1.2. Функции дожития

•.
- - ----
1.2.
------- - - -- -· -
- -- -- --
ФУНКЦИИ ДОЖИТИЯ
Как указывалось ран ее , шаt в во з растном диапазоне таб лиц смертно­
сти обычно равен
l
1·оду. Конечно, н юдн редко умирают точно в свой
день рожде ния. Человек, дожившнii д о возраста х, может умереть в 11ю­
бой день с11едующего 1 ·ода. Поэтому мткно, но к райней мере п1потети­
чески, ра сс матривать покюатели таблиц смертности для меньших про­
межутков врс1'.·1ени, ч е м год: скажем , месяц, а для очень больших сово­
купностей
- - даже
день. Ясно, например , что число людей, умирающих
ежедневно в таком 1·ороде, как Москва , может б ыть весьма з начитель­
ным. Переходя ко все более мелким временным интерванам, в пределе
можно считать, что процесс вымирания данной совокупности людей, или,
в других те рминах , дожитие , оrшсывается непрерывной функцией во з­
раста
s(x), означающей долю лиц и з некоторой условно~t совокупности ,
доживающих до возраста х. График функuии slx) часто нюыв а ют кри­
вой дожития, а саму функцию s(x) - функцией дожития. Типичная кри­
вая дожJпия и3ображена на рис.
2. l .
s(r)
1
х
(J)
Рис.
Кон ечно , s(.y) -
2.1.
не что нное, как вероятность дJ1 я наугад выбранно1 ·0
шща и3 цанной совокупности родившихся дожить до во ::1раста х . Продол­
житеньность жизни Т для такого произвольно выбранного лица есть слу­
чайная в е личина. Факт дшюпия им до во3раста х можно занисать в виде
неравенства
Т~х ·
(2 . 1)
17
а вероятность
s(x), используя стандартные обозначения,
в виде
s(x) = Pr[T ?::: х] .
Дополнение до
1,
(2.2)
т.е. функция
G(x)=l-s(x)
(2.3)
называется функцией распределения продолжительности жизни. Вероят­
ностный смысл ее описывается равенством
G(x) = Pi-[T < х],
(2.4)
т.е. это вероятность того, что данное родившееся лицо не доживет до воз­
растах.
Вероятности
s(x)
и
G(x)
представляют так называемые безусловные
вероятности. В демографии и страховании часто используют условные
случайные величины и соответствующие распределения. Если через Т.,
обозначить остаточную продолжительность жизни для наугад выбранно­
го лица возрастах, т.е. время, которое это лицо еше проживет, достигнув
возраста х, то число
s,.(t)= Pr[T~ ~ t]
(2.5)
будет обозначать условную вероятность
достижения возраста х+ t для лица, дожившего до х лет. Используя эле­
ментарные тождества теории вероятностей, можно показать, что
1 Р,
_ . ( .) _ s(x + t)
-s, t -
()
sx
·
(2.6)
Соответственно условная вероятность того, что лицо, достигшее воз­
растах, умрет в промежутке [х, х + t ], есть
_ 1_
1q, -
_
1Р,· -
s(x)-s(x+t)
s(x)
(2.7)
Тогда доля лиц, умирающих в единицу времени в ·лом промежутке, есть
µ ,.
1
=
&
=
t
Величина
1
s(x )- s(х + t)
s(x)·t
µ,
(2.8)
характеризует среднюю скорость (шпенсивность) выl\нt­
рания лиц, достигших во·3rаста х. Переходя к пределу, нолучают величину
JR
.
,qх
1
.
t
s(x)
, _.о
=l1ш --= -- · 11111
µ
1 -~о
·'
s (х )- s (х + t) _
-
t
(2 .9)
1 · liin s(x + t )- s(x) = _ s'(x),
но
s(x)
s(x)
t
поскольку, как известно, предел
'( )
. s(x+t)-s(x)
11111
=s х
t
но
называют производной функции
s(x)
в точке х.
Величинаµ_, называется в демографии сшюйjинтенсивностью) см~ртности в возр(:!.сте х. Это важная характеристика процесс а вымирания данной группы населения. ВелиLшны
s(x)
и µ,
взаимно определяют друг друга, поскольку согласно определению
µх
s'(x)
(2.1 О)
= - s(x)
С другой стороны , э то равенство озн а чает, что
1
(lп s(x )) , =
-µ,
(2.11)
илн
i: -f
~п sC~ 1о =
(2 .12)
µ,dt
0
и , наконец,
х
f
s(x )= ехр- µ,clt ,
(2.13)
о
т.к.
s(O) = 1
Точно так же 1'.южно вывести урqвнение для условной функции дожития
1
s
х
(t) =
1Рх
= s(x + t)
(
s x
(2. 14.)
