Типовые варианты контрольных работ

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА ПО МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКЕ
ВАРИАНТ № 1
ЗАДАЧА 1.
Построить гистограмму по группированному статистическому ряду:
Интервалы
Частоты (νi )
0-2
20
2-4
30
4-6
50
ЗАДАЧА 2.
Построить оценку для неизвестного параметра генеральной совокупности,
имеющей геометрическое распределение, по выборке объёма n
1. методом максимального правдоподобия;
2. методом моментов.
ЗАДАЧА 3.
Найти доверительный интервал доверительной вероятности α=0,99 для
неизвестного математического ожидания нормально распределенной
генеральной совокупности, если σ = 4, n =16, а выборочное среднее,
вычисленное по 16 наблюдениям равно 10,2.
ЗАДАЧА 4.
В библиотеке случайно отобрано 200 раз по 5 книг. Каждый раз
регистрировалось число поврежденных книг. В итоге получены следующие
данные :
Число поврежденных книг
Количество раз
0
72
1
77
2
34
3
14
4
2
5
1
Проверить, используя критерий χ2, что число поврежденных книг имеет
биномиальное распределение. В качестве оценки вероятности успеха
(неизвестного параметра биномиального распределения) взять выборочное
среднее и разделить его на 5. Принять уровень значимости α=0,05.
ЗАДАЧА 5.
Пусть из экспоненциально распределенной генеральной совокупности с
неизвестным параметром θ получена выборка, состоящая из одного наблюдения
X1. Относительно параметра θ выдвигаются 2 гипотезы:
H0: θ=1
H1: θ=2
Построить критерий отношения правдоподобия для проверки гипотез H0 и H1 по
выборке, состоящей из 1 наблюдения. Уровень значимости α =0,05.
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА ПО МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКЕ
ВАРИАНТ № 2.
Задача 1.
Построить график эмпирической функции распределения для выборки,
представленной статистическим рядом:
Zi
ni
2
1
3
3
4
4
5
6
6
5
7
2
8
1
Задача 2.
Построить оценку для неизвестного параметра генеральной совокупности,
имеющей экспоненциальное распределение, по выборке объёма n
1. методом максимального правдоподобия;
2. методом моментов.
Задача 3.
Построить доверительный интервал доверительной вероятности α=0,95 для
неизвестного математического ожидания нормально распределенной
генеральной совокупности, если среднее квадратичное отклонение σ =5,
выборочное среднее равно 14 и объём выборки равен 25.
Задача 4.
Ниже приводятся данные о числе деталей, поступающих на конвейер в течение
600 двухминутных интервалов:
Число деталей
Число интервалов
0
400
1
167
2
29
3
3
4
0
5
0
6
1
Используя критерий χ2, проверить гипотезу о пуассоновском распределении
числа деталей. Принять уровень значимости α =0,05. В качестве оценки
неизвестного параметра распределения Пуассона взять выборочное среднее.
ЗАДАЧА 5.
Пусть из экспоненциально распределенной генеральной совокупности с
неизвестным параметром θ получена выборка, состоящая из одного наблюдения
X1. Относительно параметра θ выдвигаются 2 гипотезы:
H0: θ=3
H1: θ=2
Построить критерий отношения правдоподобия для проверки гипотез H0 и H1 по
выборке, состоящей из 1 наблюдения (n=1). Уровень значимости α =0,1.
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА ПО МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКЕ
ВАРИАНТ № 3.
ЗАДАЧА 1.
По выборке, заданной статистическим рядом, построить эмпирическую
функцию распределения.
Zi
ni
2
1
5
3
7
2
8
4
ЗАДАЧА 2.
Построить оценку для неизвестного параметра θ генеральной совокупности,
имеющей гамма-распределение с параметрами ( θ,γ )по выборке объёма n
1. методом максимального правдоподобия;
2. методом моментов.
ЗАДАЧА 3.
Найти доверительный интервал доверительной вероятности α=0,9 для среднего
значения содержания углерода в единице продукта, если выборочное среднее
равно 23,5, выборочная дисперсия равна 9, а объём выборки равен 25.
Предполагается, что количество углерода в единице продукта распределено
нормально.
ЗАДАЧА 4.
На экзамене студент отвечает только на один вопрос по одной из трех частей
курса. Анализ вопросов, заданных 60 студентам, показал, что 23 студента
получили вопросы из первой, 15 – из второй и 22 – из третьей части курса, то
есть:
Части курса
Число студентов
1
23
2
15
3
22
Проверить с помощью критерия c χ2
cогласуются ли полученные данные с
гипотезой о том, что студент, идущий на экзамен, с равной вероятностью
получает вопрос по любой из трех частей курса. Принять уровень значимости α
= =0,1.
ЗАДАЧА 5.
