ТВиМС экономисты (1) - Высшая школа экономики
реклама
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики» Программа дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика» для направления 38.03.01 «Экономика» подготовки бакалавра Санкт-Петербургский филиал федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего профессионального образования "Национальный исследовательский университет "Высшая школа экономики" Факультет Санкт-Петербургская школа экономики и менеджмента Национального исследовательского университета «Высшая школа экономики» Рабочая программа дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика» для направления 38.03.01 «Экономика» подготовки бакалавра Авторы программы: Никитин Я.Ю., доктор физ.-мат. наук, профессор департамента прикладной математики и бизнес-информатики, [email protected] Согласована начальником ОСУП «_____»____________201 г. А.В. Набока _____________________ Утверждена академическим советом ОП «Экономика» «_____»____________201 г. Академический руководитель ОП В.Н. Пырлик _____________________ 2 Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики» Программа дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика» для направления 38.03.01 «Экономика» подготовки бакалавра Санкт-Петербург, 2015 Настоящая программа не может быть использована другими подразделениями университета и другими вузами без разрешения кафедры-разработчика программы. 1. Область применения и нормативные ссылки Настоящая программа учебной дисциплины устанавливает минимальные требования к знаниям и умениям студента, и определяет содержание и виды учебных занятий и отчетности. Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных ассистентов и студентов направления 38.03.01 «Экономика» подготовки бакалавра, изучающих дисциплину «Теория вероятностей и математическая статистика». Программа разработана в соответствии с Образовательным стандартом НИУ ВШЭ по направлению подготовки 38.03.01 «Экономика» (http://spb.hse.ru/data/2015/09/30/1321438094/38.03.01%20%D0%AD%D0%BA%D0%BE% D0%BD%D0%BE%D0%BC%D0%B8%D0%BA%D0%B0.pdf); Образовательной программой «Экономика» подготовки бакалавра. Рабочим учебным планом университета по направлению подготовки бакалавра 38.03.01 «Экономика», утвержденным в 2015 г. 2. Цели освоения дисциплины Целями освоения дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика» являются овладение методами вычисления вероятностей случайных событий и распределений случайных величин, решением статистических задач оценивания, понятиями теории проверки статистических гипотез, позволяющим студенту использовать эти знания и умения в таких дисциплинах, как «Методы оптимальных решений», «Математические модели в экономике», «Теория игр» и «Эконометрика». Курс "Теория вероятностей и математическая статистика" будет использоваться в теории и приложениях многомерного статистического анализа, математической экономики, эконометрики. Материалы курса могут быть использованы для разработки и применения численных методов решения задач из многих областей знания и для построения и исследования математических моделей таких задач. Дисциплина является фундаментальным аппаратом для изучения студентамиэкономистами математической компоненты своего профессионального образования. 3. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины В результате освоения дисциплины студент должен: знать методы решения задач на вычисление вероятностей событий и приемы работы с вероятностными характеристиками, базовые методы оценивания параметров и построения доверительных интервалов, умение выдвигать статистические гипотезы и делать правильные выводы о характере законов распределения наблюдений. уметь применить аппарат теории вероятностей в задачах формирования экономических моделей и решении прикладных задач, используемых в курсах «Математические модели в экономике» и «Теория игр»; 3 Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики» Программа дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика» для направления 38.03.01 «Экономика» подготовки бакалавра иметь навыки в статистическом анализе экономической информации. В результате освоения дисциплины студент осваивает следующие компетенции: Компетенции Код согласно ЕКК НИУ ВШЭ Способен учиться, приобретать новые знания, умения, в том числе в области, отличной от профессиональной СК-Б1 Способен применять профессиональные знания и умения на практике. Дескрипторы – основные