ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОУ ВПО САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
ГОУ ВПО САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ФИЛИАЛ В Г. СЫЗРАНЬ
Кафедра общетеоретических дисциплин
ОСНОВЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ
И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ
Учебное пособие
Сызрань 2007
2
Составитель Потанина О.В
УДК
Указания к выполнению типовых расчетов по основам теории
вероятностей
и
математической
статистике:
учебн.
пособ./
Самар.гос.тех.ун-т. Потанина О.В., Сызрань, 2007.- 53с.
В указания включены теоретические сведения, рекомендации по
решению задач, типовые расчетные задачи по темам. Предназначено
для студентов втузов.
Ил.2.Библиогр.1.Табл. 3
Составитель: Потанина О.В.
Рецензенты : к. п.н. И.П. Егорова, к. ф.-м. наук В.Б. Кислинский
СФ СамГТУ, 2007
3
1.
КОМБИНАТОРИКА
Комбинаторики изучает количество комбинаций, подчиненных
определенным условиям, которые можно составить из элементов
данного
множества.
Из
конечного
множества
Е ={ е 1 , е 2 ,..., е n }, состоящего из различных n элементов, можно
образовывать различные наборы, состоящие из m элементов (m ≤ n).
Перестановками
из n различных элементов называются
комбинации, содержащие по n элементов и отличающиеся только
порядком их расположения (упорядоченные наборы без повторений
из n элементов по n). Перестановки обозначают Pn , их число
определяется по формуле
Р= n!, n!= 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ ... ⋅ n
(1)
Конечное множество называется упорядоченным, если все его
элементы пронумерованы некоторым образом. Выбор первого
элемента можно провести n способами, второго (n-1) способом, так
как не должно быть повтора. Последний элемент
можно выбрать
только одним способом. Таким образом, общее число способов
упорядочения равно
n ⋅ (n − 1) ⋅ (n − 2 ) ⋅ ... ⋅ 2 ⋅ 1 = n! = P
Пример.
способами
Сколькими
можно
рассадить
трех
студентов на трех стульях?
Решение.
Искомое
число
равно
числу
перестановок
Р3 = 3!= 1 ⋅ 2 ⋅ 3 =6
Размещениями называются комбинации из n различных
элементов по m элементов, которые отличаются либо составом
элементов, либо их порядком (упорядоченные наборы без повторений
из n элементов по m элементов). Размещения обозначаются
Аnm
вычисляются по формуле:
Аnm = n ⋅ (n − 1) ⋅ (n − 2) ⋅ ... ⋅ (n − m + 1) =
n!
(n − m )!
(2)
и
4
Пример. Сколькими способами можно отобрать из 10 студентов
по одному для участия в олимпиадах по физике и математике.
Решение. Данное число равно число размещений А102 = 10 ⋅ 9 = 90
Сочетаниями
называются
комбинации
из
n
различных
элементов по m элементов (неупорядоченные наборы без повторений
из n элементов по m элементов). Число сочетаний обозначается
символом С nm и вычисляется по формуле:
C nm =
Числа
равные
Anm
n!
=
Pn
m!⋅(n − m )!
С nm
называют также
(3)
биноминальными
коэффициентами.
Пример. Сколькими способами можно отобрать из 5 студентов
двух для участия в конференции.
Решение. С52 =
5! 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5 20
=
=
= 10
2!⋅3! 1 ⋅ 2 ⋅ 1 ⋅ 2 ⋅ 3 2
Свойства.
1. С nm = С nn−m (свойство симметрии)
2. Сnm+1 = С nm + C nm−1 (свойство рекуррентности)
3. Сn0 =1
4. Сn0 + C n1 +…+ Cnn = 2 n ( следствие бинома Ньютона)
Если выбор из n элементов по m производится с возвращением и
с упорядочением, то различные комбинации будут отличаться либо
составом элементов, либо порядком их следования. Такие комбинации
называются размещениями с повторением. Обозначаются
Аnm = n m .
Если некоторый объект А может быть выбран n способами А
объект В – m способами, то:
5
Задание 1
1. B группе 25 студентов. Сколькими способами можно выбрать
старосту, заместителя старосты и профорга?
2. В лотерее билеты с номерами из 5 цифр (1,2,3,4,5). Сколько
билетов будут иметь номер кратный 2?
3. Сколькими способами можно составить список из 10 человек?
(5628800).
4. Сколькими способами из 15 рабочих можно создать бригады
по 5 человек в каждой? (3003).
5. Буквы азбуки Морзе образуются как последовательности
точек и тире. Сколько букв можно составить, используя для
кодировки каждой из букв ровно 5 символов? (32).
6. Сколько чисел можно составить из цифр 1,2,3,4,5?
7. Набирая номер телефона, состоящий из 6 цифр, абонент
забыл последние три. Помня только что эти цифры различные.
Сколько комбинаций ему нужно перебрать, чтобы найти нужную?
8. Сколько различных наборов без повторений из 3 букв можно
составить из слова «комбинация»?
9. Сколькими способами 15 команд можно разделить на три
подгруппы?
10. В урне 8 шаров, пронумерованных от 1 до 8. Из коробки
вынимают 2, и записывают в порядке возрастания цифр (с
возвращением). Сколько двузначных чисел можно записать?
11. В лотерее выигрывает номер из 5 цифр. Сколько билетов
можно составить для данной лотереи, если каждая цифра входит
только один раз?
12. Сколькими способами можно выбрать из 10 финалистов
конкурса 3 призеров?
6
13.Сколькими способами можно из 24 танцоров
составить
пары?
14. Компьютер произвольно составляет тесты 500 из задач?
Сколько вариантов тестов можно составить, если в каждом варианте
должно быть 10 задач и они не должны повторятся?
15. В урне 8 шаров, пронумерованных от 1 до 8. Из коробки
вынимают 3, и записывают в порядке возрастания цифр (без
возвращения). Сколько трехзначных чисел можно записать?
16. Сколькими способами из 50 вопросов можно составить
билеты к экзаменам по два вопроса в каждом, чтобы не было
повторений?
17. Сколько перестановок можно составить из слова «комар»?
18.
Бросают
два
игральные
кости
сколько
комбинаций
благоприятны исходу, что сумма очков будет нечетной?
19. Буквы азбуки Морзе образуются как последовательности
точек и тире. Сколько букв можно составить, используя для
кодировки каждой из букв ровно 3 символа?
20. Набирая номер телефона, состоящий из 7 цифр, абонент
забыл последние две. Помня только что эти цифры различные.
Сколько комбинаций ему нужно перебрать, чтобы найти нужную?
21. B группе 25 студентов. Сколькими способами можно
выбрать 5 человек для спартакиады?
22.
Компьютер произвольно составляет тесты 100 из задач?
Сколько вариантов тестов можно составить, если в каждом варианте
должно быть 10 задач?
23. В лотерее билеты с номерами из 5 цифр (1,2,3,4,5). Сколько
билетов будут иметь номер кратный 3?
24. Куб, все грани которого окрашены, распилен на 100 кубиков
одинакового размера, которые затем перемешаны. Сколько кубиков
будет иметь одну окрашенную грань? Три окрашенных грани?
7
25. Пин код карты банкомата состоит из 4 цифр. Владелец забыл
первые две, но запомнил что все 4 цифры различны. Сколько
возможных вариантов он должен составить?
2.
КЛАССИЧЕСКОЕ
И
СТАТИСТИЧЕСКОЕ
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ
О
существовании
вероятности
как
меры
объективной
возможности наступления события говорит практика.
Частостью (относительной частотой) события А называют
отношение числа испытаний m, в которых событие А появилось, к
числу всех испытаний n .
W(A) =
m
n
(4)
Частость обладает свойством устойчивости, то есть при
большом
количестве
некоторого
объективная
числового
испытаний
значения.
характеристика,
частость
колеблется
Вероятность
существующая
около
события
есть
независимо
от
испытаний. Частость определяется только по результатам испытаний.
Рассмотрим статистическое определение вероятности.
Вероятностью Р(А) случайного события А называется число,
около
которого
группируются
события
при
неограниченном
увеличении числа испытаний.
W(A) =
m
n
→ Р(А)
n →∞
Свойства.
1. 0 ≤ W ( A) ≤ 1
2.
W (Ω) = 1,
W (O/ ) = 0
3. W(A+B)=W(A)+W(B), где А и В несовместные события.
4. W(AB)=W(A)W(B/A)=W(B)W(A/B)
(5)
8
К
основным
понятиям
теории
вероятности
относятся:
испытание, событие, вероятность события. Например: бросание
монеты - испытание, выпадение герба – событие.
По
степени
возможности
события
классифицируют
на
достоверные ( Ω ), невозможные ( О/ ) и случайные (А, В, С…).
По
характеру
совместные
и
взаимосвязи
несовместные.
события
Два
классифицируют
события
на
называются
несовместными, если они не могут появиться одновременно.
Несколько событий образуют полную группу, если в результате
испытания наступит хотя бы одно из них. Два несовместных события,
образующих полную группу называют противоположенными ( Α и А ).
Суммой событий А1 , А2 ,…, Аn называется событие, состоящее в
наступлении хотя бы одного из этих событий («или»).
В= А1 + А2 +…+ Аn .
Произведением
событий А1 , А2 ,…, Аn
называется
событие,
состоящее в совместном появлении всех этих событий («и»).
С= А1 • А2 • … • Аn .
Правило суммы: выбрать А или В можно n+m способами.
Правило произведения: А и В могут быть выбраны n • m способами.
Например. Записать формулу для события - ровно одно
попадание при двух выстрелах.
Обозначим событие А={ровно одно попадание при двух
выстрелах}, события В1 ={попадание при первом выстреле} и В2 =
{попадание при втором выстреле}. Тогда формула для события А
примет вид А = В1 • В2 + В1 • В2 .
События называются равновозможными в данном испытании,
если по условиям симметрии есть основание считать, что ни одно из
них не является более возможным, чем другое. События образующие
9
полную группу несовместных и равновозможных событий называют
случаями. При рассмотрении таких испытаний работает « схема урн»
или
«схема
случаев».
классифицируют
на
По
отношению
благоприятные
к
событию
(событие
случаи
наступило)
и
неблагоприятные (событие не наступило).
Вероятность события А обозначается Р(А) и определяется формулой
Р(А)=
m
n
(6)
где m - число элементарных исходов, благоприятствующих
событию A; n - число всех возможных элементарных исходов
испытания. Предполагается, что элементарные исходы несовместны,
равновозможны и образуют полную группу.
Пример. Брошена игральная кость. Найти вероятность того, что
выпадет нечетное число очков.
Решение.
Введем
обозначение:
событие
А={выпадение
нечетного числа очков}, элементарные исходы А1 ={выпало одно
очко}, А2 ={два очка}, А 3 ={три очка}, А4 ={четыре очка}, А5 -{пять
очков}, А6 ={шесть очков}. Число всех возможных исходов равно
n=6.
Рассмотрим событие А={выпадение нечетного числа очков},
данному
событию
благоприятствуют
А1 , А 3 А5 .Следовательно
Р(А)=
элементарные
–
исходы
число благоприятных исходов m = 3 . Тогда
3
=0,5.
6
Ответ : вероятность равна 0,5
Пример. B группе 12 студентов, среди которых 8 отличников.
По списку наудачу отобраны 9 студентов. Найти вероятность того, что
среди отобранных студентов будут 6 отличников.
Решение. Событие A={среди отобранных студентов будут 6
отличников}.
10
Общее число исходов n - равно числу способов, которыми
можно отобрать 9 студентов из 12.
n = C129 =
12! 10 • 11 • 12
=
= 220
9!•3!
1• 2 • 3
Подсчитаем число исходов, благоприятствующих появлению
события А. Из 8 отличников 6 можно отобрать C86 способами. Так как
нужно 9 человек, остальных 3 отбираем среди неотличников. Троих
студентов - неотличников из четырех можно отобрать С 43 способами.
По теореме умножения комбинаторики m = C86 • С 43 . Тогда Р(А)=
С86 • С 43 28 • 4 28
=
=
.
220
55
С129
Ответ: вероятность равна
28
55
Задание 2.
