The Global Positioning System (GPS) и инвариантность скорости света Vitali Sokolov, Gennadiy Sokolov gennadiy@vtmedicalstaffing.com На основании постулата инвариантности предполагается, что сигналы между спутниками и между спутником и объектами на Земле распространяются с одинаковой скоростью C , и поэтому расстояния в GPS определяются простым умножением скорости C на время t , за которое сигнал проходит эти расстояния. Ошибки измерения устраняются введением различных поправок. Ниже показано, что возникающие из-за эффекта Саньяка ошибки пренебрежимо мылы. Однако из-за того что атмосфера вращается вместе с Землёй, а орбиты спутников неподвижны относительно инерциальной системы, возникает второй эффект: движение атмосферы относительно орбит приводит к изменению скоростей сигналов GPS и к значительным ошибкам в определении расстояний,. Введение Второй постулат специальной теории относительности утверждает, что скорость света не зависит ни от движения источника света, ни от движения наблюдателя, измеряющего эту скорость, то есть в любой инерциальной системе скорость света одинакова во всех направлениях и в пустоте равна C 299792458 м/с. Спутники вращаются по орбитам, плоскости которых независимо от вращения Земли сохраняют ориентацию относительно инерциальной системы, связанной с удалёнными звёздами. Так как Земля вместе со своей атмосферой вращается относительно инерциальной системы и относительно орбит спутников, атмосфера движется относительно орбит спутников и относительно самих спутников. Относительно атмосферы электромагнитные сигналы во всех направлениях распространяются с одинаковой скоростью C n , практически равной C , и поэтому сигналы GPS в направлении с запада на восток идут относительно инерциальной системы с большей скоростью, чем сигналы, идущие с востока на запад. Прежде чем рассматривать распространение радио сигналов в системе GPS, проанализируем более простую ситуацию с распространением света во вращающемся стеклянном диске. Влияние вращающейся среды на скорость света Представим, что во вращающемся стеклянном диске импульсный источник S, когда он оказывается в точке A лаборатории, посылает сигнал в направлении к неподвижной относительно лаборатории точке B (Рис.1). Если диск не вращается, относительно диска и относительно лаборатории, которую мы приближённо рассматриваем как инерциальную систему отсчёта, фотоны идут со скоростью C n , последовательно проходят точки a1 , a2 , лежащие на прямой AB, и через время t0 nLAB C a3 , приходят в точку B. b1 b2 . A S . a1 . . a2 b3 a3 . B D O Рис.1 Когда диск вращается, фотоны первого волнового фронта переизлучаются движущимися атомами стекла и движутся относительно лаборатории во всех направлениях с разными скоростями. Но траектории всех первых фотонов остаются прямолинейными относительно инерциальной системы и пересекаются в той точке A лаборатории, в которой источник был в момент излучения. Очевидно, что относительно диска фотоны движутся по криволинейным траектриям. Точки стекла a1, a2, a3 движутся с разными скоростями и поэтому переизлученные атомами стекла фотоны движутся относительно лаборатории с разными скоростями a1-b1, a2-b2, a3-b3 , но их проекции на направление AB для всех точек (a1, a2, a3) одинаковые. Из точки A к точке B фотоны движутся относительно лаборатории с одинаковой скоростью C D n , величина которой зависит только от расстояния D от оси вращения диска до линии AB. Если источник находится в точке B и посылает импульс в направлении к точке A, фотоны из точки B к точке A движутся с меньшей скоростью, равной C D n .