ProblemsForExam2011

Задачи для подготовки к экзамену по курсу
«Экономико–математические методы и модели»1
весна 2011
№1. Найти экстремум функции полезности u = x2 y при бюджетном ограничении
2x + 3y = 90
№2. Завод производит три вида товаров и продает их по ценам P1 = 2, P2 = 1 и
P3 = 3 (цены экзогенны). Издержки производства равны
C(Q1 , Q2 , Q3 ) = 2Q21 + Q22 + 2Q23 + Q2 Q3
(Q1 , Q2 , Q3 – объемы производства товаров). Найдите оптимальные объемы производства. Какой экономической ситуации соответствует экзогенность цен?
№3. Завод производит два вида товаров, (обратные) функции спроса на которые
имеют вид P1 = 50 − 2Q1 + Q2 и P2 = 40 − 2Q2 + Q1 (цены эндогенны). Функция
издержек равна
C(Q1 , Q2 ) = 2Q21 + Q22
(Q1 , Q2 – объемы производства товаров). Найдите оптимальные объемы производства. Какой экономической ситуации соответствует эндогенность цен?
№4. При каких значениях параметра β функция
f (x1 , x2 , x3 ) = 2x21 + 4x22 + x23 − βx1 x3
будет строго выпуклой? Строго вогнутой? Ответ обоснуйте. Будет ли эта функция
однородной? Если да, то какой степени.
№5. Для производства предприятие закупает два вида ресурсов по ценам P1 = 10
и P2 = 20, бюджет составляет $1200. Производственная функция предприятия рав√
на f (x, y) = xy. Найдите количество ресурсов с целью обеспечения оптимальной
производственной программы.
№6. Будет ли задача с ограничениями
2x2 + 5y 2 −→ min
x + y > 10
задачей выпуклого программирования? Ответ обоснуйте. Если да, то найдите ее
решение.
№7. Рассмотрим задачу оптимизации
4x2 + 6y 2 − xy − 7x − 4y −→ min
3x + 5y 6 70
x, y > 0
1. Будет ли эта задача оптимизации задачей выпуклого программирования?
Ответ обоснуйте
2. Запишите систему уравнений Куна-Таккера.
1
Содержимое этого документа находится в компьютерной сети «Учебные ресуры/Artamonov/ЭММ 3МЭО/ProblemsForExam2011.pdf»
1
3. Будут ли решения системы Куна-Таккера решением задачи оптимизации?
Ответ обоснуйте.
№8. Завод производит два вида товаров, (обратные) функции спроса на которые
имеют вид P1 = 50 − 2Q1 + Q2 и P2 = 40 − 2Q2 + Q1 (цены эндогенны). Функция
издержек равна
C(Q1 , Q2 ) = 2Q21 + Q22
(Q1 , Q2 – объемы производства товаров). Найдите оптимальные объемы производства, максимизирующие выручку, если издержки не должны превышать $20.
Какой экономической ситуации соответствует эндогенность цен?
№9. Рассмотрим задачу линейного программирования
3x + 5y
x+y
2x + y
x, y
−→ max
65
68
>0
Нарисуйте на плоскости множество, определяемое ограничениями задачи, и найдите решение задачи.
№10. Найдите общее решение разностного уравнения первого порядка
t
1
yt = 0.5yt−1 +
.
3
№11. Найдите решение разностного уравнения второго порядка
yt = 4yt−1 − 4yt−2 + 5
с начальными условиями y0 = 0, y1 = 1. Нарисуйте график решения разностного
уравнения.
№12. Найдите общее решение разностного уравнения второго порядка
yt = 6yt−1 − 5yt−2 + 5t .
№13. Найдите решение разностного уравнения второго порядка
yt + 4yt−2 = 10
с начальными условиями y0 = 1, y1 = 0. Нарисуйте график решения разностного
уравнения.
№14. Найдите общее решение разностного уравнения второго порядка
yt = 5yt−1 − 6yt−2 + 2t .
№15. Рассмотрим паутинную модель равновесия
Qdt = α − βPt
Qst = −γ + δPt−1 .
• Какой экономической ситуации она соответствует?
• Найдите равновесную цену и закон изменения цены.
2
• Пусть α = 20, β = 1, γ = 3, δ = 2. Будет ли равновесная цена устойчивой?
Дайте интерпретацию полученного результата.
• Нарисуйте график зависимости цены от времени.
№16. Рассмотрим модель спроса-предложения
Qdt = α − βPt
Qst = −γ + δPt
Pt+1 = Pt − σ(Qst − Qdt )
• Какой экономической ситуации соответствует эта модель?
• Найдите равновесную цену и постройте модель, описывающую закон изменения цены.
• Пусть α = 20, β = 1, γ = 5, δ = 2 и σ = 0.5. Будет ли равновесная цена
устойчивой?
• Нарисуйте график зависимости цены от времени.
№17. Рассмотрим модель спроса - предложения
Qdt = α − βPt
Qst = −γ + δPt∗ ,
где Pt – фактическая цена, а Pt∗ – ожидаемая цена. Динамика ожидаемой цены
определяется адаптивными ожиданиями
∗
Pt+1
− Pt∗ = σ(Pt − Pt∗ ).
• Какой экономической ситуации соответствует эта модель?
• Найдите равновесную цену и постройте модель, описывающую закон изменения цены.
• Пусть α = 20, β = 1, γ = 5, δ = 2 и σ = 0.5. Будет ли равновесная цена
устойчивой?
• Нарисуйте график зависимости цены от времени.
№18. Рассмотрим модель мультипликатора-акселератора Самуэльсона:


 Yt = Ct + It + G0
Ct = γYt−1

 I = α(C − C )
t
t
t−1
с G0 = 10, γ = 0.5 и α = 0.5.
• Выведите разностное уравнение для Yt .
• Найдите стационарное состояние для Yt и общее решение разностного уравнения.
• Каково поведение Yt при t → +∞?
3
• Нарисуйте график зависимости Yt от времени.
№19. Найдите решение y = y(t) дифференциального уравнения
y 00 − 3y 0 + 2y = 3
с начальным условием y(0) = 0, y 0 (0) = 0. Нарисуйте график решения. Как ведет
себя решение при t → +∞?
№20. Найдите решение y = y(t) дифференциального уравнения
y 00 + 4y = 3
с начальным условием y(0) = 0, y 0 (0) = 1. Нарисуйте график решения. Как ведет
себя решение при t → +∞?
№21. Найдите решение y = y(t) дифференциального уравнения
y 00 − 2y 0 + y = 3
с начальным условием y(0) = 1, y 0 (0) = 2. Нарисуйте график решения. Как ведет
себя решение при t → +∞?
№22. Найдите решение системы линейных дифференциальных уравнений
(
x0 = 2x + 3y + 1
y 0 = 2y
с начальным условием x(0) = y(0) = 0. Нарисуйте график x(t).
№23. Найдите решение системы линейных дифференциальных уравнений
(
x0 = 3x + 3y
y 0 = 2x + 3y + 1
с начальным условием x(0) = 0, y(0) = 1. Нарисуйте график y(t).
№24. Найти динамику цены P = P (t) (t ≥ 0) на товар, если динамика спроса и
предложения описываются следующими моделями:
Qd (t) = P 00 –2P 0 –2P + 10,
Qs (t) = 2P 00 + 2P 0 + 4P + 4.
и рынок находится в равновесии. Найдите равновесную цену. Будет ли она устойчивой? Дайте интерпретацию полученного результата. Нарисуйте график траектории цены (график P (t)).
№25. Пусть функции спроса и предложения имеют вид:
Qd (t) = 42–4P − 4P 0 + P 00 ,
Qs (t) = −6 + 8P
с начальными условиями: P (0) = 6, P 0 (0) = 4. Найдите закон изменения цены от
времени. Нарисуйте график траектории цены (график P (t)).
4
№26. Функции спроса и предложения на некоторый товар имеют вид
Qd (t) = 40 − 2P –2P 0 –P 00 ,
Qs (t) = −5 + 3P
c начальными условиями: P (0) = 12, P 0 (0) = 1. Определить динамику цены во
времени. Нарисуйте график траектории цены (график P (t)).
№27. Рассмотрим биматричную игру
a
b
c
d
α
2, 2
2, 4
3, 2
4, 1
β
1, 1
1, 3
2, 3
1, 4
γ
1, 3
1, 2
2, 5
3, 1
δ
2, 1
4, 2
3, 1
2, 2
Проведите процедуру последовательного удаления доминируемых стратегий. Будут ли в этой игре положения равновесия по Нэшу и по Парето в чистых стратегиях?
№28. Рассмотрим антагонистическую игру с матрицей


