Семинар 1 Алгебра РАЗЛОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ НА

Семинар 1
Алгебра
РАЗЛОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ НА
МНОЖИТЕЛИ
План занятия
•
•
•
•
Что такое разложение на множители?
Вынесение общего множителя за скобки
Способ группировки
Формулы сокращенного умножения
Основные определения и соотношения
Что такое разложение на множители?
Для начала проделаем операцию, которую мы уже умеем делать: перемножим два двучлена.
(3ab2 + ab)(7a − 2ab) = 3ab2 (7a − 2ab) + ab(7a − 2ab) = 21a2 b2 − 6a2 b3 + 7a2 b − 2a2 b2 =
= 19a2 b2 − 6a2 b3 + 7a2 b
Это же равенство можно записать в обратном порядке:
19a2 b2 − 6a2 b3 + 7a2 b = (21a2 b2 − 6a2 b3 ) + (7a2 b − 2a2 b2 ) = 3ab2 (7a − 2ab) + ab(7a − 2ab) =
= (3ab2 + ab)(7a − 2ab)
Такая запись означает, что мы представили многочлен 19a2 b2 − 6a2 b3 + 7a2 b в виде произведения двух более простых многочленов (3ab2 + ab) и (7a − 2ab). В таких случаях говорят,
что мы разложили многочлен на множители.
Итак, загадочное разложение многочленов на множители рассекречено. Это процедура, в
результате которой из одного многочлена получается произведение нескольких более простых
многочленов.
Есть несколько способов разложения многочлена на множители. В зависимости от ситуации больше подходит тот или иной способ. Сейчас мы с ними познакомимся.
Вынесение общего множителя за скобки
Алгоритм прост. Для начала надо найти собственно сам общий множитель. Если мы имеем
дело с целочисленными коэффициентами, то коэффициент общего множителя равен наибольшему общему делителю коэффициентов всех одночленов.
Чтобы найти переменные общего множителя, надо найти общие переменные всех членов
многочлена. И для каждой из них выбрать наименьший показатель степени из имеющихся.
И последнее, вынести общий множитель за скобки, а в скобках написать многочлен, получившийся при делении исходного на общий множитель.
Университет Иннополис
11
Пример 1.1. В многочлене 21a 2 b 3 c 5 − 35a 4 b 2 c 4 + 7a 5 b 7 c 3 вынести общий множитель за
скобки.
Решение. 21a 2 b 3 c 5 − 35a 4 b 2 c 4 + 7a 5 b 7 c 3 = 7a 2 b 2 c 3 · 3bc 2 + 7a 2 b 2 c 3 · 5a 2 c + 7a 2 b 2 c 3 · a 3 b 5 =
= 7a 2 b 2 c 3 (3bc 2 + 5a 2 c + a 3 b 5 ).
Часто бывает удобно за скобку вынести множитель с дробным коэффициентом.
2
6
3
Пример 1.2. В многочлене x5 y 4 + x2 y 8 − x3 y 4 вынести общий множитель за скобки.
7
7
7
2
6
1
3
Решение. x5 y 4 + x2 y 8 − x3 y 4 = x2 y 4 · (3x3 + 2y 4 − 6x).
7
7
7
7
Способ группировки
Для полного понимания мы рассмотрим этот способ на примере.
Пример 1.3. Разложить многочлен 2a2 + 6a + ab + 3b на множители.
Решение.
В первую очередь сгруппируем их по два и из каждой пары вынесем общий множитель:
2a2 + 6a + ab + 3b = (2a2 + 6a) + (ab + 3b) = 2a(a + 3) + b (a + 3).
Теперь можно заметить, что появился новый общий множитель (a+3). Его можно вынести
за скобки.
Получаем:
2a · (a + 3) + b · (a + 3) = (2a + b) · (a + 3).
Итак, нам удалось разложить многочлен на множители:
2a + 6a + ab + 3b = (2a + b) · (a + 3).
2
Формулы сокращенного умножения
Для разложения выражений на множители очень помогают формулы сокращенного умножения. Каждая из этих формул легко получается простым раскрытием скобок и последующим
приведением подобных членов. Например, (a + b)2 = (a + b) · (a + b) = a · (a + b) + b · (a + b) =
a2 + ab + ba + b2 = a2 + 2ab + b2 . Приведем наиболее часто используемые формулы.