В результате, из точки A в точку B фотоны приходят раньше, чем из B в A. Так же, как и в оптическом диапазоне, радио сигнал в системе GPS относительно инерциальной системы идёт по прямой, соединяющей источник и приёмник. Так как сигналы идут во вращающейся вместе с Землёй атмосфере, возникает эффект Саньяка и сигналы относительно атмосферы идут по криволинейным траекториям. При постоянной скорости вращения сигнал идёт по дуге окружности радиуса C n и проходит расстояние, большее чем AB. Однако при 1 угловой скорости вращения Земли 7.27 5 c и n = 1 радиус окружности C n оказывается столь большим, что из-за эффекта Саньяка даже для расстояния порядка 30 000 км длина дуги оказывается всего лишь на 6 см длиннее хорды AB, То есть эффект Саньяка в системе GPS пренебрежимо мал. Время движения сигнала заметно увеличиваеся, если сигнал идёт, например, с Земли на Луну. Движение атмосферы относительно орбит спутников Независимо от орбитального движения и вращения Земли плоскости орбит спутников сохраняют постоянную ориентацию относительно инерциальной системы, связанной с неподвижными звёздами. Земля вместе с атмосферой вращается внутри сферы, образованной неподвижными орбитами спутников GPS. Атмосфера движется относительно орбит и относительно спутников подобно тому, как на Рис.1 атомы стекла движутся относительно точек лаборатории A и B, в результате чего изменяются скорости и времена прохождения сигналов GPS . В том случае, когда спутник вращается в плоскости, не совпадающей с плоскостью экватора, воздействие движущейся атмосферы приводит к непрерывному изменению скорости спутника и смещению плоскости орбиты. Из-за высокого разрежения атмосферы этот эффект очень мал и нам не известно, приводит ли он к заметному смещению орбит спутников GPS. Этот эффект отсутствует в геостационарных спутниках, где орбитальная скорость спутника совпадает со скоростью вращения атмосферы. В случае, когда спутник вращается в плоскости, близкой к плоскости экватора, движения атмосферы приводит к изменению скорости спутника и, возможно, является одной из причин векового ускорения Луны и смещения перигелия Меркурия. Однако в данной работе нас интересует влияние этого движения не на скорости спутников, а на скорости сигналов. Из-за движения атмосферы относительно орбит спутников сигналы со спутников идут с запада на восток быстрее, чем с востока на запад. Земля вращается внутри сферы диаметра 26500 км , образованной равномерно распределёнными на шести орбитах 24 спутниками GPS. Вращаясь вместе с Землёй, атмосфера движется относительно каждого спутника, оказавшегося в данный момент над экватором, со скоростью VA 2 26500 86400 = 1.9271 км/с. Так как орбиты GPS повёрнуты относительно экватора на 55 град., относительно спутников, оказавшихся в данный момент на максимальном расстоянии от экватора, атмосфера движется со скоростью 1.1 км/с . На расстоянии 20000 км от поверхности Земли в кубичском сантиметре атмосферы содержится в среднем 108 атомов. Эта разреженная атмосфера оказывает значительно меньшее влияние на траектории спутников GPS, чем на траектории и скорости спутников низких орбит. Но для процесса распространения света или радио сигнала такое уменьшение плотности атмосферы практически не существенно: в среде с расстояниями между атомами порядка 1 мм фотоны переизлучаются так же, как в атмосфере у поверхности Земли, только процесс переизлучения завершается на несколько больших расстояниях. После переизлучения фотоны движутся относительно среды со скоростью C C n . Среда движется относительно передатчика со скоростью VA , и сигналы проходят практически всё расстояние между орбитами передатчика и приёмника со скоростью C VA . Влияние движущейся атмосферы на скорости сигналов GPS Рассмотрим наиболее простые ситуации, когда два спутника S1 и S2 находятся над экватором или когда они находятся на одинаковых расстояниях от экватора и - обмениваются сигналами - сигналы от S1 к S2 и от S2 к S1, - посылают сигнал к приёмнику R на Земле - сигналы от S1 к R и от S2 к R ), - принимают сигналы с пунктов управления E - сигналы от E к S1 и от E к S2 ) . Основная информация: - орбиты спутников GPS неподвижны относительно инерциальной системы и . наклонены под углом 55o к экватору (линия "aa" на Рис.2), - орбитальная скорость спутников - V0 3.874 км/с, - атмосфера вместе с Землёй вращается относительно инерциальной системы . 