обнаружение и исправление ошибок при умножении чисел

НАУЧНЫ Е ВЕДО М ОСТИ
Серия История. Политология. Экономика. Информатика.
111
2012. №7 (126). Выпуск 22/1
УДК 004
ОБНАРУЖЕНИЕ И ИСПРАВЛЕНИЕ ОШИБОК ПРИ УМНОЖЕНИИ ЧИСЕЛ
Н.И. КОРСУНОВ
А.А. НАЧЕТОВ
А. В. ГЛУШАК
Б елгородский
государст венн ы й национальны й
и сследоват ельски й у ниверсит ет
В статье рассматривается метод функционального контроля и
коррекции ошибки умножения чисел путем приведения ошибки
умножения к отклонению одного из входных операндов.
Ключевые слова: обнаружение ошибки, коррекция ошибки,
отклонение операнда.
e-m ail: korsunov@ intbel.ru
e-m ail: aleksandr@ n achetov.org.u a
П ри ф ункционировании процессоров, связанны х с обработкой сигналов наиболее
часто используемой операцией является ум нож ение чисел [1]. П оэтом у ош ибки вы полне­
ния операции умнож ения сущ ественно сказы ваю тся на точности циф ровой обработки
сигналов и вопросы коррекции ош ибки ум нож ения чисел являю тся актуальны ми.
И звестен м етод обнаруж ения ош ибки [2], в основе которого леж ит м ногократное
дублирование и определение ош ибки умнож ения по м аж ори тарном у принципу. Д анны й
м етод вклю чает обнаруж ение отказавш его устройства умнож ения при параллельном вы ­
полнении одной и той ж е операции и требует сравнение результатов нескольких уст­
ройств с последую щ им их представлением уравнениям и маж оритарной логики для вы бо­
ра отклю чаем ого устройства. О сновное ограничение связано с работой больш инства уст­
ройств без внесения ош ибок. П ри использовании врем енной избы точности требуется вы ­
полнение не м енее трех последовательны х операций ум нож ения. Однако, при этом не га­
рантируется достоверность определения неисправного устройства, так как м ож ет оказать­
ся в течение времени вы полнения контроля неверное вы полнение больш инства опера­
ций, поэтом у использование данного м етода оправдано только при кратковрем енном
действии помехи, а в други х случаях приводит к р езком у р осту избы точности, р е а л и з а ­
ц и я которого при использовании временной избы точности ведет к значительной потере
бы стродействия.
Д ругой м етод обнаруж ения ош ибки умнож ения на прим енении ариф м етических
кодов [3] связан с вы числением остатков по вы бран н ом у модулю. В контроле с помощ ью
ариф м етических кодов необходим о при ум нож ении каж дой пары элем ентов вы полнять
следую щ ие операции.
1. Вы числяется произведение C = A B
2. Вы числяется остаток C по m od P .
3. Вы числяю тся остатки A по m od P и B по m od P .
4. Вы числяется C * = A по m od P • B по m od P .
5. Вы числяется остаток C * по m od P .
6. Сравниваю тся C и C * по m od P .
Это приводит при аппаратной реализации к р осту оборудования, а при програм м ­
ной - к зн ачительном у увеличению времени.
Б лок-схем а алгоритм а контроля умнож ения при использовании ариф м етических
кодов представлена на рис.1.
112
НАУЧНЫ Е ВЕДО М ОСТИ
Серия История. Политология. Экономика. Информатика.
2012. № 7 (126). Выпуск 22/1
А лгори тм включает: вы числение остатков A1, B1 операндов AB по вы бранном у
м одулю P ; вы числение произведений С и С 1 и их остатков C P и C 1P по модулю P , и
сравнение этих остатков для принятия реш ения о возникновении ош ибки.
Реализация дан ны х м етодов требует преобразований исходны х операндов и ре­
зультата, вы полнение той ж е операции над преобразованны м и операндам и с последую ­
щим преобразованием результата и сравнение с его ранее полученны м преобразованны м
результатом .
Рис. 1. Блок-схема алгоритма контроля умножения при использовании
арифметических кодов
Д остоинство данного м етода контроля является возм ож ность параллельны х пре­
образований с исходны м и и преобразованны м и данны м и. О днако, сущ ественны м н едос­
татком контроля с использованием ариф м етических кодов является отсутствии возм ож ­
ности коррекции ош ибки.
НАУЧНЫ Е ВЕДО М ОСТИ
Ijw jj
С е р и я И с то р и я . П о л и то л о ги я . Э к о н о м и к а . И н ф о р м а т и к а .