признаки освоения (показатели достижения результата) Системные компетенции СК-Б2 Имеет основательную теоретическую математическую подготовку. Владеет терминологическим аппаратом дисциплины. Имеет представление о функциональных возможностях наиболее распространенных алгоритмов решения прикладных задач математической статистики. Владеет методами и средствами решения задач с вероятностными характеристиками. Владеет методами и средствами решения задач со случайными величинами. Владеет методами и средствами решения задач математической статистики для построения прогнозных экономических характеристик. Распознает типы (классы) задач, применяет для них адекватные методы решения. Владеет методами Формы и методы обучения, способствующие формированию и развитию лекция, лекциявизуализация; семинар; контрольная работа; демонстрация; решение задач; работа с литературой; использование технических средств; репродуктивный; эвристический (частично поисковый); аналитический; зачет; экзамен. семинар; дискуссия; контрольная работа; решение задач; работа с 4 Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики» Программа дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика» для направления 38.03.01 «Экономика» подготовки бакалавра исследования математических моделей в области экономики Способен решать проблемы в профессиональной деятельности на основе анализа и синтеза Способен работать с информацией: находить, оценивать и использовать информацию из различных источников, необходимую для решения научных и профессиональных задач (в том числе на основе системного подхода) Владеет культурой критического мышления, способен к обобщению, анализу, восприятию информации, постановке цели и выбору путей её СК-Б4 Распознает типы (классы) задач, применяет для них адекватные методы решения. Владеет методами исследования математических моделей в области экономики. Обосновывает полученные результаты решения задачи. СК-Б6 Умеет работать с учебным материалом (конспектами лекций, учебниками, учебными пособиями, сборниками задач и др.). Воспроизводит демонстрационные примеры, применяет изученный метод для решения аналогичных заданий. Интерпретирует полученные результаты Профессиональные компетенции А) Социально-личностные (СЛК) СЛК-Б3 Представляет связи между различными математическими объектами и методами. Обосновывает полученные результаты решения литературой; использование технических средств; репродуктивный; эвристический (частично поисковый); аналитический; зачет; экзамен решение задач; дискуссия; работа с литературой; использование технических средств; репродуктивный; эвристический (частично поисковый); аналитический решение задач; дискуссия; работа с литературой; использование технических средств; репродуктивный; эвристический (частично поисковый); аналитический решение задач; дискуссия; работа с литературой; репродуктивный; эвристический (частично 5 Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики» Программа дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика» для направления 38.03.01 «Экономика» подготовки бакалавра достижения задачи. Оценивает корректность решения задачи. Б) Инструментальные (ИК) Способен использовать для решения аналитических и исследовательских задач современные технические средства и информационные технологии ИКПрименяет 4.1_4.2_4.3_4.4_4.6АД_НИД(Э) современные информационные технологии для решения задач и проверки полученного результата. поисковый); аналитический решение задач; использование технических средств; применение инструментальны х средств математики (систем компьютерной математики Mathcad, Maple); репродуктивный; эвристический (частично поисковый); аналитический 4. Место дисциплины в структуре образовательной программы Настоящая дисциплина относится к циклу дисциплин профессионального цикла и является базовой для всех специализаций направления 38.03.01 «Экономика». Изучение данной дисциплины базируется на следующих дисциплинах: математический анализ; линейная алгебра. Основные положения дисциплины могут быть использованы в дальнейшем при изучении следующих дисциплин: Методы оптимальных решений; Теория игр; Микроэкономика; Макроэкономика; Статистика Эконометрика Анализ временных рядов Эконометрическое прогнозирование Имитационное моделирование Анализ данных, Институциональная экономика Страхование 5. Тематический план учебной дисциплины № Название раздела Всего Аудиторные часы Самостоятельна 6 Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики» Программа дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика» для направления 38.03.01 «Экономика» подготовки бакалавра 1 2 3 4 5 6 7 часов Лекции Семинары я работа 32 5 7 20 20 3 5 12 19 3 4 12 17 3 4 10 26 4 6 16 17 3 4 10 21 3 6 12 152 24 36 92 Теория событий и испытаний Бернулли. Одномерные случайные величины. Закон больших чисел и центральная предельная теорема. Выборочный статистический метод. Статистическая теория оценивания параметров. Теория проверки статистических гипотез. Многомерные случайные величины. ИТОГО 6. Формы контроля знаний студентов Тип контроля Форма контроля Текущий Контрольная (неделя в работа модуле) Итоговый Экзамен 1 год 1 5 2 4 9 Параметры ** 3 4 письменная работа 80 минут письменный экзамен 80 мин. 6.1 Критерии оценки знаний, навыков По текущему контролю выдвигаются следующие критерии оценки знаний. По контрольной работе №1 студент должен продемонстрировать умение определять рассматриваемые события, решать задачи на нахождение вероятности события. По контрольной работе №2 студент должен продемонстрировать умение решать задачи математической статистики. Оценки по всем формам текущего контроля выставляются по 10-ти балльной шкале. Выставленный балл определяется умением находить правильные решения стандартных и нестандартных задач, четким использованием известного теоретического материала. Форма итогового контроля – экзамен, проводящийся в конце 3 модуля. Оценки за работу по итоговому контролю выставляются по 10-ти балльной шкале. Для получения положительной оценки студент должен продемонстрировать умение владеть теоретическим материалом при решении практических задач курса. Кроме того, он должен: - знать основные положения теории; - делать логические выводы в рамках решаемой проблемы; - уметь правильно проводить необходимые вычисления. 6.2 Порядок формирования оценок по дисциплине По курсу предусмотрены две контрольные работы и контроль самостоятельной работы в течение всего курса как формы текущего контроля. Самостоятельная работа студентов контролируется посредством мини-проверочных работ, выполняемых на семинаре, и учитывается в оценке Q3. Выборочный контроль выполнения заданий домашней работы, а также выполняемых на семинаре индивидуальных заданий и текущая работа студентов в ходе семинарских занятий учитывается в оценке Qауд. Итоговый контроль в виде письменного экзамена проводится в конце второго модуля. 7 Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики» Программа дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика» для направления 38.03.01 «Экономика» подготовки бакалавра Все формы контроля оцениваются в 10-балльной шкале. Формирование итоговой оценки за весь период обучения. Для получения накопленной оценки используются следующие весовые множители: Q1 - оценка за 1-ю контрольную работу – 25% накопленной оценки; Q2 - оценка за 2-ю контрольную работу – 25% накопленной оценки; Q3 - оценка за самостоятельную работу – 20% накопленной оценки; Qауд - оценка за аудиторную работу – 30% накопленной оценки. Накопленная оценка за текущий контроль учитывает результаты студента по текущему контролю следующим образом: Qнакопленная = 0.25 Q1 + 0.25 Q2 + 0,2 Q3 + 0.25 Qауд. Полученная величина округляется до целого значения по арифметическим правилам и далее учитывается как Qнакопленная для вычисления результирующей оценки. Результирующая оценка за весь период обучения выставляется по следующей формуле, где Qэкзамен - оценка за работу непосредственно на экзамене: Qрезультирующая = 0,5 Qнакопленная +0,5 Qэкзамен, Экзаменационная оценка Qэкзамен, в свою очередь, складывается из оценок на 10 предложенных вопросов, максимальная оценка каждого из них – 1 балл. Все оценки учитываются на равных основаниях. Степень выполнения задачи оценивается числом между 0 и 1, сумма затем округляется по арифметическим правилам до целого значения. Полученный после округления величины Qрезультирующая до целого значения результат выставляется как результирующая оценка по 10-балльной шкале в экзаменационную ведомость (оценкам 1, 2, 3 в 10-балльной системе соответствует оценка «неудовлетворительно» в пятибалльной системе, оценкам 4, 5 – «удовлетворительно», оценкам 6, 7 – «хорошо», оценкам 8, 9, 10 – «отлично»). При выставлении результирующей оценки используется арифметическое округление – 0,5 балла округляется в большую сторону до целого балла (например, 6,5 округляется до 7 баллов). На пересдаче студенту не предоставляется возможность получить дополнительный балл для компенсации оценки за текущий контроль. 