1. B партии из 100 деталей отдел технического контроля
обнаружил 5 нестандартных деталей. Чему равна относительная
частота появления нестандартных деталей?
2.При стрельбе из винтовки относительная частота поражения
цели оказалась равной 0,85. Найти число попаданий, если всего было
произведено 120 выстрелов.
3. Набирая номер телефона, абонент забыл последние три
цифры, и помнит лишь то, что эти цифры различны, набрал их
наудачу. Найти вероятность того, что набраны нужные цифры.
4. В урне 4 белых, 6 черных шаров. Из урны вынимают наугад
один шар. Найти вероятность того, что этот шар белый.
5. Брошены двё - игральные кости. Найти вероятность того, что
сумма очков - четная; причем на грани хотя бы одной из костей
появится шестерка.
6. B ящике 50 одинаковых деталей, из них 5 окрашенных.
Наудачу вынимают одну деталь. Найти вероятность того, что
извлеченная деталь окажется окрашенной.
11
7. Куб, все грани которого окрашены, распилен на 1000 кубиков
одинакового размера, которые затем перемешаны. Найти вероятность
того, что наудачу извлеченный кубик будет иметь одну окрашенную
грань
8. Из тщательно перемешанного полного набора 28 костей
домино наудачу извлечена кость. Найти вероятность того, что вторую
наудачу извлеченную кость можно приставить к первой, если первая
кость: а) оказалась дублем ; 6) не есть дубль.
9. Задумало двузначное число. Найти вероятность того; что
задуманным числом окажется случайно названное число.
10 . Из пяти букв разрезанной азбуки составлено слово «книга».
Ребенок, не умеющий читать, рассыпал карточки с буквами и затем
собрал в произвольном порядке. Найти вероятность того, что у него
снова получится слово «книга».
11. Найти вероятность того, что наудачу выбранное двузначное
число делится на 3.
12. В замке на общей оси пять дисков. Каждый диск разделен на
шесть секторов, на которых написаны различные буквы. Замок
открывается только в том случае, если каждый диск занимает одно
определенное
положение
вероятность того, что при
относительно
корпуса
замка.
Найти
произвольной установке дисков замок
можно будет открыть.
13. B мастерскую для ремонта поступили 10 часов. Известно,
что 6 штук из них нуждаются в общей чистке механизма. Мастер
берет случайным образом 5 часов. Определить вероятность того, что
двое из этих часов нуждаются в общей чистке механизма.
14. Из партии, в которой 31 деталь без дефектов и 6 с
дефектами, берут наудачу 3 детали. Чему равна вероятность, что все
три детали без дефектов?
12
15. Восемь различных книг расставляются наудачу на одной
полке. Найти вероятность того, что две определенные книги окажутся
поставленными рядом.
16. Библиотечка состоит из десяти различных книг, причем пять
книг стоят по 40 рубля каждая, три книги - по 30 руб. и две книги - по
10 руб. Найти вероятность того, что взятые наудачу две книги стоят
50 рублей.
17. Задумало двузначное число. Найти вероятность того, что
задуманным числом окажется случайно названное число, цифры
которого различны.
18. Из партии, в которой 31 деталь без дефектов и 6 с
дефектами, берут наудачу 3 детали. Чему равна вероятность, что по
крайней мере одна деталь без дефектов?
19. Куб, все грани которого окрашены, распилен на 1000
кубиков одинакового размера, которые затем
перемешаны. Найти
вероятность того, что наудачу извлеченный кубик будет иметь три
окрашенных грани.
20. Из пяти букв разрезанной азбуки составлено слово «клоун».
Ребенок, не умеющий читать, рассыпал карточки с буквами и затем
собрал в произвольном порядке. Найти вероятность того, что у него
снова получится слово «клоун».
21. В партии 300 деталей первого сорта, 200 – второго,60 –
третьего. Какова вероятность что наугад отобранные три
детали
будут одного сорта?
22. Пин код карты банкомата состоит из 4 цифр. Владелец забыл
первые две, но запомнил что все 4 цифры различны. Какова
вероятность, что он наберет правильный номер, если после третьего
неправильного ввода пин кода карта блокируется?
13
23. В лотерее билеты с номерами из 5 цифр (1,2,3,4,5).Найти
вероятность выигрыша студента, если известно, что им приобретено
100 билетов?
24. Устройство состоит из 6 элементов, из которых два
изношены. С начала работы устройства включаются случайным
образом два элемента. Найти вероятность, что включенными окажутся
неизношенные элементы.
25. Студент знает 40 из 50 вопросов программы. Его
экзаменационный билет содержит 3 вопроса. Найти вероятность, что
студент знает все три вопроса взятого билета?
3. ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ПРЕДЕЛЕНИЕ
ВЕРОЯТНОСТИ
Если опыт сводится к бесконечному числу равновозможных
случаев, то применяется геометрическое определение вероятности.
Пусть событие А состоит в том, что случайная точка попадает в
фигуры Ω и имеющая меру μ(Ω) ,
область ω , являющуюся частью
тогда вероятность события А определяется формулой
Р ( А) =
μ (ω )
μ (Ω)
(7)
Пример. Территория нефтебазы имеет форму прямоугольника
со сторонами а = 50 м, б = 30 м. На территории имеется емкость
диаметром 10 м. Какова вероятность поражения
емкости бомбой,
попавшей на территорию нефтебазы, если попадание бомбы любую
точку нефтебазы равновероятно?
Решение.
Событие
А = {поражение емкости бомбой,
попавшей на территорию нефтебазы. где μ (ω ) - число благоприятных
исходов равно площади заштрихованного круга, а число всех исходов
μ (Ω) - площади прямоугольника (рис.1).
14
б
а
Рис. 1
Р ( А) =
25 • П П
=
50 • 30 60
Ответ : вероятность рана Р ( А) =
П
60
Пример. Найти вероятность того, что сумма двух наудачу
взятых положительных правильных дробей не больше 1.
Решение. Обозначим через х и у данные дроби. По условию
задачи х < 1, у < 1. Рассмотрим событие A ={сумма дробей не
больше 1}, то есть х+у <1. Если принять х и у как декартовы
координаты точки плоскости то, площадь треугольника равна числу
благоприятных исходов. А площадь квадрата ABCD числу всех
исходов (рис 2).
y
B
C
1
0,5
D
A
0,5 1
x
Рис. 2
Р ( А) =
0,5
= 0,5 .
1
Ответ : вероятность события А равна 0,5
15
Задание 3
1.Стержень
единичной
длинны
произвольным
образом
разламывается на три части. Найти вероятность того, что из этих
частей можно составить треугольник.
2.
На отрезок ОА, длины L, числовой
поставлена точка В.
оси Ох наудачу
Найти вероятность того, что меньший из
отрезков ОВ и ВА имеет длину меньшую, чем L/3. Предполагается,
что вероятность попадания точки на отрезок пропорциональна длине
отрезка, и не зависит от его расположения на числовой оси.
3. После бури на участке между 40-м и 55-м километрами
телефонной линии произошел обрыв провода. Какова вероятность
того, что разрыв произошел между 50-м и 55-м километрами линии?
(1/3)
4. B круг вписан квадрат. Найти вероятность того, что точка
брошенная наудачу внутрь круга, окажется и внутри квадрата.
5. B круг вписан квадрат. Найти вероятность того из пяти точек,
брошенные наудачу внутрь круга, одна окажется внутри квадрата и по
одной точке попадет на каждый сегмент. Предполагается, что
вероятность попадания точки на какую-либо часть круга зависит
только от площади этой части и пропорциональна ей.
6. Считается равновероятным попадание реактивного снаряда в
любую точку площади в 10000 кв. м. Определить вероятность
попадания снаряда в мост, находящийся на этой площади, если его
длина 200 м. и его ширина 10 м.
7. Какова вероятность того, что из трех взятые наудачу отрезков
длиной не более Q можно построить треугольник?
8.Наудачу взяты, два положительных числа х и у, каждое из
которых
не
превышает
двух.
Найти
вероятность
того,
что
произведение (х • у) будет не больше единицы, a частное (у/х) не
большё двух.
16
9. Наудачу взяты два положительных числа х и у, каждое из
которых не превышает единицы. Найти вероятность того, что сумма
(х + y) не превышает единицы, a произведение (х у) не меньше 0,09.
10.
Плоскость
разграфлена
параллельными
прямыми.
находящимися друг от друга на расстоянии 2а. На плоскость наудачу
брошена монета радиуса r < a . Найти вероятность того, что монета не
пересечет ни одной из прямых.
11. На плоскость с нанесенной сеткой квадратов со стороной а
наудачу брошена монета радиуса r < а . Найти вероятность того, что
монета не пересечет ни одной из сторон квадрата. Предполагается
что вероятность попадания точки в плоскую фигуру пропорциональна
площади фигуры и не зависит от ее расположения.
12. На плоскости начерчены две концентрические окружности,
радиусы которых 5 и 10 см соответственно. Найти вероятность того,
что точка, брошенная наудачу в большой круг, попадет также и в
кольцо, образованное построенными окружностями. Предполагается,
что вероятность попадания точки в плоскую фигуру пропорциональна
площади этой фигуры, и не зависит от ее расположения.
13. . Два студента условились встретится в на остановке между
7.45 ч. и 8.00ч. пришедший первым ждет второго до подхода нужного
автобуса. Каждые 10 минут подходит автобус нужного маршрута.
Найти вероятность, что они встретятся на остановке.
15.
Плоскость
разграфлена
параллельными
прямыми.
находящимися друг от друга на расстоянии 6 см. На плоскость
наудачу брошена монета радиуса 2см. Найти вероятность того, что
монета не пересечет ни одной из прямых.
16.-20.
Найти вероятность, что сумма наудачу взятых
положительных правильных дробей не больше a, а модуль разности
не меньше b.
17
21.-25.
№ варианта
а
b
16
0,8
0,2
17
0,9
0,1
18
1
1/3
19
0,6
0,2
20
1
1/5
Найти
вероятность,
что
сумма
наудачу
взятых
положительных правильных дробей не больше a, а произведение не
меньше b.
№ варианта
а
b
16
0,8
0,25
17
0,75
1/8
18
1
3/16
19
0,95
3/20
20
0,9
9/50
4. ТЕОРЕМЫ СЛОЖЕНИЯ И УМНОЖЕНИЯ
ВЕРОЯТНОСТЕЙ.
Два события называются независимыми, если вероятность
одного из них не зависит от появления или не появления другого.
Условной вероятностью Р(В/А) наступления события В при
условии, событие А произошло в результате испытания называется
величина определяемая равенством
P( B / A) =
P( AB)
P( A)
(8)
Теоремы
Р(А + В)=Р(А)+ Р(В)- для несовместных событий.
1.
Р(А + B)= Р(А)+ Р(В)+ Р(А • В)- для совместных событий.
18
2.
Р(А • В)= Р(А)• Р(В)- для независимых событий.
3.
Р(А • В)=Р(А)• Р (В/A) – для зависимых событий.
Пример. B ящике 10 деталей, 3 из которых бракованные.
Наудачу вынимают два изделия. Найти вероятность того, что оба
изделия бракованные, если первое изделие: a) возвращается в ящик; б)
в ящик не возвращается.
Решение. Введем обозначения событий A={первое изделие
бракованное}, B={второе изделие бракованное},C={оба изделия
бракованные}. Событие C представляет собой произведение событий
А и B, то есть
С = A • B . Вероятность события А находим по
классической формуле Р(А)=
3
.
10
а) Если первое изделие возвращается в ящик, то Р(В)=
3
, вне
10
зависимости от того, какое изделие было первое, то есть A и B
независимые события. Тогда Р(С)= Р(А • В)= Р(А)• Р(В)=
3
3
9
•
=
10 10 100
б) Если изделие не возвращается, то вероятность события B
будет меняться в зависимости от того, какое изделие было вынуто
первым (бракованное или небракованное). Найдем вероятность
события B в предположения, что первое изделие оказалось
бракованным
Р (В/А) =
2
, так как всего осталось 9 изделий, два
9
из которых бракованные.
Тогда Р(С)=Р(А • В)=Р(А) • Р(В/А)=
3 2 1
⋅ = .