Формулы сокращенного умножения
1. Квадрат суммы или разности: (a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2 .
2. Разность квадратов: a2 − b2 = (a + b)(a − b).
3. Куб суммы или разности: (a ± b)3 = a3 ± 3a2 b + 3ab2 ± b3 .
4. Сумма или разность кубов: a3 ± b3 = (a ± b)(a2 ∓ ab + b2 ).
Пример 1.4. Разложите на множители 4a2 − 9.
Решение. Пользуясь формулой a2 − b2 = (a + b)(a − b), получаем:
4a2 − 9 = (2a − 3) · (2a + 3).
Ответ: (2a − 3) · (2a + 3).
12
1 Алгебра. Разложение многочленов на множители
Пример 1.5. Вычислите наиболее рациональным способом:
782 − 182
.
66 2 − 6 2
Решение. Воспользуемся формулой a2 − b2 = (a − b) · (a + b).
60 · 96
96
4
(78 − 18)(78 + 18)
782 − 182
=
=
=
.
=
66 2 − 6 2
(66 − 6)(66 + 6)
60 · 72
72
3
Ответ:
4
782 − 182
= .
2
2
66 − 6
3
Ключевые задачи
1) Решите уравнение:
x2 + 4x + 4 = 0.
Решение. Чтобы решить это уравнение, нужно разложить левую часть на множители с
помощью формул сокращённого умножения:
x2 + 4x + 4 = (x + 2)2 .
Теперь уравнение запишется в виде (x + 2)2 = 0, откуда (x + 2) = 0, или x = −2
Ответ: x = −2.
2) Решите уравнение:
x2 + 9x + 8 = 0.
Решение. Чтобы решить такое уравнение надо левую его часть разложить на множители.
Представим слагаемое 9x в виде суммы двух слагаемых 8x и x. Получается
x2 + 9x + 8 = x2 + 8x + x + 8.
Теперь воспользуемся способом группировки для разложения многочлена на множители:
x2 + 8x + x + 8 = x · (x + 8) + (x + 8) = (x + 1)(x + 8).
Наше уравнение преобразовалось в уравнение (x + 1)(x + 8) = 0. Решим его. В левой части
уравнения стоит произведение двух выражений. Оно обращается в нуль тогда, когда одно из
этих выражений равно нулю.
x+1=0
x = −1
или
Ответ: x = −1
или
x+8=0
x = −8
x = −8.
3) Вычислите наиболее рациональным способом:
19, 9 · 18 − 19, 9 · 16 + 30, 1 · 18 − 30, 1 · 16.
Решение.
19, 9 · 18 − 19, 9 · 16 + 30, 1 · 18 − 30, 1 · 16 = (19, 9 · 18 − 19, 9 · 16) + (30, 1 · 18 − 30, 1 · 16).
Вынесем в первом случае за скобки 19,9 , а во втором — 30,1 . И произведём действия в
скобках.
(19, 9 · 18 − 19, 9 · 16) + (30, 1 · 18 − 30, 1 · 16) = 19, 9 · (18 − 16) + 30, 1 · (18 − 16) = 19, 9 · 2 + 30, 1 · 2.
Теперь за скобки вынесем 2.
19, 9 · 2 + 30, 1 · 2 = (19, 9 + 30, 1) · 2 = 50 · 2 = 100.
Ответ: 19, 9 · 18 − 19, 9 · 16 + 30, 1 · 18 − 30, 1 · 16 = 100.
13
Университет Иннополис
Задачи для решения в классе
I
Задача 1.1. Вынесите общий множитель за скобки:
а) 3a3 b2 + 6ab5 − 12a2 b3 ;
б) 6m4 n5 + 8m5 n4 ;
в)
1 5 8 3 6 7
2
x y − x y + 1 x8 y 5 .
7
7
7
Задача 1.2. Используя формулы для (a ± b)2 , раскройте скобки:
а) (2 + p)2 ;
б) (m2 − n)2 ;
в) (2p + 3q)2 .
