Вычисление статистических характеристик турбулентного

УДК 532.517.4
ВЫЧИСЛЕНИЕ СТАТИСТИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК ТУРБУЛЕНТНОГО
ПОТОКА, ПОДВЕРЖЕННОГО ДЕЙСТВИЮ ВНЕШНИХ СИЛ
Бабенко В.А.1), Жукова Ю.В.1), Хиерро Х.2)
1)
ГНУ "Институт тепло- и массообмена им. А.В. Лыкова" НАН Беларуси
2)
Университет г. Сарагоса, Испания
Изучаются статистические характеристики изотропных полей скорости и
скаляра для случая наличия подкачки кинетической энергии турбулентности извне.
Рассматриваются две модели для распределений кинетической энергии
турбулентности и интенсивности флуктуаций скалярного поля по спектрам волновых
чисел и масштабов длин. По этим моделям вычисляются дисперсии, скорости
диссипации и несколько моментов третьего порядка полей скорости и скаляра.
Производится тестирование обеих моделей путем их сопоставления между собой и с
данными прямого численного моделирования, выполненного для тех же условий
Ключевые слова
Однородная турбулентность динамических и скалярных полей, спектральные
модели, распределение по масштабам длины, турбулентные реагирующие потоки.
Введение
Большинство практически важных химических реакций являются быстрыми,
поэтому для т.н. неперемешанного горения скорость реакции определяется скоростью
смешения реагентов до молекулярного уровня. Смешение стремится привести область
потока к полю однородной концентрации скаляров. Турбулентность значительно
интенсифицирует этот процесс за счет образования полем скорости больших
градиентов скаляров в потоке. Комбинированное воздействие турбулентного переноса
и диффузии делает смешение эффективным на всех его стадиях от крупномасштабного
смешения до смешения на молекулярных масштабах.
Вероятностное описание турбулентного перемешивания основано на
использовании формализма функции плотности распределения вероятностей величин
турбулентных пульсаций [1]. Для изучения турбулентности скалярного поля с
химическим реагированием широко используются модели для совместной плотности
распределения вероятности (СПРВ) величин, от которых зависит скорость химической
реакции. Знание СПРВ дает возможность провести корректное осреднение химических
источниковых членов в уравнениях баланса для концентраций и температуры,
поскольку скорость химической реакции выражается в замкнутом виде через
совместные ПРВ. В настоящее время в основном сформирована техника и методы
построения уравнений для различных СПРВ в турбулентных течениях с воздействиями
разной природы (см. [1-5]). Незамкнутые уравнения для ряда СПРВ представлены в [2].
При их замыкании используются соображения, основанные на гауссовости тех или
иных условных функций распределения, а также экспериментальные данные и
результаты прямого численного моделирования (ПЧМ).
Одной из СПРВ, применяемых для описания турбулентных пламен, является
СПРВ скаляра и его градиента [2]. Наиболее значимая роль этой СПРВ состоит в
возможности расчета условных скоростей диссипации и других обусловленных
характеристик скалярного поля, таких как плотность поверхности пламени и ПРВ
масштабов длин. При таком подходе обычно рассматривается СПРВ консервативного
скаляра и его градиента, а затем условные характеристики скалярного поля,
вычисленные с помощью этой функции, применяются в уравнениях для активных
скаляров. Уравнение для СПРВ скаляров и их градиентов применяется также и с
источниковыми членами для моделирования конкретных задач турбулентного горения,
когда требуется рассчитать очень малые концентрации вредных продуктов реакции [6].
Замкнутые уравнения для СПРВ скаляра и его градиента построены в [6-8]. Эти
модели содержат неизвестные коэффициенты, такие как характерные частоты
турбулентности динамического и скалярного полей. Для их определения необходимо
привлекать результаты экспериментов, ПЧМ, либо строить дополняющие
коэффициентные модели.
