Многочлены и матрицы. Многочлены от нескольких переменных

Тема 1-11: Многочлены и матрицы.
Многочлены от нескольких переменных
А. Я. Овсянников
Уральский федеральный университет
Институт математики и компьютерных наук
кафедра алгебры и дискретной математики
алгебра и геометрия для механиков (1 семестр)
А. Я. Овсянников
Тема 1-11: Многочлены и матрицы. Многочлены от нескольких п
Многочлены над кольцом матриц
В теме 1-9 было определено понятие кольца многочленов над полем.
Точно так же можно определить кольцо многочленов K [x] над кольцом K ,
называемым кольцом коэффициентов. Свойства кольца многочленов K [x]
зависят от свойств кольца коэффициентов K . Рекомендуется проверить,
что если если K является или коммутативным, или ассоциативным
кольцом, или кольцом с единицей, или кольцом без делителей нуля, то
соответствующим свойством обладает и кольцо K [x].
Пусть F – поле, n – натуральное число. Рассмотрим кольцо многочленов
F n×n [x] над кольцом квадратных матриц F n×n . Элементы этого кольца
можно рассматривать и как матрицы, состоящие из многочленов, т.е.
элементы
матриц F [x]n×n . Пусть A0 + A1 x + . . . + Am x m ∈ F n×n [x]
кольца
(s)
и As = αij
для s = 1, . . . , m. Тогда по правилам действий над
матрицами получаем A0 + A1 x + . . . + Am x m = G , где G = (gij ) ∈ F [x]n×n ,
(0)
(1)
(1)
и многочлены gij = αij + αij x + . . . + αij x m для всех i, j = 1, . . . , n. При
этом действия над одними и теми же многочленами по правилам
умножения многочленов и умножения матриц приводят к одинаковым
результатам.
А. Я. Овсянников
Тема 1-11: Многочлены и матрицы. Многочлены от нескольких п
Пример
Рассмотрим пример записи многочлена из F 3×3 [x] в виде матрицы из
F [x]3×3 .




 
1 0 1
1 2
3
3
0 1
 0 5 −1  +  2
1 0  x +  0 1 0  x2 =
1 0 1
6 0
1
−1 1 5


1 + 3x + x 2
2
3 + x + x2
.
2x
5 + x + x2
−1
=
2
2
6−x +x
x
1 + 5x + x
А. Я. Овсянников
Тема 1-11: Многочлены и матрицы. Многочлены от нескольких п
Характеристический многочлен
Пусть F – поле, A ∈ F n×n .
Определения
Характеристической матрицей матрицы A называется матрица A − xEn .
Характеристическим многочленом матрицы A называется многочлен
|A − xEn| – определитель характеристической матрицы A − xEn .
Обозначение: χA (x).
В развернутом виде характеристический многочлен матрицы A = (αij )n×n
имеет вид
α11 − x
α12
...
α1n
α21
α
−
x
.
.
.
α
22
2n
.
χA (x) = ...
...
...
...
αn1
αn2
. . . αnn − x Вспоминая определение определителя порядка n (сл.6 т.1-7), получаем,
что
χA (x) = |A| + . . . + (−1)n−1 (α11 + α22 + . . . + αnn )x n−1 + (−1)n x n ,
поскольку χA (0) = |A| и члены, содержащие x n , x n−1 , могут получиться
только из произведения (α11 − x)(α22 − x) . . . (αnn − x). В частности,
α11 − x
α12
= α11 α22 − (α11 + α22 )x + x 2 .
α21
α22 − x А. Я. Овсянников
Тема 1-11: Многочлены и матрицы. Многочлены от нескольких п
Теорема Гамильтона-Кэли
Пусть F – поле, A ∈ F n×n , f ∈ F [x].
Определение
Будем говорить, что многочлен f аннулирует матрицу A, если f (A) = O.
Теорема
Для любой матрицы A ∈ F n×n ее характеристический многочлен χA (x)
аннулирует A.