Задача 1.3. Используя формулы для (a ± b)3 , раскройте скобки:
а) (1 + s)3 ;
б) (2x − y)3 ;
в) (n2 − m)3 .
Задача 1.4. Разложите многочлен на множители, используя формулы (a ± b)2 :
1
а) 1 − 2z + z 2 ;
б) b2 + 16b + 64;
в) 9a2 − ab + b2 .
36
Задача 1.5. Разложите многочлен на множители, используя формулы a2 − b2 :
а) a2 − 9;
б) 16x2 − 25;
в) 9c2 d6 − 49c4 d8 .
Задача 1.6. Вместо мордашек впишите пропущенные одночлены:
а) 56a5 b4 + 48a4 b8 = 4a4 b4 (
+
);
б) 25m4 n6 − 35m5 n4 = 5m3 n2 ( + );
5
7
1
в) x6 y 8 − x7 y 7 = x4 y 5 ( + ).
6
3
6
Задача 1.7. Найдите значение выражения:
а) 122 − 11 · 12;
б) 722 + 72 · 28;
в) 232 − 23 · 13.
Задача 1.8. Найдите значение выражения:
а) (c − cd)(c + cd) при c = 5, d = −2;
б) 9a2 + 6a + 1 при a = −3.
Задача 1.9. Найдите значение выражения ax − ay + az при
a = 58, x = 96, y = 12, z = 16.
Задача 1.10. Вынесите общий множитель за скобки:
а) 3x(a + b) − y(a + b);
б) a(b + c) + b + c;
в) 5(x − y) + x − y.
Задача 1.11. Разложите многочлен на множители:
а) ab + ac − b − c;
Задача 1.12.
А. −5a2 + 16
ГИА2012
б) 3x − 3y − 2ax + 2ay;
в) 6y 2 − 3y + 2ay − a.
Упростите выражение (a − 4)2 − 2a(3a − 4).
Б. −5a2 + 8a − 16
В. −5a2 + 8
Г. −5a2 + 8a − 4
14
1 Алгебра. Разложение многочленов на множители
Задача 1.13.
ГИА2012
Упростите выражение ( − 2)2 − b(b + 4).
А. 2b2 + 4
Б. 4
Задача 1.14.
ГИА2012
В. 2b2 − 8b + 4
Г. 4 − 8b
Укажите выражение, тождественно равное 8a2 − 12ab.
A. −4a(2a + 3b)
Б. −4a(2a − 3b)
В. −4a(−2a + 3b)
Г. −4a(−2a − 3b)
Задача 1.15. ГИА2012 В выражении 3a2 − 9ab вынесли за скобки общий множитель (−3a).
Какой двучлен остался в скобках?
A. a + 3b
Б. a − 3b
В. −a − 3b
Г. −a + 3b
x4 x3
−
+ 1 при x = 1.
4
2
Задача 1.16.
Ответ:
ГИА2012
Найдите значение выражения
Задача 1.17.
ГИА2012
В каком случае выражение преобразовано в тождественно равное?
A. (4 + a)(a − 4) = 16 − a2
Б. (a − 4)2 = 16 − 8a + a2
В. 4(a − b) = 4a − b
Г. (4 + a)2 = a2 + 16
II
Задача 1.18.
ГИА2012
Разложите на множители a3 − ab − a2 b + a2 .
Задача 1.19.
ГИА2012
Разложите на множители p2 x + p2 y − nx − ny − p2 + n.
Задача 1.20. Замените знаки мордашки одночленами так, чтобы выполнялось равенство:
а) (2c2 +
б) 8c 3 d 6 −
)2 =
=(
;
+ 12c3 d +
− 3ad)(
+
+
).
Задача 1.21. Вынесите общий множитель за скобки:
а) 6b2 (2b − 5)2 − 12b(2b − 5)(a − 2b);
б) (b − 1)(b + 2) − (b − 2)(b + 2) + (b − 3)(b + 2) − (b − 4)(b + 2).
Задача 1.22. Разложите многочлен на множители:
а) xyz + 4xz + 3xy + 12x;
б) 2a2 − a + 2ab − b − 2ac + c;
в) ax2 − ay − bx2 + cy + by − cx2 .