Пусть из экспоненциально распределенной генеральной совокупности с
неизвестным параметром θ получена выборка, состоящая из одного наблюдения
X1. Относительно параметра θ выдвигаются 2 гипотезы:
H0: θ=3
H1: θ=2
Построить критерий отношения правдоподобия для проверки гипотез H0 и H1 по
выборке, состоящей из 1 наблюдения (n=1). Уровень значимости α =0,1.
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА ПО МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКЕ
(НФ-3, НР-3)
ЗАДАЧА 1.
Для выборки представленной статистическим рядом
Zi
ni
15
1
16
4
17
5
18
4
19
2
построить полигон частот и полигон относительных частот.
ЗАДАЧА 2.
Построить оценку для неизвестного параметра генеральной совокупности,
имеющей распределение Пуассона, по выборке объёма n
1. методом максимального правдоподобия;
2. методом моментов.
ЗАДАЧА 3.
Построить доверительный интервал доверительной вероятности α = 0,99 для
дисперсии содержания углерода в единице продукта, если n=9, среднее
значение (математическое ожидание) известно и равно 18,8 г и по выборке (с
учетом того, что матем. ожидание известно) вычислена выборочная дисперсия,
которая равна 20 г2. Предполагается, что содержание углерода в единице
продукта имеет нормальное распределение.
ЗАДАЧА 4.
Наблюдалась продолжительность работы 100 электронных ламп. Результаты
наблюдений (в сутках) приведены в таблице:
Кол-во суток
Число ламп
0-5
10
5-10
35
10-15
40
15-20
15
Проверить, используя критерий χ2, подчиняются ли результаты наблюдений
нормальному распределению. Принять уровень значимости α = 0,05. В качестве
оценки параметров нормального распределения взять выборочное среднее и
выборочную дисперсию соответственно.
ЗАДАЧА 5.
Пусть из экспоненциально распределенной генеральной совокупности с
неизвестным параметром θ получена выборка, состоящая из одного наблюдения
X1. Относительно параметра θ выдвигаются 2 гипотезы:
H0: θ=2
H1: θ=4
Построить критерий отношения правдоподобия для проверки гипотез H0 и H1 по
выборке, состоящей из 1 наблюдения (n=1). Уровень значимости α =0,2.
.
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА ПО МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКЕ
(НФ-3, НР-3)
ЗАДАЧА 1.
Построить гистограмму по следующему группированному статистическому
ряду:
Интервалы
Частоты(νi)
10-20
1
20-30
2
30-40
7
40-50
18
50-60
12
60-70
8
70-80
2
ЗАДАЧА 2.
Построить оценку для неизвестного параметра генеральной совокупности,
имеющей сдвинутое геометрическое распределение, по выборке объёма n
1.методом максимального правдоподобия;
2.методом моментов.
ЗАДАЧА 3.
По выборке объема n=16 найдена выборочная дисперсия, которая равна 1.
Построить доверительный интервал доверительной вероятности α = 0,95 для
дисперсии, считая, что результаты измерений имеют нормальное
распределение.
ЗАДАЧА 4.
Ниже приводятся данные о числе деталей, поступающих на конвейер в течение
600 двухминутных интервалов:
Число деталей
Число интервалов
0
400
1
167
2
29
3
3
4
0
5
0
6
1
Используя критерий χ2, проверить гипотезу о пуассоновском распределении
числа деталей. Принять уровень значимости α = 0,05. В качестве оценки
неизвестного параметра взять выборочное среднее.
ЗАДАЧА 5.
Пусть из экспоненциально распределенной генеральной совокупности с
неизвестным параметром θ получена выборка, состоящая из одного наблюдения
X1. Относительно параметра θ выдвигаются 2 гипотезы:
H0: θ=10
H1: θ=2
Построить критерий отношения правдоподобия для проверки гипотез H0 и H1
по выборке, состоящей из 1 наблюдения (n=1). Уровень значимости α =0,03.
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА ПО МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКЕ
(НФ-3, НР-3)
ЗАДАЧА 1.
Построить гистограмму по группированному статистическому ряду выборки:
Интервалы
Частоты (νi)
2-7
5
7-12
10
12-17
25
17-22
6
22-27
4
ЗАДАЧА 2.
Построить оценку для неизвестного параметра θ (вероятности успеха)
генеральной совокупности, имеющей отрицательно-биномиальное
распределение с параметрами θ и r (число успехов), по выборке объёма n
1. методом максимального правдоподобия;
2. методом моментов.
ЗАДАЧА 3.
По данным 16 измерений некоторой физической величины найдено
выборочное среднее равное 42,8 и выборочная дисперсия равная 64.
Построить доверительный интервал доверительной вероятности α = 0,999 для
среднего значения (математического ожидания измеряемой величины) в
предположении, что результаты измерений подчиняются нормальному
распределению.