2 и относительно орбит спутников с угловой скоростью T E . - 7.27 5 1/c , над экватором относительно каждого спутника атмосфера движется со скоростью VA 2 26500 86400 = 1.9271 км/с , скорость движения атмосферы относительно максимально удалённых от . экватора спутников V ACos55 = 1.1 км/с , - расстояния от спутников до оси вращения Земли - 26 500 км, - длина орбиты радиуса 26 500 км 2R = 166 504.41 км. 1. Сигналы между спутниками 1.1 Случай, когда спутники S1 и S2 движутся по разным орбитам и в данный момент находятся над экватором (Рис.2) : - расстояние между спутниками S1 и S2 равно 26 500 км ; орбитальные скорости VO направлены под углом 55o к направлению S1-S2. 5 VO S4 4 N VO S1 S2 3 a a VA VA S S3 2 1 Рис.2 a) Сначала предположим, что атмосфера не вращается вместе с Землёй. C C . Но n углом 55o к Относительно атмосферы сигналы идут с одинаковой скоростью так как спутники S1 и S2 движутся со скоростью V0 3.874 и под направлению S1-S2 , за время движения сигнала от S1 к S2 спутник S2 удаляется от S1, а за время движения сигнала от S2 к S1 спутник S1 приближается к S2. Поэтому время движения сигнала от S1 к S2 оказывается больше, чем от S2 к S1 : 26500 C 3.874Cos 55 26500 t2 C 3.874Cos55 t1 Разность времён = 0.088 395 140 404 452 480 018 426 795 065 77 с , = 0.088 393 830 060 280 261 065 577 727 538 39 с . t1 t 2 = 1.3103441722189528490675273775476e-6 с 1310 нс То есть, если предположить, что сигналы идут с одинаковой скоростью C C n , от спутника S1 к спутнику S2 сигнал приходит на 1310 наносекунд позже, чем от S2 к S1. b) Так как на самом деле атмосфера движется относительно спутников со скоростью V A = 1.9271 км/с , скорость сигнала от S1 к S2 увеличивается на 1.9271Cos30 , а скорость сигнала от S2 к S1 уменьшается на 1.9271Cos30 ( на Рис.3 угол между направлением скорости V A и направлением S2- S1 равен 30o ). Сигналы идут с разными скоростями: - от S1 к S2 сигнал идёт со скоростью C 1.9271Cos30 = 299794.12691755563299171617837092 км/с и к S2 приходит за время t1* L C 1.9271Cos30 3.874Cos55 = 0.0883946483157761313915833532583 с, на 492 наносекунды меньшее, чем ( t1 t * 1 t1 = 0.00000049208867634862684344180747 с ). - от S2 к S1 идёт со скоростью C 1.9271Cos30 = 299790.78908244436700828382162908 км/с и к S1 приходит за время t 2* L C 1.9271Cos30 3.874Cos55 = 0.08839432213984624998957992036819 с. на 492 наносекунды большее, чем t 2 ( t 2* t 2 = 0.0000004920795659889240021928298 S1 VA 30o S2 30o D с ). VA R O Рис.3. Разность времён t1* t 2* = 3.261759298814020034328901067812e-7 с 326 нс . Из-за того, что сигналы идут с запада на восток быстрее, чем с востока на запад, сигнал от спутника S1 к спутнику S2 идёт дольше на 326 нс, а не на 1310 нс, то есть разность времён уменьшается на 984 наносекунды. 1.2 Случай когда cпутники S3 и S24 движутся по одной орбите и в данный момент находятся на одинаковом расстоянии от экватора (Рис.2) : - расстояние между спутниками - 37500 км, угол между направлением S3-S4 и экватором - 55o , угол между S3-S4 и касательной к траектории движения спутника - 45o . a) Если предположить, что сигналы между спутниками идут с одинаковой скоростью C C n , - сигнал от спутника S3 приходит к S4 за время t34 - 37500 C V0 = 0.125 088 152 122 563 813 170 417 456 590 01 с, сигнал от спутника S4 приходит к S3 за время t 43 37500 C V0 = 0.125 084 919 317 825 409 551 708 591 284 57 с и разность времён нс. t34 t 43 = 3.2328047384036187088653054441835e-6 с 3233 b) Так как на самом деле атмосфера движется относительно спутников, скорости сигналов изменяются. Спутники S3 и S4 в данный момент находятся на расстоянии ( 37500 / 2 ) Cos35 = 15359 км от плоскости экватора. На таком расстоянии от экватора атмосфера движется относительно спутников GPS со скоростью 1.57 км/с . Проекция этой скорости на направление S3-S4 равна 1.57 Cos 55 Cos 45 = 0.637 км/с. Поэтому - сигнал от спутника S3 приходит к S4 за время * t34 37500 C 0.637 V0 = 0.125 087 886 331 977 226 092 461 810 026 19 с , на 266 наносекунд меньшее, чем t34 * ( t34 t34 = 0.00000026579058658707795564656382 с сигнал от спутника S4 приходит к S3 за время t ) * 43 37500 C 0.637 V0 Разность времён = 0.125 085 185 095 803 326 995 739 548 561 56 с, t * 34 t * 43 на 266 наносекунд большее, чем t 43 * t 43 = 0.000 000 265 77797791744403095727699 ( t 43 = 0.00000270123617389909672226146463 с 2701 нс с ) Из-за того, что сигналы идут с запада на восток быстрее, чем с востока на запад, сигнал от спутника S1 к спутнику S2 идёт дольше на 2701 нс, а не на 3233 нс, то есть разность времён уменьшается на 532 наносекунды. 