Поскольку упомянутые выше модели [6-8] для СПРВ является одноточечными в
смысле применяемой статистики, их коэффициенты должны учитывать
пространственную структуру турбулентности. В простейшем случае -- это характерные
пространственные и временные масштабы турбулентности (характерные частоты).
Наличие известного распределения кинетической энергии турбулентности по
масштабам длин либо по спектру частот дает возможность определить эти, а также и
более сложные по своей природе коэффициенты.
Для нахождения коэффициентов можно также использовать ПЧМ, дающее
наиболее детальную информацию о структуре пламени. Однако, методы ПЧМ весьма
затратны в смысле требуемых вычислительных ресурсов, поэтому ныне для решения
практических задач турбулентности при смешении и химическом реагировании
основным инструментом по-прежнему остаются статистические модели.
Статистические модели турбулентного переноса основываются на однородности
полей флуктуаций скорости и скаляра [9-10], а однородные турбулентные поля
вследствие
отсутствия
источников
порождения
флуктуаций,
являются
вырождающимися. Для моделирования турбулентных потоков с близким к
постоянному уровнем турбулентности (например, атмосферных) необходимо учесть
добавление кинетической энергии турбулентности из энергии осредненного движения.
Целью настоящей работы является расширение двух моделей для статистических
коэффициентов уравнения для СПРВ скаляра и его градиента на случай подкачки
кинетической энергии турбулентности извне и тестирование этих моделей путем
сопоставления с соответствующими данными ПЧМ.
Постановка задачи
Замкнутое уравнение для СПРВ получено ранее в работе [8]. В него в качестве
зависящих от времени коэффициентов входят следующие статистические
характеристики турбулентных полей скорости и скаляра: c 2 t - дисперсия
турбулентного скалярного поля,
t - диссипация турбулентного поля скорости,
диссипация турбулентного поля скаляра,
SUC t
u1
x1
c
x1
2
/
u1
x1
2
1/ 2
c
x1
t 2
-
смешанная асимметрия производных турбулентных полей скорости и скаляра,
IV
DCC 0, t - четвертая производная по пространственной переменной от двухточечной
структурной функции второго порядка при нулевом значении пространственной
2
переменной и T
2
t
c
c
x1
2
2
c2
2
c
x1
2
- квадрат коррелятора между полем
2
скаляра и его второй пространственной производной.
Упомянутые выше коэффициенты могут быть получены из решения
вспомогательной системы уравнений. В качестве такой системы были предложены две
модели – для распределений турбулентной энергии и интенсивности скалярных
C
пульсаций по масштабам длины Pt r , Pt
r , [11] и по пространству волновых чисел
E k , t и E (C ) k , t , [12]. Они имеют вид:
В пространстве масштабов длин
r
Pt r
2
4
2
r Pt r dr
P r
t
r Re
r r t
0
Pt
C
r
r
Pt r
r
Pt r% r% dr%
2b
2
Pt C r
r
r
0
0 Pt(C ) r 0 Pt r
Pt(C ) r
В пространстве волновых чисел
¶ E k, t
¶t
E
r
2
Pe
C
¶
2
¶k
k, t
2
t
t
k
(C )
0
E k% , t
dk%
k% 3
1
a
Re
k
E k%, t
1
Pe
k
k% 3
(1)
(3)
0
k
k ' 2 E k ', t dk '
(4)
0
k
dk%
k '2 E
C
k ', t dk '
(5)
0
(C )
0
(2)
0
t
k
(6)
Et
k
E k
Et
Процедуры численного решения данных систем представлены в [11] и [12]
соответственно, а верификация моделей путем сопоставления с данными ПЧМ
проведена в [13]. Там же описан выбор констант моделей b ,g и a ,s . Данные
эмпирические константы, вообще говоря, константами не являются и зависят от
моделируемого течения, [9]. В данной работе, однако, не делается попытки улучшить
соответствие моделей (1)-(3) и (4)-(6) между собой и с данными ПЧМ за счет выбора
этих констант. Их значения оставлены неизменными по сравнению с [13].