ЗАДАЧА 4.
Измеряется входное сопротивление 130 электронных ламп (Ом). Результаты
измерений приведены в таблице:
Границы
интервала
Частота
3,0-3,6
3,6-4,2
4,2-4,8
4,8-5,4
5,4-6,0
6,0-6,6
6,6-7,2
2
8
35
43
22
15
5
Используя критерий χ2, проверить гипотезу о том, что данные получены из
нормально распределенной генеральной совокупности. В качестве оценок
неизвестных параметров взять выборочное среднее и выборочную дисперсию
соответственно. Принять уровень значимости α=0,1.
ЗАДАЧА 5.
Пусть из экспоненциально распределенной генеральной совокупности с
неизвестным параметром θ получена выборка, состоящая из одного наблюдения
X1. Относительно параметра θ выдвигаются 2 гипотезы:
H0: θ=2
H1: θ=1
Построить критерий отношения правдоподобия для проверки гипотез H0 и H1 по
выборке, состоящей из 1 наблюдения (n=1). Уровень значимости α =0,01
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА ПО МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКЕ
(НФ-3, НР-3)
ЗАДАЧА 1.
Для выборки представленной статистическим рядом построить эмпирическую
функцию распределения и полигон относительных частот:
Zi
ni
15
1
16
4
17
5
18
4
19
2
ЗАДАЧА 2.
Построить оценку для неизвестного параметра θ (вероятности успеха)
генеральной совокупности, имеющей распределение Бернулли по выборке
объёма n
1. методом максимального правдоподобия;
2. методом моментов.
ЗАДАЧА 3.
По данным 16 измерений диаметра вала вычислено выборочное среднее равное
29 мм и выборочная дисперсия равная 4,5 мм2 . Построить доверительный
интервал доверительной вероятности α = 0,99 для среднего значения диаметра
вала в предположении, что результаты измерений имеют нормальное
распределение.
ЗАДАЧА 4.
В итоге испытаний 1000 элементов на время безотказной работы получены
следующие данные:
Интервалы
Частоты
0-10
365
10-20
245
20-30
150
30-40
100
40-50
70
50-60
45
60-70
25
С помощью критерия χ2 проверить гипотезу о том, что данные подчиняются
экспоненциальному распределению. В качестве оценки неизвестного параметра
взять величину, обратную к выборочному среднему. Принять уровень
значимости α = 0,01.
ЗАДАЧА 5.
Пусть из экспоненциально распределенной генеральной совокупности с
неизвестным параметром θ получена выборка, состоящая из одного наблюдения
X1. Относительно параметра θ выдвигаются 2 гипотезы:
H0: θ=0,1
H1: θ=0,2
Построить критерий отношения правдоподобия для проверки гипотез H0 и H1
по выборке, состоящей из 1 наблюдения (n=1). Уровень значимости α =0,07.
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА ПО МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКЕ
(НФ-3, НР-3)
ЗАДАЧА 1.
Для выборки представленной статистическим рядом построить эмпирическую
функцию распределения и полигон относительных частот:
Zi
ni
15
2
16
5
17
5
18
2
19
1
ЗАДАЧА 2.
Построить оценку для неизвестного параметра θ генеральной совокупности,
имеющей гамма-распределение с параметрами ( θ,γ )по выборке объёма n
3. методом максимального правдоподобия;
4. методом моментов.
ЗАДАЧА 3.
По данным 25 измерений вычислено выборочное среднее измеряемой величины
и оно равно 100 м. Считая, что результаты измерений имеют нормальное
распределение построить доверительный интервал доверительной вероятности
α=0,99 для математичекого ожидания измеряемой величины, если среднее
квадратическое отклонение (погрешность прибора)σ=10м.
ЗАДАЧА 4.
По каждой из 100 мишеней произведено по 10 независимых выстрелов.
Результаты стрельб приведены в таблице:
Число попаданий
Количество мишений
0
0
1
2
2
4
3
10
4
22
5
26
6
18
7
12
8
8
9
9
10
10
Проверить, используя критерий χ2, что число попаданий в мишень имеет
биномиальное распределение. В качестве оценки вероятности успеха
(неизвестного параметра биномиального распределения) взять выборочное
среднее и разделить его на 10. Принять уровень значимости α=0,10.
ЗАДАЧА 5.
Пусть из экспоненциально распределенной генеральной совокупности с
неизвестным параметром θ получена выборка, состоящая из одного наблюдения
X1. Относительно параметра θ выдвигаются 2 гипотезы:
H0: θ=20
H1: θ=30
Построить критерий отношения правдоподобия для проверки гипотез H0 и H1
по выборке, состоящей из 1 наблюдения (n=1). Уровень значимости α =0,005.