Лекция 2 Тема Содержание темы

Лекция 2
Тема
Основные понятия теории вероятностей
Содержание темы
Предмет ТВ.
Случайное событие.
Вероятность события, классическое определение вероятности.
Операции с событиями.
Графическое представление в виде диаграмм Эйлера–Венна.
Основные категории
I
I
I
I
I
I
случайное событие,
вероятность события,
невозможное и достоверное события,
совместные и несовместные события, полная группа событий,
сложение и умножение событий, противоположное событие,
диаграмма Эйлера–Венна.
Теория вероятностей, ее предмет и задачи
Теория вероятностей (ТВ) — раздел математики, изучающий
закономерности, присущие массовым случайным явлениям.
При этом изучаемые явления рассматриваются в абстрактной
форме, независимо от их конкретной природы.
Предмет ТВ — математические модели случайных явлений
(случайных событий).
Цель ТВ — осуществление прогноза в области случайных
явлений, контроль их, ограничение сферы действия
случайности.
Событие
Событием в теории вероятностей (случайным событием,
возможным событием) называется любой факт, который в
результате испытания, эксперимента, опыта может произойти
или не произойти.
Иногда подчеркивают, что случайное событие — это такое событие,
наступление которого мы не можем в точности предвидеть из-за незнания
причин, вызывающих его, или невозможности считаться со всеми причинами,
или событие, которое не обязательно происходит (то есть не является
детерминированным).
Важно понять, что событие — это не происшествие, а теоретически
возможный исход эксперимента (в широком смысле).
События обозначаются
буквами A, B, C. . . .
обычно
заглавными
латинскими
Вероятность события
На уровне бытового восприятия вероятность события — это частота его
появления, выраженная в долях единицы (на словах мы обычно оцениваем
вероятность в процентах, то есть в долях сотни).
Если некоторый эксперимент (синоним — испытание) проводится n раз, и
в результате событие A произошло kn раз, то его частота в данной серии
экспериментов равна
kn
.
n
При увеличении количества экспериментов частота будет измерена более
точно, поэтому следует за вероятность события A, обозначаемую через
P (A), принять предел
kn
P (A) = lim
.
n→∞ n
Такой предел называют статистическим определением вероятности.
К сожалению,
вычислить!
по
такому
определению
ничего
нельзя
Классическое определение вероятности события
Предположим, что мы можем явно указать все возможные исходы
эксперимента, которые между собой несовместимы и равновозможны.
Такие исходы называются элементарными. Если их количество равно n,
то теоретическая частота каждого из них, принимаемая за вероятность
элементарного исхода, равна n1 .
Исход, при котором событие A происходит, называется благоприятным
(событию A или для события A). Соответственно, исход, при котором
событие A не происходит, называется неблагоприятным. Предположим, что
количество благоприятных исходов равно m.
Определение. Вероятностью события A называется отношение
числа благоприятных этому событию элементарных исходов к
общему числу элементарных исходов
P (A) =
m
.
n
Виды событий
Определение.
Событие
называется
невозможным
(обозначается
символом ∅), если оно никогда не может произойти. Событие называется
достоверным (обозначается символом Ω), если оно происходит при любом
исходе эксперимента (происходит всегда).
Определение. События называются несовместными, если они не
могут произойти одновременно. События, которые могут происходить
одновременно, называются совместными.
Определение. Несколько событий называются единственно возможными,
если хотя бы одно из них обязательно произойдет.
Определение. Несколько событий образуют полную группу, если они
являются единственно возможными и все попарно несовместны.
Иными словами, события образуют полную группу, если в результате
испытания заведомо происходит одно и только одно из них.
Задание
Привести примеры на все данные определения. Привести пример
единственно возможных событий, не образующих полную группу.
Свойства вероятности
1. Вероятность любого события заключена между нулем и
единицей 0 6 P (A) 6 1.
2. Вероятность невозможного события равна нулю P (∅) = 0.
3. Вероятность достоверного события равна единице
P (Ω) = 1.
Доказательство.
Число благоприятных исходов не может быть отрицательным (m > 0) и не
может быть больше числа всех возможных исходов (m 6 n), поэтому
06
m
6 1.
n
Для невозможного события m = 0, для достоверного m = n.
ВАЖНО! Если количество всех исходов бесконечно, то
классическое определение не годится, но указанные свойства
сохраняются!
Операции на множестве событий
Определение. Суммой двух событий A + B называется событие, состоящее
в том, что произошло хотя бы одно из двух событий A или B.
Определение. Разностью двух событий A − B называется событие,
состоящее в том, что A произошло, но B не произошло.
Определение. Произведением двух событий AB называется событие,
состоящее в том, что произошли оба события A и B.
Определение. Событием, противоположным к A, называется событие A,
состоящее в том, что событие A не произошло.
Графическое представление
Представим эксперимент в виде бросания точки в некоторый
прямоугольник. Тогда весь прямоугольник – это достоверное
событие Ω. Любое событие A в этом случае является
некоторым
подмножеством
прямоугольника.
Принимая
площадь всего прямоугольника за единицу, получим
вероятность попадания в подмножество A равной площади
этого подмножества:
P (A) = SA .
В диаграммах Эйлера–Венна события принято изображать
овалами, причем, если ничего заранее не известно о событиях,
эти овалы должны располагаться так, чтобы существовали все
логически возможные их пересечения.
Пример диаграммы Эйлера–Венна
W
A
B
Соответствие операций
A + B ≡ A ∪ B;
AB ≡ A ∩ B;
A − B ≡ A\B;
A ≡ Ω\A.
Задание. Сколько различных непересекающихся областей (полная
группа событий) определяют два овала A, B, а сколько – три овала
A, B, C? Запишите их формулами операций.
Контрольные вопросы
1. Что называется событием (случайным событием)?
2. Понятие о
события.
статистическом
определении
вероятности
3. Классическое
определение
вероятности
(элементарные исходы, благоприятные исходы).
события
4. Достоверное и невозможное событие, их обозначения.
5. Три основные свойства вероятности. Доказательство для
классического определения.
6. Совместные и несовместные события,
возможные события, полная группа.
единственно
7. Дать определение суммы, разности и произведения двух
событий, противоположного события.
8. Графическое представление
диаграммах Эйлера–Венна.
событий.
События
в