Проверка основного закона динамики вращательного движения

Индивидуальные задания
1. На какое расстояние надо передвинуть каждый груз, чтобы уменьшить
момент инерции всей установки в 2 раза?
2. На горизонтальную ось насажен маховик и шкив радиуса R =5 см
пренебрежимо малой массы. На шкив намотан шнур, к концу которого подвешен
груз m = 0,4 кг. Опускаясь равноускоренно, груз прошёл путь S = 1,8 м за время
t = 3 с. Определить момент инерции маховика.
Ответ: 0,0235 кг·м2 .
3. Вычислите угловое ускорение и вращающий момент в задаче №2, пользуясь
значением момента инерции маховика, указанным в ответе?
Ответ: 8 рад/с2; 0,188 Н·м.
4. Грузы массой 200 г каждый находятся на крестовине в 20 см от оси
вращения. Чему равен момент инерции установки, если пренебречь массой
крестовины?
Ответ: 0,032 кг·м2.
5. Вычислите момент силы трения, если установка приходит во вращение под
действием груза не менее 100 г со шкивом радиусом 2 см.
Ответ: 0,196 Н·м.
6. К ободу однородного диска радиусом R = 0,2 м приложена постоянная
касательная сила F = 98,1 Н. При вращении на диск действует момент сил
трения Mтр = 0,5 Н⋅м. Найти вес Р диска, если известно, что диск вращается с
постоянным угловым ускорением ε = 100 рад / c 2 .
Ответ: 93,6 Н.
7. На вал массой m1 = 20 кг. Намотана нить, к концу которой привязали груз
массой m2 = 1 кг. Определить ускорение груза, опускающегося под действием
силы тяжести. Трением пренебречь.
Ответ: a=0.89 м /с2.
8. Тело из состояния покоя приводится во вращение вокруг горизонтальной оси
с помощью падающего груза, соединенного со шнуром, предварительно
намотанным на ось. Определить момент инерции тела, если груз массой m=2 кг
в течение t = 12 с опускается на расстояние h = 1 м. Радиус оси r = 8 мм. Силой
трения пренебречь.
Ответ: I=0.09 кг ⋅ м 2 .
МИНОБРНАУКИ РОССИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Ухтинский государственный технический университет»
(УГТУ)
3
Проверка основного закона
динамики вращательного движения
на маятнике Обербека
Методические указания к лабораторной работе
Библиографический список
Трофимова. Т. И. Механика твёрдого тела / Т. И. Трофимова // Курс физики :
учеб. – М., 2000. – Гл. 4., § 16-18; С. 34-38.
12
Ухта
2012
УДК 53 (075)
Л 24
ББК 22.3 Я7
1
2
Таблица 1
3
4
5
6
Jкр
Таблица 2
Jгр
Jтеоретич
Jэксперим
E(%)
m
r
Лапина, Л. Н. Проверка основного закона динамики вращательного движения на
маятнике Обербека : метод. указания к лабораторной работе / Л. Н. Лапина. –
Ухта : УГТУ, 2012. – 12 с.; ил.
h
1
t
2
3
Методические указания предназначены для выполнения лабораторной работы
по физике по теме «Физика твёрдого тела» для студентов всех направлений
дневной и заочной формы обучения.
tср
a
M
ε
Методические указания рассмотрены и одобрены кафедрой физики от 26.04.12,
пр. №3.
Рецензент:
Н. А. Северова, доцент кафедры физики
Ухтинского государственного технического университета
Редактор:
В. Н. Шамбулина, доцент кафедры физики
Ухтинского государственного технического университета
В методических указаниях учтены предложения рецензента и редактора.
План 2012 г., позиция 71.
Подписано в печать 29.06.2012 г.
Компьютерный набор.
Объем 12 с. Тираж 100 экз. Заказ №265.
©
Ухтинский государственный технический университет, 2012
169300, г. Ухта, ул. Первомайская, 13.
Типография УГТУ.