2. Сигналы со спутников и приёмнику на Земле 2.1 Случай, когда cпутники S1, S2 и приёмник R находятся в плоскости экавтора и расстояние S1-R равно расстоянию S2-R (Рис.4) : - расстояние между спутниками S1 - S2 - 30730 км , расстояния S1-R и S2-R одинаковые и равны 21710 км, угол между направлениями S1-R и S2-R - 90o , угол между направлениями S1-R, S2-R и векторами скорости V A - 80.3o , расстояния от линий S1-R и S2-R до оси вращения Земли D = 4470 км . 1.927 км/с S2 * S2 S1 93.1o 80.3o S1 * 99.7 o 76.8o 1.927 км/с 0.458 км/с R O D 4 470 км Рис.4 a) Если не учитывать вращение Земли и предположить, что сигналы идут с одинаковой скоростью C C n , сигналы от спутников S1 и S2 приходят к приёмнику R за одинаковое время b) 21710 C = 0.0724 с и разности времён нет. Над экватором атмосфера движется относительно спутников со скоростью V A = 1.9271 км/с и изменяет скорости сигналов относительно инерциальной системы. Проекции этой скорости D V ACos80.3o на направления сигналов S1-R и S2-R равны 0.324 км/с и сигналы к приёмнику R идут с разными скоростями: спутника S1 со скоростью C 0.324 n и от спутника S2 со скоростью от C 0.324 n . Однако сигналы приходят к приёмнику R одновременно, так как приёмник на вращающейся Земле движется относительно инерциальной системы со скоростью 0.458 км/с и со скоростью 0.458Cos45o = 0.324 км/с удаляется от S1 и с такой же скоростью 0.458Cos45o = 0.324 км/с приближается к S2. Поэтому в данном случае движение атмосферы не приводит к изменению времён, и разность времён отсутствует. 2.2 Случай, когда cпутники S1* и S2* и приёмник R находятся в плоскости экавтора, но расстояние S1-R не равно расстоянию S2-R (Рис.4) : - спутники в положениях S1* и S2* , расстояние S1*- S2* = 30730 км, расстояния до спутников: S1* - R = 24100 км , S2* - R = 20340 км, угол между S1*-R и вектором скорости V A - 76.8o , S2*-R и вектором скорости V A - 93.1o , угол между S1* - R и вектором скорости 0.458 км/с - 16.12o , проекция на направление S1*-R - 0.458 Cos 16.12 = 0.44 км/с, угол между S2* - R и вектором скорости 0.458 км/с - 76.72o проекция на направление S2*-R - 0.458 Cos 76.72 = 0.1 км/с, a) Если не учитывать влияние движения атмосферы, сигналы идут с одинаковой скоростью C и приходят к приёмнику R за промежутки времени 24100 C 20340 C = 0.080 388 946 942 754 643 947 713 988 188 46 с , = 0.067 846 936 963 304 126 883 672 303 724 2 с. Разность времён равна 0.01254200997945051706404168446426 с. b) Из-за движения атмосферы относительно орбит спутников скорость сигнала от S1* увеличивается на 1.9271Cos 76.8o = 0.44 км/с . Но из-за вращения Земли приёмник R удаляется от спутника S1* со скоростью 0.458 Cos 16.12, также равной 0.44 км/ с , и поэтому сигнал приходит к приёмнику за то же самое время 24100 C = 0.08038894694275464394771398818846 с, как и при неподвижной атмосфере. Аналогично, из-за движения атмосферы сигнал от S2* идёт со скоростью, меньшей на 1.9271Cos93.1o = 0.1 км/с . Но так как приёмник R со скоростью 0.458 Cos 76.72 = 0.1 км/с приближается к спутнику S2* , сигнал приходит к приёмнику за то же самое время 20340 C = 0.0678469369633041268836723037242 с , как и при неподвижной атмосфере. То есть и в этом случае из-за движения атмосферы времёна и разность времён не изменяются. Таким образом, так как приёмник R движется с той же угловой скоростью 7.27 5 , что и атмосфера, движение атмосферы не оказывает влияния на времена передачи сигналов от любого спутника к приёмнику на Земле. 