E k
Формулы для вычисления коэффициентов
Требуемые статистические коэффициенты могут быть определены по решению
систем (1)-(3) и (4)-(6) согласно следующим соотношениям (см. [13]).
15 '
(C )
3 C'
c2 t
r dr, e t
Pt 0 , c t
Pt
Pt
0 ,
0
Re
Pe
2 Pt
SUC t
'
3Pe Pt 0
c2 t
E
0
C
C '''
1/ 2
0
Pt
k , t dk ,
IV
C '
, DCC
0, t
2Pt
C '''
0 , T2 t
2
0
t
Pt C
'
c t Pt
2
k 2 E k , t dk ,
Re 0
t
1
k2E
Pe 0
C
2
0
C '''
.
0
k , t dk ,
(7)
k 4 E (C ) k , t dk
2 15
S IVt
,D
UC
5
0
2
0
0, t
k 2 E (C ) k , t dk
0
k 2 E k , t dk
1/ 2
CC
2
k4E
C
k , t dk ,
50
2
T2 t
5
9
0
0
k 2 E (C ) k , t dk
.
E (C ) k , t dk
0
(8)
k 4 E (C ) k , t dk
Модификация моделей для случая подкачки энергии флуктуаций
В работах [11]-[13] рассматривалось вырождающееся со временем турбулентное
поле без генерации энергии турбулентности. Для случая, когда на гидродинамическое
поле турбулентных пульсаций воздействует внешняя сила, что вызывает генерацию
энергии турбулентности, системы уравнений переноса должны быть дополнены
источниковыми членами. Исходя из известных представлений о спектре генерации
кинетической энергии турбулентности в случае однородной турбулентности [9],
дополним уравнение (1) членом генерации кинетической энергии турбулентности с
заданным распределением по спектру масштабов длин
4
SP r
G r / LU2 exp r 2 / LU2 ,
(9)
3 U
где Gu - интегральная по всем масштабам длины скорость генерации кинетической
энергии, Lu - параметр, с помощью которого можно задать центр распределения.
Аналогично, при наличии источника флуктуаций скалярного поля, вызванного,
например, ненулевым градиентом осредненного скалярного поля
C , уравнение (2)
для распределения Pt(C ) r
S P(C ) r
должно содержать свой член подкачки
4GC r / L2C exp r 2 / L2C ,
(10)
где LC - параметр распределения по масштабам длины скалярного поля, GC - половина
интегральной скорости генерации флуктуаций скалярного поля.
Скорости генерации флуктуаций скорости и скалярного поля GU и GC зависят от
течения. Их можно оценить, пользуясь определениями
C
U
G
uu
, 2G
uc
,
(11)
i
2 U
i j
C
j
xj
xj
где принято обычное правило суммирования по повторяющимся индексам.
Для замыкания соотношений (11) необходимо указать способ вычисления
турбулентных потоков импульса и скаляра uiu j и ui c . Это можно сделать
стандартным образом, как в модели KT
ui u j
где Cm
Cm
KT
e
0.09, Ca
Ui
xj
Uj
xi
0.255, CT
e
2
d ij KT , ui c
3
0.3, PrT
Ca KT 2
PrT e
C
, ui c
xj
CT ui u j
KT
e
C
,
xj
0.9 .
Параметры распределений LU и LC можно оценить, приравнивая их к
макромасштабам турбулентности. В предположении однородной турбулентности
справедливо
5 q2
LU
e
где q 2
3/ 2
6 c2
, LC
q2
1/ 2
c
.
2KT - удвоенная кинетическая энергия турбулентности. Эти оценки можно
уточнить, если имеются данные эксперимента или прямого численного моделирования.