169300, г. Ухта, ул. Октябрьская, 13.
m1
M
Контрольные вопросы
1. Сформулируйте основной закон динамики вращательного движения.
2. Что называется моментом инерции материальной точки? твёрдого тела?
3. Что характеризует момент инерции? В каких единицах измеряется?
4. Что называется вращающим моментом? В каких единицах он измеряется?
5. Как находится Jmеоретич?
6. Каким образом можно уменьшить момент инерции маятника Обербека?
7. Что называется моментом импульса тела? В чем он измеряется?
8. Вывести расчетную формулу для вращающего момента М.
9. Как влияет момент инерции на величину углового ускорения вращающегося
тела?
10. Что называется угловой скоростью, угловым ускорением?
11. Как изменится момент инерции маятника Обербека, если грузы передвинуть
ближе к оси вращения, дальше от оси вращения?
11
Выполнение работы
Приборы и принадлежности: маятник Обербека, секундомер, набор грузов,
линейка.
1. Установите грузы на крестовине на одинаковых расстояниях R (по
указанию преподавателя) от оси вращения и добейтесь безразличного
равновесия крестовины. Для удобства работы нить с чашкой следует снять со
шкива.
2. У преподавателя выясните и запишите высоту h опускания груза и
радиус r шкива.
3. Запишите в таблицу массы грузов, с которыми предстоит выполнять
работу. Масса груза m складывается из массы чашки и положенного в нее
разновеска. Масса чашки указана на установке.
4. Намотайте на шкив вращением маятника нить и измерьте три раза время
опускания груза с высоты h. Найдите среднее значение времени.
5. Увеличивая массу груза m, проведите еще несколько опытов. Результаты
измерений запишите в таблицу 1.
6. По результатам измерений вычислите вращающие моменты M1, M2, М3 и
соответствующие им значения ε1, ε2, ε3 … Постройте график зависимости
углового ускорения от вращающего момента.
7. Пользуясь графиком, определите момент сил трения и вычислите по
формуле (14) момент инерции маятника Jэ (экспериментальный).
8. Вычислите теоретическое значение момента инерции маятника Jт и
сравните с экспериментальным, для чего найдите их относительное
расхождение.
Относительное расхождение находится по формуле:
Е=
Jт − Jэ
Jт
100% .
ПРОВЕРКА ОСНОВНОГО ЗАКОНА ДИНАМИКИ
ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ НА МАЯТНИКЕ ОБЕРБЕКА
Цель работы: Экспериментальная проверка прямой пропорциональной
зависимости между моментом внешних сил и угловым
ускорением при неизменном моменте инерции маятника
Обербека.
Краткая теория
Пусть твердое тело произвольной формы вращается под действием силы
F* вокруг неподвижной оси OO′ (рис. 1) . Тогда все его точки описывают
окружности с центрами на этой оси. Понятно, что все точки тела имеют
одинаковую угловую скорость и одинаковое угловое ускорение (в данный
момент времени). Разложим действующую силу F* на три взаимно
составляющие:
F′
перпендикулярные
O′
(параллельную оси), F′′ (перпендикулярную оси
и лежащую на линии, проходящей через ось) и F
F′
(перпендикулярную F′ и F′′ ). Очевидно, что
F*
∆Fi
вращение тела вызывает только составляющая F,
r
F′′
являющаяся
касательной
к
окружности,
A
описываемой
точкой
приложения
силы.
Составляющие F′ и F′′ вращения не вызывают.
F
Назовем F вращающей силой. Как известно из
школьного курса физики, действие силы F
зависит не только от ее величины, но и от
расстояния точки ее приложения A до оси
O
вращения, т. е. зависит от момента силы.
Рис 1.
Моментом M вращающейся силы
(вращающим моментом) называется произведение вращающей силы F на
радиус окружности r, описываемый точкой приложения силы:
M = Fr .
Мысленно разобьем тело на очень малые частицы – элементарные массы.