10 9 15
Задание 4
1. Два стрелка стреляют по мишени. Вероятность попадания в
мишень при одном выстреле для первого стрелка равна 0.7, а второго
- 0,8. Найти вероятность того, что при одном залпе в мишень попадет:
а) только один из стрелков; б) хотя бы один стрелок.
19
2. В читальном зале имеется 6 учебников по теории
вероятности, из которых три в переплете. Библиотекарь наудачу взял
два учебника. Найти вероятность того, что: а) оба учебника окажутся
в переплете; б) хотя бы 1 учебник будет в переплете.
3. B урне 5 белых и 4 черных шара. Из урны вынимают два
шара. Какова вероятность того, что оба шара будут белыми, если
выемку производить: а) с возвращением; б) без возвращения.
4. В мешке смешаны нити, среди которых 30% белых, а
остальные - красные. Определить вероятности того, что вынутые
наудачу две нити будут а) одного цвета; б) разных цветов
5.
Устройство
состоит
из трех
элементов,
работающих
независимо. Вероятности безотказной работы за определенный
промежуток
времени
первого,
второго
и
третьего
элемента
соответственно равны 0,6;0,7;0,8. Найти вероятности того, что за это
время безотказно будут работать а) только один элемент, б) все три
элемента.
6. Вероятность того, что при одном измерении некоторой
физической величины будет допущена ошибка, превышающая
заданную точность, равна 0,4. Произведены - три независимых
измерения. Найти вероятность того, что только в одном из них
допущенная ошибка превысит заданную точность.
7.Вероятность одного попадания в цель при одном залпе из двух
орудий равна 0,38. Найти вероятность поражения цели при одном
выстреле первым из орудий, если известно, что, для второго орудия
эта вероятность равна 0,8.
8.
Брошены
три
игральные
кости.
Найти
вероятности
следующих событий: а) на каждой из выпавших граней появится пять
очков; б) на всех выпавших гранях появится разное число очков.
9. В урне 3 красных и 4 белых шара, 5 красных, 2 белых и 6
черных кубов. Из урны наудачу вынимается одно изделие. Найти
20
вероятность того; что выбранное изделие а) либо белое, либо черное;
б) либо красное, либо куб.
10. Вероятность попадания в мишень стрелком при одном
выстреле равна 0,8. Сколько выстрелов должен произвести стрелок.
чтобы с вероятностью меньшей 0,4, можно было ожидать, что не
будет ни одного промаха?
11. Сколько раз нужно бросить игральную кость, чтобы с
вероятностью, не меньшей 0, 9 хотя бы один раз выпала «шестерка»?
12. Монета бросается его тех пор, пока 2 раза подряд она не
выпадет одной и той же стороной. Найти вероятности следующих
событии: а)опыт окончится до шестого бросания: б) потребуется
четное число бросаний.
13. Числитель и знаменатель рациональной дроби написаны
наудачу. Какова вероятность того, что эта дробь не сократима на 5.
14.
Из цифр 1,2,3,4,5 сначала выбирается одна, а затем из
оставшихся четырех - вторая цифра. Предполагается, что все 20
возможных исходов равновероятны. Найти вероятность того, что
будет выбрана нечетная цифра: а) в первый раз; б) в оба раза.
15.Найти вероятность того, что наудачу взятое натуральное
число, не превосходящее 100, будет делиться: а) на 2 или на 5; б) и на
2 и на 5.
16. Возле остановки останавливаются трамваи маршрутов
2,4,5,9. Для рабочего попутными являются маршруты 5 и 9.
Вычислить вероятность того, что к остановке первым подойдет
трамвай нужного маршрута, если по линиям маршрутов № 2,4,5,9
курсируют
соответственно
15,12,10,13
поездов.
Протяженности
маршрутов считаются одинаковыми.
17. Вероятность того, что в мужской обувной секции магазина
очередной будет продана пара обуви 46-го,размера равна 0,01.Сколько
должно быть продано пар обуви в магазине чтобы с вероятностью, не
21
меньшей 0,9, можно было ожидать, что будет продана хотя бы одна
пара обуви 46-го размера?
18. B урне имеется пять шаров с номерами от 1 до 5. Наудачу по
одному извлекают три шара без возвращения. Найти вероятность
следующих событии: а) последовательно появятся шары с номерами
1,4,5; б) извлеченные шары будут иметь номера 1,4,5 независимо от
того, в какой последовательности они появились.
19. Устройство состоит из трех элементов, работающих
независимо. Вероятности безотказной работы за определенный
промежуток
времени
первого,
второго
и
третьего
элемента
соответственно равны 0,6;0,7;0,8. Найти вероятности того, что за это
время безотказно будут работать а) только два элемента; б) хотя бы два
элемента.
20. Вероятность попадания в цель из винтовки 0,004. Сколько
стрелков
должны
стрелять
одновременно,
чтобы
вероятность
попадания бала больше 70%. .
21.В первом ящике 30% деталей первого сорта, во втором –
40%. Вынимают по одной детали из каждого ящика. Определить
вероятность а) что обе детали будут первого сорта; б) хотя бы одна
деталь первого сорта.
22.
Вероятность
попадания
при
одном выстреле
р=0,6.
Определить вероятность, что при трех выстрелах будет хотя бы одно
попадание.
23. Электрическая цепь состоит из двух последовательно
соединенных элементов. Элементы выходят из строя независимо друг
от друга. Вероятность выхода из строя первого элемента равна 0,09,
второго 0,1. Определить вероятность перерыва в питании цепи.
24.
Брак
составляет
2%.
Сколько
изделий
нужно
проконтролировать, чтобы вероятность обнаружения хотя бы одного
недоброкачественно изделия была не менее 0,95%.
22
25. Две команды из 5 футболистов бьют пенальти. Выигрывает
тот, кто первым забьет гол. Определить вероятность выигрыша
каждой команды.
5. ФОРМУЛА ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ,
ФОРМУЛЫ БАЙЕСА
Если событие А может произойти
только при условии
появления одного из несовместных событий Н 1 , Н 2 ,..., Н n , которые
называются гипотезами и образуют полную группу ( ∑i =1 P( Н i ) = 1 ), то
n
вероятность события А, которое может наступить только вместе с
одной из гипотез Н 1 , Н 2 ,..., Н n вычисляют по формуле полной
вероятности:
Р ( А) = ∑i =1 Р ( Н i ) • P ( A / H i )
n
(9)
Пусть в результате испытания события А наступило. Требуется
вычислить вероятность, что оно произошло с некоторой гипотезой
H i . В этом случае применяют формулу Байеса.
P ( H i / A) =
P( H i ) • P( A / H i )
P( A)
(10)
Пример. В системе электроснабжения промышленного района
15% линий электропередач построены более 20 лет назад, 35%
построены от10 до 20
лет назад, 50% - менее 10 лет назад.
Вероятность P( A / H i ) перерывов в электроснабжении по линиям,
построенным
в
эти
сроки,
соответственно
равны
0,004;
0,002;0,001.Одна линия сети была отключена по техническим
причинам. Какова вероятность того. Что это линия построена свыше
20 лет назад?
Решение. Обозначим соответственно вероятности постройки
линий в указанные сроки Р( В1 ) =0,15; Р( В2 ) =0,35; Р( В3 ) =0,5; Полная
вероятность перерыва в электроснабжении находим по формуле (9)
Р ( А) = ∑i =1 Р( Н i ) • P( A / H i ) = 0,15 • 0,004 + 0,35 • 0,002 + 0,5 • 0,001 = 0,0018.
3
23
Для нахождения
вероятности , что это произошло на линии
построенной более 20 лет назад, применяем формулу Байеса.
Р ( В1 / A) =
Р( В1 ) • Р( А / В1 ) 0,15 • 0,004
=
= 0,333 .
Р( А)
0,0018
Задание 5
1.B группе спортсменов 20 лыжников, 6 велосипедистов и 4
бегуна. Вероятность выполнить квалификационную норму такова: для
лыжника - 0,9; для велосипедиста - 0,8 и для бегуна - 0,75. Найти
вероятность того, что спортсмен, выбранный наудачу, выполнит норму.
2. Из урны, содержащей 5 белых и 3 черных шара. Извлекается
наудачу один шар и перекладывается в другую урну, которая до
этого содержала 2 белых и 7 черных шаров. Цвет перекладываемого
шара не фиксируется. Из второй урны наудачу извлекается одни шар.
Какова вероятность, что этот шар окажется белым?
3. B урну, содержащую 6 шаров опущен белый шар, после чего
наудачу извлечен один шар. Найти вероятность того, что извлеченный шар
окажется белым, если равновозможны все возможные предположения
o первоначальном составе шаров (по цвету).
4. B урну, содержащую 6 шаров, опущен белый шар, после
чего наудачу извлечен белый шар. Найти вероятность того, что в урне
было 5 белых шаров.
5. В пирамиде 5 винтовок, три из которых снабжены оптическим
прицелом. Вероятность того, что стрелок поразит мишень из
винтовки с оптическим прицелом равна 0,95; для винтовки с обычным
прицелом эта вероятность равна 0,7. Найти вероятность того,
что мишень будет поражена, если стрелок произведен один
выстрел из наудачу взятой винтовки.
6. В пирамиде 5 винтовок, три из которых снабжены оптическим
прицелом. Вероятность того, что стрелок поразит мишень из
винтовки с оптическим прицелом равна 0,95; для винтовки с обычным
24
прицелом эта вероятность равна 0,7. Стрелок попал в мишень.
Определить вероятность того, что он стрелял из винтовки с
обычным прицелом.
7.
По объекту
производится три одиночных независимых
выстрела. Вероятность попадания при первом выстреле равна 0,4 при
втором - 0,5; при третьем - 0,7. Для вывода объекта из строя
достаточно трех попаданий, при двух попаданиях он выходит из строя
с вероятностью 0,6, при одном - с вероятностью 0,2. Найти
вероятность того, что в результате трех выстрелов о6ъек-т будет выведен из
строя.
8. Имеются три партии деталей по 20 деталей в каждой. Число
стандартных
деталей
в
первой,
второй
и
третьей
партиях
соответственно равно 20, 15, 10. Из наудачу выбранной партии
наудачу
извлечена
возвращают
деталь
оказавшаяся
стандартной.
Деталь
в партию и вторично из той же партии наудачу
извлекают деталь, которая также оказывается стандартной. Найти
вероятность того, что детали были извлечены из третьей партии.
9. Три стрелка произвели залп,
причем две пули поразили
мишень. Найти вероятность того, что третий стрелок поразил мишень,
если вероятности попадания в мишень первым, вторым и третьим
стрелками соответственно равны 0,6; 0,5 и 0,4.
10. Вся
продукция
цеха
проверяется двумя
контролерами,
причем первый контролер проверяет 60% изделий, а второй остальные. Вероятность того,
что первый контролер пропустит
нестандартное изделие равна 0,01; второй - 0,02.
а) определить вероятность того, что наудачу взятое изделие
окажется нестандартным;
б) взятое наудачу изделие, маркированное как стандартное,
оказалось нестандартным. Какой контролер вероятнее всего проверял
данное изделие?
25
11. Вероятность того, что утечка газа происходит на подземном
участке газопровода равна 0,4; на подводном участке - 0,6.
Вероятность обнаружения утечки за время Т на подземном участке
равна 0,7; на подводном - 0,8.
а) какова вероятность того, что за время Т утечка газа
будет обнаружена?
б) за время Т утечка обнаружена. Где вероятнее это произошло на
подводном или на подземном участке?.
12. Два
охотника
одновременно
увидели
лису,
и
одновременно выстрелили в нее. Каждый из этих охотников на таком
расстоянии обычно в одном случае из трех попадает в лису и убивает
ее. Определить вероятность того, что лиса не будет убита.
13. 90% всходов были признаны здоровыми. Вероятность того,
что здоровое растение дает семена, равна 0,8. Вероятность, что
больное растение даст семена равно 0,2.
а) найти вероятность того, что растение, выбранное наугад, даст
семена.
б) вбранное наугад растение не дало семян. Что вероятнее:
растение было здоровым или больным?
14. Программа экзамена содержит 20 различных вопросов, из
которых студент знает 15 вопросов. Для успешной сдачи экзамена
достаточно ответить на два предложенных вопроса или на 1 из них и
дополнительный вопрос. Какова вероятность того, что студент
успешно сдаст экзамен?