Аналогичными (9) и (10) членами подкачки кинетической энергии
турбулентности и интенсивности флуктуаций скалярного поля следует дополнить
правые части уравнений (4) и (5) для спектральной модели в пространстве волновых
чисел k . Для этого применим к членам подкачки (9) и (10) в уравнениях для Pt r и
Pt(C ) r
преобразования из пространства масштабов длин r в k - пространство
волновых чисел (см. [9])
1
2
E k
3 kr
sin kr 3kr cos kr Pt r dr ,
(12)
0
pk
2
sin kr kr cos kr Pt (C ) r dr ,
E (C ) k
(13)
pk 0
что дает
GU 4 5
1
1 2 2
2
SP k
sin kr 3kr cos kr S P r dr
k LU , (14)
3 kr
k L U exp
0
pk
4
12 p
GC 2 3
2
1 2 2
k LC .
sin kr kr cos kr S P (C ) r dr
(15)
S P (C ) k
k LC exp
pk 0
4
2 p
Результаты численного решения систем (1)-(3) и (4)-(6), где в правую часть
уравнения (1) и (4) добавлены члены подкачки (9) и (14) соответственно, были
сравнены с результатами ПЧМ турбулентных полей скорости и скаляра. Добавление
члена генерации интенсивности турбулентных пульсаций скаляра согласно (10) и (15)
не производилось, считалось, что причины такого порождения отсутствуют.
Прямое численное моделирование
ПЧМ выполнялось для преобразованных по Фурье уравнений Навье-Стокса с
использованием псевдоспектрального кода [14-16] в вычислительной области размером
3
2
с 1283 количеством узлов, минимальным волновым числом k 0 , максимальным
волновым числом k=60.288 и начальным турбулентным числом Рейнольдса
Re 0
56.45 , построенным по тейлоровскому масштабу длины λ(0)=0.48157 и
среднеквадратичному значению пульсации скорости u'(0)=1.407. Число Шмидта Прандтля Pr 0.7 , кинематическая вязкость
0.012 . Числа Рейнольдса и Пекле
составляют Re 736.7 и Pe 515.7 . Для приведения данных ПЧМ к безразмерному
виду используются масштабы длины L0
времени t0
L0 / U 0 и скаляра s0
2p , скорости U 0
u' 0
q2 0 / 3
1.407 ,
c2 0 .
Расчеты проводились для двух изотропных скалярных полей: инертного Y1 и
химически активного Y2 с источником задаваемым по закону w& Y2
Y2 1 Y2 при
числе Дамкелера равном единице. Ниже приводятся результаты ПЧМ лишь для случая
инертного, т.е. консервативного скаляра.
Для уменьшения спектрального смещения применялся аналогично [14]
сферический фильтр в Фурье пространстве – все значения большие волнового числа
64 0.942 60.288 полагались равными нулю. Спектральное смещения ввиду
воздействия нелинейных конвективных членов и химической реакции (для активного
скаляра) оценивалось как пренебрежимо малое ввиду выполнения критерия [17],
поскольку разрешение сетки в Фурье пространстве таково, что произведение
максимального волнового числа на колмогоровский масштаб было порядка двух, в то
время как достаточно, чтобы такое произведение было более единицы, [18].
Временной шаг выбирался как меньшее из двух значений: t 0.001 (что равно
одной тысячной числа Дамкелера в нашем случае), и
t , которое обеспечивало
значение сеточного числа Куранта C равного 0.8 , где
t
C
.
x / max | u1 |, | u2 |,| u3 |
Подкачка энергии флуктуаций осуществлялась только в гидродинамическое поле,
а скалярное поле было свободно вырождающимся. Использовалась предложенная в
[16] схема подкачки энергии в поток в k - пространстве. Во все узлы разностной схемы
с модулем k < 2 2 , кроме узла k 0 , добавлялась энергия на каждом временном шаге
с помощью гауссового случайного процесса. При этом величина источника задавалась
такой, что число Рейнольдса, построенное по тейлоровскому микромасштабу,
равнялось 55, а выбор фазы источника производился, чтобы выполнить условие
несжимаемости жидкости. Интегральный масштаб поля скорости был менее 1/6
размера области интегрирования, и как следствие, выполнялись условия однородности.