7. Содержание дисциплины Тематика семинарских занятий соответствует тематике лекций. Раздел 1. Теория событий и испытаний Бернулли (Лекции – 5 часов, семинары – 7 часов, самостоятельная работа – 20 часов) Базовые основания теории. Пространство элементарных событий. Свойства событий. Аксиомы теории вероятностей. Простейшие следствия из аксиом. Модель классической вероятности. Элементы комбинаторики. Геометрическая вероятность. Условная вероятность. Теорема умножения. Вероятность по крайней мере одного события. Формула полной вероятности. Формула Бейеса или теорема гипотез. Испытания Бернулли и формула Бернулли. Предельные теоремы для вероятностей получения заданного числа событий – локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа, теорема Пуассона. 8 Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики» Программа дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика» для направления 38.03.01 «Экономика» подготовки бакалавра Раздел 2. Одномерные случайные величины (Лекции – 3 часов, семинары – 5 часов, самостоятельная работа – 12 часов) Закон распределения случайной величины. Математическое ожидание и дисперсия случайной величины. Теоретические моменты случайных величин. Асимметрия и эксцесс. Законы распределения дискретных случайных величин - биномиальное распределение, распределение Пуассона, геометрическое распределение. Функция распределения случайной величины и ее свойства. Плотность распределения случайной величины Ее геометрический и вероятностный смысл. Свойства плотности. Характеристики непрерывных случайных величин. Законы распределения непрерывных случайных величин - показательное распределение, равномерное распределение, нормальный закон распределения. Свойства нормально распределенной случайной величины. Интеграл Лапласа. Основные приложения нормального закона распределения - вероятность попадания в заданный интервал, вычисление вероятности заданного отклонения. Функция случайного аргумента. Математическое ожидание функции случайного аргумента. Раздел 3. Закон больших чисел и центральная предельная теорема (Лекции – 3 часов, семинары – 4 часов, самостоятельная работа – 12 часов) Неравенство Чебышева. Сходимость в среднем квадратичном, по вероятности и с вероятностью 1. Закон больших чисел. Теоремы Чебышева и Маркова о законе больших чисел. Закон больших чисел в форме Бернулли. Принцип устойчивости частот. Центральная предельная теорема для одинаково распределенных случайных величин – теорема Леви. Теорема Ляпунова. Интегральная теорема Лапласа – Муавра как частный случай теоремы Леви. Раздел 4. Выборочный статистический метод (Лекции – 3 часов, семинары – 4 часов, самостоятельная работа – 10 часов) Статистика и вероятность. Случайная выборка и ее объем. Репрезентативность выборки. Эмпирическая функция распределения. Теорема Гливенко-Кантелли. Гистограмма и полигон. Выборочные моменты, мода и медиана. Выборочное среднее и выборочная дисперсия. Статистики и их выборочные распределения. Раздел 5. Статистическая теория оценивания параметров (Лекции – 4 часов, семинары – 6 часов, самостоятельная работа – 16 часов) Степени свободы. Распределение Пирсона (2-распределение). Распределение Стьюдента (t – распределение). Постановка задачи оценивания параметров. Оценки параметров. Свойства оценок – несмещенность, состоятельность, асимптотическая нормальность, эффективность. Построение доверительного интервала для математического ожидания нормального закона при известной и неизвестной дисперсии. Построение доверительного интервала для дисперсии нормального закона. Методы построения точечных оценок. Минимаксные и допустимые оценки. Метод наибольшего (максимального) правдоподобия. Метод моментов. Раздел 6. Теория проверки статистических гипотез (Лекции – 3 часов, семинары – 4 часов, самостоятельная работа – 10 часов) Постановка задачи проверки гипотез. Статистический критерий. Основная и альтернативная гипотезы. Уровень значимости и мощность критерия. Проверка параметрических гипотез. Проверка гипотез о среднем в нормальных генеральных 9 Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики» Программа дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика» для направления 38.03.01 «Экономика» подготовки бакалавра совокупностях. Понятие о критерии отношения