Преобразование графиков функций.

Методический материал
по алгебре
Преобразования
графиков функций
Оглавление

Правила преобразований графиков функций

Графические иллюстрации

Примеры построения графиков сложных
функций с помощью одного преобразования

Примеры построения графиков сложных
функций с помощью нескольких
преобразований
Правила преобразований
графиков функций








Построение
Построение
Построение
Построение
Построение
Построение
Построение
Построение
графика
графика
графика
графика
графика
графика
графика
графика
функции
функции
функции
функции
функции
функции
функции
функции
оглавление
y=f(x+a)
y=f(x)+b
y=f(-x)
y=-f(x)
y=f(kx)
y=kf(x)
y=f(|x|)
y=|f(x)|
Параллельный перенос
вдоль оси абсцисс
y=f(x+a)
Для построения графика функции y=f(x+a)
надо график функции y=f(x) параллельно
перенести на |a| единиц вдоль оси Ox
 в положительном направлении, если a<0
 в отрицательном направлении, если a>0
графическая иллюстрация
Параллельный перенос
вдоль оси ординат
y=f(x)+b
Для построения графика функции y=f(x)+b
надо график функции y=f(x) параллельно
перенести на |b| единиц вдоль оси Oy
 в положительном направлении, если b>0
 в отрицательном направлении, если b<0
графическая иллюстрация
Симметричное отображение
относительно оси ординат
y=f(-x)
Для построения графика функции y=f(-x)
надо график функции y=f(x) симметрично
отобразить относительно оси Oy
Замечание: при этом точки пересечения с осью у
остаются неизменными.
графическая иллюстрация
Симметричное отображение
относительно оси абсцисс
y=-f(x)
Для построения графика функции y=-f(x)
надо график функции y=f(x) симметрично
отобразить относительно оси Ox
Замечание: при этом точки пересечения с осью х
остаются неизменными.
графическая иллюстрация
Растяжение/сжатие
вдоль оси абсцисс
y=f(kx)
Для построения графика функции y=f(kx)
надо график функции y=f(x) подвергнуть
масштабированию вдоль оси Ox
 растяжению в 1/k раз , если 0<k<1
 сжатию в k раз, если k>1
Замечание: при этом точки пересечения с осью у
остаются неизменными.
графическая иллюстрация 1 графическая иллюстрация 2
Растяжение/сжатие
вдоль оси ординат
y=kf(x)
Для построения графика функции y=kf(x)
надо график функции y=f(x) подвергнуть
масштабированию вдоль оси Oy
 растяжению в k раз , если k>1
 сжатию в 1/k раз, если 0<k<1
Замечание: при этом точки пересечения с осью х
остаются неизменными.
графическая иллюстрация 1 графическая иллюстрация 2
Построение графика y=f(|x|)
y=f(|x|)
Для построения графика функции y=f(|x|) надо:
 часть графика функции y=f(x), лежащую
правее оси Oy, оставить без изменения;
 эту же часть графика функции y=f(x),
лежащую правее оси Oy, симметрично
отобразить относительно оси Оy
графическая иллюстрация
Построение графика y=|f(x)|
y=|f(x)|
Для построения графика функции y=|f(x)| надо:
 часть графика функции y=f(x), лежащую
выше оси Oх, оставить без изменения;
 часть графика функции y=f(x), лежащую ниже
оси Oх, симметрично отобразить
относительно оси Ох
графическая иллюстрация
Графические иллюстрации










