Оценивание характера последействия случайных точечных

В.Е. Анциперов
antciperov@cplire.ru
ОЦЕНИВАНИЕ ХАРАКТЕРА
ПОСЛЕДЕЙСТВИЯ СЛУЧАЙНЫХ
ТОЧЕЧНЫХ ПРОЦЕССОВ МЕТОДАМИ
МНОГОМАСШТАБНОГО
КОРРЕЛЯЦИОННОГО АНАЛИЗА.
Москва, Институт радиотехники и электроники им. В.А.
Котельникова РАН
2015
Содержание
•Случайные процессы “событийного” типа
•Телетрафик: древняя история
•Телетрафик: новое время
•Моделирование Internet трафика
•Корреляционное выделение локальных масштабов
•Аналитические спектры
•Представление “конического” типа точечных процессов
•Средний “спектр мощности” точечных процессов
•Средний “спектр мощности” стационарных процессов
Случайные процессы “событийного” типа
“Излагаемая здесь теория случайных точек может быть применена не только к импульсным
сигналам, но и в других случаях, когда случайный процесс распадается на дискретные
элементы или события…”
Стратонович Р. Л., Избранные вопросы теории флюктуаций в радиотехнике. М.: Сов. Радио, 1961.
Телетрафик: древняя история
Erlang A.K. Telefon-Ventetider. Et Stykke Sandsynlighedsregning //
Matematisk Tidsskrift, B, 1920 (a paper on telephone waiting times, in Danish)
Теория телетрафика была первоначально основана на
эмпирических исследованиях – на достаточно трудоемких
измерениях потоков запросов в телефонных сетях.
Результатом стала необоснованная вера в процессы
Пуассона и экспоненциальное распределение, как в
"универсальные законы" трафика, что отрицательно
сказалось на необходимости сбора данных и их анализа в
более сложных сетях.
W. Willinger, and V. Paxson, Where Mathematics meets the Internet //
Notices of the American Mathematical Society, Vol.45, No.8, pp. 961-970,
August 1998.
Агнер Краруп
Эрланг
1978-1929)
Телетрафик: новое время
Результаты измерения реального
Интернет-трафика
J.Mogul, 1995
http://www.acra.org/sigcomra/ITA
число запросов на соединение / сек
Goodby Poisson – Hello fractals
Смоделированный трафик
пуассоновского потока:
число запросов на
соединение / сек
Моделирование трафика Internet
Ближайшая к Пуассоновской неэкспоненциальная модель трафика – процесс восстановления (поток
с ограниченным последействием):
поток, у которого случайные интервалы T1, T2, ... между соседними по времени событиями
представляют собой независимые случайные величины c произвольными распределениями.
Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория случайных процессов и ее инженерные приложения. 2-е изд. // М.: Высшая школа,
2000.
Фрактальный процесс восстановления определяется как:
процесс восстановления у которого интервалы T1, T2, ... имеют распределения с тяжелыми
хвостами
M.A. Arfeen Contributions to Modelling of Internet Traffic by Fractal Renewal Processes // Doctor of Philosophy in Computer
Science thesis, University of Canterbury, 2014
Корреляционное выделение локальных масштабов
МКА оценка АКФ :
Rˆ ( , t ) 
В.Е.Анциперов
Многомасштабный
корреляционный анализ нестационарных,
содержащих квазипериодические участки
сигналов // “Радиотехника и электроника”,
т. 53, № 1, 2008
представление
“конического” типа
(нестационарный аналог
спектр. мощности) :
CKR ( f , t ) 

 h(|  |) Rˆ ( , t ) exp( 2 i f )d t d

Zhao Y., Atlas L. E. and Marks R. J. The use of cone-shape
kernels for generalized time-frequency representations of
nonstationary signals. // IEEE Trans. Acoustics, Speech, Signal
Processing, V. 38, N 7, 1990
1
t  2
x (t   

 t  2
2 ) x (t    2 ) d t 
Аналитические спектры:
Аналитические спектры локального на
момент t прошлого и локального на
момент t будущего сигнала x(t) есть:

S Pt ( f )   x (t  t ) exp( 2 i f t )dt 
0

S Ft ( f )   x (t  t ) exp( 2 i f t )dt 
0
Представление “конического” типа в терминах аналитических спектров:
 





CKR ( f , t )  2 Re   H ( f  f ) S Pt ( f ) S Ft ( f ) d f ;
 


H ( f )   h(t ) exp( 2 i f t )dt  ;
0
В.Е.Анциперов Использование аналитических спектров локального прошлого и будущего сигнала для
формирования и анализа билинейных частотно-временных представлений // Доклады 16-й Международной
Конференции “ Цифровая обработка сигналов и ее применение DSPA-2014”, т.1, Москва, 2014
Представление “конического” типа точечных процессов:
x (t ) 
Сигнал импульсного типа x(t) :


 g (t   tk )   g (t   t ) (t )dt 
k  
 (t ) 


  (t   tk )
k  
Аналитические спектры
локального прошлого и
локального будущего:
S Pt ( f )  G ( f ) exp( 2 i f t )
*
0
 exp( 2 i f tk )
k  

S Ft ( f )  G ( f ) exp( 2 i f t )  exp( 2 i f tk )
k 1
Представление “конического” типа точечных процессов :
 
CKR ( f , t )  2 Re   H ( f  f ) | G ( f ) |2
 
G( f ) 




  exp( 2 i f (tk  tk  )d f ;
k    k 1

0

 g (t ) exp( 2 i f t )dt ;

Средний “спектр мощности” точечных процессов:

0

CKR ( f , t )  2 | G ( f ) | Re   H ( f  f )   k ( f )   k  ( f ) 
k 1
k   
 
   ( f , f )    (0, f )   ( f ,0) df 
2
k
 k ( f )   l ( f ),
l 2
0
 k ( f )   l ( f ),
k  2;
k  1;
l  k 1
 k ( f )  exp( 2 i f sk ) 


  k ( s ) exp( 2 i f
0
  ( f 0 , f1 )  exp  2 i f 0 (t  t0 )  2 i f1 (t1  t )  


  p01 (t  t , t  t ) exp 2 i f 0t   2 i f1t dt dt 
00
Замечание: в случае статистической независимости t0 и t1
(например, для пуассоновского процесса):
p01 (t , t )  p0 (t ) p01 (t )    ( f 0 , f1 )    ( f 0 ,0)   (0, f1 )
 f
CKR ( f , t )  0
s ) ds
Средний “спектр мощности” стационарных процессов
(процесс Палма):
в случае, когда все
CKR ( f , t )  2
| G ( f ) |2
2 s 2
k(s) =  (s) :


 2 i s
1 

Re ( 2 i)  W ( f  f ) 
  df ;
 1   ( f )  f   



 ( f )    ( s ) exp( 2 i f s ) ds
0
Если известны корни {zk} уравнения  (f’) = 1 , то интеграл вычисляется на
основе теории вычетов :


| G ( f ) |2
2 i s


CKR ( f , t )  2
Re
Res
W
(
f

z
)



zm
m 



s2
1


(
f
)
z

0


m

Для распределений Эрланга:
( s  ) n 1
 ( s) 
exp  s  
1 
k



z

exp

2

i

1


( n )


k
2 i  
n


 ( f )  1  2 i f  n
См. талже Рытов, С.М. Введение в статистическую радиофизику: Случайные процессы. // М: Наука; 1976
В.Е. Анциперов
antciperov@cplire.ru
Москва, Институт радиотехники и электроники им. В.А. Котельникова РАН
2015