правдоподобия. Проверка непараметрических гипотез. Критерий согласия 2 Пирсона для простой и сложной гипотезы. Раздел 7. Многомерные случайные величины (Лекции – 3 часов, семинары – 6 часов, самостоятельная работа – 12 часов) Двумерная случайная величина. Функция распределения двумерной случайной величины и ее свойства. Плотность распределения двумерной случайной величины и ее свойства. Функция регрессии случайной величины. Двумерный нормальный закон распределения. Числовые характеристики двумерной случайной величины. Ковариация случайной величины. Матрица ковариаций. Коэффициент корреляции Пирсона. Модели парной и множественной линейной регрессии. Гомоскедастичность и гетероскедастичность. Метод наименьших квадратов. Теорема Гаусса – Маркова. Оценка Эйткена. Качество оценки уравнения регрессии. Ранговая корреляция. Ранговые коэффициенты корреляции Спирмена и Кендэла и проверка независимости признаков. 8. Образовательные технологии При изучении дисциплины используются классические методы проведения занятий, возможно использование информационных технологий для решения заданий в процессе самостоятельной работы студентов (Excel, Mathcad, MAPLE). 8.1 Методические указания студентам Число часов на самостоятельное изучение дисциплины значительно превышает число часов для аудиторной работы. Успешное освоение курса возможно лишь при тщательном изучении теоретического материала, решением большого количества задач самостоятельно. Часть теоретического материала изучается самостоятельно, задачи курса, в основном, требуют значительного времени для их решения. Использование компьютерных систем Excel, Mathcad, MAPLE позволит упростить некоторые вычисления, даст возможность проверить и интерпретировать полученные результаты. 9. Оценочные средства для текущего, промежуточного и итогового контроля студента. 9.1 Тематика заданий текущего контроля Примерные виды заданий контрольных работ. Контрольная работа №1 1. Из 20 студентов 8 отличников. По списку выбраны 12. Какова вероятность, что среди них 5 отличников. 2. Три раза бросают монету. Событие Аk - выпадение герба при k –ом броске. Пусть А – хотя бы один герб, В - три цифры, С – не меньше двух гербов, D – герб после первого броска. Выразить А, В, С, D через Аk 3. На отрезке ОА длины L наудачу брошены две точки В(х) и С(у). Найти вероятность, что длина отрезка ВС в два раза меньше расстояния от точки О до ближайшей к ней точки. 4. Три стрелка стреляют в мишень. Первый попадает с вероятностью 0.6, второй с вероятностью 0.4, третий с вероятностью 0.7. Какова вероятность, что в мишень попадут только двое. 10 Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики» Программа дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика» для направления 38.03.01 «Экономика» подготовки бакалавра 5. В урну, содержащую два шара, опущены два белых шара, после чего из нее наудачу вынут один шар. Найти вероятность, что вынутый шар белый, если предположение о первоначальном составе шаров равновозможны. Контрольная работа №2 1. Найти моду, медиану, асимметрию, эксцесс и проверить условие однородности информации для заданной выборки. 2. Дано распределение бракованных изделий в 200 партиях продукции. Считая, что число бракованных изделий в партии изделий распределено по закону Пуассона, найти вероятность, что в произвольно выбранной партии число бракованных не менее 2 и не более 4. 3. Произведено 20 опытов над случайной величиной Х, в результате которых Х получила значения: -0.11, -0.13, 0.14, 0.12, 0.14, 0.12, -0.11, -0.13, 0.22, -0.13, -0.11, 0.12, 0.11, -0.13, 0.14, -0.13, 0.12, -0.11, 0.12, 0.17. Считая, что случайная величина Х распределена нормально, построить с р=0.98 доверительные интервалы для генеральных среднего и дисперсии. 9.2 Вопросы для оценки качества освоения дисциплины Для проверки качества освоенной дисциплины необходимо знать следующие понятия. 1. Пространство элементарных событий. Свойства событий. 2. Формула классической вероятности. 3. Геометрическая вероятность. 4. Аксиомы теории вероятностей. 5. Простейшие следствия из аксиом теории вероятностей. 6. Схема испытаний Бернулли. Формула Бернулли. 7. Предельные теоремы для вероятностей появления заданного числа исходов - локальная и интегральная теоремы Муавра- Лапласа, теорема Пуассона. 8. Функция распределения случайной величины. 9. Дискретные и непрерывные случайные величины. 10. Ряд распределения дискретной случайной величины. 