Хотя сила F приложена к одной точке A тела, ее вращающее действие
10
3
передается всем частицам: к каждой элементарной массе будет приложена
элементарная вращающая сила ΔFi (см. рис. 1). Согласно второму закону
Ньютона:
ΔFi = Δmi ai ,
(1)
где ai – линейное ускорение, сообщаемое элементарной массе. Умножая обе
части этого равенства на радиус ri окружности, описываемой элементарной
массой, и вводя вместо линейного угловое ускорение ε, получим:
ΔFi ri = Δmi ri2ε .
Однако вместе с ε будет меняться и М, что затрудняет проверку
формулы (8). Учитывая эти затруднения проверку соотношения (8) можно
провести косвенно путем сравнения момента инерции маятника, определенного
из графика рис. 3 с моментом инерции маятника вычисленным теоретически.
Совпадение опытного и теоретического значений момента инерции маятника и
будет доказательством справедливости соотношения (8).
Из основного закона динамики вращательного движения
J=
где
Учитывая, что ΔFi r i= ΔMi – вращающий момент, приложенный к элементарной
массе, и обозначая:
Δmi ri2 = ΔJi ,
получим:
ΔMi = ΔJ iε ,
(2)
где ΔJi – момент инерции элементарной массы (элементарной точки).
Следовательно, момент инерции материальной точки относительно
некоторой оси вращения есть произведение массы материальной точки на
квадрат ее расстояния до этой оси.
Суммируя вращающие моменты ΔMi, приложенные ко всем
элементарным массам, составляющим тело, получим:
∑ΔM
i
= ε ∑ΔJ i ,
(3)
где ∑ ΔMi = M – вращающий момент, приложенный к телу, т. е. момент
вращающей силы, ∑ ΔJi = J – момент инерции тела. Следовательно, моментом
инерции тела называется сумма моментов инерции всех материальных точек,
составляющих тело.
4
M вр
ε
,
Mвр – вращательный момент. Т. к. Mвр = M - Mтр (рис. 3), то:
Jэ =
М −Мтр
ε
,
(14)
где M – момент силы, созданный опускающимся грузом массы m (любое
значение на графике, ε – угловое ускорение). Вычисленное по формуле (14)
значение момента инерции маятника будет экспериментальным.
Теоретически момент инерции маятника может быть найден как сумма
момента инерции крестовины и моментов инерции четырех грузов,
находящихся на крестовине. Если грузы расположены на одинаковых
расстояниях от оси вращения, то момент инерции системы равен:
J т = J кр + 4 J гр ,
где
(15)
Jкр – момент инерции крестовины (указан на установке);
Jгр – момент инерции одного груза, который можно вычислить по
формуле момента инерции материальной точки, т. е.
J гр = m1R 2 ,
где
R – расстояние от центра груза до оси вращения крестовины;
m1 – масса одного груза, находящегося на крестовине.
9
(16)
Вращающий момент с учетом (10) равен:
Теперь можно переписать формулу (3) в виде:
M = m ( g − a )r .
M = Jε .
(12)
Угловое ускорение ε связано с линейным ускорением a простым
соотношением:
a
ε = .
(13)
r
Формулы (12) и (13) являются расчетными для вычисления вращающего
момента M и углового ускорения ε. Работа сводится к нахождению времени
опускания разных грузов с некоторой высоты h.
По полученным данным строится график зависимости ε от M. Если
полученные точки ложатся на прямую (в пределах погрешностей измерений),
то полученная прямая доказывает соотношение (7).
Т. к. маятник вращается с некоторым трением, то полученная прямая не
пройдет через начало координат, а пересечет ось моментов в некоторой точке,
отсекая на ней момент, равный моменту сил трения. Общий вид графика
зависимости ε от M представлен на рис. 3.
Для изучения зависимости углового ускорения ε от момента инерции
системы J при постоянном вращающем моменте M можно было бы поступить
аналогично проверке соотношения (7).Создавая различные моменты инерции
системы J1, J2, J3, измерять соответствующие им угловые ускорения ε1, ε2, ε3
при постоянном вращающем моменте M, построить график зависимости ε от J.
Формула (4) выражает основной закон динамики вращения (второй
закон Ньютона для вращательного движения).