Задача 1.23. Докажите, что значение выражения:
а) 165 + 164 кратно 34;
б) 365 − 69 кратно 30;
в) 274 − 95 + 39 кратно 15.
Задача 1.24. Решите уравнение:
а) x3 + x2 − x − 1 = 0;
б) a4 + 2a3 − a − 2 = 0;
в) 11x − x2 + 22 − 2x = 0.
15
Университет Иннополис
Задача 1.25. Даны три числа, из которых каждое следующее на 3 больше предыдущего.
Найдите эти числа, если известно, что произведение меньшего и большего на 54 меньше
произведения большего и среднего.
Задача 1.26. Вычислите:
а) 2, 7 · 6, 2 − 9, 3 · 1, 2 + 6, 2 · 9, 3 − 1, 2 · 2, 7;
2
1 4
2
1 1
б) 3 · 4 + 4, 2 · + 3 · 2 + 2, 8 · .
3 5
3
3 5
3
III
Задача 1.27. Докажите, что значение выражение x2 + 3x + 2 чётное при любом целом значении x.
Задача 1.28. Решите уравнение:
а) x2 + 3x + 2 = 0;
б) x2 − 6x + 8 = 0;
в) 2x2 + 20x + 18 = 0.
Задача 1.29. Найдите значение выражения:
125 · 48 − 31 · 82 − 31 · 43 − 125 · 83
.
19, 9 · 18 − 19, 9 · 16 + 30, 1 · 18 − 30, 1 · 16
Задача 1.30. Разложите на множители x2 y 2 − 5xy 2 + 6y 2 − x2 + 5x − 6.
Занимательные задачи
Задача 1.31. Ослица и мул шли вместе, нагруженные мешками равного веса. Ослица жаловалась на тяжесть ноши. "Чего ты жалуешься, – сказал мул, – если ты мне дашь один
твой мешок, моя ноша станет вдвое больше твоей, а если я дам тебе один мешок, наши грузы
только сравняются". Сколько мешков было у каждого?
Задача 1.32. Отец имеет семь сыновей. Сумма возрастов первого и четвертого сыновей
равна 9 годам, первого и шестого — 8 годам, второго и пятого — 8 годам, второго и третьего
— 9 годам, третьего и шестого — 6 годам, четвертого и седьмого — 4 годам, а седьмого и
пятого — также 4 годам. Найдите сумму возрастов всех сыновей.
Задача 1.33. Некто сказал другу: “Дай мне 100 рупий, и я буду вдвое богаче тебя”. Друг
ответил: “Дай ты мне только 10 рупий, и я стану в 6 раз богаче тебя”. Сколько было у
каждого?
Домашнее задание
I
Задача 1.34. Используя формулы для (a ± b)2 , раскройте скобки:
а) (x − 8)2 ;
б) (m − 6n)2 ;
в) (2x − 3y)2 .
Задача 1.35. Используя формулы для (a ± b)3 , раскройте скобки:
а) (3x + y)3 ;
б) (2p − q)3 ;
в) (m + 4n)3 .
16
1 Алгебра. Разложение многочленов на множители
Задача 1.36. Разложите многочлен на множители, используя формулы (a ± b)2 :
а) c2 − 6c + 9;
б) 9x6 + 12x3 y 2 + 4y 4 ;
в) 25a2 b2 − 30abc + 9c2 .
Задача 1.37. Разложите многочлен на множители, используя формулы a2 − b2 :
а) 25 − n2 ;
б) 36 − 121d 8 ;
в) 169 − 100p6 q 4 .
Задача 1.38. Вынесите общий множитель за скобки:
а) 72a8 + 48a4 − 56a7 ;
б) 9x3 y 5 − 6x6 y 3 + x5 y 8 ;
в)
3
2
7 3 8
p q + p6 q 5 − 1 p5 q 6 .
11
11
11
Задача 1.39. Вместо мордашек впишите пропущенные одночлены:
а) 15x2 y 3 + 18x5 y 6 = 3x2 y 3 (
+
);
б) 28p5 q 8 − 35p7 q 6 = 7p3 q 5 ( + );
5
5
5
в) a5 b2 − a4 b5 = a2 b2 ( + ).