11. Плотность распределения непрерывной случайной величины. 12. Математическое ожидание и его свойства. 13. Дисперсия случайной величины. 14. Теоретические моменты случайных величин. 15. Законы распределения дискретных случайных величин - биномиальное распределение, распределение Пуассона, геометрическое распределение. 16. Асимметрия и эксцесс как характеристики случайной величины. 17. Математическое ожидание функции случайного аргумента. 18. Неравенство Чебышева. 19. Различные типы сходимости случайных величин. 20. Закон больших чисел. 21. Теоремы Чебышева, Маркова и Бернулли. 22. Понятие о центральной предельной теореме. 23. Интегральная теорема Муавра- Лапласа как частный случай центральной предельной теоремы. 24. Случайная выборка. 25. Выборочные характеристики. 26. Распределение Стьюдента (t – распределение). 27. Распределение Пирсона (2 - распределение). 28. Постановка задачи оценивания параметров. Свойства оценок. 11 Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики» Программа дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика» для направления 38.03.01 «Экономика» подготовки бакалавра 29. Оценка параметров нормального закона. 30. Доверительные интервалы для параметров нормального закона. 31. Парная и множественная линейная регрессия. 32. Метод наименьших квадратов. Теорема Гаусса-Маркова. 33. Метод максимального правдоподобия. 34. Постановка задачи проверки статистических гипотез. 35. Статистический критерий и его характеристики. 36. Проверка гипотез о параметрах нормального закона. 37. Критерий согласия Пирсона хи-квадрат. 38. Критерий Колмогорова. 39. Ранговые коэффициенты корреляции и проверка независимости. 9.3 Примеры заданий итогового контроля Примерные виды заданий итогового контроля. 1. Функция распределения случайной величины. 2. Неравенство Чебышева. 3. Интегральная теорема Лапласа – Муавра как частный случай центральной предельной теоремы. 4. На отрезке ОА длины L наудачу брошены две точки В и С. Найти вероятность, что длина отрезка ВС меньше, чем L / 3. 5. Вероятность, что в одном испытании появятся события А и В равна 0.6. Вероятность того, что в одном испытании событие А появится, а событие В не появится, 0.2. Найти вероятность появления события А. 10. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины 9.1. Основная литература 1. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей М., Либроком, 2011 г., 488 c. 2. Бородин А.Н. Элементарный курс теории вероятностей и математической статистики. СПб.: Лань, 2011 г, 254 c. 3. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Юрайт, 2013, 480 c. 4. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. М.: Юрайт, 2013 г., 416 c. 9.2. Дополнительная литература 5. Гурский Е.И., Скобля Т.В., Юшкевич В.Э. Методическое пособие по теории вероятностей и математической статистике. Минск, 1973. 6. Ивашев-Мусатов О.С. Теория вероятностей и математическая статистика М.: Наука, 1979, 150 с. 7. Карасев А.И. Теория вероятностей и математическая статистика М.: Статистика, 1979 8. Колемаев В.А., Староверов О.В., Турандаевский В.Б. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Высшая школа, 1991, 461 с. 9. Лихолетов И.И., Мацкевич И.П. Руководство к решению задач по математической статистике и теории вероятностей. Минск.: Высшая школа, 1966, 454 с. 10. Маркович Э.С. Курс высшей математики с элементами теории вероятностей. М.: Высшая школа, 1962 11. Микулик Н.А., Рейзина Г.Н. Решение экономических задач по теории вероятностей и математической статистике. М.: Высшая школа, 1984 12. Румшиский Л.З. Элементы теории вероятностей. М.: Наука, 1988, 155 с. 12 Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики» Программа дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика» для направления 38.03.01 «Экономика» подготовки бакалавра 13. Сборник задач по теории вероятностей, математической статистике и теории случайных функций. Под редакцией А.А. Свешникова. М.: Наука, 1970. 10.4 Справочники, словари и энциклопедии Справочники, словари и энциклопедии не используются. 10.5 Программные средства Компьютерное программное обеспечение (ПО) может применяться студентами в формате самостоятельной работы. Рекомендуемое ПО: системы компьютерной математики Mathcad и Maple. 10.6 Дистанционная поддержка дисциплины Дистанционная поддержка дисциплины отсутствует. 11. Материально-техническое обеспечение дисциплины При чтении лекций возможно использование проектора. 13
