача 3.4. Выполните умножение двучленов: а) (2a + b) · (c + d); б) (a + 3b) · (c − d); в) (ab + 3b) · (a + b); г) (3b + 2) · (a + 2b2 ); ж) (5a3 + 2ac) · (a − b2 ); з) (5(a3 )2 − 2a2 ) · (2 + 4b3 ). д) (5cd − 2) · (c + 4d2 ); е) (2a − b2 ) · (5a2 − 2b); 53 Семинар 3 Алгебра Задача 3.5. Выполните умножение многочлена на двучлен: б) (b + 3b2 + d) · (c − 2d); а) (a − 2b + c) · (2c + b); г) (bd + ca − 3a2 d) · (3c + 2d); в) (b + 3b − 2a) · (2d + b); д) (5ca2 − 2d + 2c) · (a2 − 2c3 ); е) (2a + b − 3c) · (3b − 2a); ж) (cb + a2 c + 4a) · (cb − 4a); з) (5a3 + cb2 − c) · (cb + cb3 ). Задача 3.6. Произведите умножение: а) (2ab + a)(a + b + ab); б) (3b + 2a)(a2 + 3 + b2 a); в) (x + y + 3)(2x + y − 2); г) (2x + 2y − 1)(x2 + y + 1); д) (3x2 + 2y + 5)(x2 + 6y + 2); е) (5x + xy + y 2 )(2 + x + xy). Задача 3.7. Вычислите без калькулятора, применив удобный метод: а) (100 + 3)(100 − 3); б) (50 + 12)(50 − 12); в) 101 · (100 + 1); г) 102 · 103; д) 52 · (100 + 40 + 1); е) 141 · 23. II Задача 3.8. Приведите многочлен к стандартному виду: 7abc 3abc − ; 3 2 a2 b 1 2 1 в) + ab + a2 b; 3 4 12 2 3 1 aa − aba + abb − a2 ; 6 4 5 3 4 г) ( ac)2 · 5a + (−bc)3 + b3 c3 . 5 9 б) а) Задача 3.9. Выполните умножение: a2 b2 (66ab + 33a2 b2 ). 12 + 11 24 33 Задача 3.10. Докажите тождество: а) (2x + a)(2x + a) = 4x2 + 4ax + a2 ; б) (x4 + x3 )(x2 + x) = x4 (x + 1)(x + 1); в) (a2 + ab)(a2 − ab) = a4 − a2 b2 . Задача 3.11. Найдите многочлен, который должен стоять вместо α: а) (2y + 4x)α = 2x3 y + x3 + 2xy 3 + xy 2 ; в) α · (h + 3) = 2h2 − 2hr2 + 3hr − 3r3 ; б) (3 + y + 4y)α = 3x2 − 4xy + xy 2 − 2y 3 − 4y 2 ; г) α · (2a + b) = 4a3 + 6ab − 2a2 b2 − 3b3 . Задача 3.12. Вместо ρ поставьте такой многочлен, чтобы выполнялось равенство: а) 2a3 + a2 b + 2b3 + ρ = 3a3 + 2a2 b − 2b3 ; б) 4x2 − 2xy 2 − ρ + 3x3 y = xx + xy 2 + x3 y. 54 Многочлены Задача 3.13. Пусть a = 2x2 − 3x + 4, b = 5x2 + 2x − 1, c = 7x2 − 3x + 7. Составьте требуемое выражение и полученный многочлен запишите по степеням убывания переменной x: а) 2a + 4b − 3c; б) 7ax − 5b + 4cx − 11. Задача 3.14. К разности многочленов 2b 8b2 a2 a2 3b2 b+ a и a2 + a прибавьте многочлен b+ab2 . 5 5 3 5 2 Задача 3.15. Произведите умножение: а) (xy 2 − 3x)(xy 2 + 3x); 1 в) (k 3 s − 5k 2 s)( k − s); 5 б) (a2 c − 50)(2a2 c + 100); г) ( k4 − 9k 2 s + k 2 )(30k 4 s + 12k 2 ); 5 III Задача 3.16. В кафе Цветочного города автомат выдает пончик, если ввести в него число x, при котором значение выражения x2 – 9x + 13 отрицательно. А если ввести число x, при котором отрицательно значение выражения x2 + x – 5, то автомат выдает сироп. Сможет ли Незнайка, введя в автомат всего одно число, получить и то и другое? Задача 3.17. Графики функций y = x2 + ax + b и y = x2 + cx + d пересекаются в точке с координатами (1, 1). Сравните a5 + d6 и c6 − b5 . Задача 3.18. Существуют ли два одночлена, произведение которых равно ˘124 b2 , а сумма является одночленом с коэффициентом 1? Логические задачи Задача 3.19. В лес за грибами пошли 11 девочек и n мальчиков. Вместе они собрали n2 +9n˘2 гриба, причем все они собрали поровну грибов. Кого было больше: мальчиков или девочек? Задача 3.20. Попробуйте найти все натуральные числа, которые больше своей последней цифры в 5 раз. Домашнее задание I Задача 3.21. Приведите многочлен к стандартному виду: а) 2a2 − 3a2 + 2a3 + 12a2 − ab; б) 9ab2 a + 4b3 − 4b3 a1 − 3b3 ; в) 5cc2 − 3dcc + 5c3 − (dc)2 · 2c; г) 50(ab)4 − 30a4 b4 + 30b4 a · a − 3(2a)2 b4 . Задача 3.22. Выполните умножение многочлена на одночлен: а) (5x + 1) · z; б) (1 + yx) · x; в) (2y + x) · 5x; д) 5x · (x − (3y)2 ); е) 2x4 · (5x2 − 2x2 y); г) (3 − 2xy 2 ) · (−3x); ж) 5y 2 x · (2x1 − 2xy 2 ); з) 2, 5x1 y 2 · (5 − (4x)0 ). 