15. Рабочий
обслуживает
3
станка,
на
которых
обрабатываются однотипные детали. Вероятность брака для перового
станка равна 0,02; для второго - 0,03; для третьего - 0,04.
Обработанные
детали
складываются
в
один
ящик.
Производительность первого станка в 3 раза больше, чем второго, а
третьего в 2 раза меньше, чем второго.
26
а) найти вероятность того, что взятая наудачу деталь будет
бракованной.
б)
взятая
деталь
оказалась
небракованной.
Определить
вероятность, что деталь была обработана на третьем станке.
16. В магазине три вида стиральных машин. Их количества
относятся как 5 : 3 : 2 .
Покупатель может купить стиральную
машину I вида с вероятностью 0,1; IIго вида —с вероятностью 0,2; IIIго вида - с 0,15.
а) найти
вероятность
того,
что
наудачу
выбранный
покупатель приобретет стиральную машину.
б) покупатель приобрел стиральную машину. Какого вида
вероятнее всего она оказалась?
17. В зоопарке 9 самок утконосов и 7 самок ехидны,
относящиеся к отряду сумчатых. Вероятность появления потомства в
условиях зоопарка для утконосов равна 0,3; для ехидны - 0,5.
а) определить вероятность того, что численность сумчатых
увеличится.
б) в течение года численность утконосов и ехидн увеличилась на
одно потомство. Какая из разновидностей сумчатых, вероятнее
всего, дала потомство?
18. У рыбака имеется три места для ловли рыбы, которые он
посещает с равной вероятностью каждое. Если он закидывает удочку
на первом месте, рыба клюет с вероятностью 0,5; на втором месте - с
вероятностью 0,7; на третьем месте - с вероятностью 0,8. Известно, что
рыбак, выйдя на ловлю рыбы три раза закинул удочку, и рыба клюнула
только один раз. Найти вероятность того, что он удил рыбу на первом
месте.
19. Три орудия производят стрельбу по 3 целям. Каждое
орудие выбирает себе цель случайным образом и независимо от
других.
Цель, обстрелянная
одним
орудием,
поражается
с
27
вероятностью 0,7.
Найти вероятность того, что из 3 целей две будут
поражены, а третья - нет.
20. Из чисел 1,2,...,100 одно за другим выбирают наудачу 2
числа. Какова вероятность того, что разность между первым
выбранным числом и вторым будет не меньше 25.
21. Имеются две партии одинаковых изделий по 15 и 20 штук,
причем в первой партии два, а во второй - три бракованных изделия.
Наудачу взятое изделие из первой партии переложено во вторую,
после чего
выбирается наудачу одно изделие из второй партии.
Определить вероятность того, что выбранное изделие является
бракованным.
22. Первый цех изготавливает 100 стеклопакетов, второй в два
раза больше, третий столько, сколько первый и второй вместе. При этом
продукция первого цеха содержит 3% брака, второго 2% брака, третьего
2% брака. Все стеклопакеты поступают склад. Наудачу берут один.
а) найти вероятность, что он без брака.
б) стеклопакет оказался без брака, какова вероятность, что
изготовлен вторым цехом.
23. Колличество продукции, поступающей на механическую
обработку трех литейных цехов, определяется соотношением 3:4:5. На
100 единиц продукции первого цеха приходится в среднем 10 единиц
брака, второго - 8,третьего- 11. Поступило 120 изделий.
а) какова вероятность что
наудачу
выбранная отливка будет
годной?
б) взятая отливка оказалась не бракованной. Определить
вероятность, что отливка была сделана в первом цехе?
24.
Два мальчика одновременно и независимо друг от друга
бросали снежки в снежную бабу. Первый мальчик бросил 5 снежков
средним весом 0,2 кг; второй
- 3 снежка по 0,3 кг. Вероятность
попадания снежка, брошенного первым мальчиком равна 0,8; а для
28
второго - 0,6. Для разрушения снежной бабы достаточно попадания
трех снежков по 0,2 кг. или двух - весом по 0,3 кг. Найти вероятность
того, что в итоге снежная баба не была разрушена.
25. Счетчик регистрирует частицы трех типов: А, В
и С.
Вероятность появления этих частиц соответственно 0,2; 0,3 и 0,5.
Частицы каждого из этих типов счетчик улавливаете вероятностями
р1 = 0,8; р2 = 0,2; р3 = 0,4.
а) найти
вероятность того, что счетчик зарегистрирует
появившуюся частицу.
б) счетчик отметил частицу. Какого типа вероятнее всего была
частица?
6. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ НЕЗАВИСИМЫХ
ИСПЫТАНИЙ
Частный случай схемы независимых испытаний , в котором
испытание может закончится только одним из двух исходов называют
схемой Бернулли. Обозначим вероятность А появления события в
каждом испытании Р(А)=p, а Р( А )=q, следовательно p+q=1
Тогда вероятность того, что в n испытаниях событие наступит
ровно m раз (безразлично, в какой последовательности), вычисляется
по формуле Бернулли:
Pn (m) = C nm • p m • q n − m
(11)
В случае если n очень велико применяют формулу Стирлинга
nn
n!≈ n • 2 Пn
e
или рассматривают предельные теоремы для схемы Бернулли.
Локальная
теорема
Муавра-Лапласа
вероятность наступления события
А
в
позволяет
n
найти
независимых
испытаниях ровно m раз.
Рn ( m) ≈
1
npq
• φ ( x) , где x =
m − np
npq
.
(12)
29
положительных значений функция φ ( x) =
Значения
1
2П
•e
− x2
2
табулированы и даны в приложении 1, для отрицательных значений
учитываем ее свойство четности φ ( x) = φ (− x) .
Интегральная теорема Муавра-Лапласа позволяет найти
вероятность
наступления
события
А
в
n
независимых
испытаниях от m1 до m2 раз:
Pn (m1 , m2 ) = P(m1 ≤ m ≤ m2 ) ≈ Φ ( x 2 ) − Φ ( x1 ) ,где
x1 =
m1 − np
npq
Значения
Φ ( x) =
1
2П
• ∫e
−t 2
2
, x2 =
m2 − np
npq
положительных
dt
1
, Φ ( x) =
2П
значений
• ∫e
−t 2
2
dt .
функции
даны в приложении 2,
(13)
Лапласа
для отрицательных
значений учитываем ее свойство нечетности Φ(− x) = −Φ( x) .
Теорема Пуассона
применяется, если число испытаний
велико, а вероятность очень мала:
Pn (m) =
λm • e − λ
где λ=n·p, среднее число появления события
m!
,
(14)
при испытаниях
( n ⋅ p ⋅ q ≤ 9 ).
Оценка того, что отклонение относительной частоты от
постоянной вероятности не превосходит положительного числа ε
производится по формуле:
где Φ( x) =
1
2П
• ∫e
−t 2
2
p(
m
− p ≤ 2Φ (ε ⋅
n
n
)
pq
(15)
dt - функция Лапласа.
Число k – называют наивероятнейшим, если вероятность того,
что событие наступит в этих испытаниях ровно k раз, по крайней
мере не
меньше
вероятности
остальных
испытаний. Оно определяется условием
возможных
исходов
np-q ≤ k ≤ np+q
(16)
30
Задание 6
1.B
лаборатории
проводится
серия
из
400
опытов
по
обнаружению микроба в растворе. Вероятность появления микроба в
каждом отдельном опыте равна 0,2. Найти вероятность того, что
микроб будет обнаружен в 80 опытах.
2.Завод
отправил
на
базу
доброкачественных
изделий.
Вероятность того, что в пути изделие повредится, равно 0,0002. Найти
вероятность того, что на базу придут 3 поврежденных изделия.
3. Монета бросается 5 раз. Какова вероятность того, что герб
выпадет не менее четырех раз?
4. Вероятность того, что деталь не прошла проверку ОТК равна
0,2. Найти вероятность того, что среди 400 случайно отобранных
деталей окажется непроверенных от 70 до 100 деталей.
5. Два равносильных противника играют в шахматы. Что
вероятнее: a) выиграть одну партию из двух или две партии из
четырех? б) выиграть не менее двух партий из четырех или не менее
трех партий из пяти? Ничьи во внимание не принимаются.
6. В семье 5 детей. Вероятность рождения мальчика равна 0,51.
Найти вероятности того, что среди этих детей а) два мальчика; в)
более двух мальчиков.
7. Произведено 8 независимых испытаний, в каждом из которых
вероятность появления события A равна 0,1. Найти вероятность того,
что событие A появится хотя бы 2 раза.
8. Наблюдениями установлено, что в некоторой местности в
сентябре бывает в среднем 12 дождливых дней. Какова вероятность
того, что в следующем году из 8 первых дней сентября 3 окажутся
дождливыми?
9. Для прядения поровну смешаны белый и окрашенный хлопок.
Какова вероятность среди пяти случайно выбранных волокон смеси
обнаружить менее двух окрашенных?
31
10. В семье 5 детей. Вероятность рождения мальчика равна 0,51.
Найти вероятности того, что среди этих детей а) не более двух
мальчиков; б) три мальчиков.
11.
Вероятность
получения
удачного
результата
при
производстве сложного химического опыта равна 2/3. Найти
вероятность того, что пять опытов пройдут удачно, если их общее
число а) шесть; 6) 120.
12. Отрезок АВ разделен точкой С в отношении 2:1. На этот
отрезок наудачу брошены четыре точки. Найти вероятность того, что
две из них окажутся левее точки C и две - правее. Предполагается, что
вероятность попадания точки на отрезок пропорциональна длине
отрезка и не зависит от его расположения.
13.
Отрезок разделен на четыре равные части. На отрезок
наудачу брошено семь точек. Найти вероятность того, что на каждую
из четырех частей отрезка попадет по две точки. Предполагается что
вероятность попадания точки на отрезок пропорциональна длине
отрезка и не зависит от его расположения.
14. Монета подбрасывается 10 раз. Определить погрешность
локальной
теоремы
Лапласа
при
определении
вероятностей
следующих событий: а) «герб» выпадет 2 раза: б) «герб» выпадет 5
раз.
15.
Вероятность поражения мишени стрелком при одном
выстреле равна 0,8. Найти вероятность того, что при 100 выстрелах
мишень будет поражена: a) ровно 75 раз; б) не менее 75 и не более 90
раз.
16. Из колоды карт (36 листов) наудачу достается одна карта,
запоминается
и
возвращается
в
колоду,
после
чего
колода
перемешивается. Какова вероятность того, что при 10 повторениях
опыта «пика» появится 2 раза. Сравнить результаты, полученные по
локальной теореме Лапласа и формуле Бернулли.
32
17.
Вероятность
появления
события
в
каждом
из
21
независимых испытаний равна 0,7. Найти вероятность- того, что
событие появится в большинстве испытаний.
18. Вероятность появления события в каждом из независимых
испытаниях равна 0,8. Сколько необходимо произвести испытании,
чтобы c вероятностью 0,9 можно было ожидать, что событие появится
не менее 75 раз?
19. Вероятность появления положительного результата в
каждом из опытов равна 0,9. Сколько нужно провести опытов, чтобы c
вероятностью 0,98 можно было ожидать, что не менее 160 опытов
падут положительный результат?
20. Коммутатор учреждения обслуживает 100 абонентов.
Вероятность того, что в течение одной минуты абонент позвонит на
коммутатор, равна 0,02. Какое из двух событии вероятнее: в течение
одной минуты позвонят 3 абонента или позвонят 4 абонента?
21. Средняя плотность болезнетворных
микробов в одном
кубическом метре воздуха равна 100. Берется на пробу 2 куб.дм.
воздуха. Найти вероятность того, что в нем будет обнаружен хотя бы
один микроб.
22. Имеется общество из 500 человек. Найти вероятность того,
что вероятность рождения y двух человек придется на Новый год.
Считать, что вероятность рождения в фиксированный день у каждого
члена общества равна 1/365.
23. Вероятность выигрыша по одному лотерейному билету
р=0,01. Сколько нужно купить билетов, чтобы выиграть хотя бы по
одному из них с вероятностью, не меньшей, чем 0,96?