^^g
2 0 1 2 . № 7 (1 2 6 ). В ы п у с к 22/1
Ц елью исследований, излож енны х в статье, является не только обнаруж ение не
только обнаруж ение ош ибки вы полнения ум нож ения чисел, но и ее коррекция.
Суть предлагаем ого метода состоит в следую щ ем . П усть вы полняется операция
ум нож ения
С * = A *B * ,
(1)
в результате которой получено
С * = С * + АС.
(2)
Т ак как (1) есть ф ункция двух перем енны х, то при ум нож ении с ош ибкой предста­
вим (2) в виде [4]:
С (A, B ) = С (A* B *)+
В ) АА + аС ^в B ) А В = A* B * + [BAA + AAB],
(3)
где вы раж ение в квадратны х скобках представляет собой ош ибку АС, приведенную
к отклонению значений сом нож ителей и их исходны х значений А*, В*.
Введем переменную
А а = АЛ + — АВ.
(4)
B
Введение переменной А а (4) приводит к тому, что вы раж ение в квадратны х скоб­
ках в (3) представляется линейной ф ункцией введенной перем енной и определяет ф унк­
цию ош ибки ум нож ения
С 1 = С 0 + А С 1 = A oВ о + В оА а
(5)
Т ак как произведение представляется сем ейством параллельны х прям ы х в плоско­
сти (CA') проходящ их через ноль под углом тан ген с которы х равен В , то ош ибка А С так­
ж е представляется
в плоскости А С В сем ейством прям ы х проходящ их под углом , тангенс
которого равен -\[а , через точки оси координат, задаваем ы е значениям и A .
Это позволяет, зная А С и В , определить значения A , либо по значениям A, В и
А С определить А а .
Л инейная зависим ость произведения и ош ибки произведения и ош ибки позволяет
по значениям двух произведений при ф иксированном значении A = A 0определить н али­
чие ош ибки, в произведении вы званное воздействием помехи. Н алож им ограничение на
длительность пом ехи, определяем ую врем енем вы полнения двух умнож ений.
Тогда, если первое ум нож ение дает значение С 1, определяем ое (5), то второе ум ­
нож ение дает
С 2 = С 0 + А С 2 = AAB1 + В 1А а ,
(6)
а так как в соответствии с (4) А а не зависит от В , то
С 2 = (A0 + А а ) + (А 0 + А В ) = A0В 0 + В 0А а + A 0АВ + А В А а
(7)
В ы читая из (7) значение полученное при первом ум нож ении (5) получаем
SC = С 2 - С 1 = A0АВ + А В А а
(8)
Вы брав приращ ение А В = 1 , получаем
SC = A 0 + А а = A
(9)
И спользуя вы раж ение (9) м ож но наличие ош ибки ум нож ения определить в виде
отклонения значения A , эквивалентного наличию ош ибки произведения как
114
НАУЧНЫ Е ВЕДО М ОСТИ
Серия История. Политология. Экономика. Информатика.
2012. №7 (126). Выпуск 22/1
А а = A - A 0,
(10)
и, если А а превы ш ает некоторы й порог, то ф орм ируется сообщ ение «ош ибка ум н ож е­
ния», установление ф лаж ка в единицу.
А лгори тм реализую щ ий данны й м етод приведен на рис. 2.
В соответствии с описанны м подходом к обнаруж ению ош ибки умнож ения, алго­
ритм определения ош ибки м ож ет бы ть представлен в виде приведенном на рис. 2 и
вклю чает следую щ ую последовательность шагов:
1. П роводят ум нож ение чисел A0В 0представленны х при норм ализации (5).
2. У вели чиваю т сом нож итель В 0на 1 и проводят ум нож ение А 0на В 1 = В 0 + 1 (7).
Если предполагать использование двух устройств ум нож ения при действии той ж е пом е­
хи, то ограничение на длительн ость помехи мож но снять, при одноврем енном вы п олне­
нии двух умнож ений.
3. Вы читаю результаты полученны х произведений и определяю т абсолю тное зн а­
чение разности (9).
4. Из полученного значения вы читаю т сом нож итель А (10).
5. С равниваю т полученное значение с пороговы м и в зависим ости от результата
сравнения ф лаж ок устанавливается в единицу или в ноль.
Н ачало
Ввод А, В
Cl = А В
B l = В -Ь 1
С; = ЙР,
■
1
п
а
С
В
■
Ё
т»
е
н
и
к
б
и
Вы вод «ош
В ы вод «ош ибка»
МКонец
Рис. 2. Блок-схема алгоритма обнаружения ошибки умножения предложенным методом
НАУЧНЫ Е ВЕДО М ОСТИ
Ijw jj
С е р и я И с то р и я . П о л и то л о ги я . Э к о н о м и к а . И н ф о р м а т и к а .