55 Семинар 3 Алгебра Задача 3.23. Выполните умножение двучленов: а) (a − b) · (c + d); б) (a + 3b) · (c − 2d); г) (−3b − 2) · (a + 2b5 ); в) (ab − b) · (3a + 2b); д) (cd + 2) · (c + 4d3 ); е) (2a − 4b3 ) · (7a3 − 2b2 ); ж) (5a3 + 2a2 c) · (a − b4 ); з) (5(a2 )2 − 2a) · (22 + b3 ). Задача 3.24. Выполните умножение многочлена на двучлен: б) (b + 4b2 + d) · (c − d); а) (a − 3b + c) · (2c + b); г) (bd + 3ca − 3a2 d) · (c − 2d); в) (b + b − 2a) · (2d + 3b); д) (5ca − d − 2c) · (a3 − 2c2 ); е) (2a − b3 + c) · (3b − 2a); ж) ((cb)2 + a2 c + 4a) · (c − 4ab); з) (3b3 + b2 − 2b) · (b + b3 ). Задача 3.25. Произведите умножение: б) (3b2 + a)(a2 + 4 − b2 a); а) (4ab + a)(4a − 2b − ab); г) (2xy 3 + 2yx3 − 1)(x2 + y 2 + 1); в) (x + y + 3)(4x − 5y − 1); е) (3x − xy + y 2 )(2 + 3x − xy). д) (3x + 2y + 5)(x − 6y − 12); II Задача 3.26. Приведите многочлен к стандартному виду: 7abc abc − ; 3 2 a2 b 3 1 в) + (ab)2 + a2 b; 2 4a 2 2 3 1 aa − aba − abb − 3a2 ; 7 5 7 1 4 г) ( ac)2 · 3a + (−bc)3 + 2b3 c3 . 5 11 а) б) Задача 3.27. Выполните умножение: a4 b2 (55ab + 22a2 b2 ). 11 − 12 24 22 Задача 3.28. Найдите многочлен, который должен стоять вместо α: а) (2y + x)α = 2x3 y + x3 + 2xy 3 + xy 2 ; в) α · (−h − 3) = 2h2 − 2hr2 + 3hr − 3r3 ; б) (6 + y + y)α = 3x2 − 4xy + xy 2 − 2y 3 − 4y 2 ; г) α · (−4a − 0.5b) = 4a3 + 6ab − 2a2 b2 − 3b3 . Задача 3.29. Вместо ρ поставьте такой многочлен, чтобы выполнялось равенство: а) 2a3 + 3a2 b − 2b3 + ρ = 3a3 + 2a2 b − 2b3 ; б) 4x2 − 4xy 2 + ρ − 3x3 y = xx + xy 2 + x3 y. a2 3b2 2b 8b2 a2 Задача 3.30. К сумме многочленов b + a и a2 + a прибавьте многочлен b + ab2 , 5 5 3 5 2 умноженный на три. 56 Многочлены III Задача 3.31. Докажите равенство (a2 + b2 )(u2 + v 2 ) = (au + bv)2 + (av˘bu)2 . Задача 3.32. Два различных числа x и y (не обязательно целых) таковы, что x2 − 2000x = y 2 − 2000y. Найдите сумму чисел x и y. Задача 3.33. Найдите все пары простых чисел, разность квадратов которых является простым числом. Семинар 3 Контроль Диагностический тест №1 Дорогой друг! Пришло время применить свои знания на практике. Сегодня мы будем писать диагностический тест. Для выполнения данной работы тебе необходимо вспомнить всю математику, которую ты изучил с самого первого класса. Не пугайся, если у тебя не получится выполнить некоторые задания: в работе могут оказаться задачи, которые мы научимся решать в течение года. Просто пропусти такое задание и приступай к следующему. Работа выполняется на отдельном листе. На первой странице необходимо нарисовать таблицу, как показано ниже, и занести в неё полученные ответы. Во время диагностического теста запрещается пользоваться калькуляторами, компьютерами, телефонами и другими электронными устройствами. Единственным твоим другом и помощником на время тестирования будет преподаватель, которому можно задавать вопросы по условию. Как только получишь лист с заданиями, сразу приступай к решению задач. Тест рассчитан на 60 минут. Удачи! № Ответ 1 2 3 4 5 6 7 8