24. Отдел технического контроля проверяет партию из 100
деталей. Вероятность, что деталь окажется годной, равна 0,75. Найти
наивероятнейшее число деталей, которые будут годными.
33
25.Отдел технического контроля проверяет 475 изделий на брак.
Вероятность того, что изделие бракованное , равна 0,05. Найти с
вероятностью 0,95 границы в которых будет заключено число m
бракованных изделий.
7. ВИДЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
И ИХ ХАРАКТЕРИСТИКИ
Случайное событие качественная характеристика испытания.
Количественной характеристикой испытания
величина (СВ).
является случайная
Выделяют два основных типа СВ: дискретные и
непрерывные. Дискретная случайная величина (ДСВ) принимает
конечное или счетное множество значений. Например:
1. Количество очков, выпавшее при бросании игральной кости
может принимать одно из множества значений Х= {0,1,2,3,4,5,6}.
2. Количество наступления события А в схеме Бернулли при n
испытаниях Х= {0,1,2,3,4,5,6, …, n }.
3. Число выстрелов по мишени до первого промаха Х= {0,1,2,.. }.
Случайная величина называется непрерывной (НСВ), если ее
возможные значения занимают из некоторый промежуток числовой
оси. Например:
1.
Электрическая лампочка испытывается на длительность
работы. Х- время работы лампы. Т = [0;+∞ )
2.
Диаметр втулки: Х = [а; b], где а = d min , b = d max
3.
Отклонение от дальности точки падения снаряда от центра
цели: X = [0; L] , где L- максимальное отклонение от цели.
Законом
распределения
ДСВ
называют
соответствие
междувозможными значениями СВ Х и их вероятностями; его можно
задать таблично, аналитически (в виде формулы) и графически.
Универсальный способ задания закона распределения для
случайных величин любого типа является функция распределения:
34
функиией распредечения случайной величикы Х называется
функция F(x), определяющая вероятность того, что случайная
величина Х примет значение меньше х.
F(х) = Р(Х < х).
Ее называют интегральной функцией распределения.
Свойства:
1.
0 ≤ F ≤ 1.
2.
если F(х) – неубывающая функция, F ( x1 ) ≤ F ( x 2 ) .
3.
P ( x1 ≤ X ≤ x 2 ) = F ( x 2 ) − F ( x1 ) .
Более наглядно представление о распределении НСВ дает
функция
которую
называют
плотность
распределении
или
дифференциальной функцией.
f(х)=F' (х).
(17)
Свойства.
1.
Парадокс нулевой вероятности. Вероятность того, что
НСВ примет одно значение равно 0.
2.
3.
f (x) ≥ 0.
x
F ( x) =
∫ f ( x)dx .
−∞
4.
+∞
∫ f ( x)dx = 1
−∞
Для описания наиболее существенных свойств СВ используют
числовые характеристики.
Математическое
ожидание
ДСВ
обозначается
вычисляется по формуле: M [ x] = ∑ xi • pi .
М[x]
и
(18)
i
Математическое ожидание НСВ с плотностью распределения
+∞
f(x) определяется формулой: M [ x] = ∫ x • f ( x)dx .
(19)
−∞
Математическое ожидание можно назвать средним значением
случайной величины по распределению.
35
Свойства :
1. М[c]=c, где c – const.
2. M[cx]=c·M[x].
3. М[x+y]=M[x]+M[y]
Вторая важная характеристика СВ – дисперсия которая
показывает характер рассеивания случайной величины Х около ее
математического
ожидания.
Дисперсия
обозначается
D[x]
и
вычисляется по формулам:
D[ x] = ∑ ( xi − M [ x]) 2 • pi -для дискретной случайной величины
+∞
D[ x] =
∫ (x
i
(20)
− M [ x]) 2 • f ( x)dx -для непрерывной случайной величины. (21)
−∞
Свойства:
1. D[c]=0, где c – const.
2. D[cx]=c·D[x].
4. D[ x] = M [ x 2 ] − ( M [ x]) 2
Дисперсия имеет размерность квадрата случайной величины,
что не всегда удобно. Поэтому вводится еше одна характеристика
рассеяния
-
среднее
квадратическое
отклонение,
которое
обозначается σ [x] и вычисляется по формуле
σ [ x] = D[ x] .
Пример. В денежной лотереи
(22)
выпущено 100 билетов.
Разыгрывается один выигрыш по 1000 руб., два по 500 руб., и 5 по
100 руб. Написать закон распределения
случайной величины Х –
стоимости возможного выигрыша для владельца одного билета.
Решение.
Вероятность
каждого
значения
считаем
по
классической формуле, например для выигрыша в 1000 руб. всего
исходов 100, благоприятный 1 соответственно вероятность равна
р1 =
1
. Искомый закон запишем в виде таблицы.
100
36
Х
1000
500
100
0
р
1/100
1/50
1/20
46/50
Пример. Функция распределения непрерывной случайной
величины имеет вид:
0, е с л и х ≤ 1
⎧
⎪
F ( x) = ⎨а ⋅ ( х − 1) 2 , е с л и 1 p х ≤ 3
⎪
1, е с л и х f 3
⎩
Найти: а) коэффициент а?
б) найти плотность распределения f(x) ?
в) вероятность того, что СВ Х попадет в интервал от 2 до 2,5?
Решение.
а) функция F(x) непрерывная, учитывая ее свойства
получаем F(3)=1, следовательно а(3 − 1) 2 = 1 , отсюда а=0,25.
0, x ≤ 1
⎧
⎪
F ( x) = ⎨0,2 5,1 p х ≤ 3
⎪ 0, х f 3
⎩
б)
по
определению
0, е с л и х ≤ 1
⎧
⎪
f ( x) = F / ( x) ⇒ f ( x) = ⎨0,5 ⋅ ( х − 1) , е с л и 1 p х ≤ 3
⎪
0, е с л и х f 3
⎩
в)
используя
свойство
№3,
найдем
вероятность
Р (2 p Х p 2,5) = F (2,5) − F (2) = 0,25(1,5 2 − 12 ) = 0,25(2,25 − 1) = 0,25 ⋅ 1,25 = 0,3125
Задание 7
1.Вероятность повреждения аппаратуры при транспортировке
равна 0,1 %. Перевозят 300 изделий. Проверяют каждое 25 изделие.
Случайная
величина
Х-число
стандартных
деталей
среди
проверяемых. Составить закон распрсделения дискретной случайной
величины. Найти ее математическое ожидание и дисперсию.
Построить функцию распределения СВ Х.
37
2. В урне 5 белых и 25 черных шаров. Вынули наугад 3 шара.
Случайная величина - число вынутых белых шаров. Построить ряд
распределения СВ Х, построить функцию распределения СВ Х, найтн
математическое ожидание и дисперсию СВ Х.
2.В партии из шести деталей имеется четыре стандартных.
Наудачу отобраны три детали. Составить закон распрсделения
дискретной случайной величины Х-число стандартных деталей среди
отобранных. Найти ее математическое ожидание и дисперсию.
Построить функцию распределения СВ Х. (М[x]= 2; D[x]= 0,4).
3. Доля брака на предприятии составляет 0,1%. Проверяется
партия из 100 деталей. Для проверки отбираются 5 деталей. Составить
закон распрсделения дискретной случайной величины Х-числа
стандартных
деталей
среди
отобранвых.
Построить
функцию
распределения СВ Х. Найти ее математическое ожидание и
дисперсию.
4.Вероятность попадания в цель при стрельбе из орудия равны
0,6. Произведено 7 выстрелов. Составить закон распрсделения
дискретной случайной величины Х-число попадай в цель. Построить
функцию распределения СВ Х. Найти ее математическое ожидание и
дисперсию.
5. Брошены 2 игральные кости. Составить закон распрсделения
дискретной случайной величины Х-сумма числа очков выпавших при
бросании. Построить функцию распределения СВ Х. Найти ее
математическое ожидание и дисперсию.
6. В коробке 12 деталей, из них 4 деталей бракованных.
Из коробки вынимается 6 деталей (без возвращения). Составить ряд
распределения СВ X — числа вынутых бракованных деталей.
Построить функцию распределения СВ Х . Найти ее математическое
ожидание и дисперсию.
38
7. Производится проверка надежности прибора в 6 испытаниях.
Надежность каждого прибора равна 0,9. Каждый последующий
прибор
испытывается только в том случае, если предыдущий
оказался годным. Составить ряд распределения СВ X- числа
испытанных приборов. Построить функцию распределения СВ Х.
Найти ее математическое ожидание и дисперсию.
8. Преподаватель задает 6 вопросов. Он прекращает задавать
вопросы студенту, как только студент отвечает неверно. Вероятность
того, что студент ответит на вопрос неверно, равна 0,3. Составить
закон распрсделения дискретной случайной величины Х, числа
вопросов
которые
задаст
преподаватель.
Построить
функцию
распределения СВ Х. Найти ее математическое ожидание и
дисперсию.
9. В Сызрани 5 библиотек. Студент в поисках книги обходит
библиотеки пока не найдет нужный ему материал. Вероятность, что
нужный материал будет найден во всех библиотеках, одинакова и
равна 0,25. Составить закон распрсделения дискретной случайной
величины Х-число библиотек, которые обошел студент. Построить
функцию распределения СВ Х. Найти ее математическое ожидание и
дисперсию.
10.Выпущено
100
лотерейных
билетов.
Из
них
10%
выигрышные. Продано 80 билетов. Составить закон распрсделения
дискретной случайной величины Х-число выигрышных билетов из
проданных. Построить функцию распределения СВ Х. Найти ее
математическое ожидание и дисперсию.
11.-15. Вероятность попадания в мишень стрелка при одном
выстреле равна p. Он производит n выстрелов в мишень. За каждый
удачный выстрел ему добавляют одно очко. Составить ряд
распределения для случайной величины Х – числа выбитых очков.
39
Построить функцию распределения СВ Х. Найти ее математическое
ожидание и дисперсию.
№ варианта
11
12
13
14
15
n
6
7
8
7
7
p
0,9
0,8
0,8
0,7
0,7
16.-20. Вероятность того, что один автобус, некоторого маршрута,
выбьется из графика движения равна p. В рейс вышли n автобусов.
Составить закон распрсделения дискретной случайной величины СВ
Х – количества автобусов, которые ходят строго по графику. Найти ее
математическое
ожидание
и
дисперсию.
Построить
функцию
распределения СВ Х.
№ варианта
16
17
18
19
20
n
6
7
8
6
7
p
0,1
0,15
0,1
0,1
0,2
21.-25. Два противника играют в шахматы. Вероятность
выиграть партию первым игроком равна р. Составить ряд
распределения для СВ X — количества выигранных партий первым
игроком в серии из n партий. Найти ее математическое ожидание и
дисперсию. Построить функцию распределения СВ Х.
№ варианта
21
22
23
24
25
n
7
6
8
8
7
p
0,1
0,2
0,3
0,2
0,4
40
Здание 8
Дана плотность f(x) распределения вероятностей случайной
величины Х. Найти:
1) значение постоянного параметра А распределения;
2) функцию распределения F (x);
3) математическое ожидание М[x]
4) дисперсию D[x];
5) вероятность попадания СВ Х на заданный интервал (α ; β ) ;
6)) построить графики функций f(x); F(x).
⎧
⎪⎪ A ⋅ s i n 2 x
f ( x) = ⎨
⎪0
1.
⎪⎩
3π
5π
;β =
.
α=
4
6
⎧
⎪⎪ A ⋅ ( 3x + 1)
f ( x) = ⎨
2.
⎪0
⎪⎩
α = 0,1; β = 0, 2
3π
< x<π
4
3π
при x≤
или x>π
4
при
при 0< x≤
1
3
при x≤0 или x>
1
3
1
⎧
2
⎪⎪ A ⋅ x п р и 0 < x ≤ 3
f ( x) = ⎨
3.
1
⎪0
при x≤0 или x>
⎪⎩
3
α = 0; β = 0,5 .
4.
⎧ A ⋅ x2
⎪⎪
2
f ( x ) = ⎨A ⋅ ( 2 - x )
⎪0
⎪⎩
α = 0; β = 0,5 .