Доказательство. Запишем присоединенную матрицу (A − xEn )∼ (см. сл.37
т.1-7) к характеристической матрице A − xEn в виде матричного многочлена (так как при этом каждое алгебраическое дополнение получается из
определителя порядка n − 1 и имеет степень по x не выше n − 1,
указанный многочлен также имеет степень не выше n − 1):
(A − xEn )∼ = B0 + B1 x + . . . + Bn−1 x n−1 , где B0 , B1 , . . . , Bn−1 ∈ F n×n . Пусть
χA (x) = γ0 + γ1 x + . . . + γn x n . Так как (A − xEn )∼ · (A − xEn ) = |A − xEn |En ,
имеем γ0 En + γ1 xEn + . . . + γn x n En = (B0 + B1 x + . . . + Bn−1 x n−1 )(A − xEn ).
Раскрывая скобки и приравнивая матрицы-коэффициенты при одинаковых
степенях x, получаем цепочку равенств, приведенную на следующем
слайде (слева от каждого равенства записана соответствующая степень x).
А. Я. Овсянников
Тема 1-11: Многочлены и матрицы. Многочлены от нескольких п
Окончание доказательства теоремы Гамильтона-Кэли
x0
B0 A = γ0 En
x1
B1 A − B0 = γ1 En
A
x2
B2 A − B1 = γ2 En
A2
...
...
...
xk
Bk A − Bk−1 = γk En
Ak
...
...
...
x n−1 Bn−1 A − Bn−2 = γn−1 En An−1
xn
−Bn−1 = γn En
An
Умножим каждое равенство, начиная со второго, справа на
соответствующую степень матрицы A (эти степени записаны справа от
каждого равенства) и сложим все равенства. Все слагаемые слева взаимно
уничтожатся, а справа получится значение χA (A). Теорема доказана.
В силу теоремы Гамильтона-Кэли для любой матрицы A ∈ F n×n
существует многочлен степени n, аннулирующий ее. Ясно, что существует
ненулевой многочлен наименьшей степени, аннулирующий A. Назовем
такие многочлены минимальными аннулирующими для матрицы A.
А. Я. Овсянников
Тема 1-11: Многочлены и матрицы. Многочлены от нескольких п
Минимальный многочлен матрицы
Предложение
Пусть A ∈ F n×n , m(x) – минимальный аннулирующий многочлен для A,
f (x) – произвольный многочлен, аннулирующий A. Тогда m(x) делит f (x).
Доказательство. По определению минимального аннулирующего
многочлена имеем deg(m) ≤ deg(f ). Разделим f на m с остатком:
f (x) = q(x)m(x) + r (x) (см. сл.6 т.1-9). От противного, предположим, что
r (x) 6= 0. Тогда deg(r ) < deg(m). Из равенства f (x) = q(x)m(x) + r (x)
получаем f (A) = q(A)m(A) + r (A). Так как f (A) = O и m(A) = O,
заключаем, что и r (A) = O. Это противоречит выбору многочлена m(x).
Предложение доказано.
Из предложения следует, что любые два минимальные аннулирующие
многочлены одной и той же матрицы ассоциированы.
Определение
Минимальным многочленом квадратной матрицы A называется ее
минимальный аннулирующий многочлен со старшим коэффициентом 1.
Обозначение: µA (x).
А. Я. Овсянников
Тема 1-11: Многочлены и матрицы. Многочлены от нескольких п
Примеры минимальных многочленов
Предлагается проверить следующие утверждения.
1
Минимальный многочлен скалярной матрицы λEn есть µλEn = x − λ.
2
Минимальный многочлен квадратной матрицы порядка 2, не
являющейся скалярной, равен ее характеристическому многочлену.

λ
0
0 ... 0
0
 1
λ
0 ... 0
0

 0
1
λ
.
.
.
0
0
Минимальный многочлен матрицы 
 ... ... ... ... ... ...

 0
0
0 ... λ
0
0
0
0 ... 1
λ
порядка n есть (x − λ)n – многочлен, ассоциированный с ее
характеристическим многочленом.