7
14
14
Задача 1.40. Найдите значение выражения, вынеся что-то за скобки:
а) 442 − 44 · 45;
б) 81 · 19 + 812 ;
в) 442 − 44 · 24.
Задача 1.41. Найдите значение выражения ax − ay + az при
a = 37, x = 28, y = 48, z = 20.
Задача 1.42. Вынесите общий множитель за скобки:
а) 15c(x − y) + 3b(x − y);
б) 3b − 3c + a(b − c);
в) x + c(x + y) + y.
Задача 1.43. Разложите многочлен на множители:
а) mn + m − n − 1;
Задача 1.44.
ГИА2012
А. −2b2 + 49
Задача 1.45.
ГИА2012
ГИА2012
в) 3ab − b2 + 3a2 − ab.
Упростите выражение (b + 7)2 − 2b(2b + 7).
Б. −3b2 + 14b + 49
А. (x + y)(x + y)
Задача 1.46.
Ответ:
б) c5 + c4 + c + 1;
В. −3b2 + 49
Г. −3b2 + 14b + 25
Укажите выражение, тождественно равное y 2 − x2 .
Б. (x + y)(x − y)
В. −(x + y)(x − y)
Г. (x − y)(x − y)
x4 x3
Найдите значение выражения
+
− 2 при x = −1.
5
4
II
Задача 1.47.
ГИА2012
Разложите на множители ac4 − c4 − ac2 + c2 .
Задача 1.48.
ГИА2012
Разложите на множители m2 x2 − 3m2 x − 4m2 − x2 + 3x + 4.
Задача 1.49.
ГИА2012
Разложите на множители x2 y 2 − 5x2 y + 4x2 − y 2 + 5y − 4.
Задача 1.50. Используя формулы для (a ± b)2 , раскройте скобки:
а) (3x3 y + 4x2 y 4 )2 ;
б) (p2 q − 6p5 q 3 )2 ;
в) (7a6 b4 − 9a2 b5 )2 .
17
Университет Иннополис
Задача 1.51. Вынесите общий множитель за скобки:
а) p3 (2p + 3q)(2p − 3q) − 3p(2p + 3q)2 ;
б) (x + y)(x + 1) − (x + y)(1 − y) − (x + y)(x − y).
Задача 1.52. Разложите многочлен на множители:
а) 5a3 c + 10a2 − 6bc − 3abc2 ;
б) px2 + qx + q 2 y + pqxy + p2 qx + pq 2 ;
в) a2 m + 2a2 n + 3a2 k − b 2 m − 2b 2 n − 3b 2 k.
Задача 1.53. Докажите, что значение выражения:
а) 249 − 248 кратно 46;
б) 518 − 258 кратно 120;
в) 164 − 213 − 45 кратно 22.
Задача 1.54. Решите уравнение:
а) 2a + a2 + 2a3 + a4 = 0;
б) b3 − 8b2 − b + 8 = 0;
в) −3x + x2 + 24 − 8x = 0.
Задача 1.55. Вычислите:
а) 109 · 9, 17 − 5, 37 · 72 − 37 · 9, 17 + 1, 2 · 72;
б) 77, 3 · 13 + 8 · 37, 3 − 77, 3 · 8 − 13 · 37, 3.
III
Задача 1.56. При каком значении x удвоенное произведение двучленов x + 1 и x − 4 меньше
суммы их квадратов на 25?
Задача 1.57. Решите уравнение:
а) x2 + 4x + 3 = 0;
б) x2 − 12x + 20 = 0;
Задача 1.58. Найдите значение выражения:
15, 5 · 20, 8 + 15, 5 · 9, 2 − 3, 5 · 20, 8 − 3, 5 · 9, 2
.
14, 9 · 1, 25 + 0, 75 · 1, 1 + 14, 9 · 0, 75 + 1, 1 · 1, 25
в) 3x2 − 27x + 24 = 0.
Геометрия
ПОВТОРЯЕМ ТРЕУГОЛЬНИКИ
План занятия
• Признаки равенства треугольников
• Соотношения в треугольнике
• Неравенство треугольника
Основные определения и соотношения
Признаки равенства треугольников
♦
♦
♦
♦
♦
♦
Теорема 1.1. Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны
соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то
такие треугольники равны (см. рис. 1.1).
