Андрей Францевич Ковальчук www.kovalchuk.finance.ru +7 (926) 906-58-55 +7 (931) 288-58-55 [email protected] План-фактный анализ произведений Июнь 2013 г. Есть плановые и фактические данные по реализации. Плановые цены и количества отличаются от фактических; соответственно, отличаются и общие суммы выручки. Как в денежном выражении оценить влияние каждого фактора на общую сумму отклонения? Предлагаемый инструмент предназначен для оценки вкладов изменения двух величин в приращение их произведения. Рассчитываемые показатели аддитивны, что позволяет использовать их для больших объемов однородных данных. Рассмотрим отчет о плановой и фактической реализации продукции некоторой компании за некоторый период: Реализация Золото Серебро Платина Палладий К-во, ozt 30,000 1,500,000 10,000 50,000 План Цена, $ / ozt 1,600.00 30.00 1,600.00 680.00 Сумма, тыс. $ 48,000.0 45,000.0 16,000.0 34,000.0 143,000.0 К-во, ozt 45,361 734,120 10,711 50,000 Факт Цена, $ / ozt 1,080.21 34.40 1,600.00 400.18 Сумма, тыс. $ 48,999.4 25,253.7 17,137.6 20,009.0 111,399.7 Сумма реализации представляет собой произведение средней цены на количество. Отклонение фактической суммы реализации от плановой определяется, соответственно, отклонениями в количестве и в цене. Попробуем определить вклад этих двух составляющих в общее отклонение. Отклонения факта от плана Золото Серебро Платина Палладий Сумма реализации, тыс. $ Асолютн. откл. Относит. откл. 999.4 2.1 % (19,746.3) (43.9 %) 1,137.6 7.1 % (13,991.0) (41.2 %) (31,600.3) (22.1 %) К-во реали зации, ozt Асолютн. откл. Относит. откл. 15,361 51.2 % (765,880) (51.1 %) 711 7.1 % 0 0.0 % 1/4 Цена реализации, $ / ozt Асолютн. откл. Относит. откл. (519.79) (32.5 %) 4.40 14.7 % 0.00 0.0 % (279.82) (41.2 %) ПЛАН-ФАКТНЫЙ АНАЛИЗ ПРОИЗВЕДЕНИЙ Кажется, что влияние отклонений натурального объема реализации золота более существенно, чем влияние отклонения средней цены: фактическое количество превысило план на 51.2 %, между тем, цена была ниже плановой лишь на 32.5 %. Однако фактическая сумма реализации отклонилась от плана всего на 2.1 %, т. е. на самом деле, отклонения количества и цены почти полностью компенсировали друг друга. Таким образом, относительные отклонения множителей надежным ориентиром быть не могут. Об абсолютных отклонениях множителей речь вообще не идет, поскольку они в принципе несоизмеримы: у них разные единицы измерения. Подойдем к вопросу более формально. Рассмотрим произведение двух переменных v = xy . (1) ∆v = v1 − v0 = x1 y1 − x0 y0 (2) и его приращение в результате изменения переменных от некоторых начальных (x0, y0) к некоторым конечным (x1, y1) значениям: x1 = x0 + ∆x, y1 = y0 + ∆y . (3) Как известно, дифференциал произведения равен dv = d ( xy ) = ydx + xdy . (4) Первое слагаемое ydx есть «вклад» изменения переменной x, второе слагаемое xdy — вклад от изменения переменной y. Наша задача — найти аналогичное двучленное представление для конечных (не бесконечно малых) приращений. Поскольку умножение — коммутативная операция, то оба множителя «равноправны», и искомое разложение должно иметь соответствующую симметрию. Приращение, которое получит произведение (1) благодаря изменению переменных (3), равно ∆v = ( x0 + ∆x)( y0 + ∆y ) − x0 y0 = y0 ∆x + x0 ∆y + ∆x∆y . (5) Первое слагаемое, пропорциональное ∆x, было бы естественно рассматривать как вклад изменения переменной x в приращение