^^g
2 0 1 2 . № 7 (1 2 6 ). В ы п у с к 22/1
Врем енны е затраты на обнаруж ение ош ибки определяю тся
т= 2тон
...
+ 2 т пе
~ . + т, + т
~д
е
пд
где т0й
- время вы полнения ум нож ения, тл - время слож ения/вы читания, ти - время
добавления единицы , тср - время установки флажка.
При обнаруж ении ош ибки с использованием ариф м етических кодов выполняют:
1. Н ахож дение остатков операндов сом нож ителей.
2. Вы числение произведения чисел.
3. О пределение остатка полученного произведения.
4. Вы числение произведения остатков сомнож ителей.
5. О кругление остатка произведения остатков.
6. С равнение полученны х остатков и устан овка флаж ка.
К ак и в предлож енном подходе обнаруж ения ош ибки ум нож ения использую т два
ум нож ения и сравнение с установкой флаж ка. Но в отличии от предлож енного оп ределе­
ния наличия ош ибки, где вы полняется два слож ения и добавление единицы , при исполь­
зовании ариф м етических кодов определяю т четы ре остатка по вы бранном у модулю , вре­
мя вы числения которы х превы ш ает сум м арное время трех слож ений.
Кроме этого, при использовании ариф м етических кодов непрем енны м условием
является вы полнение ум нож ения остатков без ош ибки, при этом нет возм ож ности даж е
косвенного округления величины ош ибки.
П редлож енны й подход при увеличении врем енны х затрат, вследствие н епосредст­
венного ф орм ирования значения отклонения сом нож ителя, позволяет корректировать
ош ибку произведения.
Таким образом , приведенны й м етод обнаруж ения ош ибки ум нож ения по сравне­
нию с обнаруж ением ош ибки с использованием ариф м етических кодов не требует вы ­
полнения хотя бы одного ум нож ения абсолю тно точно, более бы стродействую щ ий и
ф орм ирует значение , которое м ож ет бы ть использовано для коррекции ош ибки ум н ож е­
ния при увеличении врем енны х затрат.
Л и тература
1. Сергиенко А.Б. Ц иф ровая обработка сигналов: У чебное пособие для студентов
вы сш их учебны х заведений, обучаю щ ихся по направлению подготовки ди плом ирован ­
ны х специалистов "И нф орм атика и вы числительная техника" / Сергиенко А.Б.; Рец.:
С.П. Еркович, Г.И. Ревунков; М -во образования РФ., Ф едеральная целевая програм м а
"К ультура России". П оддерж ка полиграф ии и книгоиздания России. - СПб.: П итер,
2003. - 604 с.: ил., табл. - (Учебник для вузов. - Прил.: с. 5о8-582.-Б иблиогр.: 583-585.А лф авитны й указ.: с. 586-603
2. Л уц и к Ю .А., Л ук ьян ова И.В. Ариф м етические и логические основы вы числи­
тельной техники
3. Корн Г. Справочник по м атем атике для научны х работников и инж енеров =
M athem atical handbook for scientists and engineers: D efinitions, theorem s and form ulas for
reference and review/ K orn G.A., K orn T.M .: О пределения, теорем ы , ф орм улы /
Корн Г., Корн Т.; П од общ. ред. И.Г. Арам ановича; Пер.: И.Г. А рам ановича, А.М . Березмана, И.А. Вайнштейна, Л.З. Румшинского, Л.Я. Цлафа. - 2-е изд.. - М.: Наука, 1970. - 720 с.:
ил.. - Библиогр.: с. 682-684.-Указ. важ нейш их обозначений: с. 685-687.-П редм етны й
указ.: с. 688-720
4. П атент № 2439674Российская Ф едерация, М П К. Способ ф орм ирования отказо­
устойчивой вы числительной систем ы и отказоустойчивая вы числительная систем а /
А.С. Сы ров, В.П. Ан дреев и др.; опубл. 10.01.2012. Бюл. № 1.
116
НАУЧНЫ Е ВЕДО М ОСТИ
Серия История. Политология. Экономика. Информатика.
2012. № 7 (126). Выпуск 22/1
DETECTION AND CORRECTION OF ERRORS IN MULTIPLY
N.I. KORSUNOV
A.A. NACHETOV
A.V. GLUSHAK
In the article a method of functional control and error correc­
tion by multiplying the number of multiplication error reduction in
the rejection of one of the input operands.
Belgorod National
Research Urnv^stiy
Key words: error detection, error correction, the deviation of
the operand.
e-mail: [email protected]