♦
♦
♦
♦
♦
♦
Рис. 1.1: Первый признак равенства треугольников
Теорема 1.2. Если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника равны соответственно стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники
равны (рис. 1.2).
Рис. 1.2: Второй признак равенства треугольников
Теорема 1.3. Если три стороны одного треугольника равны соответственно трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны (рис. 1.3).
Университет Иннополис
19
Рис. 1.3: Третий признак равенства треугольников
Соотношение между углами и сторонами треугольника
Теорема 1.4. В треугольнике против большей стороны лежит больший угол.
В теореме имеется ввиду следующее: если мы сравниваем любые две стороны треугольника, то против большей стороны лежит больший угол.
Верно и обратное утверждение о том, что в треугольнике против большего угла лежит
большая сторона.
Следствие 1.4.1. В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета.
Следствие 1.4.2. Если два угла треугольника равны, то треугольник равнобедренный.
Неравенство треугольника
Ведь между двух соседних точек
Прямая — самый краткий путь,
Иначе слишком много кочек
Необходимо обогнуть.
(Л. Мартынов)
Теорема 1.5. Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.
Эта теорема имеет важное практическое значение. Из нее следует, что кратчайшим расстоянием между двумя точками, является длина отрезка, соединяющего их.
B
A
C
Рис. 1.4: Неравенство треугольника
Следствие 1.5.1. Для любых трех точек A, B и C, не лежащих на одной прямой, справедливы неравенства:
AB < AC + CB,
AC < AB + BC,
BC < BA + AC.
Каждое из этих неравенств называется неравенством треугольника.
20
1 Геометрия. Повторяем треугольники
Ключевые задачи
1) В треугольнике ABC сторона AB равна 15 см, BC на 4 см меньше, а разница между
AC и BC равна 7 см. Найдите периметр P треугольника ABC.
AB = 15 см,
BC = 15 − 4 = 11 (см),
AC − BC = 7 см, тогда AC = BC + 7 = 11 + 7 = 18 (см).
P = AB + BC + CA = 15 + 11 + 18 = 44 (см).
Решение.
Ответ: P = 44 см.
B
2) Дан четырёхугольник ABCD, у которого все стороны равны.
Докажите, что ∠A = ∠C.
C
Доказательство.
Посмотрим на треугольники ABD и CBD. И задумаемся, а не A
D
равны ли они? Ну, наверняка, уж очень похоже. Если так, то надо
найти три такие равенства соответствующих элементов в треугольРис. 1.5
никах, чтобы они давали нам право на основании какого-нибудь
признака заключить, что треугольники равны.
Заметим, что нам ничего не известно ни про какие углы. Надо
думать, что только третий признак равенства треугольников нам поможет. Давайте найдём
три пары равных сторон.
AB = BC
AD = CD
BD — общая
⇒
△ABD = △CBD.
Треугольники ABD и CBD равны, значит, равны все соответственные стороны и углы,
т.е. ∠A = ∠C. Ч.т.д.
Задачи для решения в классе
I
Задача 1.59. Периметр треугольника равен 48 см, а одна из сторон равна 18 см. Найдите
две другие стороны, если их разность равна 6 см.
Задача 1.60. На рисунке 1.6 AB = CD, ∠BDC = ∠ABD, AD = 20 см. Найдите BC.
Задача 1.61. На рисунке 1.7 AB = BC и AD = CD. Докажите, что ∠ABD = ∠CBD.
B
A
Рис. 1.6: К задаче 1.60
B
C
D
A
D
C
Рис. 1.7: К задаче 1.61
21
Университет Иннополис
C
C
B
B
D
A
Рис. 1.8: К задаче 1.66
O
A
D
Рис. 1.9: К задаче 1.69
Задача 1.62. Отрезки AB и CD пересекаются в точке O. Известно, что AO = BO и
∠OAD = ∠OBC.
а) Докажите, что △CBO = △DAO;
б) Найдите BC и CO, если CD = 26 см, AD = 15 см.
Задача 1.63. В треугольнике ABC углы A и B равны соответственно 30◦ и 70◦ . Расположите
стороны треугольника в порядке убывания их длины.