До начала расчета скалярного поля поле скорости рассчитывалось в течение
времени равного приблизительно десяти оборотам энергосодержащего вихря, что
гарантировало наступление квазистационарного состояния, при котором спектр
состоял из мелкомасштабных флуктуаций. Для скалярного поля в начальный момент
времени задавалось случайное однородное распределение величин 0 и 1 со средним,
равным 0.7. Затем применялось сглаживание этого начального распределения для
уменьшения спектрального смещения скалярного поля на первых шагах по времени.
Такие же сглаженные распределения применялись в качестве начальных для расчетов
по статистическим моделям описанным выше. Их вид приведен на рис. 1.
Результаты
Выражения для источников подкачки кинетической энергии турбулентности в
поток (9) и (14) требуют задания масштаба длины LU . Поскольку с помощью этого
одного параметра в членах подкачки (9) и (14) не представляется возможным корректно
смоделировать достигаемое спектральное распределение добавляемой энергии в ПЧМ,
параметр LU подбирался из соответствия временной эволюции дисперсии флуктуаций
поля скорости в ПЧМ и в моделях (1), (4). Параметр LU подбирался вначале для
спектральной модели, основанной на уравнении (4), а затем с этим же параметров
производились расчеты по модели (1).
На рис. 2. представлены временные зависимости уровня дисперсии поля
флуктуаций скорости, а также скорости диссипации для двух моделей (уравнения (1) и
(4)). Обе методики дают выход на квазистационарное состояние приблизительно в
конце расчетного периода t 1.625 . При этом оказывается, что модель (1) несколько
лучше соответствует данным ПЧМ, как по уровню дисперсии (рис. 2а), так и по
скорости диссипации (рис. 2б). Фактически, расчеты по уравнению (1) корректно
описывают осреднение сильно флуктуирующих данных ПЧМ.
6E-2
1
4E-2
2
2E-2
0E+0
0.0E+0
4.0E+1
8.0E+1
1.2E+2
1.6E+2
Рис 1. Вид начальных распределений турбулентных полей скорости - 1 и скаляра - 2 в ПЧМ
Тем не менее, аналогичные сопоставления эволюции уровня дисперсии
скалярного поля и скорости скалярной диссипации (рис. 3) показывают, что лучше
совпадает с ПЧМ спектральная модель (4)-(6). Данное обстоятельство объясняется,
скорее всего, невысокой точностью преобразования начального распределения
E (C ) k , 0 в начальное распределение P0(C ) r , задаваемое в пространстве масштабов
длин согласно обратным формулам преобразования (16),(17) (см. [9]) в качестве
начального условия для модели (1) - (3):
5.0
1.3
4.0
1.2
3.0
1.1
2.0
1
1
1.0
2
2
1.0
3
3
0.9
0.0
0.0
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
0.8
1.0
1.2
(а)
(б)
Рис.2. Эволюция скоростной дисперсии (а) и диссипации (б). 1 - прямое численное моделирование; 2 расчет по модели (1)-(3) с членом подкачки (10); 3- расчет по модели (4)-(6) с членом подкачки (14)
P0 r
0.2
3
2
kr
0
P0
C
0.4
1
4
kr
sin kr
r
0
kr
0.6
2
2
3
sin kr
cos kr
kE
kr
kr
C
3
cos kr
k , 0 dk
kE k, 0 dk ,
(16)
(17)
При этом более низкая точность у преобразования (17), поскольку распределение
E
k ,0 (см. рис. 1) является более острым и, фактически, его наиболее значащая
часть вблизи k 0 построена всего по нескольким точкам, в силу чего численное
интегрирование согласно (17) неточно. Для модели (4)-(6) такое преобразование не
требуется, и она лучше совпадает с ПЧМ. Кроме того, скорость скалярной диссипации
определяется с большей точностью по интегральной формуле для e из (8), нежели из
формулы (7), в которую входит производная от распределения Pt ' 0 .
