обратная спектральная задача для уравнения дзекцера

XII ВСЕРОССИЙСКАЯ ШКОЛА-КОНФЕРЕНЦИЯ МОЛОДЫХ УЧЕНЫХ
"УПРАВЛЕНИЕ БОЛЬШИМИ СИСТЕМАМИ"
_____________________________________________________________________
УДК 517.94
ББК 78.34
ОБРАТНАЯ СПЕКТРАЛЬНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ
УРАВНЕНИЯ ДЗЕКЦЕРА
Кириллов Е.В. 1
(Федеральное государственное бюджетное образовательное
учреждение высшего профессионального образования
"Южно-Уральский государственный университет"
(национальный исследовательский университет), Челябинск)
Рассматривается обратная задача спектрального анализа для
относительного спектра оператора.
Ключевые слова: обратная спектральная задача, относительный
спектр, резольвентный метод.
Введение
Проникнуть в суть обратных спектральных задач помогает
работа [12] . По звуку автор восстанавливает форму барабана.
Аналогичную постановку имеют обратные спектральные задачи.
По известным спектральным характеристикам нужно восстановить вид оператора. Вообще говоря, только спектра не хватает
для решения подобной задачи, исключением является результат
полученный Амбарцумяном [9]. Было разработано немало методов решения обратных спектральных задач: метод Борга [10],
метод операторов преобразования [5], метод спектральных отображений [11], метод эталонных моделей [8]. Крайне эффективным
методом является резольвентный метод, разработанный В.А. Садовничим и В.В. Дубровским [6], [1], и развитый в работах их
учеников. Он лег в основу численных методов решения обратных
спектральных задач [4]. В частности в работах А.И. Седова и Г.А.
Закировой [7], [2] резольвентный метод был применен к обратной
1
Евгений Вадимович Кириллов, студент ([email protected]).
XII ВСЕРОССИЙСКАЯ ШКОЛА-КОНФЕРЕНЦИЯ МОЛОДЫХ УЧЕНЫХ
"УПРАВЛЕНИЕ БОЛЬШИМИ СИСТЕМАМИ"
_____________________________________________________________________
спектральной задаче для различных степеней оператора Лапласа.
В работе [3] этот метод был использован для решения прямой
спектральной задачи с относительным спектром оператора. Целью данной работы заключается в применении резольвентного
метода для восстановления потенциала возмущающего оператор
по данным относительного спектра. Терминология и основные
утверждения взяты из теории уравнений соболевского типа, разработанной Г.А. Свиридюком [13].
1. Постановка задачи
Уравнение Дзекцера
(a2 − ∆)ut = α∆u − β∆2 u + f
моделирует эволюцию свободной поверхности фильтрующейся
жидкости [7]. Здесь параметры параметры α, β > 0, a2 ∈ R
характеризуют среду, свободный член f = f (x) соответствует
источникам (стокам) жидкости.
В данной работе рассматривается одномерный случай, т. е.
d2
4 = dx
2.
Зададим операторы T, L : U → F формулами
d2
(1)
T = α∆ − β∆2 , ∆ = 2 , L = a2 − ∆,
dx
причем
U = {u ∈ W2k+2 (0, π) : u(0) = u(π)},
[
F = {u ∈ W2k (0, π)}, k ∈ {0} N,
\
domT = u ∈ W2k+2 (0, π) : u00 (0) = u00 (π) = 0
U.
Пусть P — оператор умножения на функцию p ∈ L2 (0, π), удовлетворяющую условию:
Z π
p(x)dx = 0.
0
Рассмотрим
оператор
T
+
P.
Обозначим
через
XII ВСЕРОССИЙСКАЯ ШКОЛА-КОНФЕРЕНЦИЯ МОЛОДЫХ УЧЕНЫХ
"УПРАВЛЕНИЕ БОЛЬШИМИ СИСТЕМАМИ"
_____________________________________________________________________
{νn }∞
= σ L (T + P ), где νn занумерованы в поn=1
рядке невозрастания их действительных частей с учетом
алгебраической кратности. Пусть далее дана последовательность
комплексных чисел {ξn }∞
n=1 , близкая к спектру невозмущенного
оператора T . Как именно близкая будет сказано далее. Требуется
доказать существование оператора P , такого что относительный
спектр σ L (T + P ) совпадает с данной последовательностью.
2. Основные обозначения и определения
Определение 1. ρL (T ) = {µ ∈ C : (µL − T )−1 ∈ L(F ; U )}
— резольвентное множество оператора T относительно оператора L.
Определение 2. R0 (µ) = (µL − T )−1 — L-резольвента оператора T.
Определение 3. R(µ) = (µL − T − P )−1 — L-резольвента
оператора T + P.
Рассмотрим операторы T и L, заданные формулой (1). Очевидно,
что
βλn − α
(2)
µ n = λn
,
λ n − a2
∞
где {λn }n=1 = σ(∆) — собственные числа оператора Лапласа,
порожденного краевой задачей Дирихле:
∆u = λu,
u(0) = u(π) = 0,
λn = −n2 .
Для оператора L имеем :
Lϕs = (a2 − ∆)ϕs = (a2 − λs )ϕs =
n(a2 −λs )ϕs ,a2 6=λs
0,a2 =λs
поэтому:
(3)
(4)
n ϕs , a2 6=λs ,
µ−µs
R0L (µ)ϕs =
0, a2 =λs ,
ϕs
n
,a2 6=λs
s )(a2 −λs )
R0 (µ)ϕs = (µ−µ
.