3
А. Я. Овсянников








Тема 1-11: Многочлены и матрицы. Многочлены от нескольких п
Построение кольца многочленов от нескольких переменных
Пусть F – поле. Положим K1 = F [x1 ] – кольцо многочленов от переменной
x1 и K2 = K1 [x2 ], где x2 – независимая переменная,
отличная от x1 . Любой
P
j
многочлен из K2 можно записать в виде m
j=0 fj (x1 )x2 =
Pk Pm
P
= i =0 j=0 αij x1i x2j , где fj (x1 ) = ki=0 αij x1i . Положим F [x1 , x2 ] = K2 .
Продолжая по индукции, получим F [x1 , x2 , . . . , xn ] = F [x1 , x2 , . . . , xn−1 ][xn ].
Определение
Кольцо F [x1 , x2 , . . . , xn ] называется кольцом многочленов над полем F от
(коммутирующих) переменных x1 , x2 , . . . , xn .
Любой элемент кольца F [x1 , x2 , . . . , xn ] является суммой конечного числа
одночленов вида αx1s1 x2s2 . . . xnsn , где α ∈ F , s1 , s2 , . . . , sn – неотрицательные
s1 s2
0
sn
целые числа,
Pиn xj = 1. При α 6= 0 степенью одночлена αx1 x2 . . . xn
называется j=1 sj .
Так как кольцо многочленов от одной переменной над кольцом без
делителей нуля само является кольцом без делителей нуля, справедливо
следующее
Наблюдение
Кольцо F [x1 , x2 , . . . , xn ] не содержит делителей нуля.
А. Я. Овсянников
Тема 1-11: Многочлены и матрицы. Многочлены от нескольких п
Лексикографический порядок
Определение
Говорят, что одночлен αx1s1 x2s2 . . . xnsn ниже одночлена βx1t1 x2s2 . . . xntn , если
α, β 6= 0 и либо s1 < t1 , либо существует индекс m, 1 ≤ m ≤ n − 1 такой
что sj = tj при j = 1, . . . , m и sj+1 < tj+1 . Обозначение:
αx1s1 x2s2 . . . xnsn ≺ βx1t1 x2s2 . . . xntn .
Бинарное отношение ≺ называется лексикографическим порядком на
множестве ненулевых одночленов кольца F [x1 , x2 , . . . , xn ].
Любой ненулевой многочлен этого кольца имеет высший член – такой
одночлен, что все остальные ненулевые одночлены, входящие в данный
многочлен, ниже его. Например, многочлен x12 x3 + x1 x210 + x220 x3100 имеет
высший член x12 x3 .
А. Я. Овсянников
Тема 1-11: Многочлены и матрицы. Многочлены от нескольких п
Лемма о высшем члене произведения
Лемма
Высший член произведения двух ненулевых многочленов кольца
F [x1 , x2 , . . . , xn ] равен произведению их высших членов.
Доказательство. Пусть αx1s1 x2s2 . . . xnsn – высший член многочлена f ,
γx1p1 x2s2 . . . xnpn – другой его ненулевой одночлен (если такой существует),
βx1t1 x2s2 . . . xntn – высший член многочлена g , δx1q1 x2s2 . . . xnqn – другой его
ненулевой одночлен (если такой существует). Докажем, что
αδx1s1 +q1 x2s2 +q2 . . . xnsn +qn ≺ αβx1s1 +t1 x2s2 +t2 . . . xnsn +tn . Это очевидно, если
q1 < t1 . Пусть qj = tj при j = 1, . . . , m и qm+1 < tm+1 . Тогда
sj + qj = sj + tj при j = 1, . . . , m и sm+1 + qm+1 < sm+1 + tm+1 , что и
требуется доказать. Аналогично доказывается, что
βγx1p1 +t1 x2p2 +t2 . . . xnpn +tn ≺ αβx1s1 +t1 x2s2 +t2 . . . xnsn +tn .