Построение
Построение
Построение
Построение
Построение
Построение
Построение
Построение
Построение
Построение
графика
графика
графика
графика
графика
графика
графика
графика
графика
графика
правила
функции
функции
функции
функции
функции
функции
функции
функции
функции
функции
оглавление
y=f(x+a)
y=f(x)+b
y=f(-x)
y=-f(x)
y=f(kx), 0<k<1
y=f(kx), k>1
y=kf(x), 0<k<1
y=kf(x), k>1
y=f(|x|)
y=|f(x)|
примеры
f(x) → f(x) + b
y
y=f(x)
0
x
b>0
b<0
правило
пример
f(x) → f(x + а)
y
a>0
a<0
0
x
y=f(x)
правило
пример
f(x) → – f (x)
y
y=-f(x)
0
x
y=f(x)
правило
пример
f(x) → f(– x)
y
0
y=f(x)
правило
x
y=f(-x)
пример
f(x) → k f(x ) ; k>1
y
y=kf(x)
y=f(x)
0
правило
x
пример
f(x) → k f(x ) ; 0<k<1
y
y=f(x)
y=kf(x)
0
правило
x
пример
f(x) → f(kx ) ; k>1
y
y=f(kx)
y=f(x)
0
правило
x
пример
f(x) → f(kx ) ; 0<k<1
y
y=f(x)
0
правило
y=f(kx)
x
пример
f(x) → │f(x)│
y
y=|f(x)|
0
x
y=f(x)
правило
пример
f(x) → f(|x|)
y
y=f(|x|)
0
x
y=f(x)
правило
пример
Примеры построения
графиков сложных функций










Построение
Построение
Построение
Построение
Построение
Построение
Построение
Построение
Построение
Построение
графика
графика
графика
графика
графика
графика
графика
графика
графика
графика
функции
функции
функции
функции
функции
функции
функции
функции
функции
функции
оглавление
y=f(x+a)
y=f(x)+b
y=f(-x)
y=-f(x)
y=f(kx), 0<k<1
y=f(kx), k>1
y=kf(x), 0<k<1
y=kf(x), k>1
y=f(|x|)
y=|f(x)|
y
y
1
x
Параллельный перенос
вдоль оси абсцисс
y
1
x 2
2
правило
1
-2
-1
0
-1
-2
1
2
x
Параллельный перенос
y
x
y
x 3
вдоль оси ординат
y
правило
2
1
0
-1
-2
-3
1
4
x
y
x2
Симметричное отображение
относительно оси абсцисс
y
y
x2
правило
2
1
-2
-1
0
-1
-2
1
2
x
y
y
x
Симметричное отображение
относительно оси ординат
x
правило
y
1
0
-2
-1
1
-1
2
4
x
-4
Растяжение
вдоль оси ординат
y cos x
y 2 cos x
правило
y
2
1
2
3
2
0
2
2
-1
-2
3
2
2
x
y
Сжатие
вдоль оси ординат
sin x
y 0,5 sin x
правило
y
1
2
2
3
2
0,5
3
2
0
- 0,5
-1
2
2
x
Растяжение
вдоль оси абсцисс
y cos x
2
y cos x
3
правило
y
1
2
3
2
0
2
2
-1
3
2
2
x
y
Сжатие
вдоль оси абсцисс
sin x
y sin 2x
правило
y
1
2
3
2
2
3
2
0
2
-1
2
x
Симметричное отображение
нижней части графика
y x2 6x 8
y
y | x 2 6x 8 |
правило
3
2
1
0
-1
1
3
x
y
Симметричное отображение
правой части графика
sin x
y sin | x |
правило
y
1
2
3
2
2
3
2
0
2
-1
2
x
Примеры построения
графиков сложных функций
y cos 2x 1,5
y
y
2 sin( x
6
x 3
оглавление
3
)
y
x2 4 5
x ( y 4)3 2
правила
y cos 2x 1,5
y cos x
y cos2x
y cos 2x 1,5
правила
y
y sin x
y sin(x
2 sin( x
3
)
3
)
y 2 sin(x
3
)
y
2 sin( x
3
)
y
правила
4 5
4
y
x2 4 5
x2 4
y
x2 4 5
y x
y
x
2
2
y
y
y
6
x
6
x 3
правила
6
x 3
y
6
x 3
3
x ( y 4)
правила
2
x 2
3
y x
y
4
y 2
y ( x 4)3 2
y x
x ( y 4)3 2
x 4