ϕs
2
βa4 −αa2
,a =λs
,
XII ВСЕРОССИЙСКАЯ ШКОЛА-КОНФЕРЕНЦИЯ МОЛОДЫХ УЧЕНЫХ
"УПРАВЛЕНИЕ БОЛЬШИМИ СИСТЕМАМИ"
_____________________________________________________________________
Операторы R0 (µ), R0L (µ), µ ∈ ρ(T ), являются ядерными, поскольку ряды из собственных чисел данных операторов сходятся. Положим
γn = {µ : |µ − µn = rn },
rn =
1
min{µn+1 − µn ; µn − µn−1 },
2
r0 = inf rn .
3. Основной результат
∞
X
rn2
max
kR0 (λ)k22
2 ! 21
сходится, обозначим его
n=1
1
сумму через s. Пусть далее r ∈ 0, min{r0 , }
s
Лемма 1. Если kPj k 6 r/2, 0 < r < r0 < j = 1, 2 < то
Ряд
λ∈γrn
|αn (p1 ) − α(p2 )| 6 rrn kP1 − P2 k max kR0 (µ)k22 ,
µ∈γn
где k · k2 — норма Гильберта-Шмидта.
Теорема 1. Пусть kP k < r0 и для комплексной последовательности ξn , близкой к относительному спектру невозмущенного оператора так, что выполняется неравенство
∞
X
n=1
r
|ξn − µn | < (1 − ω),
2
1
где r ∈
0, min{r0 , } , ω = sr < 1, s — сумма ряда
s
2 ! 12
∞
X
rn2 max kR0 (λ)k22
. Тогда: существует p ∈ L2 (0, π)
n=1
λ∈γrn
такой что для любого n ∈ N выполняется
ξn = µn .
XII ВСЕРОССИЙСКАЯ ШКОЛА-КОНФЕРЕНЦИЯ МОЛОДЫХ УЧЕНЫХ
"УПРАВЛЕНИЕ БОЛЬШИМИ СИСТЕМАМИ"
_____________________________________________________________________
Литература
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
ДУБРОВСКИЙ В.В. Обратная спектральная задача для
степени оператора Лапласа с потенциалом из L2 // Дифференц. уравнения. - 1992. - Т. 28 № 9. - С. 1552-1561.
ЗАКИРОВА Г.А. Восстановление потенциала в обратной
спектральной задаче для оператора Лапласа с кратным
спектром // Вестник ЮУрГУ. Серия "Математическое моделирование и программирование 2010. - № 35. - С. 25-28.
ЗАКИРОВА Г.А., КИРИЛЛОВ Е.В. Регуляризованный Lслед обного возмущенного оператора // Вiсник Од. нац.
ун-ту. Мат. i мех. - 2013. - Т. 18, вип. 2(18). - С. 7-13.
КАДЧЕНКО С.И. Численный метод решения обратных задач, порожденных возмущенным самосопряженным оператором // Вестник ЮУрГУ. Серия "Математическое моделирование и программирование 2013. - Т6, №
4. - С. 15-25.
МАРЧЕНКО В.А. Некоторые вопросы теории дифференциальных операторов второго порядка // руды моск. матем. о-ва. - 1952. - Т.1. - С. 327-420.
САДОВНИЧИЙ В.А., ДУБРОВСКИЙ В.В., ПУЗАНКОВА Е.А. Обратная задача спектрального онализа для степени оператора Лапласа на прямоугольнике // Дифференц.
уравнения. - 2000. - Т. 36 № 12. - С. 1695-1698.
СЕДОВ А.И., ЗАКИРОВА Г.А. О существовании и единственности решения обратной задачи спектрального
анализа для степени оператора Лапласа на параллелепипеде // Вестник МаГУ. Математика. - 2006. - Вып. 9 - С.
145-149.
ЮРКО В.А. Восстановление дифференциальных операторов высших порядков // Дифференц. Уравнения. - 1989.
- Т.25. № 9. - С. 1540-1550.
AMBARZUMIAN V.A. Ü ber eine Frage Eigengwert theorie
// Zeits. f. Phisik. - 1929. - № 53. - S. 690-695.
XII ВСЕРОССИЙСКАЯ ШКОЛА-КОНФЕРЕНЦИЯ МОЛОДЫХ УЧЕНЫХ
"УПРАВЛЕНИЕ БОЛЬШИМИ СИСТЕМАМИ"
_____________________________________________________________________
10.
11.
12.
13.
BORG G. Eine Umkehrung der Sturm — Liouvilleschen
Eigenwertaufgabe // Acta Math. - 1946. - Bd. 78. № 1. S. 1-90.
LEVINSON N. The invers Sturm-Liouville problem // Math.
Tidssk. - 1949. - P. 25-30.
MARK K. Can one hear the shape of a drum? // American
Mathematical Monthly. - 1966. - Vol. 73. - Is. 4, Prt. 2: Papers
in Analysis. - P. 76-86.
SVIRIDYUK G.A., FEDOROV V.E. Linear Sobolev Type
Equation and Degenerator Semigroups of Operators //
Utrecht, Boston:VSP. — 2003.
THE INVERSE SPEC PROBLEM FOR DZEKTSER
EQUATION
Eugene Kirillov, South Ural State University, Chelyabinsk, student
([email protected]).
Abstract: The inverse problem of spectral analysis of the relative
spectrum of the operator.
Keywords: inverse spectral problem, inverse spectral problem,
resolvent method.