Докажем, что γδx1p1 +q1 x2p2 +q2 . . . xnpn +qn ≺ αβx1s1 +t1 x2s2 . . . xnsn +tn . Это
очевидно, если p1 < s1 или q1 < t1 . Пусть pj = sj при j = 1, . . . , m,
pm+1 < sm+1 и qj = tj при j = 1, . . . , `, q`+1 < t`+1 . Пусть k – наименьшее
из чисел m, `. Тогда ясно, что pj + qj = sj + tj при j = 1, . . . , k и
pk+1 + qk+1 < sk+1 + tk+1 . Лемма доказана.
А. Я. Овсянников
Тема 1-11: Многочлены и матрицы. Многочлены от нескольких п
Симметрические многочлены
Пусть f (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ F [x1 , x2 , . . . , xn ], σ – подстановка на множестве
{1, 2, . . . , n}. Обозначим через fσ многочлен f (xσ(1) , xσ(2) , . . . , xσ(n) ),
полученный из многочлена f (x1 , x2 , . . . , xn ) заменой переменных
x1 , x2 , . . . , xn переменными xσ(1) , xσ(2)
если
, . . . , xσ(n) . Например,
1 2 3
2
2
f (x1 , x2 , x3 ) = x1 x2 + 2x1 x2 x3 и σ =
, то fσ = x1 x32 + 2x12 x2 x3 .
3 1 2
Определение
Многочлен f (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ F [x1 , x2 , . . . , xn ] называется симметрическим,
если для любой подстановки σ на множестве {1, 2, . . . , n} имеет место
равенство fσ = f .
Из определения сразу следует
Наблюдение
Высший член любого симметрического многочлена f (x1 , x2 , . . . , xn ) имеет
вид αx1k1 x2k2 . . . xnkn , где k1 ≥ k2 ≥ . . . ≥ kn .
Каждый одночлен αx1k1 x2k2 . . . xnkn , где k1 P
≥ k2 ≥ . . . ≥ kn , порождает
однородный симметрический многочлен σ∈Sn (αx1k1 x2k2 . . . xnkn )σ .
А. Я. Овсянников
Тема 1-11: Многочлены и матрицы. Многочлены от нескольких п
Элементарные симметрические многочлены
Определение
Следующие симметрические многочленыPот n переменных называются
элементарными:
s1 = x1 + . . . + xn , s2 = 1≤j<k≤n xj xk , . . . ,
P
sm = 1≤j1 <...<jm ≤n xj1 . . . xjm , . . . , sn = x1 . . . xn .
Например, s1 (x, x2 , x3 , x4 ) = x1 + x2 + x3 + x4 ,
s2 (x, x2 , x3 , x4 ) = x1 x2 + x1 x3 + x1 x4 + x2 x3 + x2 x4 + x3 x4 ,
s3 (x, x2 , x3 , x4 ) = x1 x2 x3 + x1 x2 x4 + x1 x3 x4 + x2 x3 x4 ,
s4 (x, x2 , x3 , x4 ) = x1 x2 x3 x4 .
Теорема
Для любого ненулевого симметрического многочлена f (x1 , . . . , xn )
существует единственный многочлен g (y1 , . . . , yn ) такой что
f (x1 , . . . , xn ) = g (s1 (x1 , . . . , xn ), . . . , sn (x1 , . . . , xn )).
Доказательство. Пусть αx1k1 x2k2 . . . xnkn – высший член симметрического
многочлена f (x1 , . . . , xn ). Учитывая, что k1 ≥ k2 ≥ . . . ≥ kn , определим
kn−1 −kn kn
многочлен g1 (y1 , . . . , yn ) = αy1k1 −k2 . . . yn−1
yn , где нулевая степень
r
переменной равна 1. Легко понять, что высший член многочлена sm
равен
r
r
x1 . . . xm , поэтому согласно лемме сл.11 высший член g1 (s1 , . . . , sn ) равен
αx1k1 −k2 (x1 x2 )k2 −k3 . . . (x1 . . . xn−1 )kn−1 −kn (x1 . . . xn )kn = αx1k1 x2k2 . . . xnkn .