⎧x + A
f ( x) = ⎨
5.
⎩0
α = 1; β = 1,5 .
п р и 0 < x ≤ 1;
п р и 1 < x ≤ 2;
при x≤0 или x>2;
п р и 1< x ≤ 2
п р и x ≤ 1 и л и x >2
41
⎧ A
⎪
f ( x ) = ⎨ 9 − x2
⎪0
6.
⎩
α = 0; β =
π
2
п р и −3< x ≤ 3
п р и x ≤ − 3 и л и x >3
.
⎧e x + A
f ( x) = ⎨
7.
⎩0
α = 0; β = 0,5 .
п р и 0 < x ≤ l n 2;
п р и x ≤ 0 и л и x >l n2
⎧⎪ A ⋅ ( x − 2 ) п р и 0 < x ≤ 2
f ( x) = ⎨
8.
п р и x ≤ 0 и л и x >2
⎪⎩0
α = 0; β = 0,5 .
9.
⎧
2
⎪⎪ A ⋅ c o s x
f ( x) = ⎨
⎪0
⎪⎩
α = 0; β =
10.
11.
π
4
при −
π
2
<x≤
при x≤−
π
2
π
2
или x>
.
⎧0,5 x 2 + A
f ( x) = ⎨
⎩0
4
α = 1; β = .
3
при 0< x≤2
п р и x ≤ 0 и л и x >2
⎧⎪ A ⋅ ( 4 x − x 2 ) п р и 0 < x ≤ 2
f ( x) = ⎨
п р и x ≤ 0 и л и x >2
⎪⎩0
α = 0; β = 1 .
12.
π
⎧ A
⎪⎪1 + x 2 п р и 0 < x ≤ 4
f ( x) = ⎨
π
⎪0
при x≤0 или x>
⎪⎩
4
α = 0; β =
13.
π
6
.
⎧A⋅s i n x
f ( x) = ⎨
⎩0
α = 0; β =
π
2
.
п р и 0< x≤π
при x≤0 или x>π
π
2
42
14.
⎧
⎪⎪ A x + 2
f ( x) = ⎨
⎪0
⎪⎩
1
α = 0; β = .
5
15.
⎧⎪ A ⋅ ( 4 x − x 2 ) п р и 0 < x ≤ 2
f ( x) = ⎨
п р и x ≤ 0 и л и x >2
⎪⎩0
α = 1,5; β = 2 .
16.
⎧⎪ A ⋅ ( x − 2 ) ⋅ ( 4 - x ) п р и 2 < x ≤ 4
f ( x) = ⎨
п р и x ≤ 2 и л и x >4
⎪⎩0
α = 2; β = 3 .
17.
19.
1
3
при x≤0 или x>
1
3
π
⎧
⋅
<
≤
A
c
o
s
x
п
р
и
0
x
⎪⎪
6
f ( x) = ⎨
π
⎪0
при x≤0 или x>
⎪⎩
6
α = 0; β =
18.
при 0< x≤
π
12
.
⎧A
⎪⎪ x п р и 0 < x ≤ e
f ( x) = ⎨
⎪0 п р и 1 ≤ x ≤ 1 и л и x > e
⎪⎩
e
α = 1; β = 2 .
⎧⎪ A ⋅ ( 3 x − x 2 ) п р и 0 < x ≤ 2
f ( x) = ⎨
п р и x ≤ 0 и л и x >2
⎪⎩0
α = 0; β = 1,5 .
20.
A
⎧
п р и −5< x ≤ 5
⎪
f ( x ) = ⎨ 2 5 − x2
⎪0
п р и x ≤ − 5 и л и x >8 5
⎩
α = 0; β = 3 .
21.
⎧ A ⋅ e− x
f ( x) = ⎨
⎩0
α = 0; β = 2 .
при x≥0
при x<0
22.
⎧A⋅ x
f ( x) = ⎨
⎩0
α = 1,5; β = 2 .
п р и 0 < x ≤1
п р и x ≤ 0 и л и x >1
43
23.
⎧⎪ A ⋅ ( x 2 − 2 x ) п р и 0 < x ≤ 2
f ( x) = ⎨
п р и x ≤ 0 и л и x >2
⎪⎩0
α = 0; β = 1 .
24.
⎧⎪ A ⋅ ( x3 + 3 x ) п р и 0 < x ≤ 1
f ( x) = ⎨
п р и x ≤ 0 и л и x >1
⎪⎩0
α = 0; β = 0,5 .
25.
⎧⎪ A ⋅ ( 4 x − x 2 ) п р и 0 < x ≤ 2
f ( x) = ⎨
п р и x ≤ 0 и л и x >2
⎪⎩0
α = 1,5; β = 2 .
8. НОРМАЛЬНЫЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
Практически важными законами распределения являются для
ДСВ – биноминальное и геометрическое распределение, для НСВ –
равномерное и показательное. Для каждого закона своя «схема»,
особые условия и они обладают специфическими свойствами. Но
самым важным законом распределения, занимающим центральное
место в теории вероятности, является нормальное распределение или
распределение Гаусса.
Случайная величина Х распределена по нормальному закону,
если ее плотность распределения имеет вид
f ( x) =
1
σ • 2П
•e
− ( x − m) 2
2σ 2
(23)
Нормальное распределение зависит от двух параметров m –
математическое ожидание, σ - среднее квадратичное отклонение.
Числовые характеристики: M[x] = m, D[x] = σ 2 , σ [x] = σ .
Нормальное распределении с параметрами m = 0, σ = 1 называют
нормированным:
f ( x) =
1
2П
− x2
•e 2 .
(24)
44
Функция нормального распределения имеет
− (t − m) 2
x
x
2
1
F ( x) = ∫ f (t )dt =
dt .
∫ e 2σ
2
σ
П
•
−∞
−∞
(25)
Функция нормального нормированного распределения имеет
x
F0 ( x) = ∫ f (t )dt =
−∞
−t2
x
1
∫ e 2 dt .
2П − ∞
(26)
Интегралы в правой части формул не берутся. Функция F (x) и
F0 ( x) табулирована
для
х
≥
0.
Для
отрицательных
значений
используется свойство нечетности этой функции. При помощи замены
t−m
σ
= z функцию нормального распределения можно выразить через
функцию Лапласа Φ( x) =
1
2П
β
• ∫e
−t 2
2
dt . Тогда вероятность попадания
α
нормально распределенной случайной величины Х в заданный
интервал (α;β) можно выразить формулой
P (α p x p β ) = Φ (
β −m
α −m
) − Φ(
)
σ
σ
(27)
Вероятность отклонения случайной величины Х от ее
математического ожидания получается непосредственной из 25
формулы.
e
P ( x − m ) p e) = 2 ⋅ Φ ( ) ,
(28)
σ
где е - вероятность данного отклонения.
При
измерения
проведении
практических
вычислений
за
единицу
отклонения случайной величины Х, подчиненной ее
нормальному закону, от ее центра рассеивания m принимают средне
квадратичное отклонение
σ. Исходя, из принципа практической
невозможности маловероятных событии можно утверждать, что
абсолютная
величина
отклонения
нормально
распределенной
45
величины Х от ее математического ожидания не превосходит 3σ , так
как P( x − m f 3σ ) = 0,0027 .
Неравенство Чебышева. Вероятность, того, что отклонение
случайной величины Х от ее математического ожидания по
абсолютной величине меньше положительного числа ε определяется
условием
P ( X − M [ x] p 1 −
D[ x]
(29)
ε2
Пример. Случайная величина Х распреце;тена нормально с
параметрами m,σ. Наити вероятность того, что СВ Х отклонится от
своего математического ожидания больше, чем на 3σ.
Решение. Р(|X - m|>3σ)=1 - Р(|X - m|<3σ)=1-2Ф(
3σ
σ
)= 1- 2Ф(3)=
=1- 2• 0,49865≈ 0,0027 . Так как вероятность очень мала событие
можно считать практически невозможным. Если случайная величина
распределена по нормальному закону, то абсолютная величина ее
отклонения от математического ожидания не превосходит 3σ.
Пример. Завод изготавливает шарики для подшипников,
номинальный диаметр которых 10 мм., а фактический диаметр
случаен и распределен по нормальному закону с m=10 мм., σ=0,4 мм.
При контроле бракуются все шарики не проходящие через круглое
отверстие с диаметром 10,7 мм. И все проходящие через отверстие с
диаметром 9,3 мм. Найти процент шариков которые будут браком.
Решение.
Математическое
ожидание
равно
m=10,
среднеквадратическое отклонение σ=0,4. Воспользуемся формулой
27ми найдем вероятность того, сколько шаров попадут в интервал от
9,3 до 10,7.
P (9,3 p x p 10,7) = Φ (
10,7 − 10
9,3 − 10
0,7
0,7
− 0,7
) − Φ(
) = Φ( ) − Φ(
) = 2 ⋅ Φ( )
0,4
0,4
0,4
0,4
0,4
таблице (приложение 2) находим значение 2Φ (
по
0.7
) = 2 ⋅ 0,4599 ≈,092 .
0,4
46
Следовательно примерно 92% шаров будут годными, соответственно
8% шаров будут составлять брак.
Задание 9
1. Диаметр деталей, изготовленных автоматом, представляет
собой случайную величину, распределенную по нормальному закону.
Дисперсия ее равна 4, а математическое ожидание – 20,5 мм. Найти
вероятность брака, если допустимые размеры диаметра детали
должны быть 20 ± 3(мм).
2. На автомате изготавливают заклепки, диаметр головок
которых распределяется по нормальному закону с математическим
ожиданием 3 мм и дисперсией 0,01. какую точность диаметра головок
заклепок можно гарантировать с вероятностью 0,9216?
3. Детали, изготовленные автоматом, по размеру диаметра
распределяются
по
нормальному
закону.
Известно,
что
математическое ожидание равно 4,5 см, а дисперсия – 0,09.
Определить границы, в которых следует ожидать размер диаметра
детали, если вероятность невыхода за эти границы равна 0,95.
4. Размер гайки задан полем допуска 60-65 мм. В некоторой
партии гаек средний размер оказался равным 62,8 мм, а среднее
квадратичное отклонение – 1,1 мм. Считая, что размер гайки
подчиняется
закону
нормального
распределения,
вычислить
вероятность брака по размеру гайки.
5. Диаметр подшипников, выпускаемых заводом, представляет
собой случайную величину, распределенную по нормальному закону с
математическим ожиданием 16 мм и дисперсией 0,16. Найти
вероятность брака при условии, что для диаметра подшипника
разрешается допуск ± 0,7 мм.
6. Цех выпускает детали двух типов. Распределение их длины –
нормальное. Для деталей 1 типа – математическое ожидание равно 40
мм, а дисперсия – 0,25. Для типа 2 – математическое ожидание 25 мм,
47
дисперсия – 4. Что вероятнее попадание размера детали типа 1 в
интервал [38;43] или детали типа 2 – в интервал [24;27]?
7. Размер диаметра детали задан полем допуска 20-25 мм. В
некоторой партии деталей средний размер их диаметра оказался
равным 23,2 мм, а среднее квадратичное отклонение 1 мм. Считая, что
размер
диаметра
детали
подчиняется
закону
нормального
распределения, вычислить вероятность брака.
8.
Диаметр
представляет
стальных
собой
стержней,
случайную
величину,
выпускаемых
цехом,
распределенную
по
нормальному закону с математическим ожиданием 75 мм и средним
квадратичным отклонением 0,3 мм. Найти вероятность брака по
размеру диаметра, если допустимые размеры диаметра стержня
составляют 75 ± 0,5 мм.
9. Продолжительность горения электроламп в некоторой партии
оказалась
нормально
распределенной
случайной
величиной
с
математическим ожиданием 1200 ч и средним квадратичным
отклонением
50
ч.
Найти
с
вероятностью
0,95
границы
продолжительности горения наугад взятой электролампы.
10. При обследовании работы автоматической линии оказалось,
что
длина
выпускаемой
ею
детали
является
нормально
распределенной случайной величиной, математическое ожидание
которой
равно 30 см, а среднее квадратичное отклонение 0,5 см.
Для стандартной детали отклонение длины от 30 см не должно
превышать 0,8 см. Найти вероятность того, что наугад взятая деталь
не будет удовлетворять этим требованиям.