Момент вращающей силы, приложенной к телу, равен произведению
момента инерции тела на угловое ускорение.
Из формулы (4) видно, что угловое ускорение, сообщаемое телу
вращающим моментом, зависит от момента инерции тела: чем больше момент
инерции, тем меньше угловое ускорение. Следовательно, момент инерции
характеризует инерционные свойства тела при вращательном движении
подобно тому, как масса характеризует инерционные свойства тела при
поступательном движении. Однако в отличие от массы момент инерции
данного тела может иметь множество значений в соответствии с множеством
возможных осей вращения. Поэтому, говоря о моменте инерции твердого тела,
необходимо указывать, относительно какой оси он рассчитывается. На
практике обычно приходится иметь дело с моментами инерции относительно
осей симметрии тела.
Из формулы (2) следует, что единицей измерения момента инерции
является килограмм × квадратный метр (кг·м2).
Если вращающий момент M = const и момент инерции тела J = const, то
формулу (4) можно представить в виде:
M =J
ε
М
Мтр
Рис. 3
8
(4)
ω − ω0
или MΔt = Jω − Jω0 ,
Δt
(5)
где ∆t – промежуток времени в течение, которого угловая скорость вращения
изменяется от ω0 до ω. Произведение M Δ t (аналогичное импульсу силы F Δ t)
называется импульсом момента силы, произведение Jω (аналогичное
импульсу тела mυ) называется моментом импульса тела.
Формула (5) выражает основной закон динамики вращения через момент
импульса тела.
Изменение момента импульса тела за некоторый промежуток
времени равно импульсу момента силы за тот же промежуток времени.
5
В общем случае (M ≠ const) основной закон динамики вращательного
движения имеет вид:
Mdt= d(Jω) .
(5а)
Описание установки и вывод расчётной формулы
Проверка основного закона динамики вращательного движения
производится на приборе, представляющим из себя крестовину, вращающуюся
на горизонтальной оси (маятник Обербека). По стержням крестовины могут
перемещаться и закрепляться в нужном положении четыре груза одинаковой
массы. С крестовиной связан шкив радиуса r, на который можно наматывать
нить с грузом m. Груз массой m, падая с высоты h, разматывает нить и
приводит маятник во вращение (рис. 2). Конструкция прибора позволяет
изменять момент внешних сил и момент инерции системы. Момент внешних
сил изменяется с изменением массы подвешенного к нити груза или при
перенесении нити с одного шкива на другой. Момент инерции можно изменять,
перемещая грузы m0 по стержням крестовины. В данной работе момент
инерции маятника остается постоянным, а изменяют в процессе работы момент
внешних сил.
Под действием спускающегося груза маятник приходит в
равноускоренное вращательное движение. Формулу (4) можно переписать так:
ε =
Соотношение (6) показывает, что угловое ускорение ε :
1) прямо пропорционально вращающему моменту М при постоянном моменте
M
.
J
ε ∼M при J = const
(7)
инерции системы J;
2) обратно пропорционально моменту инерции системы J при постоянном
вращающем моменте М:
ε~
1
J
М=const
при
(8)
Для изучения зависимости углового ускорения ε от вращающего
момента M при постоянном моменте инерции системы J к маятнику
прикладываются различные вращающие моменты M1, M2, M3… и вычисляются
соответствующие угловые ускорения ε1, ε2, ε3…
По определению:
M = Tr ,
(9)
где
T – сила натяжения нити;
r – плечо этой силы (радиус шкива, на который намотана нить) (рис. 2б).
Т. к. груз т опускается с ускорением a, то сила натяжения нити T найдется из ІІ
закона Ньютона для груза т:
(6)
тg – Т = ma,
отсюда
r
T = m(g − a) .
m1
T
a)
b)
m
Рис. 2
6
(10)
Ускорение a, с которым спускается груз из состояния покоя, находится по
известному соотношению:
mg
a =
где
2h
,
t2
h – высота опускания груза;
t – время опускания.
7
(11)