А. Я. Овсянников
Тема 1-11: Многочлены и матрицы. Многочлены от нескольких п
Окончание доказательства теоремы
Следовательно, многочлен f1 (x1 , . . . , xn ) = f (x1 , . . . , xn )−
−g1 (s1 (x1 , . . . , xn ), . . . , sn (x1 , . . . , xn )) имеет высший член ниже
αx1k1 x2k2 . . . xnkn . Применяя к его высшему члену те же рассуждения,
получаем одночлен g2 (y1 , . . . , yn ) такой, что
f1 (x1 , . . . , xn ) − g2 (s1 (x1 , . . . , xn ), . . . , sn (x1 , . . . , xn )) имеет высший член
ниже высшего члена f1 (x1 , . . . , xn ). Так как существует лишь конечное
число одночленов вида βx1`1 x2`2 . . . xn`n со свойством `1 ≥ `2 ≥ . . . ≥ `n ,
которые ниже αx1k1 x2k2 . . . xnkn , через конечное число шагов многочлен
g (y1 , . . . , yn ) будет построен.
Установим единственность. Предположим, что существуют различные
многочлены g (y1 , . . . , yn ) и h(y1 , . . . , yn ) такие, что
g (s1 (x1 , . . . , xn ), . . . , sn (x1 , . . . , xn )) = h(s1 (x1 , . . . , xn ), . . . , sn (x1 , . . . , xn )).
Тогда (g − h)(s1 (x1 , . . . , xn ), . . . , sn (x1 , . . . , xn )) = 0 и g − h 6= 0. Для
одночлена γy1r1 . . . ynrn высший член симметрического многочлена
γs1r1 . . . snrn имеет вид x1r1 (x1 x2 )r2 . . . (x1 . . . xn−1 )rn−1 (x1 . . . xn )rn =
= x1r1 +...+rn x2r2 +...+rn . . . xnrn . По этому одночлену степени переменных
одночлена γy1r1 . . . ynrn определяются однозначно. Выберем среди
одночленов многочлена g − h такой одночлен p, у которого высший член q
соответствующего симметрического многочлена выше высших членов
симметрических многочленов для остальных одночленов. Тогда q не
может взаимно уничтожиться при замене ym на sm в g − h. Получаем
противоречие. Теорема полностью доказана.
А. Я. Овсянников
Тема 1-11: Многочлены и матрицы. Многочлены от нескольких п
Метод неопределенных коэффициентов
P
Выразить симметрический многочлен f (x1 , x2 , x3 ) = σ∈S3 (x14 x22 x3 )σ +
P
+ σ∈S3 (x13 x22 )σ через элементарные симметрические многочлены.
Применим метод неопределенных коэффициентов. Запишем возможные
распределения показателей при x1 , x2 , x3 высших членов симметрических
многочленов, которые ниже x14 x22 x3 (соотв. ниже x13 x22 ):
x1 x2 x3
x1 x2 x3
4
2
1 s12 s2 s3 3
2
0 s1 s22
3
3
1
s22 s3
3
1
1 s12 s3
2
3
2
2
s s
2
2
1 s2 s3
P1 3
P
Положим f1 = σ∈S3 (x14 x22 x3 )σ и f2 = σ∈S3 (x13 x22 )σ . Тогда f1 = s12 s2 s3 +
+αs22 s3 + βs1 s32 и f2 = s1 s22 + γs12 s3 + δs2 s3 . Для определения α, β, γ, δ
придадим x1 , x2 , x3 конкретные значения и вычислим соответствующие
значения f1 , f2 , s1 , s2 , s3 . Получим уравнения относительно α, β, γ, δ.
x1
x2 x3 f1 f2 s1
s2
s3
1
1
1 6 6 3
3
1 6 = 27 + 9α + 3β 6 = 27 + 9γ + 3δ
1 −1
1 2 2 1 −1 −1
2=1−α+β
2 = −γ + δ
Решая системы уравнений, получаем α = −2, β = −1, γ = − 47 , δ = − 14 .
