План-фактный анализ произведений

Андрей Францевич Ковальчук
www.kovalchuk.finance.ru
+7 (926) 906-58-55
+7 (931) 288-58-55
a.f.kovalchuk@ya.ru
План-фактный анализ произведений
Июнь 2013 г.
Есть плановые и фактические данные по реализации. Плановые цены и количества
отличаются от фактических; соответственно, отличаются и общие суммы выручки. Как
в денежном выражении оценить влияние каждого фактора на общую сумму отклонения?
Предлагаемый инструмент предназначен для оценки вкладов изменения двух величин
в приращение их произведения. Рассчитываемые показатели аддитивны, что позволяет
использовать их для больших объемов однородных данных.
Рассмотрим отчет о плановой и фактической реализации продукции некоторой
компании за некоторый период:
Реализация
Золото
Серебро
Платина
Палладий
К-во, ozt
30,000
1,500,000
10,000
50,000
План
Цена, $ / ozt
1,600.00
30.00
1,600.00
680.00
Сумма, тыс. $
48,000.0
45,000.0
16,000.0
34,000.0
143,000.0
К-во, ozt
45,361
734,120
10,711
50,000
Факт
Цена, $ / ozt
1,080.21
34.40
1,600.00
400.18
Сумма, тыс. $
48,999.4
25,253.7
17,137.6
20,009.0
111,399.7
Сумма реализации представляет собой произведение средней цены на количество.
Отклонение фактической суммы реализации от плановой определяется, соответственно,
отклонениями в количестве и в цене. Попробуем определить вклад этих двух составляющих
в общее отклонение.
Отклонения факта от плана
Золото
Серебро
Платина
Палладий
Сумма реализации, тыс. $
Асолютн. откл.
Относит. откл.
999.4
2.1 %
(19,746.3)
(43.9 %)
1,137.6
7.1 %
(13,991.0)
(41.2 %)
(31,600.3)
(22.1 %)
К-во реали зации, ozt
Асолютн. откл.
Относит. откл.
15,361
51.2 %
(765,880)
(51.1 %)
711
7.1 %
0
0.0 %
1/4
Цена реализации, $ / ozt
Асолютн. откл.
Относит. откл.
(519.79)
(32.5 %)
4.40
14.7 %
0.00
0.0 %
(279.82)
(41.2 %)
ПЛАН-ФАКТНЫЙ АНАЛИЗ ПРОИЗВЕДЕНИЙ
Кажется, что влияние отклонений натурального объема реализации золота более
существенно, чем влияние отклонения средней цены: фактическое количество превысило
план на 51.2 %, между тем, цена была ниже плановой лишь на 32.5 %.
Однако фактическая сумма реализации отклонилась от плана всего на 2.1 %, т. е.
на самом деле, отклонения количества и цены почти полностью компенсировали друг друга.
Таким образом, относительные отклонения множителей надежным ориентиром быть
не могут. Об абсолютных отклонениях множителей речь вообще не идет, поскольку они
в принципе несоизмеримы: у них разные единицы измерения.
Подойдем к вопросу более формально. Рассмотрим произведение двух переменных
v = xy .
(1)
∆v = v1 − v0 = x1 y1 − x0 y0
(2)
и его приращение
в результате изменения переменных от некоторых начальных (x0, y0) к некоторым конечным
(x1, y1) значениям:
x1 = x0 + ∆x,
y1 = y0 + ∆y .
(3)
Как известно, дифференциал произведения равен
dv = d ( xy ) = ydx + xdy .
(4)
Первое слагаемое ydx есть «вклад» изменения переменной x, второе слагаемое xdy — вклад
от изменения переменной y.
Наша задача — найти аналогичное двучленное представление для конечных
(не бесконечно малых) приращений. Поскольку умножение — коммутативная операция, то
оба множителя «равноправны», и искомое разложение должно иметь соответствующую
симметрию.
Приращение, которое получит произведение (1) благодаря изменению переменных (3),
равно
∆v = ( x0 + ∆x)( y0 + ∆y ) − x0 y0 = y0 ∆x + x0 ∆y + ∆x∆y .