11.
Результаты
населенными
пунктами
измерения
подчинены
расстояния
между
нормальному
двумя
закону
с
параметрами: математическое ожидание равно 20 км, среднее
квадратичное отклонение – 100 м. Найти вероятность того, что
48
расстояние между этими пунктами не менее 20,3 км, но не более 20,75
км.
12. Диаметр деталей, изготовленных цехом, является случайной
величиной, распределенной по нормальному закону. Дисперсия ее
равна 0,0001, математическое ожидание – 2,5 см. В каких границах с
вероятностью 0,98 можно гарантировать размер диаметра детали?
13. Какова вероятность того, что наугад опрошенный инженер
получает зарплату от 150 до 190 $., если известно, что зарплата
распределена по нормальному закону с математическим ожиданием
150 $. и средним квадратичным отклонением 30 $.
14.
Диаметр
шарика
является
случайной
величиной,
распределенной по нормальному закону с математическим ожиданием
20 см и средним квадратичным отклонением 2 см. В каких границах с
вероятностью 0, 9216 можно гарантировать размер диаметра шарика?
15.
Результаты
населенными
пунктами
измерения
подчинены
расстояния
между
нормальному
двумя
закону
с
параметрами: математическое ожидание равно 20 км, среднее
квадратичное отклонение – 100 м. Найти вероятность того, что
расстояние между этими пунктами: а) не менее 19,8 км; а) не менее
20,1 км;
16. Диаметр деталей, изготовленных автоматом, представляет
собой случайную величину, распределенную по нормальному закону.
Дисперсия ее равна 3, а математическое ожидание – 19 мм. Найти
вероятность брака, если допустимые размеры диаметра детали
должны быть 19 ± 2(мм).
17. На автомате изготавливают заклепки, диаметр головок
которых распределяется по нормальному закону с математическим
ожиданием 5 мм и дисперсией 0,02. какую точность диаметра головок
заклепок можно гарантировать с вероятностью 0,9?
49
18. Детали, изготовленные автоматом, по размеру диаметра
распределяются
по
нормальному
закону.
Известно,
что
математическое ожидание равно 4см, а дисперсия – 0,1. определить
границы, в которых следует ожидать размер диаметра детали, если
вероятность невыхода за эти границы равна 0,95.
19. Размер гайки задан полем допуска 50-55 мм. В некоторой
партии гаек средний размер оказался равным 52,8 мм, а среднее
квадратическое отклонение – 1 мм. Считая, что размер гайки
подчиняется
закону
нормального
распределения,
вычислить
вероятность брака по размеру гайки.
20. Диаметр подшипников, выпускаемых заводом, представляет
собой случайную величину, распределенную по нормальному закону с
математическим ожиданием 8 мм и дисперсией 0,09. найти
вероятность брака при условии, что для диаметра подшипника
разрешается допуск ± 0,5 мм.
21. Автомат изготавливает шарики. Шарик считается годным,
если отклонение от проектного размера диаметра меньше 0,7 мм.
Считая, что СВ Х ( отклонение диаметра шарика о проектного)
распределена нормально и имеет σ= 0,4, найти сколько в среднем
будет годных шариков среди 100 изготавливаемых.
22.Станок автомат изготавливает валики, контролируется их
диаметр Х. Считая, что Х нормально распределенная СВ с
математическим ожиданием равным 10 мм. и среднеквадратическим
отклонением 0,1 мм., найти интервал, симметричный относительно
матожидания, в котором с вероятностью 0,9973 будут заключены
диаметры изготавливаемы деталей.
23. Стрельба ведется из точки О вдоль прямой ОХ. Предполагая, что дальность полета снаряда X распределена по
нор-
мальному закону с математическим ожиданием т и со средним
50
квадратичным отклонением σ =80 м,
найти, какой процент
выпускаемых снарядов имеет недолет от 120 до 160 м.
24. Необходимо обрабатывать детали с отклонениями
от
номинального размера не более чем на ±0,02 мм. Каково должно
быть среднее квадратичное отклонение при изготовлении деталей,
чтобы доля брака была не более 2%?
25. Среднее время работы резцом Т15К6 без его переточки
при обработке стали ЗОХГТ имеет распределение, близкое к нормальному, с математическим ожиданием 180 мин
квадратичным отклонением 9 мин. Найти
и
средним
вероятность
того, что
резец проработает без переточки в заданном режиме не менее 165
мин.
9. СТАТИСТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
Выборкой из n генеральной совокупности
последовательность
x1, x2,...,xn
наблюдаемых значений
называется
СВ Х ,
соответствующих n независимым испытаниям. Выборка получается в
результате
некоторых независимых измерений. Значения
хi
называют вариантами, последовательность вариант записанных в
возрастающем порядке - вариационным рядом, числа
частотами,
значений
числа pi =
хi
интервального
ni
n
велико,
частостями.
то
выборку
статистического
представляет собой таблицу
Если
ряда.
число
представляют
ni -
различных
в
Статистический
виде
ряд
соответствия значений случайной
величины Х и их частостями (относительными частотами). В
зависимости от объема выборки
число интервалов группировки к
берут в пределах от 5 до 15. Приближенно число к можно оценить по
формуле Стерджеса k ≈ 1 + 3,32 ⋅ lg n . Если число интервалов выбрано,
51
то ширину каждого из них определяют по формуле h =
k
k
i −1
i =1
b−a
. Для
k
∑ ni = n, ∑ p i = 1 . От интервального
проверки проверяем условия
статистического ряда можно пе6рейти к дискретному заменив
интервалы
их
xi =
серединами
xi − xi−1
2 .
Для
наглядности
статистические ряды изображают графически виде полигонов,
гистограмм или кумулят.
Эмпирической функцией распределения называют (функцией
распределения выборки ) называют функцию F ∗ ( x ) , определяющую
для каждого значения х относительную частоту события Х< х:
F * ( x) =
nx
,
n
(30)
где n x -число вариант меньших х, n- объем выборки
При выборке можно построить статистические аналоги законов
распределения
и
найти
оценку
неизвестных
параметров
распределения. Точность и надежность результатов зависит от объема
выборки n. Если известно, что изучаемый признак
распределен в
генеральной совокупности по нормальному закону, то необходимо
оценить
(найти
приближенно)
математическое
ожидание
и
среднеквадратическое отклонение, так как они вполне определяют это
распределение.
Выборочной средней хв называют среднее арифметическое
значение признака выборочной совокупности.
k
xв =
Выборочной
арифметическое
∑n
i =1
i
⋅ xi
дисперсией
квадратов
(31)
n
Dв -
отклонения
признака от их среднего значения хв .
называют
наблюдаемых
среднее
значений
52
∑ n (x
i
Dв =
i
− xв )
2
(32)
n
На практики более удобна другая формула:
[]
Dв = х 2 − х
Выборочным
среднем
2
(33)
квадратичным
отклонением
(
стандартом) называют квадратный корень из выборочной дисперсии:
σ в = Dв
(34)
Точечной называют оценку, которая определяется одним
числом. Несмещенной называют точечную оценку, математическое
ожидание которой равно оцениваемому параметру при любом объеме
выборки
(в
противном
Несмещенной
случае
оценкой
оценка
является
математического
смещенной).
ожидания
служит
выборочная средняя.
Интервальной называют оценку определяемую двумя числами-
концами интервала. Она позволяет установить точность и надежность
оценок. Доверительным называют интервал который с заданной
надежностью γ покрывает заданный параметр.
Интервальной оценкой ( с надежностью γ) математического
ожидания m нормально распределенного количественно признака
Х по выборочной средней хв при известном среднеквадратическом
отклонении σ генеральной совокупности служит интервал
хв − t (
где t (
σ
n
σ
n
) p a p хв + t (
σ
n
) ,
(35)
) = δ точность оценки, n – объем выборки, t- значение
аргумента функции Лапласа Φ(x) , при котором Φ(t ) =
γ
2
.
Для проверки гипотезы о характере распределения генеральной
совокупности необходимо применить
который
сравнивают
с
статистический критерий,
наблюдаемым
критерием,
который
53
вычисляется по выборке. Ошибка первого рода состоит в том, что
будет отвергнута правильная нулевая гипотеза. Вероятность ошибки
первого рода называют уровнем значимости и обозначают через
α .Для того , чтобы при заданном уровне значимости α , используя
критерий Пирсона проверить гипотезу о том, что генеральная
совокупность распределена нормально нужно:
1. вычислить выборочную среднюю хв и выборочное среднее
квадратичное отклонение σ в .
2. вычислить теоретические частоты ni/ =
выборки, h- шаг.
ui =
xi − x в
σв
, ϕ (u ) =
e
−u 2
2
2П
nh
σd
⋅ ϕ (u i ) , где n –объем
.
3. сравнить эмпирические и теоретические частоты с помощью
критерия Пирсона. Наблюдаемое значение критерия рассчитывают по
2
формуле χ набл
=∑
(ni − ni/ ) 2
.
ni/
4. уровень значимости обычно принимают α =0,05, чтобы
вероятность была равно 0,95.Число степеней свободы определяется
по формуле
k=s-3, где s- число групп выборки ( малочисленные
частоты объединяют).
2
p χ кр2 нет оснований отвергать нулевую гипотезу.
5. если χ набл
6. если распределение задано виде интервалов одинаковой
длины и соответствующих им частот, то в качестве вариант
хi* =
xi + xi =1
принимают среднее арифметическое концов интервалов.
2
Пример. Проверить гипотезу о нормальном распределении
генеральной совокупности, используя критерий Пирсона, при уровне
значимости α =0,05.
54
Решение.
xi
5
7
9
11
13
15
17
19
21
ni
15
26
25
30
26
21
24
20
13
1. найдем хв =12,63, σ в =4,695
2. вычислим теоретические частоты n=200, h= 2, σ в = 4,695
ni/ =
nh
σd
⋅ ϕ (u i ) =
200 ⋅ 2
⋅ ϕ (u i ) = 85,2 ⋅ ϕ (u i )
4,695
3. составим сводную таблицу
i
xi
ui =
xi − x в
ϕ (u i )
n
ni/ = 85,2 ⋅ ϕ (u i )
ni − ni/
(ni − ni/ ) 2
(ni − ni/ ) 2
ni/
σв
1 5
-1,62
0,1074 15
9,1
5,9
34,81
3,8
2 7
-1,2
0,1942 26
16,5
9,5
90,25
5,5
3 9
-0,77
0,2966 25
25,3
-0,3
0,09
0
4 11 -0,35
0,3752 30
32
-2
4
0,1
5 13 0,08
0,3977 26
33,9
-7,9
62,41
1,8
6 15 0,51
0,3503 21
29,8
-8,8
77,44
2,6
7 17 0,93
0,2589 24
22
2
4
0,2
8 19 1,36
0,1582 20
13,5
6,5
42,25
3,1
9 21 1,78
0,0818 13
7
6
36
51
2
χ набл
=22,2
∑=200
4. по таблице критических точек распределения χ 2 , по уровню
значимости α =0,05 и числу степеней свободы k=9-3=6 находим
критическую
точку
χ кр2 = (0,05;6) = 12,6
распределении
правосторонней
критической
области
2
f χ кр2 - гипотезу о нормальном
так как χ набл
генеральной
совокупности
отвергаем
(эмпирические и теоретические частоты различаются значимо).
