6. Правильные системы точек.

Михаил Владимирович Морозов
кафедра минералогии,
минералогии, кристаллографии и петрографии
СанктСанкт-Петербургский горный институт
ИТОГИ
morozov.minsoc.
morozov.minsoc.ru
зачем нужно разбираться в пространственных
группах?
Кристаллохимия
подобно тому, как элементы симметрии точечных
групп связывают друг с другом грани кристалла,
элементы симметрии пространственных групп
связывают друг с другом атомы
лекция 6.
Правильные системы точек.
точек.
В итоге, зная все элементы пространственной
группы, можно определить расположение всех
атомов в элементарной ячейке и положение атомов
относительно элементов симметрии
специальность «Прикладная геохимия,
геохимия, минералогия,
минералогия, петрология»
петрология», 3 семестр
2
201
2011
ИТОГИ
ИТОГИ
зачем нужно знать положение атома относительно
элемента симметрии?
пример: центр инверсии
зачем нужно знать положение атома относительно
элемента симметрии?
пример: центр инверсии
возьмем раствор CuSO4 – там хаос, нет э.с.
у кристалла тоже получится спектр, но
«проявленность» в нем химического элемента
зависит не только от концентрации, но и от
положения, в котором находится атом !!!!
в спектре раствора мы можем найти линию меди и
определять по ней концентрацию Cu:
много Cu
мало Cu
нет Cu
атом находится
в несимметричной точке э.я.
3
Правильная система точек
атом находится в точке
центра инверсии
4
Пример: ромб. сингон., Pmm2
y
4
(ПСТ)
x
= совокупность точек, полученных размножением
произвольной точки соответствующими элементами
симметрии
1+
3 +
2
4
+
формула размножения
mx
my
2
5
+
( m.. )
( .m. )
( ..2 )
(1-x) = -x = x̄
+
точка координаты
1
x, y, z
2
x̄, y, z
3
x, ȳ, z
4
x̄, ȳ, z
∑ = 4 – это кратность данной ПСТ
x, y, z – произвольное положение = точка общего положения
Æ общая правильная система точек
6
Частные ПСТ
Частные ПСТ
7
+
5
+
6
Pmm2, точка на mm2
+
5
½, y, z
( .m. ) 6
½, ȳ, z
( ..2 ) 6
½, ȳ, z
кратность = 2
аналогично – на границе ячейки, на my ( .m. )
my
2
7
0, 0, z
частная ПСТ, кратность = 1
7
8
Характеристики ПСТ:
Характеристики ПСТ:
1) кратность,
кратность,
2) формула размножения
3) симметрия позиции
= комплекс эл. с., которые не размножают данную точку
7
+ 1
+
3 +
5
2
+
+
6
+
4
+
т. 5
mx
m..
т. 7
mm2
mm2
т. 1 (общ. ПСТ)
1
(т.e. таких элементов нет)
9
Характеристики ПСТ:
Характеристики ПСТ:
3) симметрия позиции
3) симметрия позиции
важно:
10
как правильно определить симметрию позиции:
некая точка находится на пересечении m и 2
следовательно симметрия её позиции = 2/m
NB!
1
международное
обозначение !
с.п. это эл.с., которые не размножают данную точку
⇒
• эл.с. с трансляциями отпадают (abcnd, винт.оси)
• точка находится на самом пересечении эл.с.,
которые образуют симметрию позиции
⇒
полный набор этих эти э.с. долен образовывать
точечную группу симметрии
⇒
с.п. имеет вид одной из 32-х точечных групп !
2/m подразумевает 1̄
но не наоборот!
поэтому писать симметрию этой позиции как 1̄ неверно !
11
12
Характеристики ПСТ:
Характеристики ПСТ:
3) симметрия позиции
4) число степеней свободы
= число координат, которые можно менять
физический смысл понятия «симметрия позиции»:
7
атом на позиции в центре инверсии имеет особые
спектральные свойства (сильнее или слабее
взаимодействует со светом и другими видами
электромагнитного излучения)
+ 1
+
3 +
5
2
+
+
6
+
4
+
т. 1
3 (x, y, z)
т. 5
2 (y, z)
т. 7
1 (z)
13
14
Пример: ромб. сингон., Pmna
Кратность ПСТ
1/4
соответствует числу граней простой формы для данной
симметрии (на каждый вид узлов решётки)
1/4
1 +
6 ½-
1/4
4 ½2 +
m
n
a
2..
.2.
21
1̄
1
2
3
4
5
6
7
8
- 5
½+ 7
½+ 3
1/4
пример:
mmm ОПФ – ромбическая дипирамида
8 граней
Pmna ОПСТ
8 точек
↑
1 независимый узел в э.я. (вершина ячейки) 8×1 = 8
1/4
- 8
x, y, z
x̄, y, z
½+x, ȳ, ½+z
½+x, y, ½-z
x, ȳ, z̄
½-x, y, ½-z
½-x, ȳ, ½+z
x̄, ȳ, z̄
ОПСТ
кратность = 8
симметрия позиций: 1
число ст. свободы = 3
ЧПСТ – на плоскости
или оси, НО!
будут размножаться
трансляциями, даже
находясь на них (если
винт или скольжение)
mmm ОПФ – ромбическая дипирамида
8 граней
Ibca ОПСТ
16 точек
↑
2 независимых узла в э.я. (вершина + центр) 8×2 = 16
15
Кратность ПСТ
16
Кратность ПСТ
Максимальная кратность ПСТ
Невозможная кратность ПСТ
ПФ – гексоктаэдр (m3m)
5, 7, 10 (нет ПФ с таким числом граней)
48
макс. число точек добавляют трансляции в F-ячейке (Fm3̄m):
из 1-й Æ 3 доп. узла ; 1+3 = 4 независимых узла
итого 48 × 4 = 192 точки
17
18
Кратность ПСТ
Кратность ПСТ
Вывод химической формулы через ПСТ
соединение AB2 в группе Pmm2
пример:
7
+ 1
+
6
+
атом
кратность ПСТ
кратность:
2
т. 7
1
т. 1 (об. ПСТ)
4
19
20
Кратность ПСТ
Кратность ПСТ
Вывод химической формулы через ПСТ
атом
формула
+
т. 5
пример:
в эл. ячейке
+
4
+
соединение AB2 в группе Pmm2
пример:
3 +
5
2
Вывод химической формулы через ПСТ
Вывод химической формулы через ПСТ
соединение AB2 в группе Pmm2
кратность ПСТ
в эл. ячейке
(вар.1)
A
2
2A
B
4B
4
соединение AB2 в группе Pmm2
пример:
формула
атом
кратность ПСТ
(вар.1)
A
2
AB2
1+
4
+
B
7
5+
+
6AB
+
2
4B
(вар.2)
A
1
6 +
+
4
формула
+
2A
7
3 +
5+
2
B
в эл. ячейке
7
7
+
+
1A
2
AB2
2B
21
22
Кратность ПСТ
Кратность ПСТ
Вывод химической формулы через ПСТ
пример:
атом
соединение AB2 в группе Pmm2
кратность ПСТ
в эл. ячейке
(вар.1)
A
2
2A
B
4
4B
(вар.2)
A
1
1A
B
2
Ограничение на ПСТ в реальных кристаллах
2B
НО НЕ НАОБОРОТ !!!!!
- конечный размер атомов (ионов) – расстояния между ними
формула
можно
можно
нельзя
AB2
m
m
c
поэтому распространены винтовые оси и плоскости
скользящего отражения (смещают атомы)
AB2
23
24