3. Сигналы с поверхности Земли к спутникам 3.1 Случай, когда cпутники S1, S2 и источник сигнала E находятся в плоскости экавтора и спутники оказываются на одинаковом расстоянии от источника (Рис.4) a) Так как спутники со скоростью V0 3.874 движутся по орбите, спутник S1 со скоростью 3.874Cos80.3 = 0.653 км/с приближается к E , а спутник S2 с такой же скоростью удаляется от E. Если предположить, что сигналы идут с одинаковой скоростью - , сигнал от E к спутнику S1 приходит за время t E S1 - C C n 21710 C 0.653 = 0.072 416 607 331 580 744 695 631 114 752 33 с , сигнал от E к спутнику S2 приходит за время t ES 2 21710 C 0.653 = 0.072 416 922 804 144 029 220 545 238 052 79 с. Разность времён t ES 2 t ES 1 = 0.000 000 315 472 563 284 524 914 123 300 46 с. То есть, если предположить, что сигналы идут с одинаковой скоростью , сигнал от источника E приходит к S1 на 315 наносекунд раньше, чем к S2 . b) Так как атмосфера движется относительно инерциальной системы со скоростью V A = 1.9271 км/с , скорость сигнала от источника E уменьшается на D VACos80.3o = 0.324 км/с в направлении к спутнику S1 и на столько же увеличивается в направлении к спутнику S2 . Сигнал от E к спутнику S1 приходит за время t E* S 1 21710 C 0.324 0.653 = 0.072 416 685 595 574 385 850 717 615 831 1 с, на 78 наносекунд большее, чем t E S1 ( t E* S 1 t E S 1 = 0.00000007826399364115508650107877 с ) Сигнал от E к спутнику S2 приходит за время t E* S 2 21710 C 0.324 0.653 = 0.072 416 844 539 637 663 402 430 422 047 54 с, на 78 наносекунд меньшее, чем ( t E S 2 t E* S 2 t ES 2 = 0.00000007826450636581811481600525 с) Разность времён нс * * t ES 2 t ES 1 = 0.00000015894406327755171280621644 с 159 Из-за того, что сигналы идут с запада на восток быстрее, чем с востока на запад, разность времён t E* S 2 t E* S 1 = 159 нс оказывается на 156 наносекунд меньше, чем t E S 2 t E S 1 = 315 нс . 3.2 Случай, когда cпутники S1* и S2* и источник сигнала E находятся в плоскости экавтора, но расстояние E-S1* не равно расстоянию E-S2* : E-S1* = 24100 км , E-S2* = 20340 км (Рис.4). a) Так как спутники со скоростью V0 3.874 движутся по орбите, спутник S1 со скоростью 3.874Cos 76.8 = 0.885 км/с приближается к E , а спутник S2 со скоростью 3.874Cos93.1 = 0.21 км/с удаляется от E . Если предположить, что сигналы идут с одинаковой скоростью - 24100 = 0.080 388 709 631 887 990 254 673 533 561 42 с , C 0.885 сигнал от E к спутнику S2* приходит за время t E S 2* 20340 = 0.067 846 984 489 071 912 226 362 837 774 24 с. C 0.21 Разность времён b) , сигнал от E к спутнику S1* приходит за время t E S1* - C C n tE S1* tE S 2* = 0.01254172514281607802831069578718 с. Так как атмосфера движется относительно орбит спутников со скоростью V A = 1.9271 км/с , скорость сигнала от источника E в направлении к спутнику S1* уменьшается на 1.9271Cos 76.8o = 0.44 км/с и в направлении к спутнику S2* увеличивается на 1.9271Cos93.1o = 0.1 км/с . Сигнал от E к S1* приходит за время t E* S1* 24100 = 0.080 388 827 616 776 505 213 000 322 425 91 с , C 0.44 0.885 на 118 наносекунд большее, чем ( t E S 1* t E* S1* t E S1* = 0.00000011798488851495832678886449 с) Сигнал от E к S2* приходит за время t E* S 2* 20340 = 0.067 846 961 857 745 615 308 366 709 880 13 с , C 0.1 0.21 на 23 наносекунды меньшее,чем ( t E S 2* t E* S1* t E S 2* = 0.00000011798488851495832678886449 с) Разность времён t E* S1* t E* S 2* = 0.012 541 865 759 030 889 904 633 612 545 78 с оказывается на 141 наносекунду меньше, чем . tE S1* t E S 2* , когда предполагается, что сигналы идут с одинаковой скоростью. Заключение Из-за того, что атмосфера вращается относительно неподвижных орбит спутников, сигналы GPS идут с запада на восток быстрее, чем с востока на запад. Вращение атмосферы не влияет на времена прохождения сигналов от спутников к приёмнику на Земле, но значительно изменяет времена передачи сигналов от одного спутника к другому и от передатчика на Земле к спутникам. Учёт влияния движения атмосферы относительно орбит спутников позволит повысить точность работы навигационной системы GPS. Тот факт, что с запада на восток сигналы идут со скоростью, большей C, доказывает ошибочность специальной теории относительности и эйнштейновского метода синхронизации часов.