произведения xy; аналогично, второе слагаемое было бы вкладом изменения переменной y. Однако этому подходу препятствует член ∆x∆y. Чтобы исключить член ∆x∆y, выразим ∆v не через начальные, а через конечные значения переменных: 2/4 ПЛАН-ФАКТНЫЙ АНАЛИЗ ПРОИЗВЕДЕНИЙ ∆v = x1 y1 − ( x1 − ∆x)( y1 − ∆y ) = y1∆x + x1∆y − ∆x∆y . (6) Мы видим, что в правых частях уравнений (5) и (6) член ∆x∆y присутствует с разными знаками. Сложив эти уравнения и поделив результат на 2, получим подходящий двучлен, в форме, которая аналогична дифференциалу (4): ∆v = y 0 + y1 x + x1 ∆x + 0 ∆y . 2 2 (7) Первое слагаемое есть вклад изменения переменной x, второе — вклад изменения переменной y. Оба слагаемых соизмеримы с произведением v = xy и его приращением. Так, если произведение выражается в долларах, то слагаемые в правой части уравнения (7) дают денежное выражение вклада изменения переменных x и y в их произведение. Отметим, что величины, относящиеся к обоим множителям, входят в полученное выражение совершенно симметрично. Также налицо симметрия между начальными и конечными значениями величин (с точностью до знака, разумеется). Вернемся к нашему примеру. Рассматривая сумму реализации как произведение количества и средней цены, а в качестве начальных и конечных значений переменных принимая их плановые и фактические значения, получим следующие данные: Отклонения факта от плана (вклады отклонений множителей) Золото Серебро Платина Палладий Реализация, тыс. $ План Факт 48,000.0 48,999.4 45,000.0 25,253.7 16,000.0 17,137.6 34,000.0 20,009.0 143,000.0 111,399.7 Абсолютн ое отклонение, тыс. $ Вклад откл. к-ва Вклад откл. цены 999.4 20,585.4 (19,585.9) (19,746.3) (24,661.3) 4,915.1 1,137.6 1,137.6 0.0 (13,991.0) 0.0 (13,991.0) (31,600.3) (2,938.4) (28,661.9) Σ В т. ч. положительные 21,723.0 4,915.1 В т. ч. отрицаткльные (24,661.3) (33,576.9) Итак, за счет того, что золота было продано в натуральном выражении больше, чем планировалось, было дополнительно получено 20,6 млн долларов. Однако уменьшение цены на золото обошлось почти в такую же сумму (19,6 млн долларов), так что общее отклонение суммы реализации золота составило 20,6 – 19,6 = 1,0 млн долларов.. Недовыполнение плана реализации серебра составило 19,7 млн долларов. При этом недовыполнение плана за счет отклонения натуральных продаж в сумме 24,6 млн долларов было частично (4,9 млн долл.) скомпенсировано положительным отклонением средней реализационной цены: – 24,6 + 4,9 = –19,7. 3/4 ПЛАН-ФАКТНЫЙ АНАЛИЗ ПРОИЗВЕДЕНИЙ В нашем примере для платины точно равны плановая и фактическая цены, а для палладия — плановые и фактические натуральные продажи. Естественно, в представленной выше таблице в соответствующих ячейках стоят нули. Хотя мы уже писали об этом в прежних работах, считаем нелишним повторить, что при суммировании знакопеременных наборов значений имеет смысл рассчитывать отдельно суммы положительных и отрицательных элементов. Это дает возможность оценить разброс значений, который незаметен в общей сумме. В заключение отметим, что непосредственным образом обобщить наш подход на анализ произведений трех и более переменных не получится. В частности, для произведения трех переменных w = xyz (8) уравнение, аналогичное (7), выглядит так: ∆w = y 0 z 0 + y1 z1 x z + x1 z1 x y + x1 y1 1 ∆x + 0 0 ∆y + 0 0 ∆z − ∆x∆y∆z , 2 2 2 2 1 и устранить «лишний» член − ∆x∆y∆z не удается. 2 4/4 (9)