C
1.0
2.0
0.8
1.6
1
1
0.6
2
1.2
2
3
3
0.4
0.8
0.2
0.4
0.0
0.0
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
(а)
(б)
Рис.3. Эволюция скалярной дисперсии (а) и диссипации (б). Обозначения см. Рис. 2.
Скорость скалярной диссипации (рис. 3б) демонстрирует немонотонный характер
своей эволюции, как в данных ПЧМ, так и в результатах полученных согласно моделям
(1)-(3), (4)-(6).
0E+0
0.6
0.5
-1E+6
0.4
-2E+6
0.3
1
2
1
2
0.2
-3E+6
3
0.1
0.0
-4E+6
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
(а)
(б)
Рис.4. Эволюция смешанной асимметрии производных пульсационных полей скорости и скаляра (а) и
четвертой производной от структурной функции скалярного поля (б). Обозначения см. Рис. 2.
Для спектральной модели (4)-(6) имеется хорошее соответствие с ПЧМ для
временной эволюции интегрального масштаба длины (рис. 4а) и колмогоровского
масштаба (рис. 4б). Интегральный масштаб сохраняется на постоянном уровне, что
связано с выходом на стационарный уровень значения дисперсии флуктуаций скорости
(рис. 2а). Колмогоровский масштаб длины на начальном участке уменьшается с
выходом на стационар ввиду роста диссипации поля скорости (рис. 2б), вызванного
общим ростом кинетической энергии в потоке (рис. 2а). Модель для распределений
(C )
Pt r , Pt
r в целом также соответствует результатам ПЧМ для масштабов длины.
5.6E-3
0.20
1
2
0.12
3
5.2E-3
0.08
1
5.0E-3
2
0.04
3
4.8E-3
0.00
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
0.0
1.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
(а)
(б)
Рис.5. Эволюция интегрального (а) и колмогоровского (б) масштабов длины. Обозначения см. Рис. 2.
Интегральный масштаб L вычислялся в k и r пространствах как
Lk
3p
4
E k k 1 dk
0
0
E k dk
p 3
2 2 KT
0
E k k 1 dk , Lr
p
0
0
rPt r dr
Pt r dr
3 p
2 KT
0
rPt r dr .(18)
Первое из определений (18) выбрано так, чтобы оно совпадало с используемым для
построения масштаба в ПЧМ. Второе определение является средним значением r по
распределению Pt r с масштабным коэффициентом p . Этот коэффициент можно
получить, если подставить формулу для преобразования (12) в первое из соотношений
(18) и провести интегрирование по k .
Эволюция двух статистических моментов третьего порядка построена на рис.5.
Известно, смешанной асимметрии поля градиентов скорости и скаляра (рис. 5а)
является достаточно консервативной по отношению к внешним воздействия.
Асимптотическое значение SUC при большом времени смешения близко к постоянному
0.5 , что почти не отличается от ранее рассмотренного случая без подкачки [13].
SUC
Очевидно, что и для старших моментов спектральная модель (4)-(6) дает лучшее
соответствие с данными ПЧМ, чем модель (1)-(3). - Данные по SUC из результатов
ПЧМ построены с осреднением по трем значениям этой функции, с использованием
( IV )
трех компонент градиента скорости u1 / x1 , u2 / x2 , u3 / x3 . Величина DCC
0, t
находилась затем из значения SUC , пользуясь связью этих двух величин для
изотропной турбулентности, [9]. В безразмерном виде ее можно выразить как
SUC t
1
D (IV) 0, t /
3 Pe CC
c t Pe
e t Re
3
15
1/ 2
(19)
Выводы
Тестированные в данной работе статистические модели расширенные на случай
подкачки кинетической энергии турбулентности могут применяться для нахождения
требуемых турбулентных характеристик поля скорости и скаляра в ряде вероятностных
моделей турбулентного смешения, в частности, они могут быть использованы в
качестве подмоделей для определения коэффициентов при решении уравнений для
СПРВ скаляра и его градиента, а также его статистических моментов, таких как
условная скорость скалярной диссипации. Результаты расчета по демонстрируют
хорошее совпадение с данными ПЧМ, при этом лучшее согласие с ПЧМ показывает
спектральная модель.