Задача 1.64. Сравните углы треугольника ABC и выясните, может ли быть угол A тупым,
если AB > BC > AC.
Задача 1.65. Боковые стороны равнобедренного треугольника равны 5. Может ли основание
быть равным 10,02?
Задача 1.66. На рисунке 1.8 луч BD является биссектрисой угла ABC, а луч DB — биссектрисой угла ADC. Докажите, что треугольники ABD и CBD равны.
1
Задача 1.67. Сторона AB треугольника ABC равна 5 см, сторона BC в 2 раза больше
5
стороны AB, а сторона AC равна среднему арифметическому сторон AB и BC. Найдите
периметр треугольника ABC.
Задача 1.68. На одной стороне угла с вершиной A отмечены точки B и D, на другой стороне — C и E так, что AD = AC = 3, AB = AE = 4. Докажите, что:
а) BC = DE;
б) KB = KE, где K — точка пересечения BC и DE.
Задача 1.69. На рисунке 1.9 отрезки AB и CD являются диаметрами окружности. Докажите, что треугольники AOD и BOC равны.
Задача 1.70. ГИА2012 Укажите номера верных утверждений:
1) Если в треугольниках равны две стороны и три угла, то они равны.
2) Треугольник со сторонами 4, 5, 8 существует.
3) В треугольнике против большей стороны лежит меньший угол.
4) В треугольнике ABC со сторонами AB = 3, AC = 4 и BC = 5 угол A-наибольший.
Задача 1.71. ГИА2012 Укажите номера верных утверждений:
1) Существует треугольник, у которого катет равен гипотенузе.
2) Треугольник со сторонами 7, 3, 4 существует.
3) Если у двух прямых нет общих точек, то они параллельны.
4) Четырёхугольник, у которого все углы прямые, является квадратом.
22
1 Геометрия. Повторяем треугольники
II
Задача 1.72. ГИА2012 Докажите, что биссектрисы углов у основания равнобедренного треугольника равны.
Задача 1.73. Могут ли стороны треугольника относиться как 2 : 3 : 6?
Задача 1.74. На рисунке 1.10 ∠A = ∠D, ∠1 = ∠2, AB = CD, EC = 10 см. Найдите BF .
Задача 1.75. Отрезки AD и BE пересекаются в точке C. Углы, смежные с углами EAD и
AED, равны между собой, AB = DE. Докажите, что △ABE = △EDA.
Задача 1.76. Два прямоугольных треугольника BOK и COL имеют общую вершину O
(рис. 1.11). На стороне OK отметили точку A, на стороне OL — точку D так, что AO = DO
и AK = DL. Известно, что ∠KAB = ∠LDC. Докажите, что KB = CL.
F
A
1
C
B
2
B
K
A
D
O
D
L
E
Рис. 1.10: К задаче 1.74
C
Рис. 1.11: К задаче 1.76
III
Задача 1.77. Дан угол A. На одном его луче отложены точки K и L, а на другом — точки M
и N , причём AK = AM , KL = M N . Отрезки KN и LM пересекаются в точке O. Докажите
равенство треугольников KLO и M N O.
Задача 1.78. Окружность с центром в точке O образует при пересечении со сторонами треугольника ABC равные хорды. Докажите, что у треугольников ABO, BCO и ACO равны
высоты, выходящие из вершины O.
Задача 1.79. Разрежьте произвольный треугольник на три части так, чтобы можно было
сложить прямоугольник.
Домашнее задание
I
Задача 1.80. Существует ли треугольник, со сторонами:
а) 1 м, 2 м и 3 м;
б) 1,2 дм, 1 дм, 2,4 дм?
Задача 1.81. В равнобедренном треугольнике одна сторона равна 25 см, а другая 10 см.
Какая из них является основанием?
Задача 1.82. Существует ли треугольник, со сторонами:
23
Университет Иннополис
а) 1 м, 2 м и 3 м;
б) 1,2 дм, 1 дм, 2,4 дм?
Задача 1.83. Сторона AB треугольника ABC равна 17 см, сторона AC вдвое больше стороны AB, а сторона BC на 10 см меньше стороны AC. Найдите периметр треугольника ABC.