)
19
V
В самом деле, из данного равенства следует:
d s (t) = s'(x + t) ,
s(x)
dt х
а так как на основании
(2.9)
,
d
s(x+t)=-µx+ ·s(x+t) ,то -sx(t)=-µxн·
1
dt
s(x+t)
() =-µxн·sx(t).
s
х
Отсюда получаем, что
d
1
dt ln s, (t) = -µ _m или s,. (t) = ехр- Jµх+иdи
о
Поскольку
,р,
=s,.(t) и ,q_,. =1- 1 р,,
1
ТО rPx
= ехр- Jµниdu
(2.15)
о
1
и / q_,. = 1- ехр- Jµ
.+11
1
du
(2.16)
о
Вышеприведенные формулы относятся к вероятностным функциям
дожития
s(x) и s,.(t)
Часто вместо них рассматриваются функции
!_,. и /_, (t)
,
где
/х
= 10 · s(x)
И lx (t) = lx · s_, (t),
(2.17)
относящиеся к некоторым исходным совокупностям
В отличие от таблиц смертности, в которых х рассматриваются лишь
для целых возрастов, функции дожития считаются заданными для любых
возрастов. Точный смысл величины
/,
состоит в том, что это ожидаемое
(среднее) значение для числа J1иц, доживших до возраста (точного) х.
20
Для l, имеют место те же соотношения, что и для s(x). В частности,
dl" - -l . µ
dx -
·х
(2.18)
х
Интегрируя это уравнение от некоторого начального возраста а
предельного
до
(t), получим
(1)
lш - la = - Jlх · µ _,_dx ,
а
а так как lш
= О, то получаем
й)
/а
= fZx . µxdx
.
а
Если проинтегрировать (2.18) по промежутку [х, х + 1], то получим
x+I
fx+I -(_
= - Jf, · µ dt
1
х
или
.r+I
dx =
f,_-/x+I =
f/ µ dt
1 •
(2.19)
1
х
Вариант этой формулы получается , если выполнить замену перемен­
ных
t=x+u
Тогда получим
1
dx =
JZх+и. µx+иdu
(2.20)
о
Интегрирование по промежутку [х, х + 11] дает
11
( - /_,+"
=f/_,- +и . µ x+udU
(2.21)
о
или, деля на
l ,
х
l -/
1
q х = х / х+и = -J 11
х
х
Наконец для
q = /х+т
х
'11 . 1/
-
111111
l
qx
f/ .µ
11
х +и
х+и
du
(2.22)
о
получаем выражение
[х+т+п
х
l т+п
= l . Jlx+u . µx+11du
х
(2.23)
tll
21
или
т+п
111 / 11
q ,_ ==
J"Р_,- · µ _,-+
11
du
(2.24)
111
Заметим, что из уравнения
s'(x) = -s(x )· µ
_
1
или аналогичного
!' -- -1 . µ
х
·х
х
следует, что функции
s(x )· µ(х) или lx · µ(х)
4000
3000
2000
1000
1о 20 30 40 50 60 70 80 90
Рис.
2.2.
задают плотность распределения для случайной величины Т. Типичный
график для функции /'" · µ(х) изображен на рис. 2.2.
Величина l,. · µ ,- · Лх приблизительно равна среднему числу умерших в
малом промежутке [х, х + Л,у]. Из графика видно, что плотность имеет ярко
выраженный максимум в диапазоне 70-75 лет. Большие значения в диапа­
зоне
0-5
лет соответствуют повышенной младенческой смертности.
Пршнеры.
2.1. Пусп1ь функция до::нсип1ия s(x) u..неет вид
s(x) = -JI 00- х , О::; х::;; 100
Найти:
а) верояпиюсть
Ь)
2R
Рзб,
си_:~1' с_11ертности для возраста
20 лет.
22
------------ - - - --
-·
Решение :
а)
Ь)
2f',Рз
6
=
s(64) = .JI00-64 = б = 0 75
s(Зб) .JI00-36 8
' .
Согласно определению
ds(x)
1
µ = - s(x). dx ·
i·
Дифференцируя
s(x) по х,
получим
.ds(x) = (J100 - х) = __!_.
1
2 .JIOO-x
dx
Следовательно,
µх
1
= 2 . (100 - Х) .
ДТfя х =
µ
1
20
полJ1 чае;н
1
1
= __!__
10
2 (100-20)
2. 2.
= - -
160
=о 00625
Пусть сила СJнертности
µ . = 1-cos
'
п
200
х
)
.
UAteem
вид
·
Найти выражение для s(x ).
Решение:
Согласно
(2. 13)
х
s(x)= ехр- Jµ
1
dt .
о
Подставляя в эту фор.л1у1J1 выражение для
s(x) = exp-J(1-cos~t) dt = exp-[t()
= ехр-(х-
2 0
~
200 . .
sin
2~0 х
)-
µ1 ,
получши
200
л;
-sin~t]x _
200
о
2
ехр( ~О · sin 2~ 0 х- х)
23