Спецкурс “Основы теории вероятностей” осенний семестр 2014

Спецкурс “Основы теории вероятностей”
осенний семестр 2014 – 2015 учебного года
лектор: профессор А.В.Булинский
(для студентов 2-го курса)
Описание курса
По сравнению с геометрией теория вероятностей является очень молодой наукой. Ее основы были заложены в 17-ом веке П.Ферма, Б.Паскалем, Х.Гюйгенсом и
Я.Бернулли (главным образом при анализе задач, относящихся к азартным играм).
В становление и развитие теории вероятностей выдающийся вклад внесли К.Гаусс,
П.-С.Лаплас, С.Пуассон, П.Л.Чебышев, А.Пуанкаре, Э.Борель, А.А.Марков и другие
замечательные ученые. Однако А.Н.Колмогорову принадлежит заслуга построения
теории вероятностей на прочном фундаменте теории меры (его классическая монография “Основные понятия теории вероятностей” была опубликована в 1933 году).
Подход Колмогорова позволил создать современную теорию случайных процессов.
Обязательный курс “Теория вероятностей” читается на мехмате МГУ студентам второго курса в весеннем семестре. После этого на третьем курсе читаются обязательные
лекции по математической статистике (осенний семестр) и по случайным процессам
(весенний семестр). Для усвоения этих двух курсов требуется глубокое понимание
теории вероятностей. Цель данного курса заключается в том, чтобы помочь студентам второго курса заранее усвоить основные идеи, лежащие в подходе к теории
вероятностей, базирующемся на аксиоматике Колмогорова. Опыт показывает, что
студентам, прослушавшим подготовительный курс, гораздо легче воспринимать обязательную программу всего трехсеместрового вероятностного цикла обучения. Разумеется, невозможно избежать пересечения данного специального и обязательного
курсов. Поэтому, в частности, в спецкурс не включена теория слабой сходимости мер
(обычно подробно рассматриваемая в обязательном курсе). В то же самое время в
спецкурсе удается охватить целый ряд важных результатов, на детальное обсуждение
которых в обязательном курсе не хватает времени. К ним относятся, например, теорема о π-λ-системах множеств, лемма о группировке (σ-алгебр), теорема Каратеодори. Отметим также построение модели пуассоновского точечного пространственного
процесса, доказательство теоремы Пуассона для, вообще говоря, разнораспределенных бинарных величин, причем с оценкой скорости приближения. Вводится условное
математическое ожидание, играющее важную роль в современной теории вероятностей. Внимание уделяется и простейшей модели ветвящихся процессов. Кроме того,
изучаются цепи Маркова с дискретным временем и для них устанавливаются некоторые классические результаты. Такого рода материал будет несомненно полезен для
понимания более сложных вопросов, излагаемых в курсе случайных процессов. На
лекциях предлагаются задачи, направленные на творческое освоение теории.
1
ПРОГРАММА
1. Модели случайных экспериментов. Примеры.
2. Системы подмножеств непустого множества (алгебры, σ-алгебры, π- и λ-системы).
Борелевская σ-алгебра. Теорема о π-λ-системах.
3. Мера. Вероятностное пространство. Частотная интерпретация вероятности.
4. Дискретные вероятностные пространства. Биномиальное и пуассоновское распределения. Классическое определение вероятности.
5. Свойства вероятности. Вероятность на алгебре подмножеств некоторого множества. Счетная аддитивность, конечная аддитивность и непрерывность в “нуле” (пустом множестве).
6. Функция распределения вероятности на пространстве (R, B(R)) и ее свойства.
7. Понятие плотности распределения. Основные распределения (равномерное, экспоненциальное, нормальное, Коши).
8. Теорема Каратеодори.
9. Построение вероятности на (R, B(R)) по функции F , обладающей свойствами
функции распределения.
10. Условная вероятность. Независимость событий (попарная и в совокупности). Вероятностное доказательство формулы Эйлера в теории чисел.
11. Лемма Бореля – Кантелли.
12. Формула полной вероятности. Формула Байеса.
13. Случайные величины (элементы) и их распределения.
14. Действия над случайными величинами. Независимые случайные величины. Лемма о группировке.
15. Модель пуассоновского точечного пространственного процесса.
16. Теорема Пуассона (с оценкой погрешности) для набора независимых бинарных
величин, имеющих, вообще говоря, разные распределения.
17. Интеграл Лебега и его свойства. Пространство Lp .
18. Математическое ожидание, дисперсия, ковариация и их свойства. Неравенство
Чебышева.
19. Вероятностное доказательство теоремы Вейерштрасса.
2
20. Равномерная интегрируемость семейства случайных величин. Теоремы о предельном переходе под знаком интеграла.
21. Сходимость случайных величин (почти наверное, по вероятности, в пространстве
Lp , по распределению).
22. Условное математическое ожидание, его свойства.
23. Законы больших чисел (слабый и усиленный). Теоремы Хинчина и Колмогорова.
24. Ветвящийся процесс Гальтона - Ватсона. Вероятность вырождения популяции.
25. Цепи Маркова с дискретным временем. Классификация состояний.
26. Случайные блуждания по решетке Zd . Исследование возвратности.
ЛИТЕРАТУРА
[1] А.А.Боровков. Теория вероятностей. УРСС, 2009.
[2] Б.В.Гнеденко. Курс теории вероятностей. УРСС, 2006.
[3] Л.Б.Коралов, Я.Г.Синай. Теория вероятностей и случайные процессы.
МЦНМО, 2013.
[4] В.Феллер. Введение в теорию вероятностей, т. 1,2. Мир, 1984.
[5] А.Н.Ширяев. Вероятность, т.1,2. МЦНМО, 2007.
[6] А.Н.Ширяев. Задачи по теории вероятностей. МЦНМО, 2006.
[7] J.Jacod, Ph.Protter. Probability Essentials. Springer, 2000.
[8] O.Kallenberg. Foundations of Modern Probability. Springer, 1997.
3