−2 2 −1 0 1
2
3
1
2 0


 3 −3 2
3 2
−2 1 −2 −1 0
• Дайте определение понятий чистой и смешанной стратегии и цены игры.
• Существует ли равновесие в чистых стратегиях? Ответ поясните.
• Можно ли уменьшить размер платежной матрицы игры? Как называется
этот способ и в чем он состоит?
• Решите данную задачу геометрчиеским способом задачи 2 × n.
• Решите данную задачу путем сведения к задаче линейного программирования (решить графически).
№29. Рассмотрим антагонистическую игру с матрицей
2 −1
−2 1
Найдите положения равновесия по Нэшу и цену игры.
№30. Найти равновесие (по Нэшу) в смешанных стратегиях и цену игры в матричной игре с противоположными интересами
−20 2
22 −15
20 −8 −11 0
№31. Пусть на рынке минеральной воды присутствуют две конкурирующие фирмы A и B (дуополия Курно). Постоянные издержки каждой из них равны $5000
(вне зависимости от объема продаж). Каждая фирма должна выбрать либо «высокую» цену на свою продукцию Ph = $2, либо «низкую» цену Pl = $1 (цена за
бутылку). Тогда:
5
• при «высокой» цене на рынке можно продать 5000 бутылок,
• при «низкой» цене на рынке можно продать 10000 бутылок,
• если компании выбирают одинаковую цену, то они делят объемы продаж
поровну,
• если компании выбирают разные цены, то рынок полностью захватывает
компания с более низкой ценой (другая ничего не продает).
Постройте матрицу игры. Будет ли это игра с нулевой суммой? Ответ обоснуйте.
Найдите положения равновесия по Нэшу и цену игры.
№32. Игра «вооружение помехи». Сторона A располагает тремя видами вооружений A1 , A2 , A3 , а сторона B – тремя видами помех B1 , B2 , B3 . Вероятность решения
боевой задачи стороной A при различных видах вооружения и помех задана матрицей
A1
A2
A3
B1 B2 B3
0.8 0.2 0.4
0.4 0.5 0.6
0.1 0.7 0.3
Сторона A стремиться решить боевую задачу, сторона B – воспрепятствовать этому.
• Найдите верхнюю и нижнюю цену игры. Будут ли в этой игре положения
равновесия (по Нэшу) в чистых стратегиях?
Для удобства записи умножим матрицу на 10.
• Напишите пару двойственных задач для нахождения равновесия в смешанных стратегиях.
Пусть известны оптимальные решения двойственных задач линейного программирования: для игрока A
x1 =
1
32
x2 =
3
16
x3 = 0
y1 =
3
32
y2 =
4
32
y3 = 0
для игрока B
• Найдите оптимальные стратегии каждого из игроков и цену игры.
Задачи к темам «Модель Леонтьева (балансовые модели)», «Линейное программирование» и «Сетевые модели» можно найти в соответствующих пособиях.
Good luck!
6