55
Задание 10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
2,3
2.4
2,5
2,6
2,7
3,4
3,5
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
столбцы 3,6
3,7
4,5
4,6
4,7
5,6
5,7
6,7
1,8
2,8
3,8
4,8
№
варианта
столбцы
№
варианта
Таблица исходных данных
№ столбца
таблицы
Данные
Испытаний
1
2
3
4
5
6
7
8
4
5
17
39
4
22
19
7
36
31
10
13
7
20
18
28
18
5
10
13
18
22
8
54
8
36
7
20
26
15
39
12
32
14
14
32
7
11
13
23
18
5
25
3
6
11
9
10
14
22
18
11
9
4
11
21
9
25
57
49
19
32
5
12
22
9
10
22
8
4
22
24
29
5
39
9
11
9
3
31
17
23
3
96
13
18
21
9
11
24
5
4
19
27
8
11
37
3
21
4
31
20
6
20
40
34
8
21
20
33
8
8
28
36
15
12
8
17
17
4
2
37
14
25
25
37
19
21
20
16
11
39
29
3
28
31
34
42
32
27
26
44
39
17
24
27
43
12
22
5
34
7
26
36
15
11
12
27
31
23
26
40
10
15
35
34
6
27
21
22
13
34
36
17
20
5
8
29
28
24
17
11
12
44
4
35
28
15
25
36
22
17
32
4
38
43
17
11
18
28
13
1
7
21
14
29
8
0
12
41
21
31
20
21
23
11
5
20
22
21
27
14
10
15
26
23
4
27
29
38
25
22
15
2
24
27
21
31
9
19
56
Данные
Испытаний
1
2
3
4
5
6
7
8
5
19
3
8
3
8
15
12
9
18
16
30
16
38
38
40
5
13
6
27
9
58
15
32
8
7
17
15
4
4
13
17
14
25
20
8
4
31
40
27
22
7
9
4
38
24
20
18
28
14
58
11
28
11
10
8
8
5
8
34
13
14
12
32
18
60
52
33
25
2
37
30
6
10
6
3
21
4
26
2
6
11
14
14
10
63
19
17
23
27
14
14
17
10
12
3
21
9
5
5
30
46
17
25
22
24
39
95
21
9
7
17
19
9
28
17
6
80
29
10
33
37
13
16
9
40
9
11
7
8
8
6
8
4
25
9
6
23
12
4
8
46
18
6
10
39
48
3
4
31
16
10
23
17
32
37
19
24
7
26
15
15
15
9
23
10
11
36
26
7
37
26
8
40
16
11
7
12
13
8
15
9
23
21
23
18
32
40
16
18
23
6
31
12
31
24
25
12
13
20
20
19
16
30
32
9
40
2
29
32
2
10
18
22
14
16
20
13
23
31
41
44
9
21
20
29
29
20
37
38
8
25
4
26
25
10
37
36
17
29
32
35
23
22
28
10
36
37
27
42
13
17
29
16
25
25
27
25
5
11
29
36
26
18
22
41
46
26
43
18
29
26
24
30
14
17
31
6
27
9
4
11
39
28
32
32
39
38
25
41
30
16
11
27
27
16
21
11
24
28
19
9
39
4
30
39
37
24
33
26
9
29
15
17
28
44
25
20
11
29
27
10
20
14
43
26
24
16
33
8
25
35
22
23
22
38
20
16
32
23
19
34
7
37
21
27
26
44
16
15
21
15
27
28
25
12
19
17
27
6
57
Приложение 1
Таблица значений функции φ ( x) =
x
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
2.0
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
2.9
3.0
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
3.7
3.8
3.9
0
0.3989
3970
3910
3814
3683
3521
3332
3123
2697
2661
2420
2179
1942
1714
1497
1295
1109
0940
0790
0656
0540
0440
0355
0283
0224
0175
0136
0104
0079
0060
0044
0033
0024
0017
0012
0009
0006
0004
0003
0002
1
3989
3965
3902
3802
3668
3503
3312
3101
2874
2637
2396
2155
1919
1691
1476
1276
1093
0925
0775
0644
0529
0431
0347
0277
0219
0171
0132
0101
0077
0058
0043
00332
0023
0017
0012
0008
0006
0004
0003
0002
2
3939
3961
3894
3790
3653
3485
3292
3079
2850
2613
2371
2131
1895
1669
1456
1257
1074
0909
0761
06332
0519
0422
0339
0270
0213
0167
0129
0099
0075
0056
0042
0031
0022
0016
0012
0008
0006
0004
0003
0002
3
3988
3956
3885
3778
3637
3467
3271
3056
2827
2589
2347
2107
1872
1647
1435
1238
1057
0893
0748
0620
0508
0413
0332
0264
0208
0163
0126
0096
0073
0055
0040
0030
0022
0016
0011
0008
0005
0004
0003
0002
4
3986
3951
3876
3765
3621
3448
3251
3034
2803
2565
2323
2083
1849
1626
1415
1219
1040
0878
0734
0608
0498
0404
0325
0258
0203
0158
0122
0093
0071
0053
0039
0029
0021
0015
0011
0008
0005
0004
0003
0002
1
2П
5
3984
3945
3867
3752
3605
3429
3230
3011
2780
2541
2299
2059
1826
1604
1394
1200
1023
0863
0721
0569
0488
0396
0317
0252
0198
0154
0119
0091
0069
0051
0038
0028
0020
0015
0010
0007
0005
0004
0002
0002
•e
− x2
2
6
3982
3939
3857
3739
3589
3410
3209
2989
2756
2516
2275
2036
1804
1582
1374
1182
1006
0848
0707
0584
0478
0387
0310
0246
0194
0151
0116
0088
0067
0050
0037
0027
0020
0014
0010
0007
0005
0003
0002
0002
7
3980
3932
3847
3726
3572
3391
3187
2966
2732
2492
2251
2012
1781
1561
1354
1163
0989
0833
0694
0573
0468
0379
0303
0241
0189
0447
0113
0086
0065
0048
0036
0026
0019
0014
0010
0007
0005
0003
0002
0002
8
3977
3925
3836
3712
3555
3372
3166
2943
2709
2468
2227
1989
1758
1539
1334
1145
0973
0818
0681
0562
0459
0371
0297
0235
0184
0143
0110
0084
0063
0047
0035
0025
0018
0013
0009
0007
0005
0003
0002
0001
9
3973
3918
3825
3697
3538
3352
3144
2920
2685
2444
2203
1965
1736
1518
1315
1127
0957
0804
0669
0551
0449
0363
0290
0229
0180
0139
0107
0081
0061
0046
0034
0025
0018
0013
0009
0006
0004
0003
0002
0001
58
Приложение 2
Х
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
2.0
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
2.9
3.0
3.1
3.2
3.3
Таблица значений функции
Φ ( x) =
0
0,0000
0,0398
0,0793
0,1179
0,1554
0,1915
0,2257
0,2880
0,2881
0,3159
0,3412
0,3643
0,3849
0,4032
0,4192
0,4332
0,4452
0,4554
0,4641
0,4713
0,4772
0,4821
0,4861
0,4893
0,4918
0,4938
0,4953
0,4965
0,4974
0,4981
0,4986
0,4990
0,4993
0,4995
5
0199
0596
0987
1368
1736
2088
2422
2734
3023
3289
3531
3749
3944
4115
4265
4394
4505
4599
4678
4744
4798
4842
4878
4906
4929
4946
4960
4970
4978
4984
4989
4992
4994
4996
1
0040
0438
0832
1217
1591
1950
2291
2611
2910
3186
3438
3665
3869
4049
4207
4345
4463
4564
4649
4719
4778
4826
4865
4896
4920
4940
4955
4966
4975
4982
4987
4991
4993
4995
2
0080
0478
0871
1255
1628
1985
2324
2642
2939
3212
3461
3686
3888
4066
4222
4357
4474
4573
4556
4726
4783
4830
4868
4898
4922
4941
4956
4967
4976
4982
4987
4991
4994
4996
3
0120
0517
0909
1293
1664
2019
2357
2673
2967
3238
3485
3708
3907
4082
4236
4370
4484
4582
4664
4732
4788
4834
4871
4901
4925
4943
4957
4968
4977
4983
4988
4991
49994
4996
4
0160
0557
1948
1331
1700
2054
2389
2703
2995
3264
3508
3729
3925
4099
4251
4382
4495
4591
4671
4738
4793
4838
4875
4904
4927
4945
4959
4969
4977
4984
4988
4992
4994
4996
1
2П
6
0239
0636
1026
1406
1772
2123
2454
2764
3051
3315
3554
3770
3962
4131
4279
4406
4515
4608
4686
4750
4803
4846
4881
4909
4941
4948
4961
4971
4979
4985
4989
4992
4994
4996
• ∫e
−t 2
2
dt
7
0272
0675
1064
1443
1808
2157
2486
2794
3078
3340
3577
3790
3980
4147
4292
4418
4525
4616
4693
4756
4808
4850
4884
4911
4932
4949
4962
4972
4979
4985
4989
4992
4995
4996
8
0319
0714
1103
1480
1844
2190
2517
2823
3106
3365
3599
3810
3997
4162
4306
4429
4535
4625
4699
4761
4812
4854
4887
4913
4934
4951
4963
4973
4980
4986
4990
4993
4995
4996
9
0359
0753
1141
1517
1879
2224
2549
2852
3133
3389
3621
3830
4015
4177
4319
4441
4545
4633
4706
4767
4817
4857
4890
4916
4936
4952
4964
4974
4981
4986
4990
4993
4995
4996
59
Приложение 3
Критические точки распределения
Число
степеней
свободы
k
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
χ
2
Уровень значимости α
0,01
0,025
0,05
0,95
0,975
0,99
6,6
9,2
11,3
13,3
15,1
16,8
18,5
20,1
21,7
23,2
24,7
26,2
27,7
29,1
30,6
32,0
33,4
34,8
36,2
37,6
38,9
40,3
41,6
43,0
44,3
45,6
47,0
48,3
49,6
50,9
5,0
7,4
9,4
11,1
12,8
14,4
16,0
17,5
19,0
20,5
21,9
23,3
24,7
26,1
27,5
28,8
30,2
31,5
32,9
34,2
35,5
36,8
38,1
39,4
40,6
41,9
43,2
44,5
45,7
47,0
3,8
6,0
7,8
9,5
11,1
12,6
14,1
15,5
16,9
18,3
19,7
21,0
22,4
23,7
25,0
26,3
27,6
28,9
30,1
31,4
32,7
33,9
35,2
36.4
37,7
38,9
40,1
41,3
42,6
43,8
0,0039
0,103
0,352
0,711
1,15
1,64
2,17
2,73
3,33
3,94
4,57
5,23
5,89
6,57
7,26
7,96
8,67
9,39
10,1
10,9
11,6
12,3
13,1
13,8
14,6
15,4
16,2
16,9
17,7
18,5
0,00098
0,051
0,216
0,484
0,831
1,24
1,69
2,18
2,70
3,25
3,82
4,40
5,01
5,63
6,26
6,91
7,56
8,23
8,91
9,59
10,3
11,0
11,7
12,4
13,1
13,8
14,6
15,3
16,0
16,8
0,00016
0,020
0,115
0,297
0,554
0,872
1,24
1,65
2,09
2,56
3,05
3,57
4,11
4,66
5,23
5,81
6,41
7,01
7,63
8,26
8,90
9,54
10,2
10,9
11,5
12,2
12,9
13,6
14,3
15,0
60
Библиографический список
1.
Венцель Е.С. , Овчаров Л.А.Теория вероятности иее
инженерные приложения.- М.: Высшая школа,2000
2.
Гмурман В.Е. Теория вероятности и математическая
статистика. Учебн. пособие для вузов. Изд. 6-е, стер.- М.: Высш. шк,
1998.-479с.:ил.
3.
Гмурман В.Е . Руководство к решению задач по теории
вероятностей и математической статистики: Учебн. пособие для
вузов. Изд. 4-е, стер.- М.: Высш. шк, 1998.-400с.:ил.
4.
Рабочая программа и варианты контрольных работ по
теории вероятностей и математической статистике./Сост. Тимофеева
Л.К., Суханов Е.И.; Куйбышевск. план. ин-.Куйбышев,1989.44с.
5.
Расчетные задания по математике ( основы теории
вероятностей)./ Сост. Бахтизин Р.Н. и др.;-Уфа:УГНТУ,2003.
Содержание
1. Комбинаторика………………..………………………..………..3
2. Классическое определение вероятности…………………….....7
3. Геометрическое определение вероятности …………………..13
4. Теоремы сложения и умножения вероятностей …………….17
5. Формулы полной вероятности, формула Байеса………….…21
6. Последовательность независимых испытаний…………….....27
7.Виды случайных величин и их характеристики……….……..32
8. Нормальный закон распределения случайных величин.. …..45
9. Статистический анализ…………………………….…………..51
Приложения…………………………..………………………….. 58
Библиографический список………………………………………63