Таким образом, f (x1 , x2 , x3 ) = g (s1 , s2 , s3 ), где g (y1 , y2 , y3 ) = y12 y2 − 2y2 y3 −
−y1 y32 + y1 y22 − 47 y12 y3 − 14 y2 y3 = y12 y2 − 47 y12 y3 + y1 y22 − y1 y32 − 49 y2 y3 .
А. Я. Овсянников
Тема 1-11: Многочлены и матрицы. Многочлены от нескольких п
Обобщенная теорема Виета
Рассмотрим многочлен (y − x1 )(y − x2 ) . . . (y − xn ) от переменных
y , x1 , . . . , xn . Раскрывая скобки и записывая полученный многочлен как
элемент из K [x1 , . . . , xn ][y ] и принимая во внимание, что y n−k получается,
когда из некоторых n − k скобок берется y , а из оставшихся k скобок –
−xj , приходим к формуле
(y − x1 )(y − x2 ) . . . (y − xn ) = y n − s1 (x1 , . . . , xn )y n−1 + s2 (x1 , . . . , xn )y n−2 +
+ . . . + (−1)k sk (x1 , . . . , xn )y n−k . . . + (−1)n sn (x1 , . . . , xn ),
(1)
где sk (x1 , . . . , xn ) – элементарный симметрический многочлен (см. сл.13).
Теорема
Пусть f (x) ∈ C[x], f (x) = a0 + a1 x + . . . + an x n , an 6= 0, и λ1 , . . . , λn – все
корни многочлена f (x) с учетом кратности. Тогда для k = 1, . . . , n
a
.
справедливо равенство sk (λ1 , . . . , λn ) = (−1)k n−k
an
Для доказательства достаточно записать неприводимое разложение
f (x) = an (x − λ1 )(x − λ2 ) . . . (x − λn ) и сравнить с формулой (1).
При n = 2 получается известная из школьного курса математики теорема
Виета для корней квадратного уравнения.
А. Я. Овсянников
Тема 1-11: Многочлены и матрицы. Многочлены от нескольких п
Вычисление значений симметрического многочлена от корней
многочлена
Обобщенная теорема Виета вместе с теоремой сл.13 позволяет вычислять
значения симметрического многочлена от n переменных от всех
комплексных корней многочлена n-й степени из C[x], не вычисляя эти
корни. Рассмотрим пример.
Найти значение симметрического многочлена f (x1 , x2 , x3 ), указанного на
сл.15, от комплексных корней λ1 , λ2 , λ3 многочлена
h(x) = 4x 3 + 8x 2 + 5x + 7.
Вычислим с помощью теоремы сл.16 значения элементарных
симметрических многочленов s1 (λ1 , λ2 , λ3 ) = −2, s2 (λ1 , λ2 , λ3 ) = 45 ,
s3 (λ1 , λ2 , λ3 ) = − 74 . Представим f (x1 , x2 , x3 ) в виде многочлена от
элементарных симметрических многочленов, используя результаты сл.15:
f (x1 , x2 , x3 ) = g (s1 , s2 , s3 ), где g (y1 , y2 , y3 ) = y12 y2 − 47 y12 y3 + y1 y22 − y1 y32 −
.
− 94 y2 y3 . Следовательно, f (x1 , x2 , x3 ) = g (−2, 54 , − 47 ) = 25 11
64
Заметим, что если коэффициенты многочлена h(x) и симметрического
многочлена f (x1 , . . . , xn ) принадлежат числовому полю F , то и значения
элементарных симметрических многочленов sk (x1 , . . . , xn ) от всех корней
h, и коэффициенты многочлена, посредством которого f выражается
через sk , также принадлежат полю F , и потому значение f (x1 , . . . , xn ) от
всех корней h принадлежит полю F .
А. Я. Овсянников
Тема 1-11: Многочлены и матрицы. Многочлены от нескольких п