Работа выполнена при поддержке Фонда фундаментальных исследований
Республики Беларусь (Т01 – 118) и фонда INTAS (2000-353).
Литература
1. Pope S.B. PDF Methods for Turbulent Reactive Flows // Progress in Energy and
Combustion Science. 1985. V.11. P. 119-192.
2. Dopazo C. Recent developments in PDF methods. // Turbulent Reacting Flows / Ed. by P.
Libby, F.A. Williams, New York, 1994. P. 375 – 474.
3. О'Брайен Е.Е. Метод функции плотности вероятности (ФПВ) в теории
турбулентных течений с химическими реакциями // Турбулентные течения
реагирующих газов. / Под ред. П.А.Либби и Ф.А.Вильямса. М.: Мир, 1983. С. 252296.
4. Кузнецов В.Р., Сабельников В.А. Турбулентность и горение. М.: Наука, 1986. 288 с.
5. Фрост В.А., Ивенских Н.Н., Красицкий В.П. Описание турбулентного
микросмешения при помощи двухточечных функций распределения вероятностей.
Препринт № 699. Москва: Институт проблем механики РАН. 2002. 26 с.
6. Valino L., Dopazo C. Joint Statistics of Scalars and their Gradients in Nearly
Homogeneous Turbulence // Advances in turbulence. 1991. V.3. P. 312-323
7. Meyers R.E., O'Brien E.E. The joint PDF of a scalar and its gradient at a point in turbulent
flow // Combustion Science and Technology. 1981. V.26. P.123-134.
8. Сосинович В.А., Бабенко В.А., Жукова Ю.В. Замкнутое уравнение для совместной
плотности распределения вероятностей величин флуктуаций турбулентного
скалярного реагирующего поля и его градиента // ИФЖ 1998. Т. 71, № 5. С. 827-849.
9. Монин А.С., Яглом А.М. Статистическая гидромеханика. M.: Наука, 1967. Ч.2. 720с.
10. Панчев С. Случайные функции и турбулентность. Л: Гидрометеорологическое
издательство, 1967. 447 с.
11. Сосинович В.А., Бабенко В.А., Жукова Ю.В. Вывод и численное решение системы
уравнений для одноточечной плотности вероятностей и условной скорости
диссипации турбулентных пульсаций скалярного поля // ИФЖ. 1999. Т. 72, № 2. С.
275-288.
12. Жукова Ю.В. Вычисление коэффициентов в уравнении для совместной плотности
распределения вероятностей скаляра и его градиента // Вести НАНБ. сер. физ.-мат.
наук. № 4. 2000. С. 130-134.
13. Бабенко В.А., Жукова Ю.В., Сосинович В.А., Хиерро Х. Статистические
коэффициенты в уравнении для совместной плотности распределения вероятности
скаляра и его градиента // ИФЖ. 2004. Т. 77, №2. С. 65-74.
14. Orszag S.A., Patterson G.S. Numerical simulation of turbulence. // Statistical models and
turbulence. Lecture notes in physics. 1972. V.12.
15. Rogallo R.S., Moin P. Numerical simulations of turbulent flows // Ann. Review Fluid
Mech. 1984. V.16. P. 99-137.
16. Eswaran V., Pope S.B. Direct numerical simulations of the turbulent mixing of a passive
scalar // Phys. Fluids. 1988. V. 31. P. 506-520.
17. Kida S., Murakami Y. Statistics of velocity gradients in turbulence at moderate Reynolds
numbers // Fluid Dynamics Research. 1989. V.4. P. 347-370.
18. Jimenez J., Wray A.A., Saffman P.G., Rogallo R.S. The structure of intense vorticity in
isotropic turbulence // J. Fluid Mech. 1993. V. 255. P. 65-90,