B
C
C
B
E
A
D
Рис. 1.12: К задаче 1.84
A
D
Рис. 1.13: К задаче 1.88
Задача 1.84. На рис. 1.12 AB = CD, AC = BD и ∠CAD = 25◦ . Найдите ∠ADB.
Задача 1.85. Две прямые пересекаются в точке A. На одной из прямых взяты точки B и C,
а на другой — P и K так, что AB = AC, AP = AK. Докажите, что BP = CK.
Задача 1.86. ABC и AP K — два равных треугольника. Известно, что AB
AC = AP = 4, AK = 5. Чему равны стороны BC и P K?
= 3,
Задача 1.87. На одной стороне угла с вершиной B отмечены точки M и O, на другой — K
и P так, что BM = BP , BO < BM , BK < BP , а ∠OP B = ∠KM B. Докажите, что:
а) M K = OP ;
б) T M = T P , где T — точка пересечения M K и OP .
Задача 1.88. На рисунке 1.13 AB = CD, BC = AD, ∠BAC = 40◦ . Найдите ∠ACD.
Задача 1.89. На биссектрисе угла A взята точка D, а на сторонах этого угла — точки B и
C такие, что ∠ADB = ∠ADC. Докажите, что BD = CD.
Задача 1.90. На рисунке 1.14 ∠DBC = ∠DAC, BO = AO. Докажите, что ∠C = ∠D и
AC = BD.
Задача 1.91. ГИА2012 Укажите номера верных утверждений:
1) В любом треугольнику гипотенуза больше катета.
2) В равнобедренном треугольнике может быть тупой угол.
3) Если две стороны и угол одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу
другого треугольника, то такие треугольники равны.
4) Треугольник со сторонами 8, 9, 10 существует.
24
1 Геометрия. Повторяем треугольники
Задача 1.92. ГИА2012 Укажите номера верных утверждений:
1) В равнобедренном треугольнике есть равные углы.
2) В треугольнике со сторонами 3, 3 и 3 есть тупой угол.
3) Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум
сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.
4) Треугольник со сторонами 1, 2, 3 существует.
II
Задача 1.93. ГИА2012 Докажите, что медиана, проведённая к основанию равнобедренного
треугольника, перпендикулярна его основанию.
Задача 1.94. Отрезок EF точками K и L делится на три равные части. Вне отрезка EF по
разные стороны от прямой EF взяты точки A и B так, что AE = BF и AL = BK. Известно,
что угол AEL в m раз больше угла KF B. Найдите m.
Задача 1.95. В треугольниках DEF и M N P EF = N P , DF = M P и ∠F = ∠P . Биссектрисы углов E и D пересекаются в точке O, а биссектрисы углов M и N — в точке K. Докажите,
что ∠DOE = ∠M KN .
Задача 1.96. На рисунке 1.15 AB = CD, AC = BD, BF — биссектриса угла ABD, а CE —
биссектриса угла ACD. Докажите, что:
а) ∠ABF = ∠DCE;
б) △ABF = △DCE.
C
D
C
D
F
O
E
A
B
A
Рис. 1.14: К задаче 1.90
B
Рис. 1.15: К задаче 1.96
Задача 1.97. Если дана точка O и точки A и B, то говорят, что отрезок AB виден из точки
O под углом AOB. Докажите, что в окружности равные хорды видны из центра под равными
углами.
III
Задача 1.98. Докажите, что середины равных хорд окружности расположены на окружности с тем же центром.
Задача 1.99. По разные стороны от прямой a стоят точки A и B. Из них опущены перпендикуляры AC и BD на прямую a. Известно, что AC = BD. Отрезок AB пересекает прямую a в
точке O. Через точку O проведена прямая, перпендикулярная прямой a, которая пересекает
отрезки AD и BC в точках K и L соответственно. Докажите, что OK = OL.
Университет Иннополис
25
Задача 1.100. Разрежьте квадрат 13 × 13 на пять прямоугольников так, чтобы все десять
чисел, выражающие стороны прямоугольников, были бы различными целыми числами.
Задача 1.101. Куб со стороной 1 дм распилили на кубики со стороной 1 см. Получившиеся
кубики выложили в ряд. Чему равна длина ряда?