(5)
Первое слагаемое, пропорциональное ∆x, было бы естественно рассматривать как вклад
изменения переменной x в приращение произведения xy; аналогично, второе слагаемое
было бы вкладом изменения переменной y. Однако этому подходу препятствует член ∆x∆y.
Чтобы исключить член ∆x∆y, выразим ∆v не через начальные, а через конечные
значения переменных:
2/4
ПЛАН-ФАКТНЫЙ АНАЛИЗ ПРОИЗВЕДЕНИЙ
∆v = x1 y1 − ( x1 − ∆x)( y1 − ∆y ) = y1∆x + x1∆y − ∆x∆y .
(6)
Мы видим, что в правых частях уравнений (5) и (6) член ∆x∆y присутствует с разными
знаками. Сложив эти уравнения и поделив результат на 2, получим подходящий двучлен,
в форме, которая аналогична дифференциалу (4):
∆v =
y 0 + y1
x + x1
∆x + 0
∆y .
2
2
(7)
Первое слагаемое есть вклад изменения переменной x, второе — вклад изменения
переменной y.
Оба слагаемых соизмеримы с произведением v = xy и его приращением. Так, если
произведение выражается в долларах, то слагаемые в правой части уравнения (7) дают
денежное выражение вклада изменения переменных x и y в их произведение.
Отметим, что величины, относящиеся к обоим множителям, входят в полученное
выражение совершенно симметрично. Также налицо симметрия между начальными и
конечными значениями величин (с точностью до знака, разумеется).
Вернемся к нашему примеру. Рассматривая сумму реализации как произведение
количества и средней цены, а в качестве начальных и конечных значений переменных
принимая их плановые и фактические значения, получим следующие данные:
Отклонения факта от плана (вклады отклонений множителей)
Золото
Серебро
Платина
Палладий
Реализация, тыс. $
План
Факт
48,000.0
48,999.4
45,000.0
25,253.7
16,000.0
17,137.6
34,000.0
20,009.0
143,000.0
111,399.7
Абсолютн ое отклонение, тыс. $
Вклад откл. к-ва
Вклад откл. цены
999.4
20,585.4
(19,585.9)
(19,746.3)
(24,661.3)
4,915.1
1,137.6
1,137.6
0.0
(13,991.0)
0.0
(13,991.0)
(31,600.3)
(2,938.4)
(28,661.9)
Σ
В т. ч. положительные
21,723.0
4,915.1
В т. ч. отрицаткльные
(24,661.3)
(33,576.9)
Итак, за счет того, что золота было продано в натуральном выражении больше, чем
планировалось, было дополнительно получено 20,6 млн долларов. Однако уменьшение цены
на золото обошлось почти в такую же сумму (19,6 млн долларов), так что общее отклонение
суммы реализации золота составило 20,6 – 19,6 = 1,0 млн долларов..
Недовыполнение плана реализации серебра составило 19,7 млн долларов. При этом
недовыполнение плана за счет отклонения натуральных продаж в сумме 24,6 млн долларов
было частично (4,9 млн долл.) скомпенсировано положительным отклонением средней
реализационной цены: – 24,6 + 4,9 = –19,7.
3/4
ПЛАН-ФАКТНЫЙ АНАЛИЗ ПРОИЗВЕДЕНИЙ
В нашем примере для платины точно равны плановая и фактическая цены, а
для палладия
—
плановые и
фактические натуральные продажи.
Естественно,
в
представленной выше таблице в соответствующих ячейках стоят нули.
Хотя мы уже писали об этом в прежних работах, считаем нелишним повторить, что
при суммировании знакопеременных наборов значений имеет смысл рассчитывать отдельно
суммы положительных и отрицательных элементов. Это дает возможность оценить разброс
значений, который незаметен в общей сумме.
В заключение отметим, что непосредственным образом обобщить наш подход
на анализ
произведений
трех
и
более
переменных
не
получится.
В
частности,
для произведения трех переменных
w = xyz
(8)
уравнение, аналогичное (7), выглядит так:
∆w =
y 0 z 0 + y1 z1
x z + x1 z1
x y + x1 y1
1
∆x + 0 0
∆y + 0 0
∆z − ∆x∆y∆z ,
2
2
2
2
1
и устранить «лишний» член − ∆x∆y∆z не удается.
2
4/4
(9)